精品解析：湖南师范大学附属中学2026届高三下学期模拟卷(二) 数学试题

湖南师范大学附属中学2026届高三下学期模拟卷（二）数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则M与N的关系是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，不共线，，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 5. 如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，设函数的零点个数为，则（ ） A. 4049 B. 4050 C. 4051 D. 4052 8. 已知函数，，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. -1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量X服从正态分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则，，成等比数列 B. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 C. 若，则数列为等比数列 D. 各项均为正数的数列满足（，且），，，则 11. 如图，在长方体中，，，点P是平面上的动点，满足（ ） A. 长方体各棱、体对角线所在的条直线中,共有对异面直线 B. 点P在底面上的轨迹是一条直线 C. 若角是直线和平面所成角,则的最大值是 D. 不存在点,使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 13. 已知点在椭圆上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的值为_______. 14. 已知盒子中共有10个大小相同的球，有红、黄、白三种颜色，且红球、黄球、白球的个数分别为2，3，5，每次随机取出一个球不放回，记随机变量X为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值； （2）若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求B； （2）若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 17. 如图，已知在斜三棱柱中，是边长为2的菱形，且. （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，，求与平面所成线面角的正弦值. 18. 某工业系统内初始装有1个A类部件和2个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到A类部件的概率为，第n次操作后系统内A类部件的数量为. （1）求与的值； （2）求与的关系式； （3）求. 19. 对于双曲线，我们称与互为“交换双曲线”；对于椭圆，我们称与互为“交换椭圆”. （1）若双曲线E的“交换双曲线”为自己本身，且过点，求双曲线E的标准方程； （2）在（1）的条件下，设双曲线E的左顶点为A，斜率为2的直线与双曲线E的右支交于B，C两点，且B，C均不在x轴上.试判断的垂心是否在双曲线E上，并说明理由； （3）已知椭圆W的焦点在x轴上，长轴长为，离心率为.封闭曲线上任一点满足：当时，点D在椭圆W上；当时，点D在椭圆W的“交换椭圆”上.若矩形关于直线对称且各顶点均在曲线上，求证：矩形的面积小于5.20.（注：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师范大学附属中学2026届高三下学期模拟卷（二）数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则M与N的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 2. 已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，运用举反例的方法，逐一分析选项，判断在的条件下，各选项中的不等式是否一定成立. 【详解】选项A：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故A错误； 选项B：当取 ，，此时 ，但 ，， 不成立，故B错误； 选项C：因为函数 在上是单调递增函数，因此当 时，必有 ，该不等式恒成立，故C正确； 选项D：当 时，，不等式不成立，故D错误. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合换底公式可求，相加可得结论. 【详解】由换底公式得，，， 所以， 所以. 故选：C. 4. 已知平面向量，不共线，，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】通过向量共线，结合向量有公共点，即可判断. 【详解】对于A，， 又，因此， 与共线，且两个向量有公共点，因此 三点共线， 选项B，，，不存在实数使，不共线； 选项C：，，不存在实数使，不共线； 选项D：，，不存在实数使，不共线. 5. 如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆锥的底面半径和高，可求出圆柱的高和底面半径，再结合圆锥的表面积与圆柱的侧面积可求得剩下几何体的表面积. 【详解】设圆柱的高为，底面半径为，可知， 则圆锥的母线长为， 所以剩下几何体的表面积为. 故选：B. 6. 已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程. 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 7. 已知，设函数的零点个数为，则（ ） A. 4049 B. 4050 C. 4051 D. 4052 【答案】C 【解析】 【分析】先利用图象的交点求出当时，的零点个数，再根据函数的周期得出数列为等差数列，求出数列的通项公式，即可求出. 【详解】的零点个数即为方程的解的个数， 即为函数与函数 的图象的交点个数. 函数的最小正周期为.所以. 又，所以只分析当时，两个函数图象的交点即可. 当时，， 结合图象可知，函数与函数 的图象有一个交点，所以. 当时，， 结合图象可知，函数与函数 的图象有3个交点，所以. 每增加1个单位，增加个单位，相应的的图象也增加一个周期的图象，则交点增加2个， 所以数列是公差为2的等差数列， 所以. 所以. 8. 已知函数，，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. -1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数分析的单调性及最值，根据指对互化，利用函数同构得，结合的单调性及取值情况，得到的关系，从而可得，结合的最小值，求得的最小值. 【详解】函数的定义域为，. 当时，；当时，. 在上单调递减，在上单调递增.在处取得最小值. 又当时，，且， 若，，则， 所以，即. 所以. 所以当，即时，取得最小值，最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量X服从正态分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】随机变量X服从正态分布，所以 对于A，由正态分布的对称性，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，， 所以， 所以，故D正确. 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则，，成等比数列 B. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 C. 若，则数列为等比数列 D. 各项均为正数的数列满足（，且），，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据特殊数列法判断A；应用等比数列定义及指数幂的运算判断B；应用计算得出，然后根据等比数列定义判断C；令，根据等差数列定义及其通项公式计算判断D. 【详解】对于A，当时有，此时，，不成等比数列，故A错误； 对于B，若为等差数列，设其公差为，则此时有， 且，所以数列为等比数列，故B正确； 对于C，若，则， （）， 不满足，于是， 则，所以数列不是等比数列，故C错误； 对于D，令，由题意可知， 因为， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 则，故D正确. 11. 如图，在长方体中，，，点P是平面上的动点，满足（ ） A. 长方体各棱、体对角线所在的条直线中,共有对异面直线 B. 点P在底面上的轨迹是一条直线 C. 若角是直线和平面所成角,则的最大值是 D. 不存在点,使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】先按总对数减相交、平行对数算出异面直线对数判断A；再建系用向量垂直得轨迹方程，确定轨迹是直线判断B；线面角正切值与到距离成反比，用点到直线距离求最小值得最大值判断C；最后联立垂直条件与轨迹方程，判别式大于说明存在点，判断D错误，整体用空间向量与解析几何方法逐一验证选项． 【详解】 对于A，长方体共有12条棱和4条体对角线，共16条直线， 总直线对：， 相交直线对：每个顶点有条棱相交，个顶点共； 体对角线相交于中心，共，每条体对角线与6条棱相交，共，总计， 平行直线对：每组平行棱有4条，共3组（长、宽、高），每组，共；体对角线无平行， 所以异面直线对：，A正确； 对于B，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ，，，设， ，， 由，得， 化简得，在平面内，这是一条直线方程， 所以点P在底面上的轨迹是一条直线，B正确； 对于C，直线和平面所成角为，设， ， 要使最大，即求最小， 而是到原点的距离， 的最小值为原点到直线的距离， ，此时的最大值是，正确； 对于D，，， 若，则，即， 联立，消去，得， ，有实数解， 所以存在点，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 【答案】## 【解析】 【分析】借助空间向量线性运算及四点共面条件计算即可得. 【详解】由，则， 则， 由A，B，C，P四点共面，则，解得. 13. 已知点在椭圆上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】连接与椭圆的右焦点，与的中点，结合相似三角形与椭圆的定义求解即可. 【详解】由已知得：， 设椭圆的右焦点为，的中点为，连接和（如图所示）， 因为在以为圆心，为半径的圆上，所以， 又为的中点，为的中点，所以， 由椭圆的定义知：. 14. 已知盒子中共有10个大小相同的球，有红、黄、白三种颜色，且红球、黄球、白球的个数分别为2，3，5，每次随机取出一个球不放回，记随机变量X为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到随机变量的可能取值，求出概率，再由期望公式计算可得. 【详解】由题意可得随机变量的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10， 其概率为，， 所以期望 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值； （2）若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义知函数在的导数值是切线的斜率，进而得a的值； （2）利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为. 则.因为曲线在处的切线斜率为1， 所以 ，解得； 【小问2详解】 函数的定义域为. 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，则 ，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，所以． 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求B； （2）若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式可求得的值，则角B可求； （2）结合直角三角形性质和正弦定理求出，列方程求得，再由两角和的正弦公式得，代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以 ， 由正弦定理可得， 所以，所以， 又，则，所以， 则，，所以． 【小问2详解】 由（1）知，，，在中，由正弦定理得，， 所以. 又，，，所以， 故，即. 又，所以，所以. 又， 所以的面积为. 17. 如图，已知在斜三棱柱中，是边长为2的菱形，且. （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，，求与平面所成线面角的正弦值. 【答案】（1） 如图，连接，取的中点，连接， 由为菱形，所以. 又由，且，平面，平面， 所以平面，故而①. 又由，所以为等边三角形， 所以. 由，所以，且，平面，平面， 所以平面，所以②， 由①②，平面，平面，所以平面平面， 故而平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面得到，再证明平面，得到，进而由面面垂直的判定定理证明结果即可； （2）利用（1）的结论建立如图所示坐标系，求出平面的法向量，代入线面角的向量公式，求出结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取的中点，连接， 由（1）知：， 由为的中点，则，即， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，由， 所以， 所以. 设，由，得：， 所以，所以. 设平面的法向量为，则即 令，则，所以， 令为与平面所成线面角， 所以， 所以与平面所成线面角的正弦值为. 18. 某工业系统内初始装有1个A类部件和2个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到A类部件的概率为，第n次操作后系统内A类部件的数量为. （1）求与的值； （2）求与的关系式； （3）求. 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式以及全概率公式直接计算即可得； （2）由题意可得，利用期望公式可得，则由计算即可得解； （3）由（2）可得，即可得 ，再利用累加法计算即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，； 【小问2详解】 第次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 第 次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 故有，， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量不变， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量加， 故， 故， 即； 【小问3详解】 由， 则， 即 ， 则 ，， ，， 则 ， 即，则， 故， 故. 19. 对于双曲线，我们称与互为“交换双曲线”；对于椭圆，我们称与互为“交换椭圆”. （1）若双曲线E的“交换双曲线”为自己本身，且过点，求双曲线E的标准方程； （2）在（1）的条件下，设双曲线E的左顶点为A，斜率为2的直线与双曲线E的右支交于B，C两点，且B，C均不在x轴上.试判断的垂心是否在双曲线E上，并说明理由； （3）已知椭圆W的焦点在x轴上，长轴长为，离心率为.封闭曲线上任一点满足：当时，点D在椭圆W上；当时，点D在椭圆W的“交换椭圆”上.若矩形关于直线对称且各顶点均在曲线上，求证：矩形的面积小于5.20.（注：） 【答案】（1） （2）的垂心在双曲线E上，理由如下： ，设直线的方程为：，设，， 联立可得：， 直线与双曲线E的右支交于B，C两点， 所以，解得：， 又因为， ， 设垂心为，所以直线的方程为：， 又因为，所以直线的方程为：， 联立可得：， 则 因为，所以， ， 因为，所以，所以，又因为在， 所以，所以， 又因为：.故的垂心在双曲线E上. （3）证明如下： 由长轴为，可得，由离心率，得， 所以， 不妨设椭圆的焦点在x轴，则方程为， 则椭圆的“交换椭圆”方程为， 所以曲线的方程为， 因为矩形关于对称，设在椭圆W上， 则在“交换椭圆”上，则， 又直线平行直线，则直线PN的斜率为1， 所以直线PN的方程为，即， 联立，得， 所以，得， 所以， 所以面积， 因为点P在椭圆W上，所以， 令， 代入可得 ， 取，此时等号成立， 且当时，， ， ，满足， 故矩形的面积小于5.20. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，设出双曲线的方程，代入点坐标，求出，即可得答案. （2）分别表示出直线、直线的方程，两式联立求出，再代入双曲线的方程验证即可证明. （3）求出椭圆的方程与其“交换椭圆”的方程，设，根据矩形的性质，可得的表达式，根据直线平行直线，求出直线PN的方程，与椭圆W联立，根据韦达定理，可得N点坐标，根据弦长公式，可得表达式，进而可得面积S的表达式，根据椭圆W的参数方程，结合三角函数的性质，即可得证. 【小问1详解】 由“交换双曲线”的定义可知，即， 所以设双曲线的方程为，又因为过点， 所以，双曲线E的标准方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $