湖南长沙市湖南师范大学附属中学2026届高三年级高考模拟卷（三）数学试题

高三模拟卷（三） 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．C 7．C 8．A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．AD 10．ABD 11．BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解析】（1）对于一个坑而言，要补播种的概率为． 2分 时，要补播种的坑的个数的所有可能的取值为0，1，2，3， 3分 ， 4分 ，，，． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 6分 因为，所以． 7分 （2）有3个坑需要补播种的概率为， 9分 要使最大，只需解得， ，，． 11分 时，；时，； 所以当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为． 13分 16．【解析】（1）由题意可得，，解得，，则， 所以椭圆的方程为． 5分 （2）设直线：，，， 将直线与椭圆方程联立 整理得，经检验， 根据韦达定理 8分 因为，所以，即， 10分 所以，整理得， 将韦达定理代入得， 去分母后整理得，解得． 15分 17．【解析】（1）由，为中点，得， 又平面，所以，，两两互相垂直， 2分 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 3分 由为等边三角形，为中点，得，， 所以，，，，， 4分 由，得，从而，， 设平面的法向量为，可取， 5分 设平面的法向量为， 由令，则，，得， 6分 设二面角的大小为，则， 7分 由图可知，为锐角，所以二面角的大小是． 8分 （2）解法一：令，，，设， 9分 则，， 且， 10分 若平面，则存在实数，， 使得， 11分 则， 由平面向量基本定理得 13分 解得，，， 14分 所以存在点，位于线段的延长线上，且满足，使得平面． 15分 （注：指出存在点，满足同样给分．） 解法二：如图延长线段至，使得，延长线段至，使得，连接，，， 因为为的中点，，故，， 10分 又，所以， 所以，故， 11分 又因为平面，所以平面，同理，平面， 12分 又，所以平面平面， 13分 又平面，所以平面， 14分 所以存在点，位于线段的延长线上，且满足使得平面． 15分 18．【解析】（1）证明：当时，，所以在上无零点． 1分 因为，所以在上单调递增， 所以在上至多一个零点， 2分 当时，有唯一零点1，当时，因为，， 所以函数有唯一零点，得证． 4分 （2）（ⅰ）由（1）知，，且，两边取自然对数，解得，（*） 所以，两式相减，得， 所以，因为函数在上单调递增， 所以，所以数列单调递增， 6分 假设数列中存在，，成等比数列，则，所以， 由（*）式得，，代入上式，得，，（**） 因为，所以， 又因为，所以方程（**）无解． 所以数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列． 9分 （ⅱ）证明：先证明：时，，（***） 设，则， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立． 由（*）及（***）式知，，所以， 所以， 所以； 13分 在（***）式中，令，得，当且仅当，即时等号成立， 所以由（*）式得， 所以，，当且仅当时等号成立， 所以， 当时，在（***）式中，令，得， 所以时，， 当时，成立， 所以，得证． 17分 19．【解析】（1）当时，，此时条件①为的定义域为，条件②为， 条件③当时，或， 若，则，满足条件； 若，则，不满足条件，舍去． 综上，． 3分 （2）若，则所求证结论显然成立； 若，则对任意的，， 由题意得（且）， 则． 设，，…，中有个等于，有个等于2， 则，． 因此， 所以若不是3的倍数，则，即． 8分 （3）记“从集合中随机取出一个函数属于”为事件，随机事件“”发生的概率记为，则． 下面计算： 由题意得，集合中共有个不同函数， 设，，…，中有个等于，有个等于2，则． 解方程组得 由于，，故当不能被3整除或或时，上述方程组无解，此时； 当能被3整除且时，方程组有解，此时符合题意的函数共有个， 因此． 11分 下面计算： 对函数，若它也满足，则，， 而． 因此，三者中有一个等于2，两个等于，所以共有种可能． 因此． 13分 因此， 由前面分析可知当不能被3整除或或时，成立； 当能被3整除且时，． 由于，因此，所以． 综上所述，从集合中随机取出一个函数， 对任意，随机事件“”发生的概率都不超过． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三模拟卷（三） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，，均为的子集，且，则（ ） A． B． C． D． 2．若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 3．若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．某工厂质量监控小组从一批面粉中抽取袋测量重量，已知每袋面粉的重量（单位：千克）服从正态分布，若，则的最小值为（ ） [参考数据：若，则．] A．100 B．60 C．6 D．1 6．设数列的前项和为，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．已知向量，，则，，则下列表述正确的是（ ） A．存在唯一的实数对，使得 B．存在唯一的实数对，使得 C．存在唯一的实数对，使得 D．存在唯一的实数对，使得 8．已知一个实心圆锥几何体的体积为，从中挖去一个体积为的半球，且球心在圆锥底面上，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知方程的复数解为，，则（ ） A． B． C．若，其中，则满足的复数在复平面内对应的点在第二象限 D．若，则的最小值是3 10．已知抛物线：的焦点为，准线为，为坐标原点，平面内一直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作准线的垂线，，的最小值为4，以下说法正确的是（ ） A．抛物线的方程为 B． C．若为等边三角形，则直线的斜率为 D．若，则的面积与的面积的比值为 11．已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（ ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数在上为奇函数，则________． 13．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，设取得的次品数为，则________． 14．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播种3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种． （1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望． （2）当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 16．（本小题满分15分） 椭圆：的离心率为，其左焦点到点的距离是． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围． 17．（本小题满分15分） 如图，在三棱锥中，为的中点．点在棱上，． （1）若，平面，，求二面角的大小； （2）在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 18．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）证明：有唯一零点； （2）记的零点为． （ⅰ）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由； （ⅱ）证明：． 19．（本小题满分17分） 已知是给定的正整数，设是以满足下列条件①②③的函数为元素构成的集合： ①定义域为； ②； ③，，其中，． 对给定的整数，（其中），记． （1）当时，求集合． （2）若且不是3的倍数，证明：； （3）从集合中随机取出一个函数，证明：对任意，随机事件“”发生的概率都不超过． 学科网（北京）股份有限公司 $