精品解析：江苏省镇江市丹徒区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2026年春学期期末质量调研八年级数学试卷 本试卷共6页，共26题；全卷满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 八年级某班有男生人，女生占全班人数的，则男生出现的频率和女生出现的频数分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1． 首先根据各小组频率之和等于1求出男生出现的频率．再根据频率、频数的关系先求出全班人数，再求出女生出现的频数． 【详解】解：男生出现的频率， 全班人数，女 生出现的频数． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根的基本概念．根据算术平方根的非负性及立方根的性质逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、 ，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 离离原上草，一岁一枯荣 B. 白日依山尽，黄河入海流 C. 东风吹柳绿，未必雁归来 D. 白发三千丈，缘愁似个长 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义，在一定条件下，必然会发生的事件是必然事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，一定不会发生的事件是不可能事件． 【详解】 解：A、“离离原上草，一岁一枯荣”是自然规律，一定会发生，是必然事件； B、“白日依山尽，黄河入海流”是自然规律，一定会发生，是必然事件； C、“东风吹柳绿，未必雁归来”说明雁可能归来也可能不归来，事件可能发生也可能不发生，是随机事件； D、“白发三千丈”不符合实际，一定不会发生，是不可能事件． 4. 在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴. 5. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】能用完全平方公式分解的多项式需满足：共三项，两项平方项符号相同，第三项是两平方项底数乘积的2倍，符合的形式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中，x不是两底数积的2倍，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求； B、中，常数项为负，两个平方项符号不同，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求； C、只有两项，可用平方差公式分解，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求； D、，符合完全平方公式的形式，可以因式分解，符合要求． 6. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据最简分式的定义判断，分子分母没有公因式的分式为最简分式，对各选项分解后找公因式即可得到答案． 【详解】解：A选项：，可以约分，A不符合要求． B选项：分母，原式，可以约分，B不符合要求． C选项：，可以约分，C不符合要求． D选项：的分子和分母没有公因式，不能约分，D是最简分式． 7. 如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算四个小图形的面积之和，再确定拼成的大长方形的长和宽，根据面积相等即可得出多项式的因式分解形式，注意因式分解是将和化为积的形式． 【详解】解：∵四个小图形的面积分别为：，，，， ∴四个图形的面积之和为：， 又∵这四个图形能拼成一个大长方形， ∴大长方形的长为，宽为或长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∴根据面积相等可得：且符合多项式的因式分解． 8. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是正方形 D. 当时，它是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 选项A：当时，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故A正确，该选项不符合题意； 选项B：当时，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故B正确，该选项不符合题意； 选项C：当时，由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得出它是正方形，故C错误，该选项符合题意； 选项D：当时，由“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故D正确，该选项不符合题意． 9. 暑假期间八（1）班的学生在社区开展志愿服务，他们分成5个小组，共需制作360面彩旗，已知每组人数相同，人均工作量相同，现在因1个小组另有任务，其余4个小组的每名学生要比原计划多做2面彩旗才能完成任务，如果设每个小组有学生名，那么可以列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．设每个小组有学生名，根据题意“其余4个小组的每名学生要比原计划多做2面彩旗才能完成任务”列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设每个小组有学生名，根据题意可列方程得， ， 故选：C． 10. 如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，根据垂线段最短可知当时，的值最小，此时的值也就最小，利用勾股定理和等面积法求出的长即可求解． 【详解】解：如图，连接，   ∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，的值最小，此时的值也就最小， 在中，，，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式有意义， ∴， ∴． 12. 世界卫生组织1995年确立身体质量指数标准，体重身高．为了解某校八年级300名学生的情况，从中抽查了50名学生的身高与体重进行统计分析，这个问题中的样本容量是______． 【答案】 50 【解析】 【分析】根据样本容量指的是样本中个体的数目，它只是一个数字，不带单位，结合题干中抽查的个体数量得到结果． 【详解】解：根据统计相关概念，总体是某校八年级300名学生的情况，样本是从中抽取的50名学生的情况，样本容量是样本中包含的个体的数目， 因此可得这个问题中的样本容量是50． 13. 已知如图在等腰梯形中，，，，若，则等腰梯形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，梯形周长的转化计算． 作交于点，证明四边形是平行四边形，以及是等边三角形，得到，继而得出梯形的周长． 【详解】解：如图，作交于点， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 梯形的周长为． 14. 某团队的图像分类模型训练集中，包含1条标记为“类别A”的标注数据、2条标记为“类别B”的标注数据和3条标记为“类别C”的标注数据（标注数据除类别标签外，图像内容、格式等特征完全相同）．将数据集随机打乱后抽取1条用于模型测试，若要使抽到“类别A”标注数据的概率最大，至少需要向训练集中增加______条“类别A”的标注数据． 【答案】 【解析】 【详解】解：原有标注数据中，类别A有条，类别B有条，类别C有条，总数量为（条）， 设至少需要向训练集中增加条“类别A”的标注数据，为正整数，增加后，类别A的数量为条，总数据数量为条， 要使抽到“类别A”的概率最大，只需类别A的数量分别大于类别B和类别C的数量， 列不等式组得， 解得， 因此的最小整数值为． 15. 若实数，满足（），若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】对已知等式移项后因式分解，结合的条件得到与的线性关系，代入的值即可计算得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 在平面直角坐标系中，，，菱形关于轴、轴对称，点，分别是，的中点，若菱形内部一点关于直线的对称点在直线上，设点的横坐标为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据轴对称性质确定菱形各顶点坐标，再求出中点坐标得到直线的方程，利用轴对称性质得到点横纵坐标的关系，结合点在菱形内部列出不等式求解，得到的取值范围． 【详解】解：根据题意，菱形关于轴、轴对称，由，， ∴，，，． ∵，分别是，的中点， ∴由中点坐标公式得：，， ∴直线的方程为． 设，点关于的对称点为，由对称性质得，得且． ∵在直线上，代入得， ∴点坐标为． ∵菱形内部的点满足不等式， ∴将代入得：． 分情况解不等式： (1)当时，不等式化为，解得，得； (2)当时，不等式化为，解得，得； (3)当时，不等式化为，解得，无交集，无解． 综上，的取值范围是． 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 先化简，再从中选择一个合适的整数，求值． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解： ； ∵且， ∴且， ，且x为整数， ， 当时，原式． 20. 在数学课上老师出了一道题，小马同学完成分式方程的部分求解过程如下： 解方程： 去分母，得：；① 去括号，得：；② 移项，得：；③ ……． 请根据以上解题过程回答问题： （1）小马同学从第 步开始出现错误，你的判断依据 ； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）①，去分母时等式右边的常数项漏乘了最简公分母 （2）解方程：， 去分母，得：； 去括号，得：； 移项，得：； 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 经检验，是原方程的解． 【解析】 【小问1详解】 解：小马同学从第①步开始出现错误，判断依据是去分母时等式右边的常数项漏乘了最简公分母； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1） 证明：∵点为的中点 ∴， ∵ ∴，， 在和中 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）当时，四边形是矩形， 证明：∵ ，点是边上的中点， ∴ 即， ∵ 由（1）得四边形是平行四边形， ∴ 四边形是矩形. 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，可得，结合可得结论； （2）由，点是边上的中点，可得即，结合由（1）得四边形是平行四边形，从而可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图的宣传，根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为90吨． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据每台新型机器人搬运900吨货物的时间和每台旧型机器人搬运600吨货物的时间相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型机器人每天搬运的货物量为90吨． 23. 4月20日至26日是2026年“全民阅读活动周”，也是我国首个“全民阅读活动周”，本次活动以“共促全民阅读，共建书香社会”为主题．某校“综合与实践”活动小组了解全校2400名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成如下调查报告（不完整）： 中学学生读书情况调查报告 调查主题 中学学生读书情况 调查方式 ________ 调查对象 中学学生 数据的收集、整理与描述 第一项 （单选）你平时每周阅读课外书的时间大约是（ ） A．8小时及以上 B．小时 C．小时 D．小时 注：每项含最小值，不含最大值 第二项 （可多选）你阅读的课外书的主要来源是（ ） E．自行购买 F．从图书馆借阅 G．免费数字阅读 H．向他人借阅 调查结论 …… 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）本次采用调查方式是 ，参与本次调查的学生有 人，这些学生中选择“从图书馆借阅”的有 人； （2）估计该校2400名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数； （3）该小组要根据以上调查报告在全班交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查报告数据分别写出一条你获取的信息． 【答案】（1）抽样调查，， （2）人 （3）例如：第一项：①平均每周阅读课外书的时间在“小时”的人数最多；②平均每周阅读课外书的时间在“小时”的人数最少，③平均每周阅读课外书的时间在“8小时及以上”的学生人数占调查总人数的； 第二项：①阅读的课外书的主要来源中选择“从图书馆借阅”的人数最多；②阅读的课外书的主要来源中选择“向他人借阅”的人数最少． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知调查方式为抽样调查，先求解被调查的总人数，再由总人数乘以F类百分比即可得到答案； （2）利用样本估计总体的思想即可解决问题； （3）从平均每周阅读课外书的时间和阅读的课外书的主要来源写出一条你获取的信息即可． 【小问1详解】 解：本次采用调查方式是抽样调查，被调查的总人数为：（人）， 这些学生中选择“从图书馆借阅”的有（人）； 【小问2详解】 解：（人）． 答：估计该校2400名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数有人； 【小问3详解】 略 24. 对于任意正实数，，因为，所以，所以 我们把这个不等式叫做“基本不等式”． （1）当时，比较大小： ； （2）当时，有最小值 ，此时 ； （3）请用你探究的结论，求（）的最小值． 【答案】（1） （2） 最小值为，此时 （3） 最小值为 【解析】 【分析】（1）将代入“基本不等式”判断即可； （2）根据“基本不等式”和（1）的结论作答即可； （3）先将变形为，再根据“基本不等式”作答即可． 【小问1详解】 解：，且为正实数， ，， ； 【小问2详解】 解：， ，满足基本不等式的条件， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，即， ， 解得， ∴的最小值为，此时； 【小问3详解】 解：， ， ∴， 由基本不等式得， ， 当且仅当时等号成立，即， ∵， ∴，即，符合条件， ∴的最小值为． 25. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线，交于点，过点作，垂足为点． 【观察猜想】 （1）如图1，当为锐角时，用等式表示线段，，的数量关系：______． 【类比探究】 （2）如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 【拓展应用】 （3）当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）解：补全图形如下： （1）中结论不成立，正确的结论是：． 证明如下： 如图，过点C作于点Q． ∵平分，，， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】（1）过点C作于点P．根据“角平分线的性质”可得，．证，根据“全等三角形的性质”可得，．再证四边形是矩形，从而可得，最后证得； （2）过点C作于点Q．根据“角平分线的性质”可得，．证，根据“全等三角形的性质”可得，．再证四边形是矩形，从而可得，最后证得； （3）分和两种情况进行讨论求解，先证 ，再运用勾股定理求，证，最后求出． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图，过点C作于点P． ∵平分，，， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，或． 26. 我们把宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形的一种折叠方式的步骤如下： 第一步，在宽为的矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平； 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，得到图4． （1）请说明矩形是黄金矩形； （2）求证：； （3）在图4中仅用圆规在折痕，上作，，使得四边形为黄金矩形（要求：写出作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）证明：根据第一步，可知四边形是正方形，正方形的边长为． 根据第二步，可知． 在中，根据勾股定理，得． 根据第三步，可知， ∴四边形是平行四边形， ， ． ， 矩形是黄金矩形． （2）解：∵，，， ∴，， ∴； （3）根据作图可得， ∴ ∴四边形为黄金矩形 【解析】 【分析】（1）根据折叠可知，由勾股定理可得，易得出的值，再求的值即可判断； （2）将数据代入计算即可； （3）分别以为圆心，的长为半径作弧，分别交于点，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期期末质量调研八年级数学试卷 本试卷共6页，共26题；全卷满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 八年级某班有男生人，女生占全班人数的，则男生出现的频率和女生出现的频数分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 离离原上草，一岁一枯荣 B. 白日依山尽，黄河入海流 C. 东风吹柳绿，未必雁归来 D. 白发三千丈，缘愁似个长 4. 在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是正方形 D. 当时，它是矩形 9. 暑假期间八（1）班的学生在社区开展志愿服务，他们分成5个小组，共需制作360面彩旗，已知每组人数相同，人均工作量相同，现在因1个小组另有任务，其余4个小组的每名学生要比原计划多做2面彩旗才能完成任务，如果设每个小组有学生名，那么可以列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是__________． 12. 世界卫生组织1995年确立身体质量指数标准，体重身高．为了解某校八年级300名学生的情况，从中抽查了50名学生的身高与体重进行统计分析，这个问题中的样本容量是______． 13. 已知如图在等腰梯形中，，，，若，则等腰梯形的周长为________． 14. 某团队的图像分类模型训练集中，包含1条标记为“类别A”的标注数据、2条标记为“类别B”的标注数据和3条标记为“类别C”的标注数据（标注数据除类别标签外，图像内容、格式等特征完全相同）．将数据集随机打乱后抽取1条用于模型测试，若要使抽到“类别A”标注数据的概率最大，至少需要向训练集中增加______条“类别A”的标注数据． 15. 若实数，满足（），若，则______． 16. 在平面直角坐标系中，，，菱形关于轴、轴对称，点，分别是，的中点，若菱形内部一点关于直线的对称点在直线上，设点的横坐标为，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 先化简，再从中选择一个合适的整数，求值． 20. 在数学课上老师出了一道题，小马同学完成分式方程的部分求解过程如下： 解方程： 去分母，得：；① 去括号，得：；② 移项，得：；③ ……． 请根据以上解题过程回答问题： （1）小马同学从第 步开始出现错误，你的判断依据 ； （2）请写出正确的解答过程． 21. 如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，试判断四边形的形状，并证明． 22. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图的宣传，根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 23. 4月20日至26日是2026年“全民阅读活动周”，也是我国首个“全民阅读活动周”，本次活动以“共促全民阅读，共建书香社会”为主题．某校“综合与实践”活动小组了解全校2400名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成如下调查报告（不完整）： 中学学生读书情况调查报告 调查主题 中学学生读书情况 调查方式 ________ 调查对象 中学学生 数据的收集、整理与描述 第一项 （单选）你平时每周阅读课外书的时间大约是（ ） A．8小时及以上 B．小时 C．小时 D．小时 注：每项含最小值，不含最大值 第二项 （可多选）你阅读的课外书的主要来源是（ ） E．自行购买 F．从图书馆借阅 G．免费数字阅读 H．向他人借阅 调查结论 …… 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）本次采用调查方式是 ，参与本次调查的学生有 人，这些学生中选择“从图书馆借阅”的有 人； （2）估计该校2400名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数； （3）该小组要根据以上调查报告在全班交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查报告数据分别写出一条你获取的信息． 24. 对于任意正实数，，因为，所以，所以 我们把这个不等式叫做“基本不等式”． （1）当时，比较大小： ； （2）当时，有最小值 ，此时 ； （3）请用你探究的结论，求（）的最小值． 25. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线，交于点，过点作，垂足为点． 【观察猜想】 （1）如图1，当为锐角时，用等式表示线段，，的数量关系：______． 【类比探究】 （2）如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 【拓展应用】 （3）当，且时，若，请直接写出的值． 26. 我们把宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形的一种折叠方式的步骤如下： 第一步，在宽为的矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平； 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，得到图4． （1）请说明矩形是黄金矩形； （2）求证：； （3）在图4中仅用圆规在折痕，上作，，使得四边形为黄金矩形（要求：写出作法，保留作图痕迹）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $