（旧知清零）专题03 长方体和正方体【能力清单+核心易错点+错题复盘练】-2026-2027学年人教版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案

2026-2027学年人教版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 专题03 长方体和正方体【能力清单+核心易错点+错题复盘练】 1、能清晰理解长方体和正方体的核心定义，准确区分二者的特征边界与表面积、体积、容积的概念差异。 2、能熟练完成长方体正方体的棱长测量、展开图拼接操作，理解棱长特征、面的对应关系与三类度量计算的内在关联逻辑。 3、能熟练运用棱长公式、表面积公式、体积容积计算规则，完成各类长方体正方体相关题型的求解。 4、能根据不同场景，灵活选择“实物对照法、公式推导法、展开图还原法”适配对应的解题需求。 5、会检验相关计算结果，选择反向代入棱长总和、拆分面的面积求和的策略验证表面积、体积结果的正确性。 6、能分辨长方体正方体相关的实际问题，抓住“找准对应度量维度的约束条件”这一核心关键。 7、做题时，能圈出题目中的“棱长”“表面积”“体积”“容积”“无盖”等核心关键词。 8、能熟练根据实际场景设定解题路径，区分直接套用公式计算、分步拆分面推导的适用场景。 9、能准确识别“棱长计算类、表面积求解类、体积容积换算类、等积变形类”不同题型，匹配对应的规范求解步骤。 10、能根据已知的长方体正方体的体积、表面积结果反推题目缺失的长、宽、高参数，理清三维立体各要素的对应逻辑。 1、由6个完全相同的正方形围成的立体图形才是标准正方体，仅6个面为正方形但棱的长度不统一的立体图形不能直接判定为正方体。 2、计算长方体正方体的表面积时，要结合实际场景确认需要计算的面的数量，不能直接默认套用6个面的总面积公式硬算结果。 3、计算不规则物体的排水法体积时，物体完全浸没后，排开液体的体积才等于物体体积，不能直接用部分浸入的液面变化差直接当作物体总体积。 4、反向核验体积计算结果时，将算出的体积代入体积公式反向推导，最终得到的长、宽、高乘积要和题目给出的原始棱长参数完全匹配。 5、计算长方体棱长总和时，长、宽、高对应的棱各有4条，不能直接把长、宽、高的和直接当作总棱长，遗漏倍数关系导致结果偏差。 6、标注表面积、体积、容积的最终结果时要明确匹配对应单位，避免出现面积单位、体积单位、容积单位的指代错配问题。 7、处理长方体展开图的题型时，要先确认相对面的对应关系，不能直接随意拼接相邻面，导致还原后的立体图形面的匹配关系完全错误。 8、同一道长方体正方体相关题目的度量基准必须完全统一，不能中途随意切换长度单位，打乱表面积、体积的单位换算逻辑。 9、解决等积变形的实际应用问题时，要先锚定变形前后的总体积保持不变的核心约束，不能直接硬套不同形状的表面积公式乱算结果。 10、仅符合实心规则立体的标准场景才能适配本单元的长方体正方体度量规则，存在空心、镂空结构的特殊立体场景不能随意套用常规的表面积、体积运算逻辑。 一、选择题 1．一个长方体物品，长26cm，宽18cm，高0.6cm，这个物品可能是（    ）。 A．铅笔盒 B．手机 C．抽纸巾盒 D．数学书 2．一个下底标有字母X的无盖正方体纸盒，将其沿着棱剪开成平面图形。这个平面图形不可能是（    ）。 A． B． C． D． 3．一个长方体的底面积是42平方厘米，宽是6厘米，如果这个长方体的高增加2厘米，则表面积增加了（    ）平方厘米。 A．24 B．48 C．52 D．60 4．建筑工人把三块完全相同的长方体彩砖按照三种不同的方法分别切割成两块（如下图）。求原来每块长方体彩砖的表面积的正确列式是（    ）。 A．（80＋128＋160）×2 B．（80＋128＋160）÷2 C．80＋128＋160 D．以上都不对 5．笑笑买了四个长方体形状的礼盒，每个礼盒长10cm、宽4cm、高1cm。把它们包装在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 6．一个长方体被挖掉一小块（如图），下面说法完全正确的是（    ）。 A．体积减少，表面积减少 B．体积不变，表面积增加 C．体积与表面积都不变 D．体积减少，表面积不变 7．一个长方体的高增加3dm就变成了一个正方体，表面积比原来增加了60dm2。原来长方体的体积是（    ）dm3。 A．25 B．50 C．75 D．100 8．晓玉将一块体积为1.2立方分米的石头放入盛有水的长方体容器中。已知长方体容器从里面量长为2分米、宽为1.5分米、高为4分米，放入石头前水深1分米。石块完全浸入水中，此时水深为（    ）分米。 A．1.4 B．0.4 C．1.6 D．2 二、填空题 9．把一个长7分米，宽6分米，高4分米的长方体木块，锯成一个最大的正方体，这个正方体的棱长之和是（ ）分米。 10．要给右边的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的长至少要（ ）（接口忽略不计）。 11．青神竹编底蕴深厚，是国家非物质文化遗产。李爷爷取72dm长的竹丝编制灯笼框架：如果编制正方体框架，这个框架的棱长是（ ）dm，在这个正方体框架的表面糊一层棉纸，至少需要（ ）dm2；如果改做一个长8dm、宽6dm的长方体框架，它的高是（ ）dm。 12．霍州文旅部门修缮霍州鼓楼，要用细木条制作古建筑小样模型框架。做长5厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体木构架，一共要用去（ ）厘米木条；若将全部木条改做成正方体仿古框架，框架表面贴仿古木纹纸板，至少需要（ ）平方厘米纸板。 13．一盏亲手制作的灯笼承载着浓浓的爱意！刘姥姥想给爱孙做一个长25cm，宽20cm，高30cm的长方体竹节灯笼，需要准备（ ）cm长的竹条做框架；除了下底面外，其他面都要糊上蝉翼皮纸，她需要准备（ ）cm2的蝉翼皮纸。（接头损耗不计） 14．张师傅要做一个正方体的铁皮箱（有盖），他先用一根96cm长的铁丝围成一个最大的正方体框架，最后用铁片将它围起来，那么做这个铁皮箱至少需要（ ）cm2的铁片，这个正方体铁皮箱的体积是（ ）cm3（接头处和铁片的厚度忽略不计）。 15．一个长方体，如果高增加3厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加72平方厘米。原来长方体的高是（ ）厘米，体积是（ ）立方厘米。 16．在下面的括号里填上合适的数。 2m2－50dm2＝（ ）m2            5m3－2500dm3＝（ ）m3      1.3dm3－50cm3＝（ ）dm3 40cm2＋3dm2＝（ ）cm2          0.3dm2＋3.6cm2＝（ ）cm2 三、判断题 17．若一个长方体相交于同一个顶点的三条棱长总和是16厘米，则这个长方体的棱长总和是64厘米。（ ） 18．把3个棱长1cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是18cm2。（ ） 19．一个正方体的棱长扩大为原来的4倍，它的体积就扩大为原来的16倍。（ ） 20．有一个长方体盒装酸奶，标注“净含量：650mL”，量得外包装长8cm，宽5cm，高15cm。商家的标注是虚假的。（ ） 四、计算题 21．计算下面长方体的表面积和正方体的体积。 22．计算图（1）的表面积和图（2）的体积。 （1）            （2） 五、作图题 23．请画出下面这个长方体的一种展开图，并将最小的两个面涂上阴影。 六、解答题 24．欢欢有两根一样长的铁丝，她先用一根制作了一个棱长为12厘米的正方体框架，计划用另一根制作一个长为14厘米，宽为12厘米的长方体框架。这个长方体框架的高为多少厘米？（连接处忽略不计） 25．国庆节快到了，为了增添节日气氛工作人员准备在外形是长方体的少年宫科技楼的每条棱上装上彩灯线，大楼长54米，宽36米，高48米，至少要用多少米彩灯线？（底边不装） 26．阿欣家装修卫生间，卫生间长3.5米，宽2米，高2.8米，地面及四周墙上贴瓷砖，除去门窗2.4平方米不贴，贴瓷砖的面积是多少？ 27．如图是学校运动会的领奖台，由1个正方体和2个长方体合并而成。把前面和后面涂成黄色，其余露在外面的涂上红色。涂红色和黄色的面积一共是多少平方分米？ 28．一个施工队运来一批沙子，每辆汽车装15立方米的沙子，一共运来6车。把这些沙子均匀地铺在长100米、宽20米的空地上，可以铺多厚？ 29．科技馆新建一个长方体互动光影沙池体验区，从内部测量长40米、宽25米、围栏高度1.8米。 （1）为了安全防护和隔音效果，需要给沙池的池底和四周全部包裹防撞软包，需要采购多少平方米的防撞软包？ （2）为了实现AR投影互动效果，需要在池内铺设厚度达8分米的专用投影细沙。已知每铺设1.6立方米细沙需要搭配1组投影感应设备，一共需要配备多少组感应设备？ 30．智能快递柜以存取便捷、节省人工、减少丢件漏件等特性用于小区、写字楼、驿站、工业园区等各场所。幸福小区配备的组合快递柜的主柜体是一个长方体（如下图），它由主控操作柜（非存储柜）以及小格口存储柜、中格口存储柜和大格口存储柜三种规格的存储柜组成，具体存储柜的尺寸（从里面量）和数量如下图所示。 类型 长/cm 深/cm 高/cm 数量/个 主控操作柜 48 38 66 1 小格口存储柜 48 38 11 10 中格口存储柜 48 38 22 7 大格口存储柜 48 38 35 2 （1）这个组合快递柜的主柜体的体积是多少立方米？ （2）李阿姨购买的一件商品的快递外包装呈长方体形状，快递员测量记录其尺寸为40厘米×28厘米×22厘米。如果你是快递员，你不会把这件快递存入以上哪种类型的存储柜？请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学五升六暑期进阶衔接金牌学案 专题03 长方体和正方体【能力清单+核心易错点+错题复盘练】 1、能清晰理解长方体和正方体的核心定义，准确区分二者的特征边界与表面积、体积、容积的概念差异。 2、能熟练完成长方体正方体的棱长测量、展开图拼接操作，理解棱长特征、面的对应关系与三类度量计算的内在关联逻辑。 3、能熟练运用棱长公式、表面积公式、体积容积计算规则，完成各类长方体正方体相关题型的求解。 4、能根据不同场景，灵活选择“实物对照法、公式推导法、展开图还原法”适配对应的解题需求。 5、会检验相关计算结果，选择反向代入棱长总和、拆分面的面积求和的策略验证表面积、体积结果的正确性。 6、能分辨长方体正方体相关的实际问题，抓住“找准对应度量维度的约束条件”这一核心关键。 7、做题时，能圈出题目中的“棱长”“表面积”“体积”“容积”“无盖”等核心关键词。 8、能熟练根据实际场景设定解题路径，区分直接套用公式计算、分步拆分面推导的适用场景。 9、能准确识别“棱长计算类、表面积求解类、体积容积换算类、等积变形类”不同题型，匹配对应的规范求解步骤。 10、能根据已知的长方体正方体的体积、表面积结果反推题目缺失的长、宽、高参数，理清三维立体各要素的对应逻辑。 1、由6个完全相同的正方形围成的立体图形才是标准正方体，仅6个面为正方形但棱的长度不统一的立体图形不能直接判定为正方体。 2、计算长方体正方体的表面积时，要结合实际场景确认需要计算的面的数量，不能直接默认套用6个面的总面积公式硬算结果。 3、计算不规则物体的排水法体积时，物体完全浸没后，排开液体的体积才等于物体体积，不能直接用部分浸入的液面变化差直接当作物体总体积。 4、反向核验体积计算结果时，将算出的体积代入体积公式反向推导，最终得到的长、宽、高乘积要和题目给出的原始棱长参数完全匹配。 5、计算长方体棱长总和时，长、宽、高对应的棱各有4条，不能直接把长、宽、高的和直接当作总棱长，遗漏倍数关系导致结果偏差。 6、标注表面积、体积、容积的最终结果时要明确匹配对应单位，避免出现面积单位、体积单位、容积单位的指代错配问题。 7、处理长方体展开图的题型时，要先确认相对面的对应关系，不能直接随意拼接相邻面，导致还原后的立体图形面的匹配关系完全错误。 8、同一道长方体正方体相关题目的度量基准必须完全统一，不能中途随意切换长度单位，打乱表面积、体积的单位换算逻辑。 9、解决等积变形的实际应用问题时，要先锚定变形前后的总体积保持不变的核心约束，不能直接硬套不同形状的表面积公式乱算结果。 10、仅符合实心规则立体的标准场景才能适配本单元的长方体正方体度量规则，存在空心、镂空结构的特殊立体场景不能随意套用常规的表面积、体积运算逻辑。 一、选择题 1．一个长方体物品，长26cm，宽18cm，高0.6cm，这个物品可能是（    ）。 A．铅笔盒 B．手机 C．抽纸巾盒 D．数学书 【答案】D 【分析】先整理长方体尺寸：长26厘米，宽18厘米，高只有0.6厘米，特点是长、宽偏大，厚度非常薄，逐个对比选项实物大小判断。 【解答】A．铅笔盒一般长20厘米左右，宽8厘米左右，高（厚度）通常在3厘米以上，与题干高0.6厘米不符，此选项错误； B．手机一般长15厘米左右，宽7厘米左右，与题干长26厘米、宽18厘米不符，此选项错误； C．抽纸巾盒一般长20厘米左右，宽10厘米左右，高（厚度）通常在5厘米以上，与题干高0.6厘米不符，此选项错误； D．数学书小学数学课本的长约为26厘米，宽约为18厘米，厚度约为0.6厘米，与题干数据相符，此选项正确。 这个物品可能是数学书。 2．一个下底标有字母X的无盖正方体纸盒，将其沿着棱剪开成平面图形。这个平面图形不可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为这个正方体纸盒无盖，并且字母X所在的面是底面，所以这个正方体的展开图中字母X所在的面应该没有相对面，正方体的展开图找相对面时，先找同行，同行中间隔1个正方形的是相对面，再找异行，异行中间隔2个正方形的是相对面，据此解答。 【解答】 A．A和B是相对面，C和D是相对面，X没有相对面，符合题意； B．A和C是相对面，B和D是相对面，X没有相对面，符合题意； C．A和C是相对面，B和D是相对面，X没有相对面，符合题意； D．A和B是相对面，X和C是相对面，D没有相对面，不符合题意。 这个平面图形不可能是。 3．一个长方体的底面积是42平方厘米，宽是6厘米，如果这个长方体的高增加2厘米，则表面积增加了（    ）平方厘米。 A．24 B．48 C．52 D．60 【答案】C 【分析】长方体的高增加，上下底面的面积不变，表面积增加的部分是四周侧面的面积。增加的表面积等于底面周长乘增加的高。已知底面积和宽，根据长＝底面积÷宽，先求出长，再根据底面周长＝（长＋宽）×2求出底面周长，最后计算增加的表面积。 【解答】长方体的长：42÷6＝7（厘米） 底面周长：（7＋6）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 增加的表面积：26×2＝52（平方厘米） 4．建筑工人把三块完全相同的长方体彩砖按照三种不同的方法分别切割成两块（如下图）。求原来每块长方体彩砖的表面积的正确列式是（    ）。 A．（80＋128＋160）×2 B．（80＋128＋160）÷2 C．80＋128＋160 D．以上都不对 【答案】C 【分析】长方体6个面的面积之和叫做长方体的表面积。 第1种切法，增加的面积相当于长方体左右面的面积之和；第2种切法，增加的面积相当于长方体上下面的面积之和；第3种切法，增加的面积相当于前后面的面积之和。本题中，求长方体的表面积，把增加的面积相加即可。 【解答】A．（80＋128＋160）×2，该算式算出了长方体表面积的2倍。该选项错误。 B．（80＋128＋160）÷2，该算式只算出了长方体左面，上面和前面的面积之和，没有算出表面积。该选项错误。 C．80＋128＋160，该选项算出了长方体的表面积。该选项正确。 D．选项C是对的，该选项错误。 5．笑笑买了四个长方体形状的礼盒，每个礼盒长10cm、宽4cm、高1cm。把它们包装在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确包装纸面积对应拼接后长方体的表面积，因为拼接时重合面面积越大，总表面积越小，所以解题突破口是找到重合面总面积最大的拼接方式。 先计算单个长方体三种不同面的面积，确定面积最大的面的尺寸。 分别分析每个选项的拼接方式，计算对应重合面的总面积，比较后选择重合面积最大的选项。 【解答】A． （cm2） B． （cm2） C．（cm2） D． （cm2） C选项包装重合面积最大，所以最省包装纸。 6．一个长方体被挖掉一小块（如图），下面说法完全正确的是（    ）。 A．体积减少，表面积减少 B．体积不变，表面积增加 C．体积与表面积都不变 D．体积减少，表面积不变 【答案】D 【分析】因为挖掉一小块会占据原长方体的部分空间，所以整体的体积等于原长方体体积减去挖掉部分的体积，判断体积增减； 如果在顶点处挖去小长方体，那么原本去掉了3个不同方向的面，同时又新露出了3个和去掉的面面积分别相等的面，将挖去后减少的面面积和新增的面面积对比，判断表面积变化。 【解答】长方体挖掉一小块后，原本的空间少了挖走部分的体积，因此体积一定减少，排除B、C选项。 在长方体的顶点处挖去小块，挖去前顶点位置原本露出3个小面，挖去后会新露出3个面积和原小面相等的新面，总的表面积和挖之前相等，因此表面积不变； 综上，体积减少，表面积不变。 7．一个长方体的高增加3dm就变成了一个正方体，表面积比原来增加了60dm2。原来长方体的体积是（    ）dm3。 A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】B 【分析】长方体的高增加3dm后变成正方体，说明原来长方体的底面是正方形，且正方体的棱长等于原来长方体的长和宽；表面积增加的部分是高为3dm的长方体的侧面积，即底面周长乘增加的高的积；据此可求出底面边长，进而求出原来长方体的高，最后根据长方体体积＝长×宽×高，即可解答。 【解答】60÷3÷4 ＝20÷4 ＝5（dm） 5－3＝2（dm） 5×5×2＝50（dm3） 所以，原来长方体的体积为50dm3。 8．晓玉将一块体积为1.2立方分米的石头放入盛有水的长方体容器中。已知长方体容器从里面量长为2分米、宽为1.5分米、高为4分米，放入石头前水深1分米。石块完全浸入水中，此时水深为（    ）分米。 A．1.4 B．0.4 C．1.6 D．2 【答案】A 【分析】将石头完全浸入水中时，上升部分水的体积与石头的体积相等。先计算出容器底面积，再用石头的体积（即上升部分水的体积）除以容器底面积，求出水面上升的高度，然后再加上原来水深就是现在的水深。 【解答】 （分米） 二、填空题 9．把一个长7分米，宽6分米，高4分米的长方体木块，锯成一个最大的正方体，这个正方体的棱长之和是（ ）分米。 【答案】48 【分析】要在这个长方体中锯出最大的正方体，正方体的棱长只能取长方体长、宽、高中的最小值，也就是4分米，再根据正方体棱长总和＝棱长×12，代入数值即可解答。 【解答】4＜6＜7 所以正方体的棱长是4分米。 棱长之和：4×12＝48（分米） 10．要给右边的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的长至少要（ ）（接口忽略不计）。 【答案】2a＋4b＋6h 【分析】根据图意，打包带的总长包括2条长、4条宽和6条高的长度和，据此解答。 【解答】a×2＋b×4＋h×6＝2a＋4b＋6h 因此打包带的长是2a＋4b＋6h。 11．青神竹编底蕴深厚，是国家非物质文化遗产。李爷爷取72dm长的竹丝编制灯笼框架：如果编制正方体框架，这个框架的棱长是（ ）dm，在这个正方体框架的表面糊一层棉纸，至少需要（ ）dm2；如果改做一个长8dm、宽6dm的长方体框架，它的高是（ ）dm。 【答案】6 216 4 【分析】正方体12条棱长度相等，总棱长为72dm，用总棱长除以12即可得到棱长。 正方体表面积是6个完全相同的正方形面积之和，所以用上一步得到的棱长，结合正方体表面积公式计算即可。 长方体棱长总和4×（长＋宽＋高），已知总棱长、长和宽，先将总棱长除以4得到长、宽、高的和，再减去长和宽即可得到高。 【解答】正方体棱长：72÷12＝6（dm） 正方体表面积：6×62 ＝6×36 ＝216（dm2） 长方体的高：72÷4－8－6 ＝18－8－6 ＝10－6 ＝4（dm） 12．霍州文旅部门修缮霍州鼓楼，要用细木条制作古建筑小样模型框架。做长5厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体木构架，一共要用去（ ）厘米木条；若将全部木条改做成正方体仿古框架，框架表面贴仿古木纹纸板，至少需要（ ）平方厘米纸板。 【答案】48 96 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，即可求出一共要用去多少木条；用木条总长度除以12，求出正方体仿古框架的棱长，再根据正方体表面积公式，代入数据即可求出需要纸板的面积。 【解答】（5＋3＋4）×4＝12×4＝48（厘米） 48÷12＝4（厘米） 4×4×6＝16×6＝96（平方厘米） 13．一盏亲手制作的灯笼承载着浓浓的爱意！刘姥姥想给爱孙做一个长25cm，宽20cm，高30cm的长方体竹节灯笼，需要准备（ ）cm长的竹条做框架；除了下底面外，其他面都要糊上蝉翼皮纸，她需要准备（ ）cm2的蝉翼皮纸。（接头损耗不计） 【答案】300 3200 【分析】求竹条长度就是长方体棱长总和，长方体有4组长宽高，用（长＋宽＋高）×4计算； 糊纸不含下底面，要算上面、前后左右四个面，上面面积长×宽，前后两面长×高×2，左右两面宽×高×2，相加得到总面积。 【解答】棱长总和： （25＋20＋30）×4 ＝75×4 ＝300（cm） 糊纸面积：25×20＋25×30×2＋20×30×2 ＝500＋1500＋1200 ＝3200（cm2） 14．张师傅要做一个正方体的铁皮箱（有盖），他先用一根96cm长的铁丝围成一个最大的正方体框架，最后用铁片将它围起来，那么做这个铁皮箱至少需要（ ）cm2的铁片，这个正方体铁皮箱的体积是（ ）cm3（接头处和铁片的厚度忽略不计）。 【答案】384 512 【分析】这个正方体的棱长总和为96cm，根据正方体的棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，可以求出棱长的长度；至少需要的铁片的面积为正方体的表面积之和，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算求出铁皮面积；根据正方体体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，可以求出体积。 【解答】棱长为： 铁片面积为： 铁皮箱的体积是： 这个铁皮箱至少需要384的铁片，这个正方体铁皮箱的体积是512。 15．一个长方体，如果高增加3厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加72平方厘米。原来长方体的高是（ ）厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】3 108 【分析】高增加3厘米后变成正方体，说明原来长方体的长和宽相等，且长（或宽）比高多3厘米。高增加3厘米时，上下两个面的面积不变，只有前后左右4个侧面的面积增加，且这4个增加的面是完全相同的长方形。4个面的总面积就是增加的72平方厘米。因此，1个增加面的面积为：72÷4＝18（平方厘米）。根据长方形的面积＝长×宽，所以原来长方体的长（或宽）为：18÷3＝6（厘米）。所以原来的高为：6−3＝3（厘米）。根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值即可求出体积。 【解答】72÷4＝18（平方厘米） 18÷3＝6（厘米） 6－3＝3（厘米） 6×6×3 ＝36×3 ＝108（立方厘米） 16．在下面的括号里填上合适的数。 2m2－50dm2＝（ ）m2        5m3－2500dm3＝（ ）m3      1.3dm3－50cm3＝（ ）dm3 40cm2＋3dm2＝（ ）cm2          0.3dm2＋3.6cm2＝（ ）cm2 【答案】1.5 2.5 1.25 340 33.6 【分析】1m2＝100dm2；1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；高级单位换算低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率，据此统一单位，再进行计算。 【解答】2m2－50dm2＝（）m2 50÷100＝0.5（m2） 2－0.5＝1.5（m2） 所以2m2－50dm2＝1.5m2 5m3－2500dm3＝（） m3 2500÷1000＝2.5（m3） 5－2.5＝2.5（m3） 所以5m3－2500dm3＝2.5 m3 1.3dm3－50cm3＝（）dm3 50÷1000＝0.05（dm3） 1.3－0.05＝1.25（dm3） 所以1.3dm3－50cm3＝1.25dm3 40cm2＋3dm2＝（）cm2 3×100＝300（cm2） 40＋300＝340（cm2） 所以40cm2＋3dm2＝340cm2 0.3dm2＋3.6cm2＝（）cm2 0.3×100＝30（cm2） 30＋3.6＝33.6（cm2） 所以0.3dm2＋3.6cm2＝33.6cm2 三、判断题 17．若一个长方体相交于同一个顶点的三条棱长总和是16厘米，则这个长方体的棱长总和是64厘米。（ ） 【答案】√ 【分析】相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。用相交于同一个顶点的三条棱长总和乘4即可求出这个长方体的棱长总和。 【解答】16×4＝64（厘米） 这个长方体的棱长总和是64厘米，原题说法正确。 故答案为：√ 18．把3个棱长1cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是18cm2。（ ） 【答案】× 【分析】把3个正方体拼成一个长方体，正方体之间会有面重合，导致表面积减少。需要先计算出3个正方体原本的总表面积，再减去重合部分的面积，得到长方体的实际表面积，最后与题干中的数据进行比较。 【解答】正方体一个面的面积：1×1＝1（cm2） 3个正方体原本的总表面积：1×6×3＝18（cm2） 拼成长方体后减少的面数：2×2＝4（个） 长方体的实际表面积：18－1×4＝18－4＝14（cm2） 因为14≠18，所以原题说法错误。 故答案为：× 19．一个正方体的棱长扩大为原来的4倍，它的体积就扩大为原来的16倍。（ ） 【答案】× 【分析】假设原来正方体的棱长是1厘米，扩大为原来的4倍之后棱长变为4厘米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，分别求出体积，两个体积进行比较，判断即可。 【解答】1×1×1＝1（立方厘米） 4×4×4＝64（立方厘米） 64÷1＝64 它的体积就扩大为原来的64倍，原说法错误。 故答案为：× 20．有一个长方体盒装酸奶，标注“净含量：650mL”，量得外包装长8cm，宽5cm，高15cm。商家的标注是虚假的。（ ） 【答案】√ 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高求出盒装酸奶的体积，再换算成容积单位，和标注的净含量对比，即可判断标注是否虚假。 【解答】8×5×15 ＝40×15 ＝600（cm3） 600cm3＝600mL 通常净含量要少于外包装计算的容量，即商家标注的是虚假的，原说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 21．计算下面长方体的表面积和正方体的体积。 【答案】210平方分米 216立方分米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2； 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 【解答】 ＝210（平方分米） 所以长方体的表面积是210平方分米。 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） 所以正方体的体积是216立方分米。 22．计算图（1）的表面积和图（2）的体积。 （1）            （2） 【答案】（1）1204 （2）1000 【分析】（1）图形的表面积等于棱长为12cm的正方体的表面积加上长为12cm、宽为10cm、高为5cm的上、下面与前、后面的面积和，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，上、下面与左、右面的面积和＝（长×宽＋宽×高）×2，代入数据计算即可解答。 （2）图形的体积等于长为15dm、宽为10dm、高为8dm的长方体的体积减去长为5dm、宽为5dm、高为8dm的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【解答】（1）12×12×6＋（10×12＋10×5）×2 ＝144×6＋（120＋50）×2 ＝864＋170×2 ＝864＋340 ＝1204（） （2）15×10×8－5×5×8 ＝150×8－25×8 ＝1200－200 ＝1000（） 五、作图题 23．请画出下面这个长方体的一种展开图，并将最小的两个面涂上阴影。 【答案】 【分析】先根据长方体3cm、2cm、1cm的长宽高，判断出2cm×1cm的面为最小面，选取常用一四一型展开图画在方格内，最后将展开图里两个最小的面2cm×1cm涂上阴影。 【解答】（cm2） （cm2） （cm2） 作图略 六、解答题 24．欢欢有两根一样长的铁丝，她先用一根制作了一个棱长为12厘米的正方体框架，计划用另一根制作一个长为14厘米，宽为12厘米的长方体框架。这个长方体框架的高为多少厘米？（连接处忽略不计） 【答案】10厘米 【分析】利用正方体棱长和公式（棱长）计算出一根铁丝的长度；一根铁丝长度等于长方体棱长总和，长方体棱长总和除以 4 得到长、宽、高的和，从长、宽、高的和中减去已知的长和宽，即可求出高。 【解答】（厘米） （厘米） （厘米） 答：这个长方体框架的高为 10 厘米。 25．国庆节快到了，为了增添节日气氛工作人员准备在外形是长方体的少年宫科技楼的每条棱上装上彩灯线，大楼长54米，宽36米，高48米，至少要用多少米彩灯线？（底边不装） 【答案】372米 【分析】根据长方体的特征可知，长方体有12条棱，长、宽、高各有4条。根据题意，底边不装，则长、宽要减少2条，彩灯线的长度＝长×2＋宽×2＋高×4，代入数据即可求解。 【解答】54×2＋36×2＋48×4 ＝108＋72＋192 ＝180＋192 ＝372（米） 答：至少要用372米彩灯线。 26．阿欣家装修卫生间，卫生间长3.5米，宽2米，高2.8米，地面及四周墙上贴瓷砖，除去门窗2.4平方米不贴，贴瓷砖的面积是多少？ 【答案】35.4平方米 【分析】根据题意，卫生间是一个长方体，需要贴瓷砖的部分包括地面和四周的墙壁，共5个面，不需要贴天花板。，代入数据计算后，减去门窗不需要贴瓷砖的面积。 【解答】 （平方米） （平方米） 答：贴瓷砖的面积是35.4平方米。 27．如图是学校运动会的领奖台，由1个正方体和2个长方体合并而成。把前面和后面涂成黄色，其余露在外面的涂上红色。涂红色和黄色的面积一共是多少平方分米？ 【答案】245平方分米 【分析】涂黄色的面积＝长是5分米，宽是4分米的长方形面积×2＋边长是5分米的正方形面积×2＋长是5分米，宽是（5－2）分米长方形面积×2； 涂红色的面积＝上面是3个面的面积和＋左右4个面的面积和，上面3个面的面积＝长是5分米，宽是5分米的长方形面积＋边长是5分米的正方形面积＋长是5分米，宽是5分米长方形面积和；左右4个面的和＝边长是5分米的2个正方形的面积和；根据长方形面积＝长×宽；正方形面积＝边长×边长，据此解答。 【解答】涂黄色面积： 5×4×2＋5×5×2＋5×（5－2）×2 ＝5×4×2＋5×5×2＋5×3×2 ＝20×2＋25×2×15×2 ＝40＋50＋30 ＝120（平方分米） 涂红色面积： 5×5＋5×5＋5×5＋5×5×2 ＝25＋25＋25＋25×2 ＝25＋25＋25＋50 ＝125（平方分米） 120＋125＝245（平方分米） 答：涂红色和黄色的面积一共是245平方分米。 28．一个施工队运来一批沙子，每辆汽车装15立方米的沙子，一共运来6车。把这些沙子均匀地铺在长100米、宽20米的空地上，可以铺多厚？ 【答案】0.045米 【分析】沙子的总体积不变，铺在空地上形成一个长方体。根据长方体体积公式（其中表示体积，表示底面积，表示高），先求出沙子的总体积，求铺的厚度（即高），用体积除以底面积计算。 【解答】15×6＝90（立方米） 100×20＝2000（平方米） 90÷2000＝0.045（米） 答：可以铺0.045米厚。 29．科技馆新建一个长方体互动光影沙池体验区，从内部测量长40米、宽25米、围栏高度1.8米。 （1）为了安全防护和隔音效果，需要给沙池的池底和四周全部包裹防撞软包，需要采购多少平方米的防撞软包？ （2）为了实现AR投影互动效果，需要在池内铺设厚度达8分米的专用投影细沙。已知每铺设1.6立方米细沙需要搭配1组投影感应设备，一共需要配备多少组感应设备？ 【答案】（1）1234平方米 （2） 500组 【分析】（1）给沙池的池底与四周包裹防撞软包，实际上只需要计算长方体的5个面的面积，即1个底面加上4个侧面；根据长方体底面积用长乘宽计算，侧面积分别用宽乘高再乘2计算、长乘高再乘2计算；将5个面的面积相加解答即可。 （2）求细沙的体积实际上就是求一个长为40米、宽为25米、高为8分米的长方体的体积，先统一单位，再根据长方体体积计算公式长×宽×高，代入数据解答，求出体积后再除以1.6解答即可。 【解答】（1）40×25＋40×1.8×2＋25×1.8×2 ＝1000＋72×2＋45×2 ＝1000＋144＋90 ＝1144＋90 ＝1234（平方米） 答：需要采购1234平方米的防撞软包。 （2）8分米＝0.8米 细沙体积：40×25×0.8 ＝1000×0.8 ＝800（立方米） 800÷1.6＝500（组） 答：一共需要配备500组感应设备。 30．智能快递柜以存取便捷、节省人工、减少丢件漏件等特性用于小区、写字楼、驿站、工业园区等各场所。幸福小区配备的组合快递柜的主柜体是一个长方体（如下图），它由主控操作柜（非存储柜）以及小格口存储柜、中格口存储柜和大格口存储柜三种规格的存储柜组成，具体存储柜的尺寸（从里面量）和数量如下图所示。 类型 长/cm 深/cm 高/cm 数量/个 主控操作柜 48 38 66 1 小格口存储柜 48 38 11 10 中格口存储柜 48 38 22 7 大格口存储柜 48 38 35 2 （1）这个组合快递柜的主柜体的体积是多少立方米？ （2）李阿姨购买的一件商品的快递外包装呈长方体形状，快递员测量记录其尺寸为40厘米×28厘米×22厘米。如果你是快递员，你不会把这件快递存入以上哪种类型的存储柜？请说明理由。 【答案】（1）1立方米 （2）不会存入小格口存储柜，因为快递的高度22厘米大于小格口存储柜的内部高度11厘米，无法放入 【分析】（1）已知这个组合快递柜的主柜体是长方体，要求它的体积，用长方体的体积公式：V＝长×宽×高，代入数据即可，注意最后单位换算：1立方米＝1000000立方厘米。 （2）判断能不能存入快递柜，先看快递的尺寸：40厘米×28厘米×22厘米，再对比各存储柜的内部尺寸（长48厘米、深38厘米），只需要对比高。 【解答】（1）由图知：主柜体的长100厘米，宽50厘米，高200厘米，代入体积公式，得V＝100×50×200 ＝5000×200 ＝1000000（立方厘米） 因为1立方米＝1000000立方厘米，所以1000000立方厘米＝1立方米 答：这个组合快递柜的主柜体的体积是1立方米。 （2）小格口存储柜：高11厘米，22＞11，高度不够，无法放入。 中格口存储柜：高22厘米，刚好满足高度要求，且长、深也满足。 大格口存储柜：高35厘米，满足高度要求，且长、深也满足。 答：不会存入小格口存储柜，因为快递的高22厘米大于小格口存储柜的内部高11厘米，无法放入。（理由合理即可） 学科网（北京）股份有限公司 $