2025--2026学年北师大版八年级数学下册期末训练题

**基本信息** 北师大版初中数学下册期末模拟卷，以几何与代数知识为核心，通过《九章算术》古题、充电桩购买等现实情境，考查抽象能力、推理意识与模型观念，实现基础巩固与创新应用的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、分式概念、因式分解|结合图形变换（如平移面积计算）考查空间观念| |填空题|5/15|平行四边形性质、函数图像应用|融入反证法思想，强化逻辑推理| |解答题|8/75|分式方程、不等式组、几何证明、新定义（优美数）|以充电桩费用优化（建模）、平行四边形探究（推理）、“优美数”创新应用（抽象）为载体，体现数学思维与现实问题解决的结合|

2025-2026年北师大版数学下册期末模拟卷（五） （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A.等边三角形 B.平行四边形 C.正方形 D.等腰三角形 2.下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 3.多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 4.已知实数x,y满足,则以的值为两边长的等腰三角形的周长为（ ） A.20或16 B.20 C.16 D.以上答案都不对 5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6.若分式方程有增根，则k的值为（ ） A. B. C. D. 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于（ ） A. 2 B. 6 C. 7 D. 10 8.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列方程为(　　) A. B. C. D. 9. 如图，A，B，C，D为一个平行四边形的四个顶点，则点D的坐标不可能为( ) A. (3，0) B. (5，4) C. (－1，2) D. (6，4) 10．如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，AB＝AE＝BE＝，点F是AD上的动点，连接点E与BF的中点G. 则EG的最大值是(　　) A.3 B.2 C. D.1 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.用反证法证明命题“在一个三角形中不能有两个角是钝角”时，应先假设： 12. 已知□ABCD的周长为40，如果AB∶BC＝2∶3，那么AB＝___. 13.若是一元一次不等式，则m=   14.如图，函数y=2x+b与函数y=kx-3的图象交于点P，则不等式kx-3>2x+b的解集是 .  15.如图：是边长为 的等边三角形， 为的角平分线，点 边上，且 ,点 是线段 上的一个动点，连接 则 小值是 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16.解不等式组,并写出它的非负整数解. 17.解方程 18.如图，某校两个班的学生分别在两处参加植树活动，现要在道路 的交叉区域内设一个茶水供应点 使到两条道路的距离相等，且这个茶水供应点应建在何处?（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19.为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等. (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少? (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用? 20.已知，如图，在□ABCD中，延长 到点E,延长 CD 到点F,使得 连接EF，分别交 于点 连接 (1)求证 (2)求证：四边形AMCN是平行四边形. 21.已知关于的分式方程 (1)若解得方程有增根, 且增根为求 的值； (2)若该分式方程无解，求的值 五、解答题(三)：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22.若一个正整数能表示成 是正整数，且的形式, 则称这个数为“优美数”，与是的一个平方差分解. 例如：因为所以5是“优美数”与2是5的平方差分解； 再如： 也是“优美数 （其中 是正整数)，所以也是“优美数”，与是的一个平方差分解. （1）判断：48是否是“优美数”，如果是，请写出48的一个平方差分解：如果不是。说明理由， （2）已知是正整数 ，是常数，且要使是“优美数”，试求出符合条件的值，并说明理由. 23.【问题背景】如图所示，四边形是平行四边形，的平分线交于交的延长线于点 【初步探究】(1)求证 【深入探究】(2)若恰好平分连接求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】(3)若求的面积 参考答案 一、选择题(每小题3分，共30分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B C C B D D A 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.在一个三角形中有两个角是钝角 12.8 13.1 14. x<4 15. 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16.解：解不等式①得： 解不等式②得： ∴原不等式组的解集为 ∴原不等式组的非负整数解为0，1 17.解：去分母得： 解得 经检验是原分式方程的根 ∴原分式方程的解为 18.解：如图所示： 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19.解：（1）设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是（x+0.2）元，根据题意得：,解得x=0.6，经检验，x=0.6是原方程的解，且符合题意，∴x+0.2=0.8元 答：甲型充电桩的单价为0.8万元，乙型充电桩的单价为0.6万元。 (2)解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为（15-m）个，由题意得：15-m≤2m，解得m≥5, 设所需费用为w万元，由题意得：w=0.8m+0.6×(15-m)=0.2m+9 ∵0.2>0∴w随m的增大而增大，∴当m=5时，w取得最小值为0.2×5+9=10， 答：购买这批充电桩所需的最少总费用为10万元。 20. 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠BAD=∠BCD,AB//CD ∴∠BAD=∠ADF,∠EBC=∠BCD,∠E=∠F ∴∠ADF=∠EBC 在△DFN和△BEM中∴△DFN≌△BEM(ASA) （2） 四边形ANCM是平行四边形 由（1）知△DFN≌△BEM,∴DN=BM,∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC且AD=BC ∴AD-DN=BC-BM,∴AN=CM,AN//CM∴四边形ANCM是平行四边形 21.解：(1)去分母，得 整理, 得 将 代入 解得m=3 (2)方程无解，当 时, 解得m=； 将 代入 解得 当 时, 解得 ∴满足条件的 的值有 或-6 或-1. 五、解答题(三)：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22.解：（1）48是优美数 理由：∵ ∴48是“优差数”，13与11，8与4，7与1都是48的平方差分解 (2) ∴当k+16=0时，为优美数，此时 故当,N是优美数 23. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC,AB=CD ∴∠DAE=∠AEB ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE=∠DAE ∴∠BAE=∠AEB ∴BE=AB ∴BE=CD （2） 证明：由（1）知BE=AB ∵BF平分∠ABE ∴AF=EF 在△ADF和△ECF中， ∴△ADF≌△ECF(ASA) ∴DF=CF ∴四边形ACED是平行四边形。 （3） 由（1）知BE=AB，∵∠BEA=60° ∴△ABE是等边三角形 ∵BF⊥AE, ∴AF=EF=AE,同（2）可得△ADF≌△ECF 在Rt△ABF中，BF== ∴S□ABCD=S△ABE= 学科网（北京）股份有限公司 $