辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（九）

**基本信息** 辽宁葫芦岛市高一下学期数学期末复习卷，涵盖复数、立体几何、三角函数等核心知识，通过多题型梯度设计，考查空间想象、逻辑推理等数学素养，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、充分必要条件、立体几何线面关系|基础巩固，注重概念辨析| |多选题|3/18|向量运算、解三角形多解问题|能力提升，考查综合判断| |填空题|3/15|圆锥侧面展开、三棱锥外接球|创新应用，结合空间转化| |解答题|5/77|立体几何证明与二面角、函数零点讨论|分层设计，融合逻辑推理与空间想象|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（九） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，若为实数，则的值为（     ） A． B． C．2 D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列命题正确的是（     ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 4．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．已知直四棱柱 的底面是边长为6的正方形， 8，点M是棱AA₁的中点，E是棱AB上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱 所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 6．一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 7． 如图，在四边形中，，，，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且是等边三角形，点分别为棱的中点，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设是所在平面内一点，记（，），则（   ） A．当，时， B．当，时，是线段的中点 C．当，时，是的重心 D．当时，的面积是面积的 10．在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．，则 C．若，，有两解，则 D． 11．如图，正方体的棱长为2，是侧面内的一点（包含边界），是棱上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（     ） A．当为的中点时，不存在点，使得平面 B．存在点，，使得平面平面 C．过点，，的平面截正方体所得的截面图形可能为五边形 D．当与重合且时，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，．若z与（i为虚数单位）是关于x的方程的两根，则__________． 13．如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________． 14．三棱锥满足，，，，二面角的大小为.若三棱锥的所有顶点都在一个球面上，则这个球体的表面积为_____ 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．（13分）如图，平面四边形是边长为的正方形.平面，，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 16．（15分）在中，，． (1)若为延长线上一点，，且，求的长； (2)若为外接圆上任一点（，在直线的两侧），，求． 17．（15分）已知． (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，． (1)求直线与平面所成角的正弦值． (2)若M为棱上一点，且平面， （ⅰ）试确定点M的位置； （ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 19．（17分）如图，在四棱锥中， 是正三角形，. (1)求证:平面平面; (2)设 求二面角的余弦值. (3)若P，A，B，C，D五个点均在球O的球面上，且O在平面内，若四棱锥的体积与球O 的体积分别为，求的值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（九） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，若为实数，则的值为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】先求出的共轭复数，再将分式复数分母实数化，利用实数的虚部为列方程求解参数. 【详解】首先根据共轭复数的定义，可得， ， 因为该复数为实数，故其虚部为，且恒成立， 因此，解得. 故选：B. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.7 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 3．空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列命题正确的是（     ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】B 【难度】0.68 【详解】选项A：若，则与的位置关系为或，并非一定，故A错误； 选项B：若，则直线的方向向量分别为平面的法向量， 由于直线垂直于平面时平行于平面的法向量，则两平面垂直等价于其法向量垂直，因此，故B正确； 选项C：若，则与的位置关系为或，并非一定，故C错误； 选项D：若，当时，与可能相交，并非一定，故D错误. 4．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】由题意得到所求二面角的平面角，结合勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，连接，设， 因为正方体，所以，， 所以就是平面与平面所成二面角， 设正方体的边长为，则，，， 所以，故C正确. 5．已知直四棱柱 的底面是边长为6的正方形， 8，点M是棱AA₁的中点，E是棱AB上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱 所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.64 【分析】先作出过点D₁，M，E的平面截四棱柱的截面多边形，然后分别求截面多边形的边长，即得截面多边形的周长. 【详解】连接并延长，交的延长线于点，连接并延长，交于点， 交的延长线于点，连接，交于点，连接，，， 所以过点，，的平面截直四棱柱的截面为五边形． 因为为的中点，， 由平行线分线段成比例可知：，， 故点为中点，故，又， 故，． 因为四棱柱为直棱柱， 故， ， ，， ，所以五边形的周长为． 6．一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.6 【分析】先通过侧面积求出斜高，再结合侧棱、斜高与棱台高的关系求出高，最后用正四棱台的体积公式求出体积. 【详解】设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为；设正四棱台的高为，斜高为.   正四棱台的侧面积为，一个侧面积. ，解得. 在正四棱台中，，即，. . . . 7． 如图，在四边形中，，，，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【分析】取的中点，连接，利用向量加减、数乘的几何意义及数量积的运算律得，结合，求得，进而有，应用二倍角余弦公式求函数值. 【详解】如图所示，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ①， 又，则②， 由①②解得，则， ∴， ∴． 8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且是等边三角形，点分别为棱的中点，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.42 【分析】先证明平面，可得，其中是的外接圆半径. 【详解】 因为是等边三角形，取的中点为,则 又平面，所以平面 因为平面，所以， 又点分别为棱的中点，且，故，， 又平面，所以平面. 设外接圆的圆心为，半径为， 易得，由正弦定理所以球的半径， 所以球的表面积为.故选C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设是所在平面内一点，记（，），则（   ） A．当，时， B．当，时，是线段的中点 C．当，时，是的重心 D．当时，的面积是面积的 【答案】ACD 【难度】0.65 【分析】根据平面向量基本定理的应用，结合向量线性运算、三角形重心性质、共线向量等知识点，逐一验证各选项即可求解. 【详解】选项A，当时，可得， 则， ，得到，故A正确； 选项B，当时，， 则， 即是线段的中点，不是是中点，故B错误； 选项C，若是的重心，则， 设的中点为，则，重心分中线为， 因此, 所以当时，是的重心，故C正确; 选项D，由题意得与具有同底，则面积比等于对应高的比值， 如图，作出符合题意的图形，以为原点建立平面直角坐标系， 设，，，，得到， ，， 因为，所以，解得， 而的高为，的高为， 则与的面积比为， 当时，面积比为, 即的面积是面积的，故D正确. 10．在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．，则 C．若，，有两解，则 D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解、推理判断ABC；利用和角的余弦公式判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理，得， 又，因此或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由，有两解， 得，且，解得，C正确； 对于D，在中，， 则，D正确. 11．如图，正方体的棱长为2，是侧面内的一点（包含边界），是棱上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（     ） A．当为的中点时，不存在点，使得平面 B．存在点，，使得平面平面 C．过点，，的平面截正方体所得的截面图形可能为五边形 D．当与重合且时，点的轨迹长度为 【答案】BCD 【难度】0.38 【分析】A选项，通过找到从出发且与平面垂直的直线，与棱相交的交点即为所求的点，由此判断是否存在；B选项，通过面面平行的判定定理判断，位置，根据已有的平行条件和动点所满足的平行条件即可判断是否存在；C选项，当为棱的中点，为棱的中点时，通过作平行线，将在一个平面内与正方体棱相交的点找到，连接起来判断形状即可；D选项，通过构造直角三角形，可知为恒定的值，从而确定点的轨迹，根据轨迹计算轨迹长度即可． 【详解】A选项，如图，连接，因为为的中点，故也是的中点，所以平面即为平面， 根据正方体的性质易得平面，平面，所以，， 又因为，且平面，故平面，所以当与重合时，平面，故A错误； B选项，当为棱的中点，为棱的中点时，易得平面平面， 因为，且平面，平面，故平面； 又因为，平面，平面，故平面； 因为，且平面，故平面平面，故B正确； C选项，当为棱的中点，为棱的中点时， 在上取，使得，在上取，使得； 连接，则，四边形为平行四边形，则； 在内过点作交于点，则； 连接，则同理可证， 则五边形为过点，，的平面截正方体所得的截面图形，故C正确；    D选项，在正方体中，平面，因为平面， 故，因为，且重合，故，， 则； 故点轨迹为以为圆心，以为半径的圆上， 因为，故圆弧与平面交在棱上， 如图所示，则，则，故； 故点的轨迹长度为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，．若z与（i为虚数单位）是关于x的方程的两根，则__________． 【答案】 【难度】0.7 【分析】利用实系数方程的虚根互为共轭复数先求出根的虚部，再结合韦达定理求出m的值. 【详解】设，则， 由题意得，则，则两根为，， 由韦达定理得， 解得，且，则， 当时，，当时，，综上可得，或. 13．如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________． 【答案】/ 【难度】0.6 【详解】把圆锥侧面沿母线展开如图所示的扇形，则为小虫爬行的最短路径. 由题意可知，，， 则在等腰三角形中得，则，， 则弧长为， 设圆锥底面半径为，则，得， 则圆锥的侧面积为 14．三棱锥满足，，，，二面角的大小为.若三棱锥的所有顶点都在一个球面上，则这个球体的表面积为_____ 【答案】 【难度】0.35 【分析】设利用双曲线的定义确定点、的轨迹，作的中垂线，结合二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将点的坐标表示出来，设球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列方程，求出球的半径，再用球的表面积公式计算结果. 【详解】在平面内，，以中点为原点，为轴正向， 过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系， 容易得到:点在双曲线上， 同理，在平面内，以中点为原点，为轴正向，过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系，容易得到，点在双曲线上， 由，所以、两点在直线上的投影相同，记为， ∴设，则因为, 所以为平面的平面角,所以中，， 由余弦定理，，解得:，所以 又，所以重合，则， 所以的外接圆圆心分别为的中点，分别记为， 记为外接球球心，则平面平面， 则四点共面，且四边形中，， 因为，所以， ， 在中，. ∴三棱锥的外接球的表面积为. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．（13分）如图，平面四边形是边长为的正方形.平面，，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)因为平面，且，所以平面. 又平面，因此. 因为是正方形，所以. 又，且平面， 根据线面垂直的判定定理，所以平面. (2) 【难度】0.68 【分析】（1）由条件可得 平面，再结合底面是正方形及线面垂直的判定定理可得； （2）先延长并交于点，进而可得平面平面，再过过作，连接，则就是平面与平面的夹角的平面角.在底面中，由余弦及正弦定理得，进而在直角中，得，最后在直角中用勾股定理及直角三角形的边角关系计算可得. 【详解】（1）略 （2）因为 ，且，所以四边形为直角梯形， 因此直线与直线必交于一点. 连接，过作，垂足为，连接，如图： 因为，所以平面，所以平面. 同理，平面，所以平面， 因此是平面与平面的公共点， 又因为点也平面与平面的公共点，所以平面平面. 因为平面，平面，所以， 又，且，平面， 由线面垂直的判定定理得，且，平面，平面， 因此就是平面与平面的夹角的平面角. 因为在中， ，且，所以是的中位线， 所以，在中，，如图： 由余弦定理， 解得， 又由正弦定理，得. 在直角中，，， 所以. 以在直角中，， 由勾股定理得，所以. 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 16．（15分）在中，，． (1)若为延长线上一点，，且，求的长； (2)若为外接圆上任一点（，在直线的两侧），，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.6 【分析】（1）利用正弦定理求出，进而确定范围，得到为钝角并求出，最后根据余弦定理计算，得出的值. （2）由向量关系推出四边形为梯形，再结合圆内接四边形性质得到等腰梯形，确定，分别在和中用余弦定理表示，建立等式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理知， 得． 则，知． 即为钝角，则． 在中，由余弦定理知， 则. （2）由知，， 得，且， 则四边形为梯形，且， 又四边形为圆内接四边形，则，有， 则四边形为等腰梯形，则. 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得． 则，解得， 则 . 17．（15分）已知． (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.59 【分析】（1）先化简函数，代入求出的解析式，采用换元法，结合正弦函数的性质求函数在上的值域； （2）解方程，用换元法转化为，求出的解，利用函数在上恰有2个零点构造不等式求出实数的取值范围． 【详解】（1）， 当时，，令， 由得，故， 所以， 即函数在上的值域为． （2）令，则，即， 设，当时，， 满足的解满足或， 前3个解依次是：， 已知函数在上恰有2个零点，则， 解得，故实数的取值范围是． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，，，． (1)求直线与平面所成角的正弦值． (2)若M为棱上一点，且平面， （ⅰ）试确定点M的位置； （ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）M为棱上靠近点P的三等分点；（ⅱ）． 【难度】0.56 【分析】（1）根据线线垂直得到线面垂直，进一步得到面面垂直；根据面面垂直的性质和等边三角形的性质，确定平面，从而得到直线与平面所成的角；最后根据各边关系求得正弦值； （2）（ⅰ）根据，作平行四边形，求得，即可求得点所在的位置； （ⅱ）作平行线，通过线线平行得到面面平行，再根据面面平行的性质和等边三角形的性质，确定平面与平面所成锐二面角的平面角，最后根据各边的位置和数量关系求得正弦值. 【详解】（1），，，平面，平面. 平面，平面平面. 取的中点，连接，，如图1所示：   为等边三角形，. 平面平面，平面，平面. 则为直线与平面上的射影，为直线与平面所成的角. ，，； ，，； . ，即直线与平面所成角的正弦值为. （2）（ⅰ）M为棱上靠近点P的三等分点，理由如下： 如图2，过点M作交于点N，连接.   ，； ，，，四点共面，则平面平面； 平面，. 四边形为平行四边形，则. ，，，，即. 为棱上靠近点P的三等分点满足题意. （ⅱ）过点M作交于点O，连接.由（ⅰ）得； 为等边三角形，则，. ，，，四边形是平行四边形，则. 平面，平面，平面. ，平面，平面，平面. ，平面平面. 过点A作于点H，过点H作交于点G，连接， 由（1）知平面，，平面. 平面，. ，，平面，平面. 平面，； ，，平面，平面， 平面，则； 为平面与平面所成锐二面角的平面角， 即为平面与平面所成锐二面角的平面角. 由平面，平面，得； ，，，，为等边三角形，, ，，，. 在中，，则. 在中，，得. 在中，. 在中，. 即平面与平面所成锐二面角的正弦值为． 19．（17分）如图，在四棱锥中， 是正三角形，. (1)求证:平面平面; (2)设 求二面角的余弦值. (3)若P，A，B，C，D五个点均在球O的球面上，且O在平面内，若四棱锥的体积与球O 的体积分别为，求的值. 【答案】(1)依题意，，，则是线段的中垂线，即， 又，，平面，因此平面， 而平面，所以平面平面. (2)； (3). 【难度】0.41 【分析】（1）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （2）根据给定条件，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解. （3）根据给定条件，确定球心的位置，再利用球半径表示出锥体及球的体积即可. 【详解】（1）略 （2）记与交于点，连接，如图，作出符合题意的图形， 由，而为的中点，得， 由（1）知，平面平面，平面平面，平面， 则平面，取的中点，由，得， 同理，因此为二面角的平面角， 由，，得， 于是，，，， 又，在中，由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为． （3）由题意得，，，，五点同在球上，且在平面内， 则为四边形的外心，且、、、四点共圆， 由对称性知，为的中点，且为正的中心， 设球的半径为，则，，，又，于是， 因此，，所以． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $