精品解析：江苏省南通市如皋市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025-2026学年度八年级第二学期期末学业质量监测试卷数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 以下四个图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、将图形绕着图形的中心点旋转180度后与原图重合，所以该图形是中心对称图形，所以选项A符合题意； B、C、D三个选项，找不到这样一点，将图形绕着该点旋转180度后与原图重合，所以该图形不是中心对称图形，所以选项B、C、D均不符合题意． 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 对顶角相等 B. 三角形内角和等于 C. 平行四边形对角线互相平分 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、对顶角相等是一定发生的事件，属于必然事件，不符合要求； B，任意三角形内角和为，三角形内角和等于是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不符合要求； C，平行四边形对角线互相平分是一定发生的事件，属于必然事件，不符合要求； D，抛掷一枚质地均匀的硬币，结果可能是正面向上，也可能是反面向上，正面向上是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，符合要求． 3. 在函数中，自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵函数， ∴， ∴． 4. 如图，在中，平分，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，又根据角平分线的定义可得，最后利用平行四边形的性质求出即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵平行四边形中， ∴. 5. 在音乐中，音高可以用半音数来表示（相邻两个半音相差1），一段旋律中，半音数与时间（单位：拍，，2，3，…表示第拍结束时的音高）满足一次函数关系，已知该旋律从中央C（）开始，部分数据如下表，则时，半音数的值为（ ） 时间（拍） 1 2 3 半音数 0 2 4 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，已知与满足一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，再代入计算即可得到结果 【详解】∵与满足一次函数关系， ∴设， 由表格数据得，当时，，当时， 代入得 ， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， 故选B 6. 如图为一次函数的图象，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】图象法求不等式的解集即可． 【详解】解：由图可知：直线与轴的交点为，当时，直线在轴的上方， ∴不等式的解集为． 7. 科学家同时培育了甲，乙，丙，丁四种花，从中选开花时间最长并且最稳定的是（ ） 种类 甲 乙 丙 丁 开花时长（单位：天）的平均数 6 8 10 10 开花时长（单位：天）的方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】平均数越大，平均开花时间越长，方差越小，开花时长越稳定，据此筛选即可得到结果． 【详解】解：平均数越大，开花时间越长，观察表格可知，丙和丁的平均数最大，均为， 丙和丁的开花时间最长， 又方差越小，开花时长越稳定，丙的方差为，丁的方差为，， 丁的开花时长更稳定， 因此开花时间最长并且最稳定的是丁． 8. 如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设粘贴区宽度为，则中间空白部分的长为，宽为， 则． 9. 如图，在正方形中，点在对角线上，连接，过点作，交线段于点，过点作于点．小明认为：总有；小红认为：存在四边形的面积和的面积相等的情况，此时要满足．则（ ） A. 小明观点正确，小红观点错误 B. 两人观点均正确 C. 小明观点错误，小红观点正确 D. 两人观点均错误 【答案】A 【解析】 【分析】验证小明观点：过点作于，利用正方形性质和角平分线性质证明，从而得出； 验证小红观点：设，分别表示出四边形和的面积，建立方程求解与的关系，判断是否满足  【详解】验证小明观点： 过点作于   四边形是正方形，是对角线  ，平分    ， 四边形是正方形            在和中        故小明观点正确； 验证小红观点：  设   四边形是正方形                  若  则      ， 即     小红观点错误 综上所述，小明观点正确，小红观点错误． 10. 已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 佳佳同学在一个质地均匀的正方体盒子的六个面分别写了“我”“爱”“你”“中”“国”“！”，则抛掷一次这个盒子，朝上一面显示“国”的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：抛掷一次质地均匀的正方体盒子，共有种等可能的结果， 其中朝上一面显示“国”的结果有种， ∴朝上一面显示“国”的概率为． 12. 一次函数，若随着的增大而增大，请写出一个符合条件的值______． 【答案】 （答案不唯一，任意满足的值均可） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，一次函数中随增大而增大时，可得，写出一个符合条件的正数即可. 【详解】解：∵一次函数y=kx+3中，y随着x的增大而增大， ∴， 任意取一个大于的实数作为，例如.（答案不唯一） 13. 已知关于x的一元二次方程可以配方成，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式和配方法，将一元二次方程化为一般形式，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴化为一般形式得：， ∵关于x的一元二次方程可以配方成， ∴， 故答案为：1． 14. 一组数据，，…，的平均数为10，则数据，，…，的平均数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的定义，先由原数据的平均数得到原数据的总和，再计算新数据的平均数即可. 【详解】解：数据，，，的平均数为， ， ∴， 则新数据，，，的平均数为： . 15. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，的对应边正好过点，此时与交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据含的直角三角形的性质求出和的长，利用旋转的性质得到，，从而判定是等边三角形，求出旋转角的度数，最后在中利用的直角三角形的性质求出的长． 【详解】解：在中，，，， ，， ， 由旋转可得，，，， 是等边三角形， ， 旋转角， 在中，，， ， 是直角三角形， ∴． 16. 如图，射线，，，分别是，上的两个动点（不与，重合），，是上一点，，是的中点． （1）若，，则的长为______； （2）若，，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）过点作于点，构造矩形和直角三角形，利用勾股定理求解； （2）延长至，使，连接，作延长线于点，利用三角形中位线定理和勾股定理找出与的数量关系，代入代数式计算 【详解】解：（1）过点作于点， ， ， ，  ，  四边形是矩形 ， ， ，  ，  ，  ， 在中，由勾股定理得   ； （2）延长至，使，连接，作延长线于点， ， ∵是的中点，， ∴是的中位线，， 则， 设，则， 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∵， 则为矩形， , ∴， ， ， 在中，由勾股定理得  ， 在中，由勾股定理得 ∴ ， ， ，  ， ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由十字相乘因式分解法解一元二次方程即可； （2）先移项、合并同类项，再由完全平方公式因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 则， ． 18. 年“苏超”即江苏省城市足球联赛再度开赛，小驰、小成和小龙都是足球迷，三人都已经买到足球票，相约一起去看足球赛．已知奥体中心，两个入口均能进入场馆． （1）小龙从入口进入场馆的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求三人从同一入口进入场馆的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由简单概率公式求解即可； （2）画出树状图得到所有等可能的结果及满足题意的结果，由简单概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：奥体中心，两个入口均能进入场馆， 小龙从入口进入场馆的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中三人从同一入口进入场馆的有种结果，则三人从同一入口进入场馆的概率为． 19. 某商场响应国家消费品“以旧换新”的号召，开展了家电惠民补贴活动，4月份投入资金20万元，6月份投入资金万元． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场7月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】（1）该商场投入资金的月平均增长率为； （2）预计该商场7月份投入资金将达到万元 【解析】 【分析】（1）先设该商场投入资金的月平均增长率为x，根据4月份和6月份的投入资金列出一元二次方程，舍去不符合实际的负根得到增长率； （2）利用增长率计算7月份的投入资金即可． 【小问1详解】 解：设该商场投入资金的月平均增长率为x， 依题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该商场投入资金的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：由（1）得月平均增长率为， ∴7月份投入资金为：（万元）， 答：预计该商场7月份投入资金将达到万元． 20. 在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别为，，． （1）先将绕原点顺时针旋转，得到，再将绕原点顺时针旋转得到，请画出与； （2）若一次函数的图象与线段或线段有交点，求的取值范围． 【答案】（1）与如图所示； （2）或 【解析】 【分析】（1）利用平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转坐标变换规律，依次求出，，两次旋转后的对应点坐标，再描点连线画出对应三角形； （2）先求出、、三点坐标，分别把三点代入一次函数算出临界值，结合线段位置分类讨论，确定的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵先将绕原点顺时针旋转，得到，再将绕原点顺时针旋转得到，， ∴， ∵当时，， ∴直线恒过定点， ①如图，当直线过时，， 解得， 当直线过时，， （无解）， ∴线段与直线有交点时：； ②如图，当直线过时， ， 解得， 当直线过时，， （无解）， ∴线段与直线有交点时：， 综合得：或． 21. 如图，四边形是矩形，是对角线和的交点，分别过点，作，，交点为． （1）补全图形，并证明：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）解：补全图形，如下图所示： 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，根据矩形的性质可证，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可证结论成立； （2）根据矩形的性质可得，再根据菱形的性质可得：菱形的面积为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：矩形中，， 矩形的面积为， ， 菱形的面积为． 22. 为了解学生科学素养情况，随机抽取，班各名学生的科学素养测试成绩，对成绩（百分制，单位：分）进行了收集、整理和分析，部分信息如下： （Ⅰ）班成绩如下：、 、 、、、、、、、； （Ⅱ）部分数据如下表： 班级 平均数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 （1）请计算： ； ； （2）请补全箱线图； （3）小华计算了两个班分数的平均数，发现，得出结论：801班学生科学素养情况要优于802班．你认为合理吗？请结合箱线图，说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）不合理，理由如下：平均数，只能说明班学生科学素养平均成绩大于班，不能表明班学生科学素养情况要优于班， 由箱线图可得，班的科学素养成绩更集中，波动更小，说明班的科学素养情况要优于班． 【解析】 【分析】（1）把班的成绩从小到大排序，中位数为第五位，第六位数和的一半，得到前半段的数据，即可得到，； （2）由题意可得，最大值为，最小值为，，，的值，补全箱线图，即可； （3）根据箱线图，进行解答，即可． 【小问1详解】 解：把班成绩的成绩从小到大排序：、  、 、、、、、、、； ∴中位数为：； ∴前半段的数据为：、  、 、、； ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 为了满足不同客户的需求，电信公司推出两种流量套餐： 套餐种类 计费方式 基础费用每月30元（包含通用流量），超过部分每收费1元； 通用流量元/，当月使用流量达到后不再收取额外费用． （1）请分别写出，套餐所需费用（单位：元）与当月使用流量（单位：）之间的函数关系式； （2）某消费者每月使用流量超过，请帮他选择更省钱的方案，并说明理由． 【答案】（1）A套餐：当时，；当时，；B套餐：当时，；当时，． （2）当时，选择A套餐更省钱；当时，两种套餐费用相同；当时，选择B套餐更省钱 【解析】 【分析】（1）分范围写出分段函数； （2）在的条件下，比较两个函数值的大小，分情况得到更省钱的方案． 【小问1详解】 解：A套餐：当时，；当时，； B套餐：当时，；当时，． 【小问2详解】 解：当时，此时A套餐费用为，B套餐费用为， 当，即， 解得：， 当，即， 解得：， 当，即， 解得：， 又因为， ； 当时，选择A套餐更省钱；当时，两种套餐费用相同；当时，选择B套餐更省钱． 24. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点在第一象限． （1）求，两点的坐标； （2）若的面积与的面积相等，求的值； （3）在平面直角坐标系中存在一点，使得以，，，四个点为顶点的四边形为矩形，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）轴上点纵坐标为0，轴上点横坐标为0，代入函数解析式求解即可； （2）先求出的面积，可得的面积，再用点的坐标表示的面积，代入计算即可； （3）根据矩形互相平分且相等的性质，列中点公式求的坐标，再验证对角线相等即可． 【小问1详解】 令，代入一次函数解析式得， 解得， ∴； 令，代入一次函数解析式得， ∴； 【小问2详解】 过作轴于，过作，交于， ∵轴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∵且在第一象限， ∴， ∴ ， ∴, ∴ ， ​ 令， 解得； 【小问3详解】 由(2)得 ，四个点构成矩形，根据矩形对角线互相平分且相等，分三种情况讨论： ① 若为矩形的对角线： 中点坐标为 ，， 设， ∴由中点重合： 解得 ∴ ， ∵矩形的对角线相等，则, ∴， 整理的：, 解得：，， ∴（不符合题意，舍去）或； ② 若为矩形的对角线： 中点坐标为 ， 同理得：  解得  ， 此时,即， ∴ 整理得， 解得（舍去） ③ 若为矩形的对角线： 中点坐标为 ， 同理得： ​ 解得 ， ∴， ∵， ∴ 整理得， ∴， ∴; ∴ 存在或使得以，，，四个点为顶点的四边形为矩形． 25. 如图1，在中，，点是边上的动点，作，与边交于点． （1）如图1，若，，，求的长度； （2）若，，当时，求的长（用含有，的式子表示）； （3）如图2，在的平分线上截取，若，请探究，，的关系，并加以证明． 【答案】（1）； （2）； （3）结论：，证明如下： 连接， 平分，， ， ， 为等边三角形， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在与中 ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形性质求出各内角，结合、推导角度，判定、为含的直角三角形，求出、，再用勾股定理求； （2）在上截取，结合用证，转化线段得到，代入边长求解； （3）连接，先由角平分线、证为等边三角形，得、，结合平行四边形与推出，通过角度等量代换证，再转化线段得到的数量关系． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ； 【小问2详解】 解：在上取点，使，连接 ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在与中 ， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级第二学期期末学业质量监测试卷数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 以下四个图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 对顶角相等 B. 三角形内角和等于 C. 平行四边形对角线互相平分 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 3. 在函数中，自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，平分，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在音乐中，音高可以用半音数来表示（相邻两个半音相差1），一段旋律中，半音数与时间（单位：拍，，2，3，…表示第拍结束时的音高）满足一次函数关系，已知该旋律从中央C（）开始，部分数据如下表，则时，半音数的值为（ ） 时间（拍） 1 2 3 半音数 0 2 4 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图为一次函数的图象，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 科学家同时培育了甲，乙，丙，丁四种花，从中选开花时间最长并且最稳定的是（ ） 种类 甲 乙 丙 丁 开花时长（单位：天）的平均数 6 8 10 10 开花时长（单位：天）的方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点在对角线上，连接，过点作，交线段于点，过点作于点．小明认为：总有；小红认为：存在四边形的面积和的面积相等的情况，此时要满足．则（ ） A. 小明观点正确，小红观点错误 B. 两人观点均正确 C. 小明观点错误，小红观点正确 D. 两人观点均错误 10. 已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 佳佳同学在一个质地均匀的正方体盒子的六个面分别写了“我”“爱”“你”“中”“国”“！”，则抛掷一次这个盒子，朝上一面显示“国”的概率为______． 12. 一次函数，若随着的增大而增大，请写出一个符合条件的值______． 13. 已知关于x的一元二次方程可以配方成，则m的值为______． 14. 一组数据，，…，的平均数为10，则数据，，…，的平均数为______． 15. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，的对应边正好过点，此时与交于点，则的长为______． 16. 如图，射线，，，分别是，上的两个动点（不与，重合），，是上一点，，是的中点． （1）若，，则的长为______； （2）若，，则的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 年“苏超”即江苏省城市足球联赛再度开赛，小驰、小成和小龙都是足球迷，三人都已经买到足球票，相约一起去看足球赛．已知奥体中心，两个入口均能进入场馆． （1）小龙从入口进入场馆的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求三人从同一入口进入场馆的概率． 19. 某商场响应国家消费品“以旧换新”的号召，开展了家电惠民补贴活动，4月份投入资金20万元，6月份投入资金万元． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场7月份投入资金将达到多少万元？ 20. 在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别为，，． （1）先将绕原点顺时针旋转，得到，再将绕原点顺时针旋转得到，请画出与； （2）若一次函数的图象与线段或线段有交点，求的取值范围． 21. 如图，四边形是矩形，是对角线和的交点，分别过点，作，，交点为． （1）补全图形，并证明：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 22. 为了解学生科学素养情况，随机抽取，班各名学生的科学素养测试成绩，对成绩（百分制，单位：分）进行了收集、整理和分析，部分信息如下： （Ⅰ）班成绩如下：、 、 、、、、、、、； （Ⅱ）部分数据如下表： 班级 平均数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 （1）请计算： ； ； （2）请补全箱线图； （3）小华计算了两个班分数的平均数，发现，得出结论：801班学生科学素养情况要优于802班．你认为合理吗？请结合箱线图，说明理由． 23. 为了满足不同客户的需求，电信公司推出两种流量套餐： 套餐种类 计费方式 基础费用每月30元（包含通用流量），超过部分每收费1元； 通用流量元/，当月使用流量达到后不再收取额外费用． （1）请分别写出，套餐所需费用（单位：元）与当月使用流量（单位：）之间的函数关系式； （2）某消费者每月使用流量超过，请帮他选择更省钱的方案，并说明理由． 24. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点在第一象限． （1）求，两点的坐标； （2）若的面积与的面积相等，求的值； （3）在平面直角坐标系中存在一点，使得以，，，四个点为顶点的四边形为矩形，求点的坐标． 25. 如图1，在中，，点是边上的动点，作，与边交于点． （1）如图1，若，，，求的长度； （2）若，，当时，求的长（用含有，的式子表示）； （3）如图2，在的平分线上截取，若，请探究，，的关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $