精品解析：湖北随州市随县2025-2026学年下学期期末学业质量监测八年级数学试卷

随县2025-2026学年度第二学期学业质量监测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题每小题选了答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效． 3．非选择题用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上，答在试卷上无效． 4．考试结束后，监考人员将试卷与答题卡一并收回． 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 5. 某初中“校园之声”广播站进行招新选拔，规定将笔试和面试成绩按的比例计入总成绩．小明在本次选拔中，笔试取得了80分，面试取得了90分，则他的总成绩是（ ） A. 84分 B. 85分 C. 86分 D. 88分 6. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 7. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 8. 关于函数有下列结论，其中正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 若，在图象上，则 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象向下平移个单位长度后的解析式为 9. 周末，小明从家骑自行车前往县图书馆借书．出发一段时间后，爸爸发现小明忘记带借书卡，于是骑电动车沿相同路线追赶．爸爸追上小明后，两人交接借书卡，爸爸原路返回家中，小明则继续前往图书馆．下图反映了小明和爸爸离家的距离与所用时间之间的函数关系．下列结论错误的是（ ） A. 小明出发8分钟后，两人相距 B. 爸爸往返全程的平均速度为 C. 小明拿到借书卡后，骑行到图书馆用时12分钟 D. 爸爸从家出发到重新回到家，一共用时13分钟 10. 如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 下面是根据八（2）班学生身高数据制作的箱线图，这组数据的第三四分位数是________． 13. 超市某种散装糖果的价格为30元，如果一次购买以上的糖果，超过部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为（），付款金额为元，则关于的函数解析式是________． 14. 如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 15. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，过作直线轴，过作直线轴，与相交于点．点为直线上一动点，过分别作，的垂线，垂足分别为，，则的最小值为________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在四边形中，，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求四边形的面积． 19. 《全民阅读促进条例》自2026年2月1日起施行，是我国首部国家级全民阅读行政法规．某校为落实条例精神，开展了“书香校园·每日阅读”打卡活动．学校随机抽查了八年级部分学生，对他们当天的课外阅读时间进行统计分析，阅读时长（单位：分钟）为整数，并按时长分为四个等级：D：，C：，B：，A：，部分信息如下： 【信息一】 【信息二】 B等级的数据由低到高分别为：30，31，32，33，34，34，34，36，36，36，38，39． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）． （2）求所抽查学生阅读时长的中位数是________； （3）该校八年级共有213名学生，若该年级学生都参加了打卡活动，请根据本次抽查结果，估计阅读时长为A等级的人数． 20. 在学习了勾股定理后，文文所在数学兴趣小组设计了“测量学校旗杆的高度”实验．旗杆垂直于地面，系在旗杆顶端的绳子自然下垂至地面点时，绳子比旗杆多出2.5米．文文抓住绳子底端向东走（绳子底端离地面高度为1.5米，手抓住的绳子长度忽略不计），当绳子被拉直时，文文恰好走到点，此时距旗杆底部的水平距离为10米．求旗杆的高度． 21. 如图，直线与直线相交于点，分别与轴交于点，两点． （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 22. 随县是中国现代香菇产业的发源地，享有“中国香菇之乡”“中国花菇之乡”的美誉，闻名海内外．这里出产的香菇肉质厚实，香味浓郁，同时所产的黑木耳口感脆嫩，品质优良，二者均为深受欢迎的优质农特产品．某经销商计划从随县批发一批香菇和木耳进行销售，当月行情如下： 品名 批发进价（元） 市场零售价（元） 香菇 85 98 木耳 90 100 该经销商计划购进这两种特产共，其中香菇的购进量不少于，且不超过木耳购进量的3倍．设购进香菇，总进货费用为元． （1）求关于的函数解析式，并求出的取值范围； （2）若该经销商将购进的特产全部按市场零售价售出，求所获利润（元）关于的函数解析式； （3）在（2）的条件下，当香菇购进多少千克时，所获利润最大？最大利润是多少元？ 23. 小明在研究正方形中的几何问题时，发现通过旋转变换可以将分散的线段集中到同一个三角形中，从而巧妙地解决线段和、差、倍等问题． （1）【初步感知】如图1，在正方形中，点在边上（不与，重合），点在边上，连接，且平分．求证：．小明将绕点逆时针旋转，得到，．因为，，所以，，在一条直线上．同时得到以下结论：，，从而将分散的线段集中到中．请你按照小明的思路完成后续证明． （2）【学以致用】如图2，点在边上，点在边上，且，连接．猜想，，之间的数量关系，证明你的猜想． （3）【拓展提升】如图3，为正方形内一点，连接，，，，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与直线相交于点，过点作轴于点． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交直线于点，交直线于点，当时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点的坐标，如不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 随县2025-2026学年度第二学期学业质量监测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题每小题选了答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效． 3．非选择题用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上，答在试卷上无效． 4．考试结束后，监考人员将试卷与答题卡一并收回． 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ， ∴被开方数需满足非负可得 ． 移项解得． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，即满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，故A不是最简二次根式； B、被开方数含分母，故B不是最简二次根式； C、的被开方数，不含分母，也不含能开得尽方的因数，故C是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因式，故D不是最简二次根式． 3. 以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】判断能否构成直角三角形，只需验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、最长边为，∵，，∴，不能构成直角三角形，不符合题意； B、最长边为，∵，，∴，不能构成直角三角形，不符合题意； C、最长边为，∵，，∴，不能构成直角三角形，不符合题意； D、最长边为，∵，，∴，能构成直角三角形，符合题意． 4. 如图，在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质求出，，，然后利用周长公式求解． 【详解】解：∵点D，E，F分别是三边的中点， ∴，， ∴的周长为． 5. 某初中“校园之声”广播站进行招新选拔，规定将笔试和面试成绩按的比例计入总成绩．小明在本次选拔中，笔试取得了80分，面试取得了90分，则他的总成绩是（ ） A. 84分 B. 85分 C. 86分 D. 88分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，按照给定的权重比计算加权平均即可得到总成绩． 【详解】∵笔试和面试成绩按的比例计入总成绩，小明笔试80分，面试90分， ∴小明的总成绩为 分． 6. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】B 【解析】 【分析】多边形的外角和是，则内角和是．设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程，从而求出边数的值． 【详解】解：设这个多边形是边形，根据题意，得 ， 解得：． 故这个多边形是六边形． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，根据矩形、菱形、平行四边形、正方形的判定，逐个判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵ 对角线相等的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理， ∴ A选项正确； ∵ 对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直无法判定是菱形， ∴ B选项错误； ∵ 一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，等腰梯形满足一组对边平行另一组对边相等，不是平行四边形， ∴ C选项错误； ∵ 对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直且相等无法判定是正方形， ∴ D选项错误． 8. 关于函数有下列结论，其中正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 若，在图象上，则 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象向下平移个单位长度后的解析式为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，涉及函数图像上的点验证、函数值比较、图像所经象限的判断以及平移后的解析式求解． 【详解】解：选项A：将代入，得，故点不在图像上，故A选项错误，不符合题意； 选项B：函数的比例系数，故随增大而减小，因为，对应，，故，故B选项错误，不符合题意； 选项C：函数，，所以直线与轴交点在轴的正半轴，且故随增大而减小，所以图像经过第一、二、四象限，而非第二、三、四象限，故C选项错误，不符合题意； 选项D：图像向下平移个单位，解析式为，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 9. 周末，小明从家骑自行车前往县图书馆借书．出发一段时间后，爸爸发现小明忘记带借书卡，于是骑电动车沿相同路线追赶．爸爸追上小明后，两人交接借书卡，爸爸原路返回家中，小明则继续前往图书馆．下图反映了小明和爸爸离家的距离与所用时间之间的函数关系．下列结论错误的是（ ） A. 小明出发8分钟后，两人相距 B. 爸爸往返全程的平均速度为 C. 小明拿到借书卡后，骑行到图书馆用时12分钟 D. 爸爸从家出发到重新回到家，一共用时13分钟 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象获取小明和爸爸的行程信息，分别计算两人的速度、特定时刻的位置以及全程的平均速度，逐一判断选项即可． 【详解】解：由图象可知，小明出发走了，速度为； 爸爸从第出发，第追上小明，用时走了，速度为． A、当时，小明离家距离为，爸爸离家距离为，两人相距，故 A 正确； B、爸爸往返总路程为，中间两人交接用时，故总用时，平均速度为，故 B 错误； C、小明在时拿到借书卡继续前行，在时到达图书馆，用时，故 C 正确； D、爸爸从出发，到回到家，一共用时，故 D 正确． 10. 如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，，，则，由折叠的性质可得，，，，进而可得，推出，设，则，由勾股定理求出，，作于点，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，从而可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， ∴， 如图，作于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 12. 下面是根据八（2）班学生身高数据制作的箱线图，这组数据的第三四分位数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据箱线图的结构并结合第三四分位数的定义解答即可． 【详解】解：由箱线图可得，这组数据的第三四分位数是． 13. 超市某种散装糖果的价格为30元，如果一次购买以上的糖果，超过部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为（），付款金额为元，则关于的函数解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单价乘以重量等于价格，将不超过的价格加上超过的价格即可得到函数解析式． 【详解】解：当时，． 14. 如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，，由勾股定理可得，从而可得，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，， 由勾股定理可得， ∵以为圆心，为半径画弧交射线于点， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，过作直线轴，过作直线轴，与相交于点．点为直线上一动点，过分别作，的垂线，垂足分别为，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】易证四边形为矩形，求的最小值，转化为求的最小值，易知当时，有最小值． 【详解】解：连接， ∵直线与轴，轴分别交于，两点， ，， ，， 又轴，轴，， ， 四边形为矩形， ，，， 在中，， 又，， ， 四边形为矩形， ， 当时，有最小值，如图 ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质与判定，一次函数与坐标轴的交点坐标，点到直线的距离，解题关键是看到两个垂直想矩形，双动点线段最值，考虑定点到定直线的最短距离． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简的结果为，值为 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在四边形中，，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， 平行四边形是菱形 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用角平分线定义和平行线的性质，得到，即可得到； （2）求得，再利用菱形的性质和勾股定理求得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在菱形中，，，， 的周长为18， ， ， ， 在菱形中，， 四边形的面积为． 19. 《全民阅读促进条例》自2026年2月1日起施行，是我国首部国家级全民阅读行政法规．某校为落实条例精神，开展了“书香校园·每日阅读”打卡活动．学校随机抽查了八年级部分学生，对他们当天的课外阅读时间进行统计分析，阅读时长（单位：分钟）为整数，并按时长分为四个等级：D：，C：，B：，A：，部分信息如下： 【信息一】 【信息二】 B等级的数据由低到高分别为：30，31，32，33，34，34，34，36，36，36，38，39． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）． （2）求所抽查学生阅读时长的中位数是________； （3）该校八年级共有213名学生，若该年级学生都参加了打卡活动，请根据本次抽查结果，估计阅读时长为A等级的人数． 【答案】（1） （2）35 （3）71 【解析】 【分析】（1）因为B等级人数已知且对应扇形占比，所以用B等级人数除以对应占比得到抽查总人数，再用总人数减去已知D、B、A等级的人数，得到C等级人数，补全频数分布直方图． （2）因为中位数是排序后中间位置的数，所以先确定总人数，找到中间两个数的位置，结合各等级人数排序，确定中位数所在组，再根据B等级的具体数据计算中位数． （3）因为样本中A等级人数和总人数已知，所以先计算A等级的样本占比，再乘以八年级总人数，得到A等级的估计人数． 【小问1详解】 解：∵B等级频数为12，占比， ∴总人数为 （人）． ∵D等级频数为1，B等级12，A等级10， ∴C等级频数为 ． 在频数分布直方图的（C等级）区间，补画高度为7的长方形． 图略； 【小问2详解】 解：总共有30个数据，中位数是排序后第15个和第16个数据的平均数： 前D、C等级共个数据， ∴第15、16个数据都在B等级， 对应B等级排序后第7个和第8个数据，分别是34、36． ∴中位数为． 【小问3详解】 解：抽查中A等级占比为， ∴八年级213人中，A等级人数估计为：（人）． 20. 在学习了勾股定理后，文文所在数学兴趣小组设计了“测量学校旗杆的高度”实验．旗杆垂直于地面，系在旗杆顶端的绳子自然下垂至地面点时，绳子比旗杆多出2.5米．文文抓住绳子底端向东走（绳子底端离地面高度为1.5米，手抓住的绳子长度忽略不计），当绳子被拉直时，文文恰好走到点，此时距旗杆底部的水平距离为10米．求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米 【解析】 【分析】过点A作于点E，证明四边形是矩形，得到米，米，设旗杆的高度米，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E ∵， ∴四边形是矩形 ∴米，米 设旗杆的高度米，则（米），（米） ∵ ∴ ∴ 解得 ∴旗杆的高度为12米． 21. 如图，直线与直线相交于点，分别与轴交于点，两点． （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）列方程即可解答； （2）求得的长，点的纵坐标的绝对值即底边上的高，利用三角形面积公式即可解答； （3）结合图象即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 解得， ， ； 【小问2详解】 解：令，解得， ， 令，解得， ， ， ； 【小问3详解】 解：直线与直线相交于点， 结合图象，可得的解集为． 22. 随县是中国现代香菇产业的发源地，享有“中国香菇之乡”“中国花菇之乡”的美誉，闻名海内外．这里出产的香菇肉质厚实，香味浓郁，同时所产的黑木耳口感脆嫩，品质优良，二者均为深受欢迎的优质农特产品．某经销商计划从随县批发一批香菇和木耳进行销售，当月行情如下： 品名 批发进价（元） 市场零售价（元） 香菇 85 98 木耳 90 100 该经销商计划购进这两种特产共，其中香菇的购进量不少于，且不超过木耳购进量的3倍．设购进香菇，总进货费用为元． （1）求关于的函数解析式，并求出的取值范围； （2）若该经销商将购进的特产全部按市场零售价售出，求所获利润（元）关于的函数解析式； （3）在（2）的条件下，当香菇购进多少千克时，所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1），的取值范围是 （2） （3）当香菇购进时，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设购进香菇，则购进木耳，根据总进货费用香菇进货费用木耳进货费用，计算即可得出关于的函数解析式，根据“香菇的购进量不少于，且不超过木耳购进量的3倍”列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围； （2）根据总利润香菇的利润木耳的利润，计算即可得出关于的函数解析式； （3）根据一次函数的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：设购进香菇，则购进木耳， 由题意可得， ∵香菇的购进量不少于，且不超过木耳购进量的3倍， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由题意可得； 【小问3详解】 解：由（2）可得， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，为（元）， 故当香菇购进时，最大利润为元． 23. 小明在研究正方形中的几何问题时，发现通过旋转变换可以将分散的线段集中到同一个三角形中，从而巧妙地解决线段和、差、倍等问题． （1）【初步感知】如图1，在正方形中，点在边上（不与，重合），点在边上，连接，且平分．求证：．小明将绕点逆时针旋转，得到，．因为，，所以，，在一条直线上．同时得到以下结论：，，从而将分散的线段集中到中．请你按照小明的思路完成后续证明． （2）【学以致用】如图2，点在边上，点在边上，且，连接．猜想，，之间的数量关系，证明你的猜想． （3）【拓展提升】如图3，为正方形内一点，连接，，，，求证：． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 由旋转得，，，，， ∴， ∴，，在一条直线上， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转，得到， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转得，， ∴，，，， ∴， ∴点，，在一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）证明：如图，将绕点顺时针旋转，则与重合，得， ∴， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）首先由正方形的性质得到，推出，然后结合旋转的性质得到，推出，然后等量代换证明即可； （2）将绕点逆时针旋转，得到，推出，然后证明出，得到； （3）将绕点顺时针旋转得，可得是等腰直角三角形，得到，再根据可得，根据勾股定理即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与直线相交于点，过点作轴于点． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交直线于点，交直线于点，当时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点的坐标，如不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为，点的坐标为 （2）点的坐标为或 （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式为，代入、坐标即可 （2）设，用含a的式子表示出线段的长度，一定要加绝对值符号，根据列出方程即可 （3）设，分别以为对角线，利用对角线中点重合列出方程即可 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 代入、得， ， 解得：， 直线的解析式为， 与直线联立得， 解得：， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，直线的解析式为，如图， 设， 轴， ，， ， 又， ， 解得：或， 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：由（1）知直线的解析式为，， 轴， ， ①当点的坐标为时， ， 设， Ⅰ当以为对角线时，四边形为平行四边形，则共中点，如图， ， 解得， ， Ⅱ当以为对角线时，四边形为平行四边形，则共中点，如图， ， 解得， ， Ⅲ当以为对角线时，四边形为平行四边形，则共中点，如图， ， 解得， ， ②当点的坐标为时， 同理可得（舍），（舍），， 综上所述，存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，熟练掌握数形结合和分类讨论思想，见动点设坐标，不能确定动点位置时，长度要加绝对值符号，平行四边形找顶点时，分别以三条已知线段为对角线，利用对角线中点重合列出方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $