辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（五）

**基本信息** 辽宁葫芦岛高一数学期末复习卷，覆盖复数、立体几何、向量、三角函数、解三角形等核心知识，以折叠问题、外接球计算、解三角形多问设计，突出空间观念、推理能力与应用意识，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数共轭、立体几何概念、向量模|基础概念辨析，如棱台定义判断| |多选题|3/18|向量性质、解三角形命题|多角度推理，如三角形形状判断| |填空题|3/15|长方体外接球、三角恒等变换|空间与代数结合，如外接球表面积| |解答题|5/77|四棱锥证明、三角函数图像变换、解三角形|分层综合，如折叠问题探究线面平行（空间观念）、解三角形周长最值（应用意识）|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（五） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．平行于同一直线的两直线平行 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数 的图象向左平移（ ）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．设的外心为，若，，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．的最大值为 D．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 10．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则为锐角三角形 C．若，则是等腰三角形或直角三角形 D．若，，分别表示，的面积，则 11．如图，矩形中，，为边上的一点．现将沿着折起，使点到达点的位置，点在平面内的射影在线段上，则（    ） A．存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．的取值范围为 D．与平面所成角最大为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．长方体一个顶点上的三条棱的长分别是，它的外接球的表面积为_________。 13．若，，且，则__________． 14．在平面凸四边形中，已知，，，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为．求的长； 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别为，的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：平面平面. (3)求证：平面. 17．（15分）已知函数（，）为奇函数，且的周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 18．（17分）已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)若，，求的周长； (2)若的面积为，为边的中点，求长的最小值； (3)若，求锐角周长的取值范围. 19．（17分）在中，内角，，的对边分别为，，，点为边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若为内角的平分线，且 （i）求． （ii）若的面积为S，求与的面积之比，并计算的面积（用S表示）． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（五） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【详解】因为，所以复数z的共轭复数是 2．下列说法正确的是（   ） A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．平行于同一直线的两直线平行 【答案】D 【难度】0.82 【分析】由线线位置关系、棱台、棱锥以及棱柱的定义即可逐一判断. 【详解】对于A，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，它应该保证各侧棱延长后交于一点，故A错误； 对于B，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故B错误； 对于C，如图所示， 若下面是一个正四棱柱，上面是一个以正四棱柱上底面为下底面的斜四棱柱，但它们的组合体不是棱柱，故C错误； 对于D，由平行线的传递性可知D正确. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【详解】设，则， . 4．已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.75 【分析】由向量的垂直结合向量数量积的运算公式即可求解. 【详解】由题意得，即， 且，即， ，解得，. 5．如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【详解】设点到平面OMA的距离为. ，，，平面； 平面，，即是直角三角形； ，，，； 为的中点，. . ，，，平面； 为的中点，平面，点到平面的距离为； ，，，. ，，即，解得. 即点到平面OMA的距离为. 6．已知函数 的图象向左平移（ ）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换的性质求出结果. 【详解】由题可得， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以，即， 又，所以的最小值是． 7．在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.55 【分析】先确定三棱锥外接球球心的位置，进而求出外接球半径，再利用球的表面积公式求球的表面积. 【详解】如图，取的中点E，连接， 因为，所以，， 所以，又，所以． 分别取与的外心，易知点分别在上， 过点G，F分别作两平面的垂线，两垂线交于点O，则点O为三棱锥外接球的球心． 由已知可得，，连接OE，易得， 所以，则，则， 所以在中，， 即三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为． 8．设的外心为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.36 【分析】先利用外心对应的向量数量积结论将题干中的向量等式转化为三角形三边的关系，再结合正弦定理实现边角互化得到边长的比例关系，最后代入余弦定理计算的值. 【详解】设的内角所对的边分别为， 对于的外心，有性质，. ∵ ， ∴ ， 同理可得，. 将上述结果代入， 得 ， 化简得 . ∵ ，由正弦定理，得 ，即. 将代入，得 ，即，故. 由余弦定理，，代入，， 得 . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．的最大值为 D．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 【答案】ABD 【难度】0.65 【分析】对于A，利用向量垂直的坐标表示化简即可判断；对于B，利用向量平行的坐标表示化简即可判断；对于C，利用代入向量的数量积计算即可求解；对于D，利用投影向量公式化简即可求解. 【详解】已知，，，. 选项A：若，则，得，A正确. 选项B：若，则，得，又 ，所以 ，B正确. 选项C：，最大值为，C错误. 选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确. 10．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则为锐角三角形 C．若，则是等腰三角形或直角三角形 D．若，，分别表示，的面积，则 【答案】ACD 【难度】0.42 【分析】由正弦定理结合大边对大角可判断选项A；由二倍角的余弦公式，结合正余弦定理可判断选项B；由题可得，即可判断选项C；由题可得，令，根据题意，可得为中点和，即可判断选项D. 【详解】对于A，已知，由正弦定理，， 又，则，则或，且注意两种情况均可满足三角形内角和为， 故A正确； 对于B，由二倍角的余弦公式，结合， 可得， 根据正弦定理和余弦定理，可得，即只能得到为锐角， 不能得到为锐角三角形，故B错误； 对于C，已知，由正弦定理可得，，即， 解得或，即是等腰三角形或直角三角形，故C正确； 对于D，如图所示： 由，可得， 设，则共线，为中点， 又，则三点共线， 则，，所以， 即，故D正确. 11．如图，矩形中，，为边上的一点．现将沿着折起，使点到达点的位置，点在平面内的射影在线段上，则（    ） A．存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．的取值范围为 D．与平面所成角最大为 【答案】BCD 【难度】0.38 【分析】假设存在，使得∥平面，由线面平行的性质定理可得∥，所以四边形是平行四边形，所以，由平面推得的取值范围，且，从而判断A，C； 取的中点，证得平面时，存在平面，满足题意，判断B；设，，求得与平面所成角的正弦值的取值范围，从而得到的最大值，判断D. 【详解】对于A，C， 假设存在，使得∥平面， 因为平面，平面平面， 所以∥. 又∥，所以四边形是平行四边形，所以. 由题意知，平面. ， ，即，所以的取值范围为. 所以，所以假设不成立，故A不正确，C正确. 对于B，若为的中点，则， ， 当时，， 此时，所以. 又平面， 所以平面. 作于点，则， 所以， 所以， 所以. 又平面， 所以平面，满足题意. 所以B正确. 对于D，设，则. 设，则，. 因为平面，平面， 所以，所以， 即， 化简得，. 所以与平面所成角为,. 因为，所以的最大值为， 即与平面所成角最大为. 故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．长方体一个顶点上的三条棱的长分别是，它的外接球的表面积为_________。 【答案】 【难度】0.85 【分析】利用长方体外接球直径等于其体对角线长度的性质，结合球的表面积公式计算结果. 【详解】设该长方体外接球的半径为， 根据长方体的几何性质，其外接球的直径与长方体的体对角线长度相等， 因此： ， 则球的表面积. 13．若，，且，则__________． 【答案】 【难度】0.82 【分析】由向量平行坐标表示可得，然后由二倍角正切公式可得答案. 【详解】因，则，则. 14．在平面凸四边形中，已知，，，，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.38 【分析】设，在中，利用正弦定理求出，再根据数量积的定义结合三角函数的性质即可得解. 【详解】设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，，，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为．求的长； 【答案】(1)连接，交于点，连接， 因为，所以， 因为四边形是菱形， 所以，又，平面， 所以平面. (2) 【难度】0.62 【分析】（1）连接，交于点，根据已知得、，再由线面垂直的判定证明结论； （2）取中点，连接，，连接，根据线面垂直的判定及性质、正三角形的性质得平面，再由线面角的定义确定与底面所成角的平面角，结合其余弦值求相关线段长，即可得. 【详解】（1）略. （2）取中点，连接， 因为，所以为正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 由平面，所以，所以，又，即， 设，连接，显然是正三角形的中心， 所以平面，且即为直线与平面所成的角． 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以，则. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别为，的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：平面平面. (3)求证：平面. 【答案】(1). (2)∵底面为矩形，∴. 平面平面，平面平面，∴平面. ∵平面， . ，，平面. 平面，平面平面. (3)取的中点，连接，，如图所示， ，分别为，的中点，，. ∵底面为矩形，为的中点，，. ，，得四边形为平行四边形. . 平面，平面， 平面. 【难度】0.65 【详解】（1），为的中点，，，，. 平面平面，平面平面， 平面. 为的中点，点到底面的距离. 底面为矩形，，，. . 三棱锥的体积为. （2）略 （3）略 17．（15分）已知函数（，）为奇函数，且的周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【难度】0.52 【分析】（1）利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数的值，从而得到函数的解析式； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程并结合正弦函数图象得到方程根的个数，再结合三角函数图象的对称性分组求和即可． 【详解】（1）因为函数周期，且，所以，解得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 又，所以，所以函数. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当，即时，函数取得最小值，最小值为， 当，即时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，作出正弦函数的图象如图所示，    由图可知方程在区间上有3个根，所以， 其中，， 即，， 解得：，， 所以． 18．（17分）已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)若，，求的周长； (2)若的面积为，为边的中点，求长的最小值； (3)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.48 【分析】（1）先化简并由求出，应用正弦定理求得，再应用余弦定理列方程求，结合确定其值，即可得； （2）由面积公式得，利用中线向量公式，结合均值不等式求得的最小值； （3）由正弦定理得外接圆半径，将周长表示为的三角函数，结合锐角三角形条件，可求得周长范围. 【详解】（1）， 由 ， 由，因此， 其中，则，故， 由，可得， 由，则，可得， 所以或，又，则，即， 综上，，故三角形的周长为； （2）由已知，又的面积为，则，解得， 又，则 当且仅当时，等号取到，所以； 即边上中线长的最小值为． （3）由正弦定理可知：， 因此有 ， 由于，故，则， 可得，因此. 19．（17分）在中，内角，，的对边分别为，，，点为边上一点，且满足． (1)证明：； (2)若为内角的平分线，且 （i）求． （ii）若的面积为S，求与的面积之比，并计算的面积（用S表示）． 【答案】(1)点为边上，故向量与共线，即存在非零实数使得， 由，代入得， ，故， 又，则， 故，即． (2)（i）（ii） 【难度】0.45 【分析】（1）利用在上及，利用平方差公式展开，得出，进而证明结论； （2）（i）利用向量共线定理结合已知条件及角平分线定理得出，利用模的平方求出余弦值，进而借助同角三角函数关系求出； （ii）利用同高三角形的性质，结合三角形面积公式计算求解． 【详解】（1）略 （2）（i）由在上，根据向量共线定理，则， 已知，解得，则， 为内角的平分线，则， ， 过点作，则为与的高， ， 故，故， 结合，，展开得 ， 故，解得， ， ； （ii）由（i）知， ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $