精品解析：江苏省扬州市梅岭集团2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025-2026学年第二学期期末考试试卷 初二年级数学学科 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置．） 1. 以下图形是我国部分博物馆标志的图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断． 本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：A．是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式. 3. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“把一个多项式化成几个整式积的形式的变形叫做因式分解”对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵因式分解要求结果必须是几个整式乘积的形式， A、变形是整式乘法，结果为和的形式，不是分解因式，不符合题意； B、结果是和的形式，不是整式乘积的形式，不是分解因式，不符合题意； C、，符合因式分解的定义，是分解因式，符合题意 D、结果是和的形式，不是整式乘积的形式，不是分解因式，不符合题意． 4. 分式（、均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的性质，根据题意及分式的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵字母的值都扩大为原来的2倍为， ∴分式的值不变， 故选：C． 5. 下列结论中正确的是（ ） A. 为了调查中央电视台“经典咏流传”节目的收视率，采取普查的方式 B. 神舟二十三号载人飞船零部件检查，采取抽样调查的方式 C. “打开电视，播放苏超体育赛事”是必然事件 D. “随机选择一个扬州景点游玩，恰好选中瘦西湖”是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查、抽样调查的适用情况，以及必然事件、随机事件的概念逐一判断选项即可． 【详解】A、调查节目收视率，调查范围广，工作量大，适合抽样调查，不适合普查，故选项不符合题意； B、载人飞船零部件检查对精度要求高，需要保证每个零件合格，必须采用普查，不适合抽样调查，故选项不符合题意； C、“打开电视，播放苏超体育赛事”可能发生也可能不发生，属于随机事件，不是必然事件，故选项不符合题意； D、“随机选择一个扬州景点游玩，恰好选中瘦西湖”可能发生也可能不发生，符合随机事件的定义，故选项符合题意． 6. 植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰，某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植棵树，乙班共植棵树，设乙班每小时植棵树，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是正确找出等量关系．设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，由甲班植棵树所用的时间与乙班植棵树所用的时间相等，列方程即可求解． 【详解】解：设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树， 根据题意可得：， 故选：D． 7. 如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（ ）． A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了梯形的性质，关键是根据同底等高的两个三角形面积相等解答．首先得到，推出，进而求解即可． 【详解】解：由梯形的性质可知，， 由同底等高的两个三角形面积相等，可得：， ， 即， ． 故选：C． 8. 若，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过换元简化表达式，利用作商比较法结合因式分解判断符号，即可比较和的大小． 【详解】解：设 ，可得 则 ， ∵ ，计算 得 展开分子得 展开分母得 分子减分母得 ∵ ，∴ ，即 ∴ ∴ ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填在答题纸相应位置．） 9. 化简的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键． 【详解】解：． 故答案为： 10. 今年某市有近9000名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，这个问题中，样本容量为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据样本容量的定义，样本容量是指一个样本中包含的个体的数目，没有单位，只需确定本题中抽取的个体数量即可． 【详解】解：∵抽取名考生的数学成绩进行统计分析， ∴样本容量为. 11. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共70个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的红球大约有________个． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了根据数据描述求频数，理解题意，正确列式计算是解题的关键．根据红球出现的频率和球的总数，进行计算即可得到红球的个数． 【详解】解：根据题意得：（个）， ∴袋子中的红球大约有21个， 故答案为：21． 12. 若菱形的两条对角线长分别是和，则菱形一边上的高是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形中求线段长，涉及菱形性质求面积、勾股定理、等面积法求线段长等知识，熟记菱形性质是解决问题的关键．根据题意，作出图形，先求出面积，再利用菱形对角线相互垂直平分，由勾股定理求出菱形边长后，利用等面积法列式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 菱形的两条对角线长分别是和，不妨令， ， 在菱形中，，则在中，，由勾股定理可得， ， ，解得， 故答案为：． 13. 学习了概率相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.624 0.618 0.620 随着试验次数的增加，估计“针尖朝上”的概率接近于________（精确到0.01）． 【答案】0.62 【解析】 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，“针尖朝上”频率在左右波动， ∴根据以上实验数据可以估计出“针尖朝上”的概率约为． 故答案为：． 14. 若，则化简得_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质得出，再运用绝对值的意义去掉绝对值号，化简后即可得出答案． 【详解】解：∵，∴． ∴． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是掌握性质并能根据字母的取值范围确定正负，准确去掉绝对值号． 15. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：， 解得：， 关于的分式方程解为正数， ， 又 的取值范围是且； 故答案为：且． 16. 如图，，分别是的边，上的点，连接，，是点关于的对称点，是点关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，再结合平行四边形的性质证明四边形是菱形，得到，等边对等角结合等量代换证得，则，再由列式即可得解． 【详解】解：连接、， 是点关于的对称点，是点关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ，， ． 17. 分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 【答案】1或2##2或1 【解析】 【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值为正整数，得出的取值，从而得出x的值． 【详解】解：， 要使的值为正整数，则分母是2的约数，即的值可以为1，，2，， 当时，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数； 当，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数， ∵x为正整数， ∴或1． 18. 如图，点为正方形边上一动点，，将点绕点顺时针旋转到点，若分别为中点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质证得，得出点的轨迹为平行于的定直线，结合三角形中位线定理得到，进而求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作， 、分别为、的中点， 是的中位线， ，且， 求的最小值，等价于求的最小值， ，四边形是正方形， ，即， 由旋转性质得：，， ， ， ， 在和中： ， ， ，即点到边的距离恒为， 点 N 的轨迹是一条平行于、且到距离为的直线， 当轨迹直线时，长度最小， 轨迹直线平行于， 垂线段长度等于轨迹直线到的距离，即， ， ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置．） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解答下列各题 （1）分解因式：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）先提公因式再用完全平方公式； （2）解分式方程然后检验得到的根是否为增根． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 经检验是原方程的增根，舍去， ∴原方程无解． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 22. 2026年6月5日是第55个世界环境日，梅岭中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间（单位：），张老师随机抽取了该校八年级名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）______．扇形统计图中______．并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数； （3）若梅岭中学八年级共有学生人，请根据样本数据，估计梅岭中学八年级参加公益活动的时间是的学生有多少人？ 【答案】（1），， （2）参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数为 （3）估计梅岭中学八年级参加公益活动的时间是的学生有人 【解析】 【分析】（1）用的人数除以所占的比例，求出的值，再用的人数除以总数，求出的值，求出的人数，补全条形图即可； （2）用度乘以的人数所占的比例，进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴； 的人数为：， 补全条形图略； 【小问2详解】 解：； 答：参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计梅岭中学八年级参加公益活动的时间是的学生有人． 23. 学校计划购买，两种书架，已知购买个种书架比个种书架的价格高，用元购买种书架的数量比用元购买种书架的数量多个．每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ 【答案】 每个种书架的价格是元，每个种书架的价格是元 【解析】 【详解】解：设每个种书架的价格为元，则每个种书架的价格为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 每个种书架为元， 每个种书架为（元）． 答：每个种书架的价格是元，每个种书架的价格是元． 24. 按要求画出图形： （1）在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形：在图1中，以格点为顶点画一个面积为8的正方形； （2）如图2，已知点，B为第二象限内的一个整点（即横纵坐标都为整数的点），且． ①直接写出点B的坐标为 ； ②画出以A、B、O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形． 【答案】（1）如图，四边形即为所求， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据面积为 8 的正方形的边长为画出正方形即可； （2）①根据勾股定理可知也是两直角边长分别为1和3的斜边，再结合点是第二象限内的整点即可得到答案；②根据平行四边形的判定定理作图即可． 【小问1详解】 解：∵正方形的面积为 8 ， ∴正方形的边长为， 如图1所示，四边形对角线互相平分相等且垂直， 故四边形是正方形，且边长为； 【小问2详解】 解：①∵是两直角边长分别为1和3的斜边，， ∴也是两直角边长分别为 1 和 3 的斜边， ； （2）略 25. 如图，已知平行四边形中，对角线交点O，E是延长线上的点，且是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）80 【解析】 【分析】（1）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明即可； （2）根据条件证明菱形是正方形，即可求出． 本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质、证明四边形是菱形与正方形是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 由（1）知，，， ∴，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ∴菱形是正方形， ∴四边形的面积． 26. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______ （3）证明你的猜想． 【答案】（1） （2） （3）证明过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查数的变化规律，二次根式的性质，掌握二次根式的性质化简是解题的关键． （1）根据材料提示的二次根式的计算方法进行计算即可求解； （2）根据（1）中计算的结果进行推测即可； （3）运用二次根式的性质进行化简计算即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据上述计算可得，， 故答案为：（为正整数）； 【小问3详解】 证明： 左边， ∵为正整数， ∴左边右边， ∴． 27. 已知，为非负实数， ， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知，则当______时，代数式取到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ （3）已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【答案】（1）， （2）当长、宽均为时，所用篱笆最短，最短篱笆长度为 （3）当时，代数式取到最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）直接套用均值不等式即可得到最小值和对应的x的值； （2）设出矩形的长，将篱笆周长表示为两个正数和的形式，再利用均值不等式求解最小值； （3）先对代数式变形，将其转化为分母为两个正数和的形式，利用均值不等式得到分母的最小值，即可得到原代数式的最大值． 【小问1详解】 解：令，，则由，得． 当且仅当时，等号成立， 解得（负值舍去）， 即时，代数式取到最小值，最小值为． 【小问2详解】 解：设矩形花园的长为x米，篱笆总长度为y米， 矩形花园的面积为， 矩形的宽为， 由均值不等式得， ∴， 当且仅当时，等号成立， 解得（负值舍去）， 此时宽为（m）， 即当长、宽均为时，所用篱笆最短，最短篱笆长度为； 【小问3详解】 解：， ， 由均值不等式得， 当且仅当时，等号成立， 解得（负值舍去）， 此时取最小值8，分母取最小值， 取最大值， 即当时，代数式取到最大值，最大值为． 28. 综合与实践：数学张老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图1，四边形是一张矩形纸片，，．先将边向上翻折，使与重合，折痕为（如图2），沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为． （1）如图3，小聪将矩形的顶点旋转至边上，连接交于点． ①则的长为______；②求证：． （2）如图4，小明继续旋转矩形，他发现，当点落在的延长线上时，点、、在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由． （3）小红在小明的基础上继续探究，连接交于点，延长交的延长线于点，小红说她可以计算出的长，则______． 【答案】（1）①1； ②证明：如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴， 由①可知，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）小明的发现正确，理由如下： 如图，连接， 由折叠得：四边形和四边形是全等的矩形， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点，，在同一条直线上． （3） 【解析】 【分析】（1）①先由折叠得：，，由勾股定理得，可得的长； ②连接，过点作于点，利用等面积法可得，证明，可得结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再证明，可得，即可得结论； （3）连接，，先证明，由等面积法可得，则可得，设，在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵将边向上翻折，使与重合，折痕为， ∴，，， 由旋转可得，， 在中，， ∴． ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，， 由（2）知：，，三点共线，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末考试试卷 初二年级数学学科 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置．） 1. 以下图形是我国部分博物馆标志的图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 分式（、均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 缩小为原来的 5. 下列结论中正确的是（ ） A. 为了调查中央电视台“经典咏流传”节目的收视率，采取普查的方式 B. 神舟二十三号载人飞船零部件检查，采取抽样调查的方式 C. “打开电视，播放苏超体育赛事”是必然事件 D. “随机选择一个扬州景点游玩，恰好选中瘦西湖”是随机事件 6. 植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰，某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植棵树，乙班共植棵树，设乙班每小时植棵树，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（ ）． A. B. C. D. 无法确定 8. 若，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填在答题纸相应位置．） 9. 化简的结果是_____． 10. 今年某市有近9000名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，这个问题中，样本容量为__________． 11. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共70个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的红球大约有________个． 12. 若菱形的两条对角线长分别是和，则菱形一边上的高是__________． 13. 学习了概率相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.624 0.618 0.620 随着试验次数的增加，估计“针尖朝上”的概率接近于________（精确到0.01）． 14. 若，则化简得_______． 15. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 16. 如图，，分别是的边，上的点，连接，，是点关于的对称点，是点关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是__________． 17. 分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 18. 如图，点为正方形边上一动点，，将点绕点顺时针旋转到点，若分别为中点，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置．） 19. 计算： （1） （2） 20. 解答下列各题 （1）分解因式：； （2）解方程：． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 2026年6月5日是第55个世界环境日，梅岭中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间（单位：），张老师随机抽取了该校八年级名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）______．扇形统计图中______．并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数； （3）若梅岭中学八年级共有学生人，请根据样本数据，估计梅岭中学八年级参加公益活动的时间是的学生有多少人？ 23. 学校计划购买，两种书架，已知购买个种书架比个种书架的价格高，用元购买种书架的数量比用元购买种书架的数量多个．每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ 24. 按要求画出图形： （1）在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形：在图1中，以格点为顶点画一个面积为8的正方形； （2）如图2，已知点，B为第二象限内的一个整点（即横纵坐标都为整数的点），且． ①直接写出点B的坐标为 ； ②画出以A、B、O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形． 25. 如图，已知平行四边形中，对角线交点O，E是延长线上的点，且是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 26. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______ （3）证明你的猜想． 27. 已知，为非负实数， ， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知，则当______时，代数式取到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ （3）已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 28. 综合与实践：数学张老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图1，四边形是一张矩形纸片，，．先将边向上翻折，使与重合，折痕为（如图2），沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为． （1）如图3，小聪将矩形的顶点旋转至边上，连接交于点． ①则的长为______；②求证：． （2）如图4，小明继续旋转矩形，他发现，当点落在的延长线上时，点、、在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由． （3）小红在小明的基础上继续探究，连接交于点，延长交的延长线于点，小红说她可以计算出的长，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $