2.2 一元二次方程的解法课时1（课件）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法和配方法，通过梯子滑动的实际问题导入，从估算方程近似值过渡到精确解需求，搭建从具体问题到抽象解法的学习支架，衔接直接开平方法到配方法的逻辑脉络。 其亮点在于以实际情境驱动，培养学生用数学眼光抽象现实问题为方程，通过问题链引导数学思维转化方程为完全平方式，结合例题与练习强化模型意识。课堂小结系统梳理方法，助力学生发展运算能力与推理意识，教师可高效实施教学。

2.2 一元二次方程的解法 课时1 第二章 一元二次方程 九上数学北师 1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程。 2.理解配方法的基本思路。 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 学习目标 2 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动 x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 思考：通过估算可以求出x的近似值，你能设法求出它的精确值吗? 课堂导入 3 问题 (1)你能解哪些特殊的一元二次方程? x²=4， (x+1)²=9等。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 新知讲解 问题 (2)你会解下列一元二次方程吗? x²=5，2x²+3=5，x²+2x+1=5。 方程x²=5，可根据平方根的意义求解， 得x1=，x2=-； 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 新知讲解 问题 (2)你会解下列一元二次方程吗? x²=5，2x²+3=5，x²+2x+1=5。 方程2x²+3=5，可化为x²=1， 根据平方根的意义求解， 得x1=1，x2=-1； 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 可以先将方程变形为 x2=a 的形式后再开平方。 新知讲解 问题 (2)你会解下列一元二次方程吗? x²=5，2x²+3=5，x²+2x+1=5。 方程x²+2x+1=5可化为(x+1)²=5， 由平方根的意义知，x+1=±， 所以x1=-1+，x2=-1-。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 新知讲解 利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 新知讲解 直接开平方法解一元二次方程： 1.对于方程x²=n，当n≥0时，它可以转化为x=±， 所以x1=，x2=-。 2.对于方程(x+m)²=n，当n≥0时，它可以转化为x+m=±， 所以x1=-m，x2=--m。 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 新知讲解 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 注意： 1.直接开平方法只适用于能转化为x²=n或(x+m)²=n(n≥0)的形式的方程。 2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当n为非负数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况。 新知讲解 解方程：(x+1)²-4=0。 解：移项，得(x+1)²=4。 两边开平方，得x+1=±2， 即x+1=2，或x+1=-2， 所以x1=1，x2=-3。 例1 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 新知讲解 问题 (3)你能解方程x²+12x-15=0吗?你遇到的困难是什么? 等式的左边不是完全平方式的形式，不能用直接开平方法求解。 联想(2)中解方程的过程，能设法将这个方程变成一个你熟悉的形式吗? 知识点2 用配方法解一元二次方程 将方程转化为(x+m)²=n (n≥0)的形式 即 x²+12x+()²-()²-15=0。 所以 x²+12x+36-51=0， 所以 (x+6)²=51。 新知讲解 问题 (3)你能解方程x²+12x-15=0吗? 我们可以将方程x²+12x-15=0转化为 (x+6)²=。 两边开平方，得 x+6=±。 因此我们说方程x²+12x-15=0有两个根， x1=-6，x2=--6。 x2的值不符合要求，因为实际问题中梯子底端滑动的距离不可能是负值。 知识点2 用配方法解一元二次方程 x1，x2都符合原问题的要求吗？ 新知讲解 知识点2 用配方法解一元二次方程 思路：将方程转化为(x+m)²=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数。当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出原一元二次方程的根。 新知讲解 填上适当的数，使下列等式成立： x²+12x+ =(x+6)²； x²-4x+ =(x- )² ； x²+8x+ =(x+ )²。 观察三个等式的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢? 知识点2 用配方法解一元二次方程 36 4 16 2 4 常数项是一次项系数一半的平方。 新知讲解 配方的方法： 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方。 知识点2 用配方法解一元二次方程 x2+ax+( )2=(x+ )2 新知讲解 解方程：x²+8x-9=0。 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x²+8x=9。 两边都加一次项系数8的一半的平方，得 x²+8x+()²=9+()²， 即 (x+4)²=25。 两边开平方，得 x+4=±5， 即 x+4=5，或x+4=-5。 所以 x1=1，x2=-9。 例2 知识点2 用配方法解一元二次方程 新知讲解 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 知识点2 用配方法解一元二次方程 配方法解方程的关键：在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即 新知讲解 1.下列方程可用直接开平方法求解的是( ) A. x2＝4 B. 4 x2－4x－3＝0 C. x2－3x＝0 D. x2－2x－1＝9 A 随堂练习 2. 一元二次方程x2-6x-6＝0配方后为 (　　) A.(x-3)2＝15　　B.(x-3)2＝3　　C.(x+3)2＝15　   　D.(x+3)2＝3 A 随堂练习 3.若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为(x-3)2=k，则 b，k的值分别为( ) A.6，13 B.6，4 C.-6，4 D.-6，13 C 随堂练习 4.解方程： (1)x²-10x+25=7； (2)x²-14x=8； (3)x²+3x=1； (4)x²+2x+2=8x+4。 解：(1)配方，得(x-5)²=7。 两边开平方，得x-5=±， ∴x1=5+，x2=5-。 (2)配方，得x²-14x+(-7)²=8+(-7)²， 即(x-7)² =57。 两边开平方，得x-7=±， ∴x1=7+，x2=7-。 随堂练习 4.解方程： (1)x²-10x+25=7； (2)x²-14x=8； (3)x²+3x=1； (4)x²+2x+2=8x+4。 解：(3)配方，得x²+3x+()²=1+()²， 即(x+)²=。 两边开平方，得x+=±， ∴x1= ，x2= 。 (4)移项、合并同类项，得x²-6x=2。 配方，得x²-6x+(-3)²=2+(-3)²， 即(x-3)²=11。 两边开平方，得x-3=±， ∴x1=3+，x2=3-。 随堂练习 利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。 适用范围： x²=n或(x+m)²=n(n≥0) 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 配方法解方程的关键：在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即 课堂小结 $