精品解析：江苏省扬州市仪征市2025-2026学年 八年级下学期期末数学试卷

2025～2026学年第二学期期末试卷 八年级 数学 （总分：150分 时间：120分钟） 友情提醒：所有学生解答应填写到本学科考试所提供的网络阅卷答题纸上，否则一律无效，答题纸保证卷面整洁，无涂损，不得折叠． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四边形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义判断选项即可． 【详解】解：选项A，等腰梯形沿上下底中点所在直线折叠可重合，是轴对称图形； 但旋转后无法与原图形重合，不是中心对称图形，符合题意； 选项B，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； 选项C，菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； 选项D，正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 水落石出 B. 水涨船高 C. 水滴石穿 D. 水中捞月 【答案】D 【解析】 【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可 【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意； B、水涨船高是必然事件，不符合题意； C、水滴石穿是必然事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，符合题意； 故选D 【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键． 3. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式； B、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式. 4. 某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如下尚不完整的调查问卷： 调查问卷 ________年________月________日 你平时最喜欢的一种体育运动项目是（ ）（单选） A． B． C． D．其他运动项目 准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目，选取合理的是（ ） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ②③④ D. ②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中找到三个互不包含，互不交叉的项目即可． 【详解】解：∵①室外体育运动，包含了②篮球和③足球， ⑤球类运动，包含了②篮球和③足球， ∴只有选择②③④，调查问卷的选项之间才没有交叉重合， 故选：C． 【点睛】本题考查收集调查数据的过程与方法，理解题意，准确掌握收集数据的方法是解题的关键． 5. 若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到： 因为分式的值不变 所以是同时含有和的一次二项式 故选：A 【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键． 6. 顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是（　　） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定．因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形． 【详解】解：如图：四边形是矩形， 在中， ， ， 同理，，， 又在矩形中，， ， 四边形为菱形． 故选：B． 7. 在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图所示菱形，并测得，接着活动学具成为图所示正方形，并测得对角线，则图中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图1中连接，如图2中，连接．在图2中，利用勾股定理求出，在图1中，只要证明是等边三角形得到的长，再根据菱形的性质与勾股定理即可求解． 【详解】解∶如图1中连接，如图2中，连接． 在图2中， ∵四边形是正方形， ， ，， ， 在图1中，∵四边形是菱形，， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴． 8. 如图，是的边上的动点，，，分别是，，的中点，连接．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线定理，勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，掌握三角形的中位线等于第三边的一半．连接，过作，根据，分别是，的中点得到，由平行四边形性质可得，，，可得，得到，即可得到，则根据勾股定理可得的长度，进而可得，即可解答． 【详解】解：连接，过作， ∵，分别是，的中点， ∴， ∵在中，，，， ∴，，， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 要使分式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由分式有意义，可得再解不等式即可得到答案． 【详解】解： 分式有意义， 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为0”是解本题的关键． 10. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质化简，再加法运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的加法，正确求解是解答的关键． 11. 要了解某班学生的身高情况，适合的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）． 【答案】普查 【解析】 【分析】本题主要考查学生对普查和抽样调查适用场景的理解．普查适用于总体数量较小、需要精确数据的情况；抽样调查适用于总体数量庞大、有破坏性或难以全面调查的情况．题目中“某班学生”属于有限且小规模的群体，调查身高不会涉及破坏性操作或隐私问题，因此适合采用普查方式获取全体数据． 【详解】解：要了解某班学生的身高情况，适合的调查方式是普查． 故答案为：普查． 12. 某校为了有效落实“双减”政策，切实减轻学生过重的作业负担，针对八年级名学生每天做课后作业的总时间情况进行调查，从中随机抽取了名学生进行每天做课后作业的总时间情况的调查，该调查中的样本容量是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据样本容量的定义，一个样本包含的个体数量叫做样本容量，据此即可求解. 【详解】解：本次调查中随机抽取了名学生进行调查，因此样本容量是． 13. 一只袋内装有3只红球和2只白球，这5只球除颜色外均相同，5人依次从袋中取一只球后并放回，则第四人摸到白球的概率是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】第四人摸到球的情况共有5种，而第四人摸到白球的有2种情况，用概率公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 第四人摸到球的情况共有5种，而第四人摸到白球的有2种情况， 第四人摸到白球的概率是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟练掌握计算公式：概率＝所求情况数与总情况数之比，是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，，点E在边上，且，若平分，则的长是____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质，角平分线的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为：5． 15. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_________． 【答案】 且 【解析】 【分析】解出分式方程后，根据解为非负数求出的范围，再根据分式方程分母不为零排除增根对应的值，即可得到答案． 【详解】去分母，方程两边同乘，得， 去括号得， 整理得， 分式方程的解为非负数， ， 解得， 又分式分母不能为，即， ，即， 的取值范围是且． 16. 如图，在矩形中，．分别以、为圆心，长为半径画弧，交、于点、．连接，，若，则的值等于_________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，．根据矩形性质和作图可得，进而证明四边形是平行四边形，结合判定其为菱形，利用菱形性质和勾股定理建立与的数量关系． 【详解】解：连接，． ∵四边形是矩形， ∴， 由作图可知：， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 若，，则的值等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知条件，，推导得到，再通过整体代入化简所求分式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 18. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据裁剪和拼接的线段关系可知，，在中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵地毯平均分成了3份， ∴每一份的边长为， ∴， 在中，根据勾股定理可得， 根据裁剪可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键． 三．解答题（本大题共有小题，共分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 21. 如图，老师在屏幕上展示了一个等式．按要求解答下列问题： （是一个代数式） （1）求代数式； （2）从，，0中选一个合适的数作为的值，代入求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的意义、分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则进行化简即可； （2）由题意，得，，只能选，代数求值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得 ； 【小问2详解】 解：由题意，得，， 只能选， ． 22. 为了解某景区外地自驾游客的分布情况，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根据车牌号归属地的不同，绘制了如下统计图（不完整）： 根据图中信息，解答下列问题． （1）小桐共调查了_______辆车，“豫”对应扇形的圆心角为_______°； （2）补全条形统计图； （3）若该景区附近宾馆停车场当日共有450辆外地自驾游客的车辆，估计其中车牌号归属地为“皖”的车辆有多少？ 【答案】（1）， （2） 补全统计图如下； （3）辆． 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体等知识． （1）用车牌号归属地为“苏”的车辆数除以对应的百分比即可求出调查的车辆数，再由乘以“豫”的车辆数对应的百分比即可求出圆心角度数； （2）求出车牌号归属地为“鲁”的车辆数，再补全统计图即可； （3）用所有车辆数乘以车牌号归属地为“皖”的车辆的百分比即可求出答案． 【小问1详解】 解：（辆）， 即小桐共调查了辆车， ， 即“豫”对应扇形的圆心角为， 故答案为：， 【小问2详解】 车牌号归属地为“鲁”的车辆数为： （辆）， 【小问3详解】 （辆） 答：其中车牌号归属地为“皖”的车辆有辆． 23. 列方程或方程组解应用题： 为响应低碳号召，肖老师上班的交通方式由自驾车改为骑自行车，肖老师家距学校15千米，因为自驾车的速度是骑自行车速度的4倍，所以肖老师每天比原来早出发45分钟，才能按原时间到校，求肖老师骑自行车每小时走多少千米． 【答案】15千米 【解析】 【分析】根据题意，骑自行车的时间＝开汽车的时间+45分钟，分别表示两个时间列方程求解． 【详解】解：设肖老师骑自行车每小时走x千米． 根据题意得：， 解得x＝15， 经检验x＝15是原方程的解，并符合实际意义， 答：肖老师骑自行车每小时走15千米． 【点睛】本题考查列分式方程解应用题，寻找题中相等关系是关键． 24. 如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，，，当的长为 时，四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ． 又， ， 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形和菱形的判定，难度适中，解题关键是熟练掌握它们的判定方法并灵活运用． （1）根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点G，作于点H， , 四边形是矩形， , ， , , ， , 在中，， 设, ，则, 在中，， ， 解得：， ∴当时，四边形是菱形． 25. 请判断以下两个命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请用尺规作图，作出反例，不写作法，保留作图痕迹． （1）两个连续正奇数的平方差一定是的倍数； （2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】（1）它是真命题，证明如下： 设两个连续的正奇数分别为，，其中k为正整数， ∴， ∵k为正整数， ∴是8的倍数， ∴是8的倍数， 即两个连续正奇数的平方差一定是的倍数． （2）它是假命题，反例为等腰梯形． 如图，在四边形中，，，满足了一组对边平行，另一组对边相等，但它不是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）用字母表示两个连续正奇数，利用平方差公式化简计算，结果为8与正整数的乘积，可判断命题为真； （2）等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，可以作为反例说明命题为假．作任意线段，以大于长为半径，分别以点A，B为圆心画弧，交于点C，则，是等腰三角形，．以点C为圆心，以小于的长为半径画弧，分别交，于点D，E，则，即是等腰三角形，，因此，可得到，又由线段的和差得到，从而得出四边形是等腰梯形，据此可作为该命题的反例． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． 刘奶奶：我每次买元的大米； 张奶奶：我每次买的大米． （1）刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为元，第二次大米的价格为元．两次购买大米总体看谁更划算？ （2）如果第一次购买大米的价格为元，第二次购买大米的价格为元，且，则两次购买大米总体算下来谁更划算呢？ 【答案】（1） 两次购买大米总体看刘奶奶更划算 （2） 两次购买大米总体看刘奶奶更划算 【解析】 【分析】（1）已知两次大米的具体单价，根据两人的购买规则分别计算总花费、总质量，求出平均单价后比较大小即可得出结论； （2）用含、的代数式分别表示出两人的平均单价，再通过作差法比较两个代数式的大小，即可得出结论． 【小问1详解】 解：已知刘奶奶每次购买20元大米，张奶奶每次购买大米，第一次单价为6元，第二次单价为5元， 刘奶奶两次购买的总花费为：（元） 刘奶奶两次购买的总质量为： 刘奶奶购买大米的平均单价为：（元） 张奶奶两次购买的总花费为：（元） 张奶奶两次购买的总质量为： 张奶奶购买大米的平均单价为：（元）  两次购买大米总体看刘奶奶更划算； 【小问2详解】 解：已知第一次单价为元，第二次单价为元，且，， 刘奶奶两次购买的总花费为：（元） 刘奶奶两次购买的总质量为： 刘奶奶购买大米的平均单价为：（元） 张奶奶两次购买的总花费为：（元） 张奶奶两次购买的总质量为： 张奶奶购买大米的平均单价为：（元） 计算两者的差： ，，  ，  即  两次购买大米总体看刘奶奶更划算． 27. 观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，解答下列问题： （1）_____________________________； （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：___________________； （3）利用上述规律计算：； （4）求：． 【答案】（1）； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）先将化为，再根据已知等式的规律可得答案； （4）运用进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 解：； ； ； ． …… ； 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 28. 如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E． （1）当点P是的中点时，求证：； （2）将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值； ③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；；②12,；③，见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再结合P是的中点证明； （2）①设，在中，表示出三角形的其他两边，再由勾股定理列方程计算即可； ②当点恰好位于对角线上时，最小，利用勾股定理计算即可； ③过点作，交于点M，证明，再由即可得到． 【小问1详解】 解：如图，在矩形中，， 即， ∴． ∵点P是的中点， ∴． ∴． 【小问2详解】 ①证明：如图，在矩形中，， ∴． 由折叠可知， ∴． ∴． 在矩形中，， ∵点P是的中点， ∴． 由折叠可知，． 设，则． ∴． 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 即． ②解：如图，由折叠可知，． ∴． 由两点之间线段最短可知， 当点恰好位于对角线上时，最小． 连接，在中，， ∴， ∴， ∴． ③解：与的数量关系是． 理由是：如图，由折叠可知． 过点作，交于点M， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴点H是中点． ∵，即， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵点G为中点，点H是中点， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期期末试卷 八年级 数学 （总分：150分 时间：120分钟） 友情提醒：所有学生解答应填写到本学科考试所提供的网络阅卷答题纸上，否则一律无效，答题纸保证卷面整洁，无涂损，不得折叠． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四边形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 水落石出 B. 水涨船高 C. 水滴石穿 D. 水中捞月 3. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如下尚不完整的调查问卷： 调查问卷 ________年________月________日 你平时最喜欢的一种体育运动项目是（ ）（单选） A． B． C． D．其他运动项目 准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目，选取合理的是（ ） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ②③④ D. ②④⑤ 5. 若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ） A. B. C. D. 3 6. 顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是（　　） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形 7. 在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图所示菱形，并测得，接着活动学具成为图所示正方形，并测得对角线，则图中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的边上的动点，，，分别是，，的中点，连接．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 要使分式有意义，则的取值范围是________． 10. 计算的结果是______． 11. 要了解某班学生的身高情况，适合的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）． 12. 某校为了有效落实“双减”政策，切实减轻学生过重的作业负担，针对八年级名学生每天做课后作业的总时间情况进行调查，从中随机抽取了名学生进行每天做课后作业的总时间情况的调查，该调查中的样本容量是_________． 13. 一只袋内装有3只红球和2只白球，这5只球除颜色外均相同，5人依次从袋中取一只球后并放回，则第四人摸到白球的概率是__________． 14. 如图，在矩形中，，点E在边上，且，若平分，则的长是____． 15. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_________． 16. 如图，在矩形中，．分别以、为圆心，长为半径画弧，交、于点、．连接，，若，则的值等于_________． 17. 若，，则的值等于_________． 18. 由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______． 三．解答题（本大题共有小题，共分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 如图，老师在屏幕上展示了一个等式．按要求解答下列问题： （是一个代数式） （1）求代数式； （2）从，，0中选一个合适的数作为的值，代入求的值． 22. 为了解某景区外地自驾游客的分布情况，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根据车牌号归属地的不同，绘制了如下统计图（不完整）： 根据图中信息，解答下列问题． （1）小桐共调查了_______辆车，“豫”对应扇形的圆心角为_______°； （2）补全条形统计图； （3）若该景区附近宾馆停车场当日共有450辆外地自驾游客的车辆，估计其中车牌号归属地为“皖”的车辆有多少？ 23. 列方程或方程组解应用题： 为响应低碳号召，肖老师上班的交通方式由自驾车改为骑自行车，肖老师家距学校15千米，因为自驾车的速度是骑自行车速度的4倍，所以肖老师每天比原来早出发45分钟，才能按原时间到校，求肖老师骑自行车每小时走多少千米． 24. 如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，，，当的长为 时，四边形是菱形． 25. 请判断以下两个命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请用尺规作图，作出反例，不写作法，保留作图痕迹． （1）两个连续正奇数的平方差一定是的倍数； （2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 26. 谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． 刘奶奶：我每次买元的大米； 张奶奶：我每次买的大米． （1）刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为元，第二次大米的价格为元．两次购买大米总体看谁更划算？ （2）如果第一次购买大米的价格为元，第二次购买大米的价格为元，且，则两次购买大米总体算下来谁更划算呢？ 27. 观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，解答下列问题： （1）_____________________________； （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：___________________； （3）利用上述规律计算：； （4）求：． 28. 如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E． （1）当点P是的中点时，求证：； （2）将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值； ③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $