第06讲 有理数的乘方（暑假预习讲义）新七年级数学新教材湘教版

第06讲 有理数的乘方 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 有理数乘方的概念 题型2 有理数的乘方运算 题型3 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合 题型4含乘方的程序图运算题 题型5 含乘方的新定义运算问题 题型6 利用有理数的乘方解决实际问题 题型7含乘方的探究规律题 题型8科学记数法 题型9还原科学记数法表示的数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 乘方、底数、指数、幂、正数乘方、负数乘方、0 的乘方、非负数、科学记数法 1.理解乘方的意义，分清底数与指数，能把相同因数乘法写成乘方形式，反之展开乘方。 2.掌握乘方符号规律：正数任何次幂为正；负数奇次幂负、偶次幂正；0 的正整数次幂为 0。 3.明确平方、四次方结果都是非负数，会利用偶次幂≥0 解题。 4.掌握科学记数法，会把大数写成（）形式。 学习重点：乘方的概念与运算；乘方运算的符号法则；大数的科学记数法表示。 学习难点：区分与的底数与计算结果；利用偶次幂是非负数解决求值题型。 \ 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的乘方意义 ◆有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．一般地，n个相同的数a相乘，简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时） 【注意】 （1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是51 ，指数1通常省略不写. （2）指数是2时读作平方（或二次方），指数是3时读作立方（或三次方）. （3）指数n是正整数，底数a可以是任意有理数. 即时即练1．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 2．的4次幂应记为（   ） A． B． C． D． 知识点02 有理数的乘方运算 ◆1、乘方运算的符号法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何正整数次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0. ◆2、有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 即时即练（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如果，那么的值为______． 知识点03 科学记数法 ◆1、科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． ◆2、科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 即时即练1.（2026·湖南永州·二模）“湘超冠军城，永州欢迎你”、年五一假期，永州市共接待游客约万人次，将用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）用科学记数法表示的数的原数为（    ） A．80700000000 B．8070000000 C．807000000 D．80700000 题型1 有理数乘方的概念 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）表示的意义是（    ） A．5个相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【技巧归纳】 有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） 【变式1-1】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）计算可以表示为（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级上·湖南长沙·期中）比较和，下列说法正确的是（    ） A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C． D． 【变式1-3】乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型2 有理数的乘方运算 【例2】若a＝﹣2×（）2，b＝（﹣2）2，c＝﹣（2）2，则下列大小关系中正确的是（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b 【技巧归纳】 1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； 2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 【变式2-1】若a为有理数，则下列式子结果为正数的是（     ） A． B． C． D． 19．（2026·内蒙古赤峰·三模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】计算： （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）（﹣1）9； （6）（﹣1）12； 题型3 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合 【例3】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5，y是最大的负整数，求的值． 【技巧归纳】 1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数； 2、相反数是它本身的数是0； 3、倒数等于它本身的数是1和﹣1； 4、绝对值和偶次方都具有非负性. 【变式3-1】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且，求的值． 【变式3-2】（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）根据题目要求，解答下列问题： (1)若是最大的负整数，，是相反数等于本身的数，求：的值． (2)已知，，且，求的值． 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于， (1)写出，，的值； (2)求的值． 题型4含乘方的程序图运算题 【例4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）按照以下程序图输入的值为，则输出的值为_______． 【技巧归纳】 利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【变式4-1】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，这是一个数值转换机，图中“■”遮去的是“”“”“”“”四个运算符号中的一个．若输入x的值为3，则输出的结果是4；若输入x的值为15，则输出的结果是________． 【变式4-2】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图所示，按照程序流程图计算，当输入x的值为时，输出的结果为________． 【变式4-3】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）按如图所示的程序计算，若开始输入的数为，则最后输出的结果为________． 题型5 含乘方的新定义运算问题 【例5】定义一种新运算：a*b＝﹣2a+b2﹣ab．如：2*3＝﹣2×2+32﹣2×3＝﹣1，则4*（﹣7）＝　 ． 【技巧归纳】 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. 【变式5-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】设a、b都表示有理数，规定一种新运算“△”：当时，；当时，． 例如：；． (1)求的值： (2)求． 【变式5-3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 题型6 利用有理数的乘方解决实际问题 【例6】28．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）生物实验课上某学习小组利用显微镜观察一种细菌每分钟可由1个分裂成2个，将1个细菌放在培养器皿中经过60分钟就能分裂满一瓶．若将2个这种细菌放入同一个培养器皿中，分裂满一瓶的时间是（） A．15分钟 B．30分钟 C．59分钟 D．62分钟 【技巧归纳】 用有理数的乘方运算解决实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学 问题，常见的问题有拉面的条数、折纸的张数、绳子的长度、细胞分裂的个数等都利用2n或. 【变式6-1】已知一张纸的厚度为，假设连续对折始终是可能的．小明将该纸片连续对折6次，则纸的厚度为 _________ ． 【变式6-2】（23-24七年级上·广东梅州·阶段检测）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，…，则第1天到第5天一共截取的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式6-3】（2024七年级上·全国·专题练习）为响应国家创业号召，小张准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行统计，以人为标准，超过记为正，低于记为负，一周内同一时间的人流量如表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 (1)这一周人数最多的一天比人数最少的一天多多少人？ (2)若这些人中有的人来吃面，按照每人一碗，每碗面元，则平均每天的销售额是多少？ (3)拉面条时，将一根很粗的面捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多根细的面条，拉面师傅一般拉8次可做一碗拉面，则拉面师傅拉完次后有______根面． 题型7含乘方的探究规律题 【例7】观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【技巧归纳】 乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题． 【变式7-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 【变式7-2】（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）观察下列各式，回答问题： (1)按照上述规律填空： ______________________； ______________________； (2)计算： 【变式7-3】（25-26七年级上·湖南娄底·期中）找规律： (1)计算： ①________； ②________； ③________； ④________； (2)根据上面的计算结果猜想： ①的值为________； ②（n为正整数）的值为________； (3)根据（2）中的结论，试求的值． 题型8科学记数法 【例8】（2026·山东济南·二模）人工智能模型的参数量越大，理解能力越强：模型参数可达6710亿个，其中数据“6710亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．10的指数比原来的整数位数少1． 【变式8-1】（2022·湖南长沙·模拟预测）据联合国难民署（UNHCR）统计，月日，因俄乌冲突，乌克兰外流难民已超过万，就增长速度和规模而言，这场难民危机自第二次世界大战以来前所未有．将数据“万”用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·湖南株洲·三模）被誉为大国重器的东风洲际弹道导弹，其最大射程约为14000公里（1公里米），若将此射程以米为单位用科学记数法表示，应为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式8-3】（2026·湖南邵阳·三模）2025湘超联赛致力于促进青少年足球事业发展，自开赛以来，共吸引约人到现场观赛．将数字用科学记数法表示为________． 题型9还原科学记数法表示的数 【例9】（2024七年级上·全国·专题练习）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【技巧归纳】 用科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【变式9-1】（22-23七年级上·湖南永州·阶段检测）太阳的半径为696000千米，用科学记数法表示为________千米；用常规记数表示是________． 【变式9-2】（23-24七年级上·湖南永州·阶段检测）太阳的半径用科学记数法表示为千米，用原数表示为_____千米． 【变式9-3】把下列用科学记数法表示的数还原成原数． （1）地球的直径大约为1.28×107m，约为 　 　km； （2）地球与冥王星的距离最近时也有4.0×109km，记为 　 m； （3）有资料统计，我国2021年前4个月，14家汽车行业国家重点企业共实现利润1.20×1010元，记 作　 　万元； （4）某年我国在公路建设中投资2.61×106万元，记作 　元． 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）有一组数，其中负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级上·湖南永州·期中）数表示（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·湖南娄底·期中）不论有理数x取何值，下列式子的值一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）计算：的结果为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）下列各组表达式中，化简结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 8．你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要拉伸的次数是（    ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 9．（2026·湖南·模拟预测）国家统计局发布数据显示，2025年我国国内生产总值（GDP）首次跃上140万亿元新台阶．140万亿用科学记数法表示为_____． 10．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： ____________ 11．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一个人在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录摘得的果子的数目．请根据图，计算他一共摘了____________个果子． 12．（25-26六年级上·上海·期末）已知正整数满足，则当都取到最小值时，的值为 ． 13．（25-26七年级上·天津和平·期中）按下面的程序计算： 若输入，则输出的的值是________． 14．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 15．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若互为相反数，互为倒数，且，求的值． (1)直接写出，，的值； (2)求的值． 16．阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 17．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 18．[阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）x．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数（1111）x中，右起第一位上的1表示   第二位上的1表示 第三位上的1表示 第四位上的1表 故 即： 转化为了十进制表示的数 如： 即二进制的数1111等于十进制数15． [问题解决]： (1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个．（用十进制数表示） (2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． （i）图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是_______；（直接写出答案．） （ii）若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形．请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 有理数的乘方 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 有理数乘方的概念 题型2 有理数的乘方运算 题型3 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合 题型4含乘方的程序图运算题 题型5 含乘方的新定义运算问题 题型6 利用有理数的乘方解决实际问题 题型7含乘方的探究规律题 题型8科学记数法 题型9还原科学记数法表示的数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 乘方、底数、指数、幂、正数乘方、负数乘方、0 的乘方、非负数、科学记数法 1.理解乘方的意义，分清底数与指数，能把相同因数乘法写成乘方形式，反之展开乘方。 2.掌握乘方符号规律：正数任何次幂为正；负数奇次幂负、偶次幂正；0 的正整数次幂为 0。 3.明确平方、四次方结果都是非负数，会利用偶次幂≥0 解题。 4.掌握科学记数法，会把大数写成（）形式。 学习重点：乘方的概念与运算；乘方运算的符号法则；大数的科学记数法表示。 学习难点：区分与的底数与计算结果；利用偶次幂是非负数解决求值题型。 \ 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的乘方意义 ◆有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．一般地，n个相同的数a相乘，简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时） 【注意】 （1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是51 ，指数1通常省略不写. （2）指数是2时读作平方（或二次方），指数是3时读作立方（或三次方）. （3）指数n是正整数，底数a可以是任意有理数. 即时即练1．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 2．的4次幂应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的表示方法，熟练掌握乘方的书写是解题的关键，根据乘方中底数与指数的对应关系即可得到答案． 【详解】解：∵求的4次幂，是将作为底数，4作为指数， ∴应记为， 知识点02 有理数的乘方运算 ◆1、乘方运算的符号法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何正整数次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0. ◆2、有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 即时即练（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，掌握相关知识是解题的关键．通过计算每组两个表达式的值，比较是否相等即可求解． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，，不符合题意； 选项D：，符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如果，那么的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．由绝对值的非负性和非负数的性质求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：1． 知识点03 科学记数法 ◆1、科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． ◆2、科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 即时即练1.（2026·湖南永州·二模）“湘超冠军城，永州欢迎你”、年五一假期，永州市共接待游客约万人次，将用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的形式为，满足，为整数，根据原数确定和的值即可求解． 【详解】解：． 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）用科学记数法表示的数的原数为（    ） A．80700000000 B．8070000000 C．807000000 D．80700000 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的标准形式为（，n为整数），本题把数据中8.67的小数点向右移动8位就可以得到结果． 【详解】解：， 故选：C． 题型1 有理数乘方的概念 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）表示的意义是（    ） A．5个相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查乘方的定义，掌握定义是解决问题的关键．利用乘方的定义判断即可． 【详解】解：是5个2相乘的相反数． 故选：B ． 【技巧归纳】 有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） 【变式1-1】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）计算可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的意义得，解答即可． 本题考查了有理数幂的意义，正确理解幂的意义是解题的关键． 【详解】解：根据幂的意义得， 故选：C． 【变式1-2】（23-24七年级上·湖南长沙·期中）比较和，下列说法正确的是（    ） A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查有理数乘方计算，乘方定义：根据乘方的底数及指数定义判断A，B；计算乘方，由此判断C，D． 【详解】，， ∴它们底数不相同，指数相同，， 故A，B，D错误，C正确； 故选：C． 【变式1-3】乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数幂，根据有理数幂的定义，进行判断即可． 【详解】解：乘法运算可以表示为； 故选C． 题型2 有理数的乘方运算 【例2】若a＝﹣2×（）2，b＝（﹣2）2，c＝﹣（2）2，则下列大小关系中正确的是（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方的定义化简后，再根据负数＜0＜正数，两个负数比较，绝对值大的反而小判断即可． 【详解】解：a＝﹣2×（）2，b＝（﹣2）2，c＝﹣（2）2， ∵||，||，而， ∴， ∴b＞a＞c， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数大小比较以及有理数的乘方，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键． 【技巧归纳】 1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； 2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 【变式2-1】若a为有理数，则下列式子结果为正数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负性判断各选项式子的取值范围，即可选出结果一定为正数的选项． 【详解】∵对任意有理数，都有，， A选项，当时，，0不是正数，A选项不符合题意； B选项，当时，，0不是正数，B选项不符合题意； C选项，∵，∴，无论取任何有理数，结果都是正数，C选项符合题意； D选项，当时，，结果为负数，D选项不符合题意． 19．（2026·内蒙古赤峰·三模）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算每个选项的结果，判断结果的正负性即可得到答案． 【详解】解：∵，是正数， ∴ A不符合题意． ∵，是正数， ∴ B不符合题意． ∵，是正数， ∴ C不符合题意． ∵，是负数， ∴ D符合题意． 【变式2-2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法与乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的乘法与乘方法则解答即可得． 【详解】解：原式， 故选：B． 【变式2-3】计算： （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）（﹣1）9； （6）（﹣1）12； 【分析】根据有理数的乘方和乘法分别计算各选项中的数即可得出答案． 【详解】解：（1）﹣（﹣3）2=﹣（﹣3）×（﹣3）=﹣9； （2）﹣32=﹣3×3=﹣9； （3）（﹣5）3=（﹣5）×（﹣5）×（﹣5）=﹣125； （4）0.13=0.1×0.1×0.1=0.001； （5）（﹣1）9=﹣1； （6）（﹣1）12=1； 【点睛】本题考查了有理数的乘方计算，把乘方运算转化成乘法计算是解题的关键． 题型3 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合 【例3】（25-26七年级上·湖南怀化·期末）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5，y是最大的负整数，求的值． 【答案】98 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值以及有理数相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据题意确定，，，，然后代入求值即可． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴原式． 【技巧归纳】 1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数； 2、相反数是它本身的数是0； 3、倒数等于它本身的数是1和﹣1； 4、绝对值和偶次方都具有非负性. 【变式3-1】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，倒数，乘方，有理数的混合运算，掌握运算原则是解题的关键． 根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，得，，，分别代入进行计算即可求解． 【详解】解： a，b互为相反数，c，d互为倒数， ，，， ． 【变式3-2】（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）根据题目要求，解答下列问题： (1)若是最大的负整数，，是相反数等于本身的数，求：的值． (2)已知，，且，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查代数式的值、相反数、绝对值、平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先根据已知条件求出x、y的值即可得出答案； （2）先根据已知条件求出a、b的值即可得出答案． 【详解】（1）解： 是最大的负整数，，是相反数等于本身的数， ，，， 当，，时，， 当，，时，， 综上所述，或． （2）解： ，， ，， ， 当时，时，； 当时，，， 综上所述：． 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于， (1)写出，，的值； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)3 【分析】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，绝对值的运算，代数式的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的运算，解答即可； （2）先运算出，再分别把，，代入运算即可． 【详解】（1）解：∵，互为相反数， ∴； ∵，互为倒数， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 把，，代入可得：． 题型4含乘方的程序图运算题 【例4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）按照以下程序图输入的值为，则输出的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中图形给出的计算程序．由于将开始代入计算是6，不是负数，返回继续计算，要平方后再代入，这是本题易出错的地方． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【技巧归纳】 利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【变式4-1】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，这是一个数值转换机，图中“■”遮去的是“”“”“”“”四个运算符号中的一个．若输入x的值为3，则输出的结果是4；若输入x的值为15，则输出的结果是________． 【答案】220 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 根据数值转换机求得图中“■”遮去的符号，然后列式计算即可． 【详解】解：若输入的值为3， 则， 而输出的结果是4， 那么， 即图中“■”遮去的符号是“”， 若输入的值为15， 那么． 故答案为：220 ． 【变式4-2】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图所示，按照程序流程图计算，当输入x的值为时，输出的结果为________． 【答案】63 【分析】本题考查了程序流程图有关的有理数计算，掌握其相关知识点是解题的关键．先输入，计算出结果，如果大于10则输出，如果小于10，则把计算的结果作为新的数输入，如此反复，直至计算的结果大于10进行输出即可． 【详解】解：当输入时，，继续计算，当输入8时，， ∴输出结果为63． 故答案为：63． 【变式4-3】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）按如图所示的程序计算，若开始输入的数为，则最后输出的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算；按照题意依次计算乘方与减法，计算结果与8比较，若小于8继续计算，否则输出结果即可．第一次计算的结果为3，以3作为输入值，计算后结果为17，则可得输出结果． 【详解】解：， ， 故答案为：17． 题型5 含乘方的新定义运算问题 【例5】定义一种新运算：a*b＝﹣2a+b2﹣ab．如：2*3＝﹣2×2+32﹣2×3＝﹣1，则4*（﹣7）＝　 ． 【答案】69． 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得： 原式＝﹣2×4+（﹣7）2﹣4×（﹣7） ＝﹣8+49+28 ＝69． 故答案为：69． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键． 【技巧归纳】 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. 【变式5-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算． 根据十进制数转化为五进制数的方法可以将234转换为五进制数． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式5-2】设a、b都表示有理数，规定一种新运算“△”：当时，；当时，． 例如：；． (1)求的值： (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据当时，，可以求得所求式子的值； （2）根据当时，，当时，，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时，，当时，， ． 【变式5-3】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘方逆运算，掌握乘方逆运算法则、分类讨论思想的运用是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算即可； （2）逆用运算法则列一元一次方程求解； （3）根据题意分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得 ； ； 故答案为：； （2）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ∴ ， 解得； （3）解：根据题意得，可分为三种情况， 当指数相等，且底数不为0时，即，且。 ∴ 解得， ∵， ∴符合题意， 当底数为时，即 解得， 此时指数为， 式子为，符合条件； 当底数为时，且指数差为偶数，即，且是偶数， ∴ 解得， 计算指数差： ， 此时，符合条件， ∴x的值． 题型6 利用有理数的乘方解决实际问题 【例6】28．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）生物实验课上某学习小组利用显微镜观察一种细菌每分钟可由1个分裂成2个，将1个细菌放在培养器皿中经过60分钟就能分裂满一瓶．若将2个这种细菌放入同一个培养器皿中，分裂满一瓶的时间是（） A．15分钟 B．30分钟 C．59分钟 D．62分钟 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方应用，数字类规律探究，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 细菌每分钟分裂一次，数量翻倍．从1个细菌开始，60分钟后数量为，从2个细菌开始，t分钟后数量为，令其等于，解方程即可． 【详解】解：从1个细菌开始，60分钟后细菌数量为， 设从2个细菌开始，t分钟后细菌数量为， ∴， ∴， ∴． 故分裂满一瓶需要59分钟． 故选C． 【技巧归纳】 用有理数的乘方运算解决实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学 问题，常见的问题有拉面的条数、折纸的张数、绳子的长度、细胞分裂的个数等都利用2n或. 【变式6-1】已知一张纸的厚度为，假设连续对折始终是可能的．小明将该纸片连续对折6次，则纸的厚度为 _________ ． 【答案】5.76 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解对折后厚度变为原来的2倍是解题的关键． 根据对折后纸的厚度变为原来的2倍，计算即可得解． 【详解】解：对折6次后的厚度为， 故答案为：5.76． 【变式6-2】（23-24七年级上·广东梅州·阶段检测）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，…，则第1天到第5天一共截取的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】此题考查了数字类的规律，正确理解题意，列出算式是解题的关键． 根据每次截取的长度都是前一次截取剩余长度的一半求出第1天到第5天截取的长度，再相加即可. 【详解】解：第1天截取的长度为米， 第2天截取的长度为米， 第3天截取的长度为米， 第4天截取的长度为米， 第5天截取的长度为米， 故第1天到第5天一共截取的长度为（米）． 故选：A 【变式6-3】（2024七年级上·全国·专题练习）为响应国家创业号召，小张准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行统计，以人为标准，超过记为正，低于记为负，一周内同一时间的人流量如表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 (1)这一周人数最多的一天比人数最少的一天多多少人？ (2)若这些人中有的人来吃面，按照每人一碗，每碗面元，则平均每天的销售额是多少？ (3)拉面条时，将一根很粗的面捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多根细的面条，拉面师傅一般拉8次可做一碗拉面，则拉面师傅拉完次后有______根面． 【答案】(1)人 (2)元 (3) 【分析】本题考查正数与负数、有理数运算、有理数的乘方的应用， （1）根据正数、负数的定义进行计算即可； （2）根据总价=单价×数量进行计算即可； （3）根据乘方的定义进行计算即可； 掌握正数与负数的定义以及有理数乘方的计算方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴这一周人数最多的一天是星期一，人数为（人）， 这一周人数最少的一天是星期四，人数为（人）， ∴（人）， ∴这一周人数最多的一天比人数最少的一天多人； （2）这一周的人流量为：（人）， ∴（元）， ∴平均每天的销售额为元； （3）∵拉伸次，得到的面条数为（根）， 拉伸次，得到的面条数为（根）， 拉伸次，得到的面条数为（根）， … 依此类推，拉伸次，得到的面条数为（根）， ∴拉面师傅拉完次后有根． 故答案为：． 题型7含乘方的探究规律题 【例7】观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】4 【分析】观察已知等式可知，以2为底的幂的个位数字按，，，依次循环，计算得到余数，根据余数即可确定的个位数字． 【详解】解：观察给出的等式，，，，，…， ∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，． ， ∴的个位数字与的个位数字相同，是． 【技巧归纳】 乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题． 【变式7-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 【答案】(1)900 (2) (3)1 【分析】本题考查乘方的定义的规律问题，熟知乘方的定义． （1）根据乘方的定义以及规律求解即可； （2）根据乘方的定义以及规律求解即可； （3）首先根据乘方的定义以及规律得出再根据乘方的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：900； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【变式7-2】（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）观察下列各式，回答问题： (1)按照上述规律填空： ______________________； ______________________； (2)计算： 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据已知三个等式归纳类推出一般规律是（，且为整数），再代入计算即可得； （2）利用（1）的规律，将乘法中的每个式子拆成两项的乘积，再利用乘法的结合律计算即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，， ， ， 归纳类推得：（，且为整数）， 则， ， 故答案为：；． （2）解： ． 【变式7-3】（25-26七年级上·湖南娄底·期中）找规律： (1)计算： ①________； ②________； ③________； ④________； (2)根据上面的计算结果猜想： ①的值为________； ②（n为正整数）的值为________； (3)根据（2）中的结论，试求的值． 【答案】(1)①1，②1，③1，④1 (2)①1，②1 (3)64 【分析】本题考查了数字的变化规律，由简单到复杂，逐步递推，是解题的关键． （1）①②③④直接计算可得结果； （2）①②由进行推理，可得结果； （3）根据（2）中的推理结果可进行求解． 【详解】（1）解：①1，②1，③1，④1； （2）解：① 故答案为：1； ② 故答案为：1； （3）解： ． 题型8科学记数法 【例8】（2026·山东济南·二模）人工智能模型的参数量越大，理解能力越强：模型参数可达6710亿个，其中数据“6710亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：6710亿． 【技巧归纳】 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．10的指数比原来的整数位数少1． 【变式8-1】（2022·湖南长沙·模拟预测）据联合国难民署（UNHCR）统计，月日，因俄乌冲突，乌克兰外流难民已超过万，就增长速度和规模而言，这场难民危机自第二次世界大战以来前所未有．将数据“万”用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将“万”转化为普通整数，再按要求写出科学记数法即可． 【详解】解：，将写成（ ，为整数）的形式，可得，小数点向左移动了位，即， 万用科学记数法表示为． 【变式8-2】（2026·湖南株洲·三模）被誉为大国重器的东风洲际弹道导弹，其最大射程约为14000公里（1公里米），若将此射程以米为单位用科学记数法表示，应为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先将射程单位从公里换算为米，再根据科学记数法的定义表示结果，科学记数法形式为，满足，为整数． 【详解】解：∵1公里米， ∴14000公里米米． 将用科学记数法表示，可得米． 【变式8-3】（2026·湖南邵阳·三模）2025湘超联赛致力于促进青少年足球事业发展，自开赛以来，共吸引约人到现场观赛．将数字用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：． 题型9还原科学记数法表示的数 【例9】（2024七年级上·全国·专题练习）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法—原数、科学记数法—表示较大的数，科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得到的数．先确定出原数中整数位数，再确定其中0的个数即可． 【详解】解：用科学记数法表示为的原数为727000000000， 原数中“0”的个数为9． 故选：C． 【技巧归纳】 用科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【变式9-1】（22-23七年级上·湖南永州·阶段检测）太阳的半径为696000千米，用科学记数法表示为________千米；用常规记数表示是________． 【答案】 793000 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：，． 故答案为：；793000． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【变式9-2】（23-24七年级上·湖南永州·阶段检测）太阳的半径用科学记数法表示为千米，用原数表示为_____千米． 【答案】696000 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：把数据“”中6.96的小数点向右移动5位就可以得到其原数为696000． 故答案为：696000． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【变式9-3】把下列用科学记数法表示的数还原成原数． （1）地球的直径大约为1.28×107m，约为 　 　km； （2）地球与冥王星的距离最近时也有4.0×109km，记为 　 m； （3）有资料统计，我国2021年前4个月，14家汽车行业国家重点企业共实现利润1.20×1010元，记 作　 　万元； （4）某年我国在公路建设中投资2.61×106万元，记作 　元． 【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【详解】解：（1）1.28×107m＝12800000m＝12800km； （2）4.0×109km＝4000000000km＝4000000000000m； （3）1.20×1010元＝12000000000元＝1200000万元； （4）2.61×106万元＝2610000万元＝26100000000元． 故答案为：12800，4000000000000，1200000，26100000000． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）有一组数，其中负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先化简题目中给出的各数，再根据负数的定义（小于的数是负数）统计负数的个数，即可得到答案． 【详解】解：=，是正数， ，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ∴负数共有3个． 2．（23-24七年级上·湖南永州·期中）数表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方运算，解题的关键是理解乘方的意义． 【详解】解：数表示， 故选B． 3．（23-24七年级上·湖南娄底·期中）不论有理数x取何值，下列式子的值一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，根据，进行逐一判断即可求解，理解非负性是解题的关键． 【详解】A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，符合题意； D.，故不符合题意； 故选：C． 4．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）计算：的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方和乘法的意义，解题的关键是区分个相乘与个相加的不同，以及个相加的表示方法． 个相乘表示为；个相加表示为；将两部分结果相加即可． 【详解】解：个相乘，根据乘方的意义，可表示为；个相加，根据乘法的意义，可表示为； 因此，原式的结果为． 故选：B． 5．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算． 按照运算法则，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，原等式不成立，不符合题意； B．，原等式不成立，不符合题意； C．，，原等式不成立，不符合题意； D．，原等式成立，符合题意． 故选：D． 6．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）下列各组表达式中，化简结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查多重符号的化简，绝对值，乘方，掌握知识点是解题的关键． 分别计算每组表达式的值，比较是否相等即可． 【详解】解：对于选项A∶ ∵， ， ∴， 该项不符合题意； 对于选项B∶ ∵， ， ∴， 该项符合题意； 对于选项C∶ ∵， ， ∴， 该项不符合题意； 对于选项D∶ ∵， ， ∴， 该项不符合题意； 故选B． 7．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 8．你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要拉伸的次数是（    ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据题意归纳总结得到第次捏合，可拉出根面条，结合可得到结果． 【详解】第一次捏合，可拉出2根面条； 第二次捏合，可拉出根面条； 第三次捏合，可拉出根面条； 以此类推，第次捏合，可拉出根面条， 又， ∴第7次捏合，可拉出128根面条． 故选：C． 9．（2026·湖南·模拟预测）国家统计局发布数据显示，2025年我国国内生产总值（GDP）首次跃上140万亿元新台阶．140万亿用科学记数法表示为_____． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值即可． 【详解】解：140万亿用科学记数法表示为． 10．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： ____________ 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 11．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一个人在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录摘得的果子的数目．请根据图，计算他一共摘了____________个果子． 【答案】274 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据题意“满6进1”可知，从右到左第一根绳子上一个结代表一个1，第二根绳子上一个结代表6，第三根绳子一个结代表，再进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：274． 12．（25-26六年级上·上海·期末）已知正整数满足，则当都取到最小值时，的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了代数式求值，乘方的逆运算，由 且为正整数，可知必须是 72 的倍数；将72分解质因数为，那么a必须包含质因数3，使得3的指数为 3 的倍数，a最小时，b也最小，因此确定a的最小值，即可确定b的最小值，据此求解即可． 【详解】解：因为，，且a、b都是正整数， ∴必须包含质因数3，使得3的指数为 3 的倍数， ∵a最小时，b也最小，且a的最小值为3， ∴此时，即b的最小值为6， ∴， 故答案为：12． 13．（25-26七年级上·天津和平·期中）按下面的程序计算： 若输入，则输出的的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据程序流程图列式计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得， 故若输入，则输出的的值是， 故答案为：． 14．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ； （5）解：； （6）解：； 15．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若互为相反数，互为倒数，且，求的值． (1)直接写出，，的值； (2)求的值． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（）根据绝对值，相反数，倒数即可求解； （）把，，代入求值即可； 本题考查了绝对值，相反数，倒数，有理数的乘方运算等知识点的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，，； （2）解：由（）得，，； ∴原式 ． 16．阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给的错位相减法进行求解即可． 【详解】解：设①， 将等式两边同时乘以6得：②， 再将得：， 即． 17．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 【答案】（1）；9；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解除方的定义是解题关键． （1）根据除方的运算法则计算即可； （2）根据除方的运算法则作答即可； （3）根据乘方和除方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；9； （2）解： ； ， 故答案为：； （3） ． 18．[阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）x．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数（1111）x中，右起第一位上的1表示   第二位上的1表示 第三位上的1表示 第四位上的1表 故 即： 转化为了十进制表示的数 如： 即二进制的数1111等于十进制数15． [问题解决]： (1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个．（用十进制数表示） (2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． （i）图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是_______；（直接写出答案．） （ii）若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形．请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整． 【答案】(1) (2)（i）；；（ii）见解析 【分析】（1）首先明确是满七进一的七进制计数，从右到左对应七进制的位，所以先读取每根绳子上的结数，再根据七进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的7的幂次后求和． （2）（i）首先明确编码规则是黑色为1、白色为0，从左到右对应二进制的高位到低位，所以先读取图③第四行的颜色得到二进制数，再按二进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的2的幂次后求和得到考场号．（ii）首先拆分准考证号，找到第三行和第五行对应的十进制数，然后将这两个十进制数分别转化为5位二进制数，再根据二进制数的0、1对应白色、黑色，确定需要涂黑的位置． 【详解】（1）满七进一为七进制，从右到左的结点数依次为：右起第一位（最右）2个，第二位（中间）3个，第三位（最左）1个，转换为十进制： ， 答案：； （2）（i）根据规则，黑色为1，白色为0，图③第四行从左到右为：黑、白、黑、白、黑，即二进制数， 转换十进制： ， 答案：；； （ii）小芳准考证号为，按规则，第一到第五行依次对应两位十进制， 因此第三行对应，第五行对应． 设五位二进制从左到右为，对应十进制为：． ∵， ∴二进制为， 因此需要将第三行左数第3格、第5格涂黑． ∵， ∴ 二进制为， 因此需要将第五行左数第4格、第5格涂黑． 如图所示． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $