海南海口市2025-2026学年高一下学期数学期末复习综合练习题（一）

**基本信息** 以“知识整合+方法迁移”为核心，通过复数、统计与概率、立体几何等模块系统训练，渗透数学眼光（空间观念、数据意识）、数学思维（推理能力、运算能力）与数学语言（模型意识），构建高一数学知识网络与解题方法体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|1单+1解答|代数形式转化、纯虚数判定|概念（共轭复数）-运算（除法）-几何意义（复平面）| |统计与概率|2单+1多+1解答|分层抽样、频率分布直方图、独立事件概率|抽样方法-数据处理（众数/中位数）-概率模型（加赛规则）| |立体几何|2单+1填空+1解答|线面平行判定、等体积法、空间角计算|线面关系-空间几何体（正方体/翻折）-体积与角| |向量与解三角形|2单+1多+1填空+1解答|向量数量积、正余弦定理、面积公式|向量运算-解三角形（边角关系）-最值问题| |三角函数|1单|图像平移、周期性质|函数图像变换-性质应用（最值）|

海南省海口市2025-2026学年第二学期高一数学期末复习综合练习题（一） 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知复数，为虚数单位，则z的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．为了解不同年级男、女学生对食堂饭菜的满意程度，某中学采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一、高二、高三年级的所有学生中抽取样本进行调查.该中学高一、高二、高三年级学生的比例与高一男、女生人数如图所示，若抽取的样本中有高一男生140人，则样本容量为（    ）    A．500 B．600 C．700 D．800 3．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列条件不能推出的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 6．在正方体中，E为的中点，则AE与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 7．为了得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度（均为正数），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．在正四棱柱中，，点分别是，的中点，则过点的平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．春节期间，电影《哪吒2》在全国各地的影院热映，已知某影院连续10天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，160，180，200，160，120，130，则这组数据的（    ） A．众数为120 B．平均数为140 C．中位数为145 D．第85百分位数为170 10．在中，，，，则（    ） A． B． C． D．外接圆半径是 11．设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的“仿射坐标”为 C．若，则 D．若，则 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知，，，，则的值为_____. 13．如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为_________________． 14．在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，，则的最小值为________________；若，则的最大值为________________. 四、解答题 15．（13分）已知复数，（为虚数单位）． (1)当时，求； (2)若为纯虚数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16．（15分）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.（附：方差计算公式：或 17．（15分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，． (1)求； (2)若的面积为，且， （ⅰ）求的周长； （ⅱ）若，求． 18．（17分）甲、乙两人参加射击比赛，规定两人各射击目标一次为一轮，击中目标者得1分，未击中者得0分．甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设每人每次射击的结果互不影响． (1)第一轮比赛结束，求两人得分和不为0分的概率； (2)在前20轮的比赛中，恰好两人得分相同．现决定进行加赛，规则如下：加赛中某一轮结束后，有人得分高于另一人，则得分高的人获胜，加赛结束，否则继续下一轮．加赛不超过三轮，若三轮结束后得分相同，则为平局． （ⅰ）求加赛满三轮的概率； （ⅱ）求甲获胜的概率． 19．（17分）如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求异面直线与所成的角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一数学期末复习（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C B D B D BC AC 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】先通过复数除法运算将化为代数形式，再求其共轭复数，进而得到共轭复数的虚部. 【详解】，所以，故的虚部为. 2．C 【分析】根据分层抽样的含义直接计算求解. 【详解】由柱状图可知，高一男生500人，女生400人，总共900人， 若抽取的样本中有高一男生140人，则抽取的高一总人数为人， 又因为高一占总人数比例为36%， 则抽取的总人数为人， 即样本容量为700. 故选：C 3．C 【分析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可 【详解】对A，，则，又故，正确； 对B，，则，又故，正确； 对C，平面，的关系无法确定，C错误； 对D，，则或，又，故，D正确； 故选：C 4．C 【分析】由向量的垂直结合向量数量积的运算公式即可求解. 【详解】由题意得，即， 且，即， ，解得，. 5．B 【详解】因为，所以. 设，， 则. 代入，得. 又，所以，解得. 因此. 6．D 【分析】根据AE与平面的关系，先找到直线AE与平面所成的角，然后通过勾股定理求得各边长，即可求得AE与平面所成角的正弦值． 【详解】连接、相交于点M，连接， 由题意可知是平行四边形，所以是的中点， 因为E为的中点，所以，所以，同理可， 又，平面，所以平面， 所以即为AE与平面所成的角， 设正方体的棱长为2， 则，， 所以， 在中，由勾股定理可得， 所以 故选：D. 7．B 【分析】根据函数图象的平移可得，即可根据三角函数的性质得，，求解. 【详解】因为， 所以，，， 即得，，， 故得，， 当时，的最小值是. 故选：B 8．D 【分析】先作出图形，然后分析图形的特征，求出边长，进而得出周长. 【详解】如图，延长交的延长线于点，交的延长线于点， 连接并延长交于点，交的延长线于点， 连接，分别交，于点，， 连接，，则六边形所在平面即为平面， 六边形即为过点的平面截正四棱柱所得的截面多边形， 由全等三角形可知，，，分别为，，的中点， 因为，所以， 所以六边形的周长为． 故选：D．    9．BC 【分析】先将10天的观影人数从小到大排列，再根据数据计算得众数、平均数、中位数、百分位数，逐项判断即可. 【详解】观影人数从小到大排列为：80，90，120，120，130，160，160，160，180，200， 则众数为160，故A不正确； 平均数为，故B正确； 中位数为，故C正确； 又，故第85百分位数为180，故不正确. 故选：BC. 10．AC 【分析】应用二倍角正弦公式结合同角三角函数关系计算判断A，应用余弦定理结合二倍角余弦公式计算判断B，应用平面数量积公式计算判断C，应用正弦定理判断D. 【详解】对于A，在中，，则， 则，故A正确； 对于B，因为，，， 由余弦定理，得，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，设外接圆半径为，由正弦定理，得，则外接圆半径为，故D错误； 11．BC 【详解】因为向量和的“仿射坐标”分别为，， 所以，，又因为，是夹角为的单位向量， 所以，，， 则，故A错误； 若，则，则的“仿射坐标”为，故B正确； 由得，解得，故C正确； 若，则，得，故D错误． 12． 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： 13． 【分析】借助等体积法及三棱锥体积公式计算即可得. 【详解】， 则. 14． 6 4 【分析】若，根据三角形面积公式可得，利用，得解；若，根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，代入运算得解. 【详解】若，由， 所以，当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为6. 若，，解得, 由余弦定理得， 整理得， ，当时，取得最大值4. 故答案为：6，4. 15．(1) (2) (3) 【详解】（1）当 时: 实部：, 虚部：. 故 , 共轭复数 , . （2）若 为纯虚数, 则实部为且虚部不为, 由 得 , 即 或 . 由 得 , 即 且 . 综上所述, . （3）复数对应点在第二象限, 则 : . : 或 . 综上所述. 16．(1)， (2)78分 (3)90；38.75 【分析】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列，列式可求得；根据小长方形的面积和为1求得； （2）利用频率分布直方图计算第80百分位数即可； （3）根据平均数和方差的计算公式求解即可. 【详解】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列， 所以，解得， 又，解得． 所以，， （2）成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为m， 则，解得，所以晋级分数线划为78分合理． （3），故：． 又，， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 方差：． 17．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）解法1：由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值；解法2：利用余弦定理化简得出，再利用余弦定理可求得的值； （2）（ⅰ）由同角三角函数的基本关系可求出的值，利用三角形的面积公式可求出的值，利用余弦定理结合可得出关于的方程，可求出的值，进而可求出的值，由此可得出该三角形的周长. （ⅱ）先求得，判断出，利用诱导公式、二倍角公式求得 【详解】（1）解法1：因为，由正弦定理得， 即， 因为，则，故； 解法2：因为，由余弦定理得， 整理得，可得， 由余弦定理可得. （2）（ⅰ）因为，且，则， ，所以， 因为由余弦定理得， 于是， 因为，则，所以， 因此，于是的周长. （ⅱ）若，则，则， 由上述分析得，， 所以 . 18．(1) (2)（ⅰ） （ⅱ） 【分析】（1）通过分析事件“两人得分和不为0”的对立事件“两人得分和为0”，得出答案； （2）（ⅰ）通过加赛规则可知，要想加赛满三轮，则前两轮两人的得分应该相同，则第三轮一定会进行； （ⅱ）分别求出甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率，按照分类加法原理求和即可得甲获胜的概率. 【详解】（1）设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B， 所以，，，， 第一轮比赛结束后，两人得分为0分的概率为， 所以第一轮比赛结束后，两人得分不为0分的概率为. （2）（ⅰ）设表示事件“加赛中第轮平局”，所以， 要使加赛满三场，则前两场必须平局， 所以加赛满三场的概率为. （ⅱ）若甲第一轮加赛胜出，则甲中乙不中概率为：， 若甲第二轮加赛胜出，则第一轮平局，第二轮甲中乙不中概率为：， 若甲第三轮加赛胜出，则前两轮平局，第三轮甲中乙不中概率为：， 所以甲获胜的概率为：. 19．(1)取中点，连接，． 在中，，分别为的中点，所以，且． 由已知，，所以，且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，且平面， 所以平面． (2)在正方形中，，又，， ，平面，所以 平面， 因为平面，所以， 在中，，所以，， 在中，，，. 所以， 所以，所以. 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面 (3) 【分析】（1）取中点，连接，利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，故，再根据线面平行判定定理，由平面、平面证得平面. （2）由正方形得平面，故；结合边长利用勾股逆定理证，，得平面，又平面，故平面平面. （3）取中点，由三角形中位线性质证明四边形为平行四边形，故，是异面直线与所成角；由勾股定理求出、、，再由余弦定理计算得. 【详解】（1）（1）略 （2）（2）略 （3）如图:取的中点，连接、. 由三角形中位线性质可知 所以，所以四边形为平行四边形. 由勾股定理得，，所以 因为,所以为异面直线与所成的角. . 由余弦定理得 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $