安徽省 2025-2026学年高二期末模拟考试卷（二）

**基本信息** 2025-2026学年安徽省高二期末模拟数学卷，以高考全部内容为范围，通过3D打印几何体、设备零件直径等真实情境设计，融合数学抽象、逻辑推理与数学建模，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|向量运算、中位数、集合运算、等差数列|基础概念与运算结合，如向量数量积考查抽象能力| |多项选择题|3/18|三角函数性质、导数应用、条件概率|多角度辨析，如导数极值点考查推理意识| |填空题|3/15|复数运算、抛物线与圆的切线|综合应用，如公切线问题考查几何直观| |解答题|5/77|立体几何、解三角形、概率统计（设备零件）、双曲线、函数导数|情境化与综合性强，如零件直径问题体现数据观念，函数导数综合考查创新意识|

2025-2026学年安徽省高二期末模拟考试卷（二） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知向量，，则 （     ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示 【详解】． 2．一组数据：12，15，11，18，15，20，这组数据的中位数是（    ） A．15 B．14.5 C．16 D．18 【答案】A 【知识点】计算几个数的中位数 【详解】先把数据从小到大排序：11，12，15，15，18，20， 由于数据共6个（偶数个），故中位数取中间两个数的平均数：． 3．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】求解集合，再由集合的并集求解即可. 【详解】因为，或，所以或. 4．已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】先利用等差数列通项公式与前项和公式列方程组求解首项和公差，再通过判断项的正负确定取最小值时的. 【详解】设等差数列的公差为，。 根据等差数列的通项公式及前项和公式得： 由，得，化简整理得 ①； 由，得，化简整理得 ②. 所以得，将代入①得， 故通项公式为， 所以等差数列的首项，公差的一个递增等差数列， 因此等差数列的前项和有最小值. 令，即，解得，又，因此. 所以当时，，；当时，，. 因此时取得最小值. 5．已知函数，若函数在区间上单调递增，且曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由函数在区间上的单调性求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】根据函数在区间上单调递增，以及函数导数的几何意义得出不等式在区间上恒成立，利用构造函数，结合函数导数与单调性、最值分析求解即可 【详解】由，则， 若函数在区间上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 由，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以若函数在区间上单调递增，则， 若曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2， 即在恒成立，等价于在恒成立， 也即在恒成立， 令，则， 因为，所以恒成立，即函数在上单调递增， 所以， 所以若曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2， 则，所以要满足题意则，即实数的取值范围是. 6．有一个3D打印的摆件可看成边长为6的正三角形挖去其内切圆，再以过该圆心与一顶点的直线为轴旋转一周，最后沿平行于底面且过圆心的平面截取，保留截面与底面间部分（如图所示），则该几何体的体积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算、球的体积的有关计算、求旋转体的体积 【分析】根据等边三角形的几何性质分析球的半径以及圆台的结构特征，结合体积公式运算求解即可. 【详解】如图，为的中点，，    则等边的内切圆O的半径，，， 可知圆台的上、下底面半径分别为，高为， 所以该几何体的体积为. 7．设O为坐标原点，动点A，B分别在圆和曲线上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、用定义求向量的数量积、由标准方程确定圆心和半径、数量积的运算律 【分析】设，则，根据题意得，再结合，，进一步转化为，再根据二次函数性质求解即可. 【详解】设，则．即， 则． 因为A在圆C上移动， 所以，当且仅当与反向时等号成立． 又． 则 ，当且仅当，时等号成立． 所以的取值范围为.    8．已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】分析可知为等边三角形，结合长度关系可得，，即可得椭圆方程. 【详解】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C．函数的一条对称轴为直线 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式 【详解】已知函数，最小正周期为，故A正确； 的图像向左平移个单位得： ，故B错误； 正弦函数对称轴满足， 代入得，满足对称轴条件，故C正确； 令，即， 区间包含递减区间和递增区间，故D错误． 10．设，则下列说法正确的是（     ） A．当时，在上单调递增 B．当时，曲线在处的切线方程为 C．当时，有唯一极小值点 D．若有两个零点，则 【答案】ACD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】求导，可得，即可判断A；利用导数的几何意义可求切线方程判断B；令，可得，构造函数，求导，可得在上有唯一解，设为，进而可得的单调性可判断C；利用极小值小于0，进而计算可求得判断D. 【详解】由，得， 对于A，当时，又，所以， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，，可得， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即，故B错误； 对于C，令，得， 又，所以，所以，所以， 令，求导得， 因为，所以，所以， 当时，方程在上有唯一解，设为， 当时，，即， 所以，所以在上单调递减， 当时，，即， 所以，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，且是唯一极小值，故C正确； 对于D，当时，在是单调递增，至多一个零点，故不符合题意； 当时，由C选项分析可得在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 所以要使在上有两个零点，则需极小值， 即，所以，所以， 所以，所以 令，函数在上单调递增，又， 所以，所以，故D正确. 11．有两枚外形完全相同的硬币，甲硬币正面朝上的概率为，乙硬币正面朝上的概率为，随机取出其中一枚硬币，连续抛掷3次，记正面朝上的次数为，事件，则下列说法正确的是（    ） A． B．在事件发生的条件下，取到乙硬币的概率为 C．在事件发生的条件下，三次均为正面的概率为 D．在事件发生后，若继续用同一枚硬币再抛一次，则正面朝上的概率为 【答案】ABC 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【详解】设抽到甲硬币为事件甲，设抽到乙硬币为事件乙， 抽到甲硬币且的概率：， 抽到甲硬币且的概率：， ， 抽到乙硬币且的概率：， 抽到乙硬币且的概率：， . 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确. 对于D，在事件发生后，取得甲硬币的概率：， 在事件发生后，取得乙硬币的概率：，在事件发生后，若继续用同一枚硬币再抛一次，则正面朝上的概率为，D错误. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．设复数，满足，且，则____________． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、复数的乘方 【分析】法一：设，，借助模长公式及复数加减运算法则计算即可得；法二：借助复数模长性质有，再利用模长公式计算即可得. 【详解】法一：设，，， 由，则， 则， 即，， 则，， 即， 故， 又， 则 . 法二：由复数模长性质可得， 则， 故. 13．如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，，则实数的值为__________. 【答案】18 【知识点】抛物线的焦半径公式、由直线与圆的位置关系求参数、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】作出公共切线，并过作射线轴，则由抛物线的光学性质可得，再利用抛物线定义计算可得点坐标，最后利用直线的斜率计算即可得. 【详解】如图，作出抛物线和圆在点处的公共切线，同时过作射线轴， 则有，由抛物线的光学性质，可得， ， 且， 又，代入得，解得. 14．已知等差数列的前项和为，，，数列满足，则最小时的值为________． 【答案】9 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】考查等差数列的性质以及数列求和的最值问题，解题的关键在于根据条件得出，，分析出，，即可求解. 【详解】，因为，数列为等差数列，故，，则公差， 当时，，当时，， 分析数列：，，，， ，，，，，， ，则， 当时，此时，则显然，故取最小值时. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．如图，三棱锥中，，，，为的中点． (1)证明：； (2)点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面角的向量求法、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）通过证明和均为等腰三角形，利用三线合一性质得到和，进而证明平面，最后利用线面垂直的性质得证； （2）根据（1）中的垂直关系及勾股定理逆定理证明，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值。 【详解】（1）因为， 所以为等边三角形，则. 同理，因为， 所以为等边三角形，则，所以. 因为为的中点，所以. 又因为,为的中点，所以. 因为平面， 所以平面, 因为平面， 所以. （2）不妨设由（1）可知. 在中，，， 所以. 因为为的中点，所以，. 在中，， 所以 在中，， 所以. 由（1）知平面，且平面， 所以， 故两两垂直. 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系 则 所以,. 因为， 所以 所以. 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为 16．在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． (1)求的面积； (2)若为的中线，且，判断的形状． 【答案】(1)1 (2)为等腰直角三角形， 【知识点】余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由余弦定理和正弦定理得，，由三角形面积公式可得答案； （2）由（1）和面积公式得，由余弦定理得，从而求出，得到的形状. 【详解】（1）， 其中，所以，， 解得， ，由正弦定理得， 又，所以， 所以； （2）为的中线，，故， ，故， ，故，所以， 在中，由余弦定理得， 即，化简得， 联立与得或， 若，此时， 为等腰直角三角形； 若，此时， 为等腰直角三角形； 综上，为等腰直角三角形 17．我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望： (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001） 参考数据：若，则，． 【答案】(1)②①③ (2)的分布为： 期望 (3) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、指定区间的概率、相关系数的意义及辨析、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用相关系数绝对值越大相关性越强的性质排序； （2）先确定的所有可能取值，计算对应概率得到分布，再代入期望公式求解； （3）先由正态分布的原则求单个零件直径小于的概率，再结合二项分布概率公式计算所求概率. 【详解】（1）由， 故按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序为②①③； （2）由题意，个零件中直径大于的有个，不大于的有个， 随机抽取个，的可能取值为，，， ，，， 故的分布为： ； （3）由，， 故， 记个零件中直径小于的个数为，各零件检验独立，故， 则 . 18．已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的定值问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据离心率公式、已知条件及的关系求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理及三角形的形公式可得，，从而可得，由，可得，即，解此不等式组，即可得答案； （3）设存在满足条件的点，其坐标为，由中点坐标公式得，从而得，由，求解即可. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为， 所以，， 所以， 又因为点在双曲线上， 所以，解得，所以， 所以求双曲线的方程为； （2）由题意可得， 所以直线的方程为， 由，得， ， 设， 则， 由此可得， 因为， 所以， 令，则， 所以， 消去，得， 因为，所以，， 所以， 即，解得， 即的取值范围为； （3）因为， 即， 所以， 又因为为线段的中点，所以， 设存在满足条件的点，其坐标为， 则， 所以， 要使此值为定值，则，解得， 所以存在，使得恒为定值4. 19．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程 (2)当时，证明： (3)若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，，都有 恒成立，求符合条件的整数的最大值． 【答案】(1) (2)由题意得，函数的定义域为， ． 求导得， 当时，因为，所以， 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值），． 因为，所以 ，即． 当时，令， 则，令得． 在递减，在递增， 最小值． 因为，所以，， 故（当且仅当且时等号成立）． 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值） ． 综上，当时，． (3)2 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导计算切线斜率，进而求得切线方程；（2）求导并化简导函数，分析函数的符号，确定函数单调性，求得；（3）建立方程关系，变量代换，构造函数求最值. 【详解】（1）当时，． ， 在点处，切线斜率， 由点斜式方程得切线方程为，即． （2）由题意得，函数的定义域为，． 求导得， 当时，因为，所以，: 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值），． 因为，所以 ，即． 当时，令， 则，令得． 在递减，在递增， 最小值． 因为，所以，， 故（当且仅当且时等号成立）． 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值） ． 综上，当时，． （3）不符合题意； 当时，在递减，在递增， ，，，，， 有两个零点， ，故， 则，，，单调递减， ，，，单调递增， ，，，单调递减， ，，，单调递增， 此时的极小值点为，且，． 两边取对数得，，， 令，则， 代入解得，， 于是， 设，求导得， 令， ， ，，单调递增， ，，单调递减， ，，， 所以在内存在唯一零点， 使得在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值． ， ，， 故整数的最大值为2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年安徽省高二期末模拟考试卷（二） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知向量，，则 （     ） A． B．0 C．1 D．5 2．一组数据：12，15，11，18，15，20，这组数据的中位数是（    ） A．15 B．14.5 C．16 D．18 3．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若函数在区间上单调递增，且曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．有一个3D打印的摆件可看成边长为6的正三角形挖去其内切圆，再以过该圆心与一顶点的直线为轴旋转一周，最后沿平行于底面且过圆心的平面截取，保留截面与底面间部分（如图所示），则该几何体的体积为（     ）    A． B． C． D． 7．设O为坐标原点，动点A，B分别在圆和曲线上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C．函数的一条对称轴为直线 D．函数在上单调递减 10．设，则下列说法正确的是（     ） A．当时，在上单调递增 B．当时，曲线在处的切线方程为 C．当时，有唯一极小值点 D．若有两个零点，则 11．有两枚外形完全相同的硬币，甲硬币正面朝上的概率为，乙硬币正面朝上的概率为，随机取出其中一枚硬币，连续抛掷3次，记正面朝上的次数为，事件，则下列说法正确的是（    ） A． B．在事件发生的条件下，取到乙硬币的概率为 C．在事件发生的条件下，三次均为正面的概率为 D．在事件发生后，若继续用同一枚硬币再抛一次，则正面朝上的概率为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．设复数，满足，且，则____________． 13．如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，，则实数的值为__________. 14．已知等差数列的前项和为，，，数列满足，则最小时的值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．如图，三棱锥中，，，，为的中点． (1)证明：； (2)点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 16．在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． (1)求的面积； (2)若为的中线，且，判断的形状． 17．我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望： (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001） 参考数据：若，则，． 18．已知双曲线的离心率为，左焦点为，右焦点为，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为（）的直线与双曲线交于两点，记与的面积分别为与，求的取值范围； (3)设为线段的中点，在轴上是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 19．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程 (2)当时，证明： (3)若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，，都有 恒成立，求符合条件的整数的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $