安徽省2025-2026学年高二下学期数学期末自编模拟考试卷（五）

**基本信息** 覆盖高考全部内容，题型结构与高考一致，通过统计案例、立体几何等综合题考查数学眼光、思维与语言，适配高二期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、复数、统计等基础|注重概念辨析与基础应用| |多项选择|3/18|圆的动点、空间几何等|考查几何直观与推理严谨性| |填空|3/15|排列组合、双曲线等|强调知识综合与空间想象| |解答|5/77|统计案例（第15题）、立体几何（第16题）、函数导数（第19题）等|突出数据意识、空间观念与逻辑推理，贴合高考命题趋势|

2025-2026学年安徽省高二期末模拟考试卷（五） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算 【分析】求解确定，再由交集运算即可求解； 【详解】， 所以， 故选：C 2．已知复数满足，则（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】设，，由条件结合复数相等的性质列方程求，再求即可. 【详解】设，，则 得到，所以， 故，故，， 所以，，所以，故. 3．已知样本数据7，8，9，10，a的平均数为8，则该样本的中位数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】根据平均数求参数、计算几个数的中位数 【分析】根据样本数据的平均数得出，再用中位数的定义计算求解. 【详解】样本数据7，8，9，10，a的平均数为8， 则，所以， 则样本数据从小到大排列， 则该样本的中位数为. 4．已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【知识点】抛物线的焦半径公式、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据抛物线的定义，结合三点共线即可求解. 【详解】设抛物线的焦点为，设 由抛物线定义知，， 因，则, 由图知，， 解得，即当过点时，的最小值为. 5．符号表示不超过实数的最大整数，如，. 已知数列满足，，. 若，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和、写出等比数列的通项公式 【分析】由已知条件可得数列是首项为，公比为的等比数列，数列为常数列，进而可求出数列的通项公式，从而求出的通项公式，最后再利用裂项相消求和，结合符号的定义，即可求出. 【详解】因为，则，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则①， 又由可得，且， 所以数列为常数列，则②， 由①②可得，因为， ，则， 所以，所以， 则， 所以， 化简可得， 因此. 6．梯形满足为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】由题意，以为原点，分别为轴正方向建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】   如图所示，由题意，以为原点，分别为轴正方向建立直角坐标系，设， 则有，，，，由于为的中点，所以， 得，， 所以，故B正确. 7．已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】利用同角的正余弦函数的平方关系求解，再由两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为，，所以，所以. 8．若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据条件结合赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出的值，即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以. 由，令，得，故， 由，令，得， 所以，即， 所以，故以4为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 . 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ） A． B．存在点 使 C． 构成的三角形面积最大值为 D．若 恒成立，则 的取值范围为 【答案】AD 【知识点】正弦定理解三角形、求二次函数的值域或最值、定点到圆上点的最值（范围）、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求出圆 的圆心和半径，由圆上的点到定点距离的最小值等于圆心到定点的距离减去圆半径，求得，结合两点间距离公式及二次函数的最值，判断A；根据正弦定理及正弦函数的最值求得的范围，从而得到的范围判断B；分析 构成的三角形面积最大值情况，判断C；由 恒成立，得，得关于的不等式，求解可得 的取值范围，判断D. 【详解】圆 的圆心为，半径为，又， 对于A，因 为圆 上的动点，则. 而， 当且仅当时，等号成立，所以，所以A正确； 对于B，由，得点在圆外. 当三点共线时，； 当三点不共线时，由正弦定理得，， 所以. 因为，所以. 又，所以. 综上所述，，所以B错误； 对于C，设点到直线的距离为，则的面积. 因为点在圆上，所以的最大值等于半径为，所以. 当或时，. 所以 构成的三角形面积无最大值，所以C错误； 对于D，若 恒成立，则恒成立， 即恒成立，化简得， 解得或，所以D正确. 10．在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（     ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 【答案】BC 【知识点】证明线面垂直、求二面角 【分析】做出满足条件的图，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，由条件可得，解三角形可得，由此判断B，当点与点的距离无限大时，可得趋向于，排除A，先证明平面，结合，证明 重合，由此证明平面，由平面推出点与点重合，点与点重合，判断D. 【详解】不失一般性作图如下， 过点作，为垂足，过点作，为垂足， 过点作，，连接， 则，因为二面角为， 所以，由已知， 所以，所以， 故，，B正确； 当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近， 此时趋向于，A错误； 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 若，不重合，结合，平面， 可得平面，平面， 所以，矛盾，所以重合， 因为，，，平面， 所以平面， 故平面，C正确； 因为平面，若平面， 则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合， 故与的夹角为，D错误， 11．已知，，则下列结论正确的是（     ） A．若在处取得极值，则 B．当时，函数的最小值为2 C．当时，函数有2个零点 D．若对任意，有恒成立，则的取值范围是 【答案】AB 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值，即可得判断AB；对于C：分析可得，结合单调性可得，即可判断C；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为，则， 若，则，可知在定义域内单调递增，无极值； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，且的最小值为. 对于选项A：若在处取得极值，则且， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，函数的最小值为，故B正确； 对于选项C：当时，则在内单调递减，在内单调递增， 可得， 因为在内单调递减，则， 可得，函数无零点，故C错误； 对于选项D：若对任意，有恒成立， 则，解得， 可知的取值范围不可能是，故D错误. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知6个球，其中3个白球，红、黄、黑球各1个，除了颜色外，球的形状大小材质等都一样.现将这6个球排成一排，则任意2个白球不排在一起的排法总数是_________ 【答案】24 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题 【分析】先排无限制的不同球，再利用插空法排白球，最后由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】红、黄、黑三个球颜色不同，全排列的排法为： ； 3个排好的球共产生 个空隙（包括两端），要保证任意2个白球不相邻， 需要从4个空隙中选3个各放入1个白球，由于3个白球颜色相同，无顺序区别， 因此选空隙的组合数为： ； 根据分步乘法计数原理，总排法为： . 13．已知双曲线：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设,利用斜率公式由，推得，由得到，由，求得，由三角形的面积公式列出方程，求解即得的值. 【详解】，可得，， 设,则，解得， 因，则， 由，可得， 又因， 可得， 即， 即，即， 依题意，， 代入，得到， 解得，又，故. 14．已知实数，，…，，满足，且（，3，4，…，10），则当时，的最大值为__________． 【答案】13 【知识点】数列新定义、求等差数列前n项和 【分析】设连续段长度为，先把该连续段的和记为，再利用相邻两项差的限制，估计该连续段左右两侧各项的最小可能值，从而得到的上界．最后构造等号成立的数列，说明最大值可以取到． 【详解】设某一连续段为其项数为因为，所以． 记 若，则把所有同时变为，条件和均不变， 而该连续段的和变为． 因此只需讨论的情况． 设该连续段左边有项，右边有项，则 由相邻两项差的绝对值不超过，对于连续段内的项，有 所以从而 同理，从右端向左估计，也有 对左边项，由相邻项差的限制可得，因此左边项的和不小于 对右边项，同理可得右边项的和不小于 所以整个数列的和满足 又因为，所以． 于是 由于，且在固定时，的最大值出现在一边为， 另一边为时，所以 因此 整理得即 当时， 上式右端分别为 所以任意连续段和的绝对值都不超过． 下面说明可以取到． 取 则且 同时 故所求最大值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了人，得到如下列联表： 正常 不正常 合计 患该疾病 未患该疾病 合计 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值； (2)根据所选择的个人的数据，能否有的把握认为超声波检查结果与是否患该疾病有关？ 附： ， 【答案】(1) (2)有的把握认为超声波检查结果与是否患该疾病有关． 【知识点】独立性检验解决实际问题、计算古典概型问题的概率、卡方的计算 【分析】（1）根据古典概型计算求解即可， （2）设出零假设，计算出卡方，与临界值比较即可判断. 【详解】（1）由题可知，超声波检查结果不正常者有人，这人中患该疾病的有人， 则，所以的估计值为． （2）假设：超声波检查结果与是否患该疾病无关， 根据列联表中的数据，则， 因为当成立时，，而， 所以我们有的把握认为超声波检查结果与是否患该疾病有关． 16．已知四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值； (3)若存在一点，且，求与平面夹角的余弦取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（1）根据线段长度结合余弦定理确定形状，借助线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用面面夹角的向量公式和同角三角函数的基本关系计算即可. （3）利用线面角的向量求法结合同角三角函数的基本关系得到，再构造函数并结合导数得到取值范围即可. 【详解】（1）由题意可知为等边三角形，， 由余弦定理可知， 即为等腰三角形，取中点E，连接， 易知三点共线， 即，又平面， 而平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以，设平面与平面的夹角为， 设平面的一个法向量为，即， 令，解得， 易知平面的一个法向量为，所以， 由同角三角函数的基本关系得， 则平面与平面夹角的正弦值为. （3）由题意得， 则，，设平面的一个法向量为， 即，令，解得， 而存在一点，设，且， 设，则，则， 解得，可得， 则，设与平面夹角为， 可得， 由同角三角函数的基本关系得， 令，则， 而，此时，可得在上单调递减， 而，，则，故. 17．在中，点在边上，且为的平分线．已知，，． (1)求； (2)求的面积和． 【答案】(1)； (2)， 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由三角形面积公式列方程求解； （2）由三角形面积公式求解即可；由余弦定理求即可. 【详解】（1）设，．则， 又， 由余弦定理，． 记，则， 因为为的平分线， 所以， 所以，又， 故，因此． （2）三角形面积：； 由（1）可知：． 18．已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． (1)求的方程； (2)过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）利用顶点坐标及离心率计算即可得； （2）设出直线，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合题目所给条件计算可得点、点坐标，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出与，结合题目所给条件与韦达定理计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，则，即，故的方程为； （2）由题意可得，设、， 由关于直线对称的点为，则， 联立，消去得：， 由，故在椭圆内部，故恒成立，有、， 则， ， ，联立， 则，即， 整理得，即， 点到直线的距离，点到直线的距离， 又，则，， 故 ， 即有，若，则，无解，不符； 则，有，解得； 故. 19．已知函数的图象在点处的切线方程为 . (1)用表示出； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)证明： 【答案】(1)， (2) (3)先证左边：由（2）知：当时，在上恒成立， 那么当时，，， 则， 则在上恒成立， 又，中的等号在处取得， 则在上恒成立， 令 依次取，，，…，可得： ，，，…，， ， ， ， .左边得证. 再证右边： 方法一：令，因为， 所以 在上是单调递减函数，在上是单调递增函数， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以右边得证. 方法二：先证明不等式， 证明如下：设， ， 当时，，则在上是单调递增函数， 又， 则当时，，即； 设， 而， 当时， ，则在上是单调递增函数， 又， 则当时，，即； 综上可得，. 设，则， 即，又，则，下同方法一. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而得到关于的等式，利用得到 关于的等式. （2）构造函数，分别按照和讨论求解，利用导数求出单调性，从而得到的取值范围. （3）先证左边：由（2）得到当时，在上恒成立，那么当时，在上恒成立；将 依次取，，，…，代入，得到不等式组，将这些不等式组相加计算得到，左边得证.再证右边：方法一：构造函数，利用导数法求出 的单调性，利用单调性得到，从而得到 ，即可得到，通过求和得到，所以右边得证.方法二：利用飘带不等式，，对左边赋值得到，下同方法一进行证明即可. 【详解】（1），， 的图象在点处的切线方程为 ， ，； 又，. （2）由（1）得， 令， 则在上恒成立； ， 令，解得：，； 当，即时，在上恒成立， 在上单调递增，，满足题意； 当，即时， 若，则 ，则在上单调递减， 此时，不合题意；综上所述：的取值范围为. （3）略. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年安徽省高二期末模拟考试卷（五） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（    ） A．2 B． C． D．5 3．已知样本数据7，8，9，10，a的平均数为8，则该样本的中位数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 5．符号表示不超过实数的最大整数，如，. 已知数列满足，，. 若，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 6．梯形满足为的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 8．若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ） A． B．存在点 使 C． 构成的三角形面积最大值为 D．若 恒成立，则 的取值范围为 10．在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（     ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 11．已知，，则下列结论正确的是（     ） A．若在处取得极值，则 B．当时，函数的最小值为2 C．当时，函数有2个零点 D．若对任意，有恒成立，则的取值范围是 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知6个球，其中3个白球，红、黄、黑球各1个，除了颜色外，球的形状大小材质等都一样.现将这6个球排成一排，则任意2个白球不排在一起的排法总数是_________ 13．已知双曲线：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 14．已知实数，，…，，满足，且（，3，4，…，10），则当时，的最大值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了人，得到如下列联表： 正常 不正常 合计 患该疾病 未患该疾病 合计 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值； (2)根据所选择的个人的数据，能否有的把握认为超声波检查结果与是否患该疾病有关？ 附： ， 16．已知四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值； (3)若存在一点，且，求与平面夹角的余弦取值范围. 17．在中，点在边上，且为的平分线．已知，，． (1)求； (2)求的面积和． 18．已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． (1)求的方程； (2)过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 19．已知函数的图象在点处的切线方程为 . (1)用表示出； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)证明： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $