2.2　一元二次方程的解法第5课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦利用因式分解法解一元二次方程，课堂导入通过回顾已学解法和因式分解方法搭建学习支架，衔接旧知与新知，引导学生理解“降次”的核心思路。 其亮点在于以“两化”关键步骤为核心，结合实例对比不同解法，培养学生根据方程特点选择方法的数学思维，通过反思感悟和随堂演练强化运算能力与模型意识，助力学生掌握解题策略，也为教师提供清晰的教学路径。

第二章　2.2　一元二次方程的解法 第5课时　利用因式分解法解 一元二次方程 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学习目标 1.理解利用因式分解法解一元二次方程的依据，掌握因式分解的方法.(难点) 2.能利用因式分解法解一元二次方程，能根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法.(重点) 3.在利用因式分解法解一元二次方程的过程中，体会因式分解法解一元二次方程中“降次”的思想，提高数学运算能力. 课堂引入 1.我们已经学过哪些一元二次方程的解法？ 2.因式分解的主要方法： ①提公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c). ②公式法： 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)， 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2； a2-2ab+b2=(a-b)2. ③十字相乘法：x+(p+q)x+pq=(x+p)·(x+q). 一、 利用因式分解法解一元二次方程 问题　(1)把一元二次方程的一边化为　 ，另一边分解为两个　　次因式的乘积，由此得到两个　　 　方程，从而求得方程的解，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法；  (2)因式分解法解一元二次方程的思路是　　　，其依据是如果ab=0，则a=　　或b=　　；  (3)因式分解法只适用于一些特殊形式的一元二次方程，当方程可通过因式分解变形为(mx+p)(nx+q)=0(其中m，n为非零常数)的形式时，则利用__________法求解比较简单.  0 一 一元一次 降次 0 0 因式分解 知识梳理 用因式分解法解一元二次方程的步骤：①将方程一边化为0；②将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；③令这两个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 例1　(课本P44例4)解下列方程： (1)5x2=4x； 解　原方程可变形为5x2-4x=0， x(5x-4)=0. x=0，或5x-4=0. 所以x1=0，x2=. 例1　(课本P44例4)解下列方程： (2)x(x-2)=x-2. 解　原方程可变形为x(x-2)-(x-2)=0， (x-2)(x-1)=0. x-2=0，或x-1=0. 所以x1=2，x2=1. 反思感悟 利用因式分解法解一元二次方程的关键环节是“两化”，一是通过移项等方法把方程的右边化为0，二是利用因式分解把方程的左边化为两个一次因式的乘积，然后通过“降次”求得方程的解. 跟踪训练1　用因式分解法解下列方程： (1)(2+x)2-9=0； (2)3x(x-2)=2(x-2). 解　(1)原方程变形得(x+2+3)(x+2-3)=0， 即(x+5)(x-1)=0， 解得x1=-5，x2=1. (2)原方程变形得3x(x-2)-2(x-2)=0， 即(3x-2)(x-2)=0， 解得x1=，x2=2. 二、 选择适当的方法解一元二次方程 知识梳理 直接开平方与因式分解解一元二次方程的方法比较简单，但都是只适用于一些特殊形式的方程；配方法与公式法适用于任意一个一元二次方程，因此在解一元二次方程时，应根据方程的具体特点灵活选用适当的方法.基本思路： (1)一般地，若一元二次方程的一次项系数为0(ax2+c=0)，应选用直接开平方法； (2)若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法； (3)若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； (4)当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. 例2　用合适的方法解下列方程： (1)2(x-3)2-18=0； 解　移项，得2(x-3)2=18， 二次项系数化为1，得(x-3)2=9， 两边开平方，得x-3=3或x-3=-3， ∴x1=6，x2=0. 例2　用合适的方法解下列方程： (2)x(2x-3)=6x-9； 解　方程化为x(2x-3)=3(2x-3)， 移项，得x(2x-3)-3(2x-3)=0， 因式分解，得(x-3)(2x-3)=0， 于是x-3=0或2x-3=0， ∴x1=3，x2=. 例2　用合适的方法解下列方程： (3)2x2-7x+6=0(用两种方法). 解　方法一　配方法：方程变形为x2-x=-3， 配方，得x2-x+=-3+，即=， 两边开平方，得x-=±， ∴x1=2，x2=； 例2　用合适的方法解下列方程： (3)2x2-7x+6=0(用两种方法). 解　方法二　公式法：∵a=2，b=-7，c=6. ∴Δ=b2-4ac=49-48=1>0. ∴方程有两个不相等的实数根. x==， ∴x1=2，x2=. 反思感悟 灵活选择解一元二次方程的方法时，可简记为方程没有一次项，直接开平方最理想；如果缺少常数项，因式分解没商量；b，c同时不为0，利用公式或配方；公式法，为万能，一套公式凯歌响. 跟踪训练2　解下列方程： (1)3x(x+5)=5(x+5)； 解　原方程可变形为3x(x+5)-5(x+5)=0，即(x+5)(3x-5)=0， ∴x+5=0或3x-5=0， ∴x1=-5，x2=. 跟踪训练2　解下列方程： (2)3x2=4x+1； 解　将方程化为一般形式得3x2-4x-1=0， 这里a=3，b=-4，c=-1， ∴Δ=(-4)2-4×3×(-1)=28>0， ∴x===， ∴x1=，x2=. 跟踪训练2　解下列方程： (3)5x2+1=4x. 解　将方程化为一般形式得5x2-4x+1=0， 这里a=5，b=-4，c=1， ∴Δ=(-4)2-4×5×1=-4<0， ∴原方程没有实数根. 课堂小结 1.方程(x+2)(x-3)=0的解是 A.x=2 B.x=-3 C.x1=-2，x2=3 D.x1=2，x2=-3 随堂演练 √ 解析　∵(x+2)(x-3)=0，∴x+2=0或x-3=0，解得x1=-2，x2=3. 2.经计算整式x+1与x-4的积为x2-3x-4，则x2-3x-4=0的所有根为 A.x1=-1，x2=-4 B.x1=-1，x2=4 C.x1=1，x2=4 D.x1=1，x2=-4 随堂演练 √ 解析　根据题意，得(x+1)(x-4)=x2-3x-4， 则原方程可变形为(x+1)(x-4)=0，解得x1=-1，x2=4. 3.下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是 A.(x-2)(x+5)=2 B.2x2-x=0 C.x2+5x-2=0 D.12(2-x)2=3 随堂演练 √ 解析　A项，化简(x-2)(x+5)=2得x2+3x-12=0，等式左边不能因式分解，故A选项不符合题意； B项，2x2-x=0，可变形为x(2x-1)=0，故B选项符合题意； C项，x2+5x-2=0，方程的左边不能因式分解，故C选项不符合题意； D项，12(2-x)2=3，方程最适合利用直接开平方法解方程，故D选项不符合题意. 4.解下列方程： (1)x(x-2)+x-2=0； 随堂演练 解　因式分解，得(x-2)(x+1)=0，于是得x-2=0或x+1=0， 解得x1=2，x2=-1. (2)5x2-2x-=x2-2x+. 解　移项、合并同类项，得4x2-1=0， 因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0，于是得2x+1=0或2x-1=0， 解得x1=-，x2=. 谢谢观看 $