安徽省2025-2026学年高二下学期期末模拟考试数学卷（一）

**基本信息** 2025-2026学年安徽高二期末数学模拟卷，覆盖高考全部内容，以复数、函数、概率统计等模块为载体，通过垄断边际成本、博物馆巡逻路线等真实情境设计问题，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|复数、函数、集合、概率|第5题结合垄断边际要素成本考查导数应用，体现数学与经济联系| |多项选择题|3/18|立体几何、圆与方程、函数极值|第11题通过参数讨论函数极值点，考查逻辑推理能力| |填空题|3/15|圆柱外接球、抛物线、数列|第14题以数列为载体考查连续等比项存在性，培养创新意识| |解答题|5/77|统计概率、立体几何、解三角形、解析几何、导数|15题结合商场调查考独立性检验与期望，体现数据意识；19题导数零点与极值点综合，考查数学思维严谨性|

2025-2026学年安徽高二期末模拟考试卷（一） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．复数在复平面对应点为，则复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．在垄断条件下，常需要考虑边际要素成本，记边际要素成本为，成本为，当要素供给函数为线性函数（且，均为常数）时，可得，这里记为供给公差．当时，供给公差为（     ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．某博物馆有A，B，C，D四个不同的展厅，安保机器人每天需巡逻6次（某展厅可能未巡逻），每次只访问一个展厅，若要求机器人不能连续两次访问同一个展厅，且每天A展厅恰好被访问2次，则满足条件的巡逻路线共有（     ） A．270条 B．360条 C．402条 D．480条 8．已知椭圆的左、右焦点为，，是椭圆上的动点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则（    ） A．1 B． C．2 D．3 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 10．已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则(   ) A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，，则 11．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．若，则函数无极值点 B．若 ，则函数恰有1个极值点 C．若 ，则曲线存在1条斜率最小的切线 D．若，则曲线恰有2条斜率为0的切线 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________. 13．抛物线（），过焦点的所有弦中，最短弦长为2，过作倾斜角的直线交圆：于、两点，则弦长____________________． 14．设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表． 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这位男性顾客中随机挑选位，求其中至少有位购买手机的概率（精确到）； (3)为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望． 参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面，且，，. (1)证明：平面平面. (2)若二面角的余弦值为，求棱AB的长. 17．已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 18．已知曲线的标准方程为，直线过点，，，直线倾斜角为 ，，设直线与交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，其中、在第一象限，在第四象限，是双曲线的右焦点. (1)求点的坐标和渐近线方程； (2)以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切，同时又与直线相切于点，求直线的方程； (3)对任意一条直线，双曲线上是否存在点，使得与均以为顶点的等腰三角形，请说明理由. 19．已知函数 (1)求的值． (2)讨论的单调性． (3)若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年安徽高二期末模拟考试卷（一） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．复数在复平面对应点为，则复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】求出复数，代入计算即可. 【详解】由在复平面对应点为，可得， 则，所以虚部为. 2．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 3．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线的坐标运算求解. 【详解】因为，，所以，解得. 4．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】根据集合的并集和补集运算，即可求解. 【详解】由题意，， 又集合，，所以， 所以. 5．在垄断条件下，常需要考虑边际要素成本，记边际要素成本为，成本为，当要素供给函数为线性函数（且，均为常数）时，可得，这里记为供给公差．当时，供给公差为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列的简单应用 【分析】由，利用分组求和法和等差数列求和公式求得，由此可求. 【详解】因为， 所以， 化简可得， 又， 所以， 即， 所以当时，供给公差为. 6．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式 【详解】， . . . 7．某博物馆有A，B，C，D四个不同的展厅，安保机器人每天需巡逻6次（某展厅可能未巡逻），每次只访问一个展厅，若要求机器人不能连续两次访问同一个展厅，且每天A展厅恰好被访问2次，则满足条件的巡逻路线共有（     ） A．270条 B．360条 C．402条 D．480条 【答案】C 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】分步计算，满足条件的巡逻路线数，先确定A展厅的访问位置，再计算剩余位置，填充B，C，D的排列数需相邻不同即可求解. 【详解】选A的位置，6次巡逻中选2个不相邻位置放A，共10种位置组合，分位置组合计算剩余展厅排列， 根据A的位置将剩余4个位置分段，每段内B，C，D排列需相邻不同， A在位置1与位置3：；A在位置1与位置4：； A在位置1与位置5：；A在位置1与位置6：； A在位置2与位置4：；A在位置2与位置5：； A在位置2与位置6：； A在位置3与位置5：；A在位置3与位置6：； A在位置4与位置6：； 总共有. 8．已知椭圆的左、右焦点为，，是椭圆上的动点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据几何关系，以及椭圆的定义，转化向量的数量积，即可求解. 【详解】， 其中，， ， 所以. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 【答案】BC 【知识点】切线长、直线过定点问题、相交圆的公共弦方程、圆的弦长与中点弦 【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D. 【详解】对于A选项，联立两式相减，得到即为直线的方程， 故A错误； 对于B选项，联立，可得联立或， 则，故B正确； 对于C选项，设，，因为，为圆的切点， 所以直线的方程为， 直线的方程为，设，则， 所以直线的方程为， 又因为，所以， 由，得到， 即直线过定点，故C正确； 对于D选项，因为，所以当最小时，最小， 且的最小值为，此时，故D错误. 10．已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则(   ) A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，，则 【答案】BD 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】举特例可判断A；根据面面垂直的判定定理可判断B；根据线面垂直的判定定理可判断C；根据面面平行的性质可判断D. 【详解】选项A，当直线同时平行于平面与时，与可能相交， 例如：当直线平行于两平面的交线时，满足条件，但此次不能得出，故A错误； 选项B，由、，根据线面垂直的性质得； 又，根据面面垂直的判定定理，可得，故B正确； 选项C，线面垂直需直线垂直于平面内两条相交直线， 但题中未明确直线相交，所以不能推出，故C错误. 选项D，由且，得直线是平面与的交线； 由且，得直线是平面与的交线. 已知，根据面面平行的性质定理：两平行平面被第三个平面所截，所得交线互相平行， 故，故D正确. 11．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．若，则函数无极值点 B．若 ，则函数恰有1个极值点 C．若 ，则曲线存在1条斜率最小的切线 D．若，则曲线恰有2条斜率为0的切线 【答案】ABD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、导数的运算法则 【分析】先求的导函数，分别构造、，求对应导函数，根据的条件分析导函数零点个数，判断极值点情况求解A，B，得到切线斜率为，将问题转化为求的最小值，根据的条件分析取最小值时自变量的个数，判断切线条数求解C，将方程转化为二次方程，根据的条件分析二次方程实根个数，判断切线条数求解D即可. 【详解】首先对原函数求导得 ， 对于A，令 ， 求导得 ， 因为 ，所以 ，， 且 与 同号，即 ， 因此 恒成立， 单调递增，无极值点，故A正确， 对于B，令 ，求导得 ， 令 ，， 而 则是奇函数，且时 ，，当时， ， 仅 时， ，即 仅有一个零点， 且在 处左负右正，恰有1个极值点，故B正确， 对于C，由切线斜率的性质得 ， 则 ，判别式为， 当 时 ，，故 恒成立，单调递增， 且 时， ，取不到最小值，不存在斜率最小的切线， 但当 时， ， 此时单调递增，无最小值，得到 下斜率最小的切线并非总是存在，故C错误， 对于D，若斜率为0，即 ，而 ，等价于， 判别式为，当 时， ，方程有两个不相等实根， 即恰有2条斜率为0的切线，故D正确. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于________. 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】先确定圆柱外接球的球心位置，求出外接球半径，再代入球的表面积公式计算结果 【详解】圆柱的外接球的球心为圆柱上下底面圆心连线的中点，设外接球的半径为，已知圆柱底面半径，高， 球心到下底面圆周上任意一点的距离即为外接球半径，由勾股定理可得： ， 根据球的表面积公式，代入得： ，即该圆柱的外接球的表面积为 13．抛物线（），过焦点的所有弦中，最短弦长为2，过作倾斜角的直线交圆：于、两点，则弦长____________________． 【答案】 【知识点】圆的弦长与中点弦、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】先根据通径最短的已知条件求出，再求出直线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后根据弦长公式求出弦长. 【详解】解：由通径是抛物线中最短的弦，则，所以，焦点为， 因此，圆的方程为，圆心，半径.    因为倾斜角为，则斜率， 所以过焦点的直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以弦长. 14．设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】由前项和公式推出每连续三项的和. 将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得的上界，即可取得最大值. 【详解】令，由题意得， 因此每个三项块的和为. 设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正， 下面按除以3的余数讨论. 若，这9项正好包含三个完整三项块， 得，，， 于是且，矛盾，故这种起点不存在. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 综上，所以，即的最大值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表． 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这位男性顾客中随机挑选位，求其中至少有位购买手机的概率（精确到）； (3)为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望． 参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 【答案】(1)有的把握认为购买手机与顾客的性别有关，理由见解析 (2) (3) 【知识点】独立性检验解决实际问题、求离散型随机变量的均值、卡方的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据题设中的数据计算，结合临界值表可判断的把握认为购买手机与顾客的性别有关； （2）利用对立事件可求至少有位购买手机的概率； （3）先求出的分布列，再根据期望公式可求，或者利用独立事件的期望公式求出. 【详解】（1）作原假设：购买手机与顾客的性别无关，取， 根据题意，代入数据，得 ， 因为，所以否定原假设，即有的把握认为购买手机与顾客的性别有关． （2）由题意得. （3）解法一：由题意得，随机变量的可能取值为 ， 而，， ，， ，， 故的分布列为 期望． 解法二：设第次抽中奖金为（），则， 由题设可得（）的分布列为 从而，而，相互独立， 故． 16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面，且，，. (1)证明：平面平面. (2)若二面角的余弦值为，求棱AB的长. 【答案】(1)证明：∵平面，平面，∴； ∵，，，∴，∴； ∵平面，，∴平面， ∵，∴ 平面， ∵平面，∴平面平面. (2)1 【知识点】证明面面垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再利用勾股定理可得，从而得到平面，最后结合面面垂直的判定定理得证； （2）以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，再利用二面角的向量求法可构造方程求得的值. 【详解】（1）略； （2）由（1）知：平面，，则AB，AD，AP两两互相垂直， 以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ∴，，， 设平面的法向量， 则，故可取； 设平面的法向量， 则，故可取； ∴，解得：（舍）或， ∴棱AB的长为1. 17．已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、向量在几何中的其他应用 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 18．已知曲线的标准方程为，直线过点，，，直线倾斜角为 ，，设直线与交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，其中、在第一象限，在第四象限，是双曲线的右焦点. (1)求点的坐标和渐近线方程； (2)以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切，同时又与直线相切于点，求直线的方程； (3)对任意一条直线，双曲线上是否存在点，使得与均以为顶点的等腰三角形，请说明理由. 【答案】(1)，渐近线方程为：； (2)直线的方程为； (3)存在两个不同的点，使得与均以为顶点的等腰三角形，理由如下： 假设存在满足题意的点， 则有, 所以的中点重合，且的中垂线重合， 当时， 设直线的方程为，， 由，可得， 设, 则, , 所以中点为； 由，得，即； 由，得，即； 所以中点为； 由此可得的中点重合， 所以直线两直线的中垂线方程为：， 即， 由，得， 则， 所以原方程始终有两个不同实数根， 即直线与双曲线始终有两个不同交点， 所以此时存在两个不同的点，满足题意； 当时，直线的方程为， 此时当为双曲线的左、右顶点时，满足题意； 综上，存在两个满足题意的点.    【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中存在定点满足某条件问题、求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】（1）将双曲线化成标准形式，求出,即可得答案； （2）由题意可求得此圆的方程为，，分和两种情况分别求解即可； （3）假设存在满足题意的点，则可得的中点重合，两直线的中垂线也重合，当时，求通过联立直线与双曲方程，求出中点，中垂直线方程，与双曲线方程联立，通过判别式的正负即可得结论；当时，为双曲线的左、右顶点时，满足题意，从而即可得结论. 【详解】（1）将双曲线化成标准形式为：， 所以， 所以， 所以； 渐近线方程为：； （2）因此，渐近线方程为：， 设以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切的圆的半径为， 点到直线的距离为， 则， 所以此圆的方程为， 又因为此圆与直线切于点， 所以，又因为， 解得， 所以， 因为直线倾斜角为 ，且， 当时，直线的斜率存在，且， 设直线的方程为， 即， 所以， 即，无解； 当时，直线的方程为； 综上，直线的方程为；    （3）略. 19．已知函数 (1)求的值． (2)讨论的单调性． (3)若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：． 【答案】(1)0 (2)时，在单调递增；时，在上单调递减，在，上单调递增. (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）根据解析式直接计算得解； （2）求出函数导数，分类讨论求单调性即可； （3）利用极值点的概念转化为证明，再由函数的零点的定义得出，转化为证明，构造函数证明即可. 【详解】（1）. （2）定义域为，． 令， 1°时,，即，则在单调递增； 2°时，当，即时，，在单调递增； 当，即时，由可解得， 所以或时， 在，上单调递增， 时，，在上单调递减． 综上，时，在单调递增； 时，在上单调递减， 在，上单调递增. （3）由（2）知若存在两个极值点，则，且和为的两根， 不妨令，，，且． 在上单调递增，上单调递减，上单调递增，且， 在上存在零点，上存在零点，上存在零点， 则有， 要证， 只要证， ，，， 又， 也是的零点，即， 下证 ，． 只要证， 只要证：， 令，， 在上单调递增，． 即，得证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $