安徽省2025-2026学年高二下学期数学期末自编模拟考试卷（四）

**基本信息** 2025-2026学年安徽省高二期末数学模拟卷，以高考全部内容为范围，通过8单3多3填5解答的题型结构，综合考查向量、统计、立体几何等知识，注重数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|向量夹角、集合运算、双曲线渐近线等|基础巩固，覆盖高频考点| |多项选择题|3/18|回归分析、复数性质、正方体截面|能力区分，考查概念辨析| |填空题|3/15|数列前n项和、椭圆离心率、新定义函数|创新应用，结合新情境| |解答题|5/77|统计案例（相关系数）、立体几何（体积）、抛物线光学性质、函数导数综合|综合探究，对接高考命题趋势，体现数据意识与逻辑推理|

2025-2026学年安徽省高二期末模拟考试卷（四） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知非零向量，满足，，与的夹角为120°，则（   ） A． B． C．7 D．10 2．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 5．已知数列为等差数列，为等比数列，，则（     ） A． B． C． D． 6．某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．96种 D．120种 7．若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法中正确的是（ ） A．在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好 B．若随机变量满足，则 C．若随机变量，则 D．若事件满足，则 10．已知复数，且.设，则下列说法正确的是（    ） A．的实部为0 B． C．若，则有且仅有两个可能值 D．的实部为 11．已知正方体的棱长为6， ， ， 分别为 ， ，的中点， 为正方形内一点（包含边界）．下列说法正确的是（     ） A．经过 ， ， 三点的截面形状为四边形 B．点到经过 ， ， 三点的截面的距离为 C．存在点 ，使得点和点 到平面的距离相等 D．三棱柱 外接球的表面积为 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知数列的前项和为，是首项为1，公差为的等差数列，则________. 13．设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 14．对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．对于变量和变量，设获得的成对数据为，其中.在某实验过程中，随机抽样获得了如下成对样本数据： 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 40 47 56 61 66 72 74 78 83 86 表1 对表1中数据作变换 得到了如下表2： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 -30 -23 -14 -9 -4 2 4 8 13 16 -37 150 92 42 18 4 0 4 16 39 64 429 表2 设样本相关系数为，当 时，表明两个变量的线性相关程度较强，当时，表明两个变量的线性相关程度很强. 参考公式：；，. 参考数据：，. (1)证明： (2)分别求表1中的两个变量､表2中的两个变量的样本相关系数，并推断相关关系的类型（即正相关或负相关）和相关程度； (3)设关于的经验回归方程为，反之，关于的经验回归方程为. （i）由表1的实验数据，求经验回归方程和，并判断与在直角坐标系中的位置关系（计算结果精确到0.01）； （ii）对于实验中经过随机抽样获得的对数据 ，得到经验回归方程和，在线性相关程度较强的条件下，判断与对应的两条直线是否相交？若相交，请求出交点坐标，若不相交，请说明理由. 16．如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. (1)证明：； (2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 17．已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 18．抛物线因其特殊的光学以及声学性质而广泛地应用于生活中．现已知光在曲线上的反射原理如下：找到入射光线与曲线的交点，在交点处作曲线的切线及垂直于该切线的直线（法线），从而作出反射光（反射光线与入射光线分居法线两侧，与法线夹角大小一样）．设抛物线的准线为：，过抛物线外一点P作抛物线C的两条切线PA，PB，与抛物线C分别相切于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)证明：从抛物线C的焦点F发出的光线经抛物线上一点M（不同于顶点）反射后平行于抛物线C的对称轴； (3)证明：． 19．已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)设，曲线在点处的切线方程为，证明：当时，； (3)若时，，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年安徽省高二期末模拟考试卷（四） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知非零向量，满足，，与的夹角为120°，则（   ） A． B． C．7 D．10 【答案】D 【知识点】已知模求数量积 【分析】利用向量数量积的分配律展开表达式，结合数量积定义，将展开求解即可. 【详解】. 2．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、已知弦（切）求切（弦） 【详解】 3．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据子集的定义，由元素和集合的关系求解. 【详解】由可知，解得. 此时，符合要求. 所以. 4．已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据渐近线方程结合已知双曲线方程列式计算求解. 【详解】因为双曲线为，则渐近线为， 又因为渐近线为，且，所以. 5．已知数列为等差数列，为等比数列，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、等差数列通项公式的基本量计算、基本不等式求积的最大值 【分析】根据等差数列及等比数列下标和性质结合基本不等式计算求解判断. 【详解】数列为等差数列， 数列为等比数列， ．又 ．当且仅当时取等号，A错误，B正确． 当时，； 当时，，当且仅当时取等号， 与的大小不确定，所以C，D，错误； 6．某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】D 【知识点】不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题、元素（位置）有限制的排列问题、排列组合综合 【分析】先用插空法求出3个图形渲染任务互不相邻的排法总数，然后利用减法原理，从中排除2个逻辑推理任务相邻的情况，即可得答案。. 【详解】第一步，先排列2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，共有种排法； 第二步，将3个不同的图形渲染任务插入到第一步中3个不同的任务产生的4个空隙中， 共有种排法； 第三步，排除2个不同的逻辑推理任务相邻的情况， 将2个逻辑推理任务捆绑视为一个元素，此元素与数据检索任务共2个元素先进行排列，产生3个空位，有种排法； 将3个不同的图形渲染任务插入这3个空位，有种排法； 捆绑的2个逻辑推理任务内部有种排法，故共有种排法。 所以满足条件的排法总数为. 7．若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、已知点到直线距离求参数 【分析】利用直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式建立不等式解出即可. 【详解】设圆，则该圆的圆心为，半径为， 对于圆上两不同点，根据圆的性质，当为圆的切线时，最大， 若，则在中，，则， 所以若直线上存在一点，使得， 则等价于圆心为到直线的距离， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. 8．已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数周期性的应用、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、简单复合函数的导数 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断. 【详解】对于A选项：令，则； 令，则，所以，故A正确； 对于B选项：因为， 两边求导，得，即，即； 因为为偶函数，所以， 所以，故成立，故B正确； 对于C选项：因为， 所以，（为常数） 未必为0，故C错误； 对于D选项：因为， 令，则，故D正确. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法中正确的是（ ） A．在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好 B．若随机变量满足，则 C．若随机变量，则 D．若事件满足，则 【答案】ACD 【知识点】计算条件概率、二项分布的方差、决定系数的计算及分析、均值的性质 【分析】对于A，根据决定系数的概念判断即可；对于B，根据期望的线性运算即可求解；对于C，由二项分布的方差公式求解；对于D，由题可得，再根据条件概率的乘法公式计算． 【详解】对于A，回归分析中，决定系数衡量模型对因变量变化的解释能力，越接近1， 说明残差平方和越小，模型拟合效果越好，A正确； 对于B，根据方差的运算性质，对任意常数，有， 本题中，因此，B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，由条件概率性质，， 因此，故D正确． 10．已知复数，且.设，则下列说法正确的是（    ） A．的实部为0 B． C．若，则有且仅有两个可能值 D．的实部为 【答案】ABC 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的实部与虚部、求复数的模 【分析】设，，，则有，求出的实部，即可判断A；求出的值，即可判断B；求出当时，的值，即可判断C；举反例判断D. 【详解】设，， 因为，所以， 对于A，因为 ， 其实部为，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由A可知， 当时，则有， 所以或， 即或， 解得或（舍，理由为）或， 所以或，故C正确； 对于D，取，则其实部为， 则， 所以， 所以，故D错误. 11．已知正方体的棱长为6， ， ， 分别为 ， ，的中点， 为正方形内一点（包含边界）．下列说法正确的是（     ） A．经过 ， ， 三点的截面形状为四边形 B．点到经过 ， ， 三点的截面的距离为 C．存在点 ，使得点和点 到平面的距离相等 D．三棱柱 外接球的表面积为 【答案】ACD 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、点到平面距离的向量求法、判断正方体的截面形状、多面体与球体内切外接问题 【分析】选项A，在正方体的后面做一个等大的正方体，连接得到 ，取的中点，连接，得到 ，连接 ， ，连接 ，得到四边形 为经过 ， ， 三点的截面；选项B，求出平面 的法向量为，利用公式求解；选项C，利用线段 的中点四点共面求解；选项D，利用直三棱柱的性质确定球心，进而求出球半径，利用球的表面积公式求解. 【详解】选项A，在正方体的后面做一个等大的正方体， 因为 为 的中点，所以 ， 连接， ，取的中点，连接，则 ， 连接 ， ，连接 ， 则四边形 为经过，， 三点的截面，其形状为四边形，故选项A正确； 选项B，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面 的法向量为， 则，即，取 ，则 ， 则平面 的法向量为， ，，， 设点到平面 的距离为 ， 则，故选项B错误； 选项C，若点和点到平面的距离相等， 满足两种情况，平面 直线 ，或平面过 的中点， 记线段 的中点为，设，， 则四点共面的条件为， 即， 即，解得 ， 因为 为正方形内一点（包含边界）， 所以 ， 所以 的点全部落在正方形内， 例如取，即可满足条件， 因此存在点 ，使得点和点到平面的距离相等，故选项C正确； 选项D，因为三棱柱 是直三棱柱，底面 是直角三角形， 所以三棱柱 外接球的球心为上下底面直角三角形斜边中点连线的中点， 因为下底面斜边 的中点为， 上底面斜边 的中点为， 所以球心为，球半径为， 所以三棱柱 外接球的表面积为 ，故选项D正确. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知数列的前项和为，是首项为1，公差为的等差数列，则________. 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先根据为等差数列，求出，再根据的关系求出通项公式，然后检验是否符合即可. 【详解】解：由是首项为1，公差为的等差数列，则，所以， 当时，， 当时，， 检验，当时，，所以该公式对也成立， 所以. 13．设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】利用椭圆的定义表示，再结合直角三角形勾股定理建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】设，则，， 根据椭圆定义，，， 又因为，所以在中， 即，解得，则，， 则在中，，即， 所以故离心率. 14．对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. 【答案】15 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数新定义、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据定义计算得到，，，，，的性质，通过代入比较大小即可求解. 【详解】对于，， 而，所以， ，所以， ，所以， ，所以， ，所以， 而当且时， 因为函数是“全面压缩”函数，所以， 即， 则，，，，，， 而当时，， 设， ， ， 故最大值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．对于变量和变量，设获得的成对数据为，其中.在某实验过程中，随机抽样获得了如下成对样本数据： 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 40 47 56 61 66 72 74 78 83 86 表1 对表1中数据作变换 得到了如下表2： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 -30 -23 -14 -9 -4 2 4 8 13 16 -37 150 92 42 18 4 0 4 16 39 64 429 表2 设样本相关系数为，当 时，表明两个变量的线性相关程度较强，当时，表明两个变量的线性相关程度很强. 参考公式：；，. 参考数据：，. (1)证明： (2)分别求表1中的两个变量､表2中的两个变量的样本相关系数，并推断相关关系的类型（即正相关或负相关）和相关程度； (3)设关于的经验回归方程为，反之，关于的经验回归方程为. （i）由表1的实验数据，求经验回归方程和，并判断与在直角坐标系中的位置关系（计算结果精确到0.01）； （ii）对于实验中经过随机抽样获得的对数据 ，得到经验回归方程和，在线性相关程度较强的条件下，判断与对应的两条直线是否相交？若相交，请求出交点坐标，若不相交，请说明理由. 【答案】(1)证明如下：， 而因为，，所以 (2) ， ，相关类型为线性正相关，相关程度很强. (3)（i）相交；（ii）相交，交点坐标为 【知识点】解释回归直线方程的意义、相关系数的意义及辨析、求回归直线方程、相关系数的计算 【详解】（1）略 （2） ， ， 所以， 因为 所以， 则， 故, ，      ∴相关类型为线性正相关，相关程度很强. （3）（i）， , 所以 与相交. （ii）因为在线性相关程度较强的条件下，有 过过， 过， 与 有公共点 假设两条直线重合，则 即, 所以，与 矛盾，所以两条直线相交. 16．如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. (1)证明：； (2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)由，为的中点，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面，又平面， 所以. (2). 【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）作出二面角的平面角，利用给定角的大小及平行线分线段成比例定理求出，进而求出体积. 【详解】（1）略 （2）由是边长为1的等边三角形，得，则， 作交于点，由平面，得平面，而平面， 则，过作于，连接，平面， 因此平面，又平面，则，为二面角的平面角， 即，由，得， 而，则，，， ，， 所以三棱锥的体积. 17．已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】(1)解析式为；最小正周期为 (2) 【知识点】辅助角公式、求三角形中的边长或周长的最值或范围、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、数量积的坐标表示、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据数量积的坐标形式，二倍角公式，及辅助角公式即可得到的解析式，进而得到最小正周期； （2）结合（1）及题意得到的值，再根据余弦定理，均值不等式得到取值范围，进而得到周长的最大值． 【详解】（1）由，， 则， 所以的最小正周期为． （2）由，即，即， 又B为的内角，则，则， 所以，解得， 又，由余弦定理有，得，即， 由均值不等式有，则， 即，即，解得， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形， 所以周长的最大值为． 18．抛物线因其特殊的光学以及声学性质而广泛地应用于生活中．现已知光在曲线上的反射原理如下：找到入射光线与曲线的交点，在交点处作曲线的切线及垂直于该切线的直线（法线），从而作出反射光（反射光线与入射光线分居法线两侧，与法线夹角大小一样）．设抛物线的准线为：，过抛物线外一点P作抛物线C的两条切线PA，PB，与抛物线C分别相切于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)证明：从抛物线C的焦点F发出的光线经抛物线上一点M（不同于顶点）反射后平行于抛物线C的对称轴； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）通过准线方程得到抛物线方程中参数的值从而得到抛物线的标准方程； （2）设出切线方程，通过切线与抛物线方程的联立求出切点，从而得到法线方程，结合题目中的反射原理，通过向量的数量积得到夹角相等从而得证； （3）根据第2小问得到切线方程，联立得到任意点的坐标，结合向量的数量积来证明两个角的余弦值相等，从而证得两个角相等. 【详解】（1）抛物线的准线为， 则，解得， 因此抛物线的标准方程为. （2）抛物线的焦点坐标为，对称轴为y轴， 设为抛物线上一点（非顶点），如下图所示，    抛物线方程，求导可得， 所以点处切线的斜率为， 则切线方程为，即， 因为点处法线与切线垂直，所以法线的斜率为， 则法线方程为，即， 根据题目可知入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角， 入射光线为，斜率为， 设反射光线的方向向量为，入射光线的方向向量为， 法线的方向向量为， 因为入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角，即它们与法线的夹角的余弦值相等， 所以， 假设反射光线平行于y轴，即方向向量， 代入可得， ， 因为，，所以，满足光的反射原理，假设成立， 因此从抛物线的焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于顶点）， 反射后平行于抛物线的对称轴. （3）设切点，，，如下图所示，    由（2）可知，抛物线在处的切线方程分别为 ，， 联立可得，解得，代入可得， 即，焦点， 所以，，， 则， 同理， 因此， 因为， 所以. 19．已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)设，曲线在点处的切线方程为，证明：当时，； (3)若时，，求的取值范围. 【答案】(1)因为，所以， 当时，； 当时， 所以在上单调递增. (2)由题可得， 则， 设， 则， 设，则， 设，则， 所以即在上单调递增，又， 所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增， 因为， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 则，故有，即当时，. (3) 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）由题设说明在R上成立可完成证明； （2）设，，，通过研究单调性可得在上单调递减，在上单调递增，最后由可完成证明； （3）将问题转化为，设，通过研究单调性，可得时不满足题意，然后通过研究单调性，可得，据此可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）当时，，即， 设，，则， 设 ，，则， 由（2）可得时，，所以在上单调递增，则， 所以，则在上单调递增， 当时，取，则 ，不合题意； 当时，设，则， 令，则，由（2）可知时， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以，所以符合题意. 综上，的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $