命题大赛 海南省海口市2025-2026学年下学期高一数学期末试卷（人教A版必修第二册）

**基本信息** 海南省海口市高一数学期末卷（人教A版必修二），120分钟150分，原创题占比高，融入乡村旅游消费等现实情境，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|概率、向量、复数等|基础概念辨析，如向量平行（第2题）| |多项选择题|3/18|概率事件关系、解三角形等|多选项辨析，如概率独立性判断（第9题）| |填空题|3/15|斜二测面积、棱台体积等|原创几何计算，如等边三角形动点问题（第14题）| |解答题|5/77|向量运算、统计、立体几何等|综合应用，如乡村旅游消费统计分析（第17题）、立体几何证明与体积计算（第18、19题）|

海南省海口市2025-2026学年第二学期高一数学期末试卷 （人教A版高中数学必修第二册） 学校：_________ 姓名：___________ 班级：___________ 分数：___________ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.7.若两人同时独立射击，则他们两人至多一次击中靶的概率是（    ） A．0.56 B．0.44 C．0.5 D．0.06 2．已知向量，，，若// ，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 4．在△ABC中，为的中点，点在边上，且．若与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则. B．若，，则. C．若，，，则 D．若，，则 6．已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（原创）在△ABC中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 8．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 9．随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（    ） A． B．A与互斥 C．A与相互独立 D． 10．在△ABC中，角所对的边分别为下列结论正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则 C．若，三角形面积，则 D．若，则为等腰三角形 11．（原创）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为______ 13．若正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且侧棱长为，则其体积为________. 14．（原创）已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知，，. (1)求与的夹角；(2)求；(3)若，，求△ABC的周长. 16．（15分）已知△ABC的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小；(2)若，求△ABC的面积；(3)若，求. 17．（原创）（15分）为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图. (1)试估计消费金额的84%分位数. (2)若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率. (3)为吸引顾客，该村特推出两种促销方案. 方案一：每满80元可减8元； 方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折. 若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠. 18．（17分）正三棱柱中，是的中点，连接，交于点，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； (3)求直线与平面ABC所成角的正切值 19．（17分）如图，在直三棱柱中，，，点是线段的中点，连接． (1)求证：平面 (2)设平面与平面的交线为直线．求证： (3)若，求二面角的正弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市2025-2026学年第二学期高一数学期末试卷 （人教A版高中数学必修第二册） 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.7.若两人同时独立射击，则他们两人至多一次击中靶的概率是（    ） A．0.56 B．0.44 C．0.5 D．0.06 【答案】B 【分析】根据对立事件及独立事件乘法公式计算即可. 【详解】他们两人至多一次击中靶的对立事件为他们两人都击中靶， 所以他们两人至多一次击中靶的概率是. 故选：B 2．已知向量，，，若// ，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】由题意得，，若，则，解得． 3．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法化简可得，根据复数的概念即可求解. 【详解】复数满足，则， 所以复数的虚部是. 故选：D 4．在△ABC中，为的中点，点在边上，且．若与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设，再根据条件和三点共线，求，即可求解. 【详解】由条件可知，， 即，因为点三点共线， 所以，得， 所以. 5．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则. B．若，，则. C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断． 【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误； 对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得， 由得，而，得，故D项正确． 6．已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以即为直线与所成的角， 设正方体的棱长为， 则，， 在中，， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 7．在△ABC中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用面积相等求出，再结合余弦定理可得答案或建立直角坐标系，分别求出D，E坐标，再利用两点间距离公式，即可求值. 【详解】方法一：因为，，，所以的面积为； 因为AD是的角平分线， 所以， 解得. 在中，，， 所以 ， 即.    故选：A. 方法二：因为，所以， 如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴建立直角坐标系， 则，，， 由是的角平分线可知，直线的方程为：， 因为，，则， 所以直线的方程为：， 联立方程组，可得， 所以， 因为E是AC的中点，所以， 所以，由两点间距离公式得，， 则DE的长度为.    故选：A. 8．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围. 【详解】由已知得：，即， 所以，又，所以， 由正弦定理得：， 所以， 所以 又 所以由是锐角三角形得：， ，即的取值范围是． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（    ） A． B．A与互斥 C．A与相互独立 D． 【答案】ACD 【分析】利用古典概型求出，即可判断A；根据互斥事件的定义即可判断B；根据相互独立事件的定义即可判断C；根据事件表示第一次或第二次为奇数，求出此事件的对立事件的概率即可求出，即可判断D. 【详解】解：由题意可得， 所以，故A正确； 因为事件可以同时发生，故两事件不是互斥事件，故B错误； 因为事件互不影响，所以为相互独立事件， 则， 因为事件表示第一次为奇数且第二次为奇数， 所以， 又， 所以A与相互独立，故C正确； 事件表示第一次或第二次为奇数， 它的对立事件为第一次和第二次都是偶数， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10．在△ABC中，角所对的边分别为下列结论正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则 C．若，三角形面积，则 D．若，则为等腰三角形 【答案】BC 【分析】对于A，根据余弦定理，判定为锐角即可求解； 对于B，根据大角对大边，及正弦定理求解； 对于C，利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可求解； 对于D，根据正弦定理的边角化，再利用倍角公式及角的范围即可求解. 【详解】对于A，由余弦定理得所以为锐角，但是角的大小不清楚，所以不能判定为锐角三角形，故A不正确； 对于B，在中，，则，由正弦定理得，， 即，故B正确； 对于C，由，，得，解得，由余弦定理得，所以， 故C正确； 对于D，由及正弦定理，得，即， 因为，所以或，解得或，所以为等腰三角形或为直角三角形，故D不正确. 故选：BC. 11．在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为______ 【答案】 【分析】先求出直观图矩形的面积，再根据原图形与直观图面积关系求出四边形的面积. 【详解】由题意，， 原图形面积与斜二测直观图形面积之间的关系为， 可得． 13．若正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且侧棱长为，则其体积为________. 【答案】/ 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式可求解. 【详解】由题意作出正四棱台图象，如下图所示： 为正四棱台， 连接，得， 过作，过作， 得：，, 在直角三角形中，得， 得正四棱台的高，正四棱台上下底面积分别为， 所以体积 故答案为：. 14．已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标和的坐标，利用数量积的坐标计算公式可求得，再设出点，根据，用来表示，再将表示成关于的函数表达式,然后求解最小值. 【详解】建系如图所示 因为是边长为2的等边三角形，，. . 设，. . ，，. . 当时，取得最小值，最小值为. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知，，. (1)求与的夹角； (2)求； (3)若，，求△ABC的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合向量的数量积，展开转化求解两个向量的夹角即可； （2）利用，展开化简即可得到答案； （3）结合（1）可得，利用或余弦定理可得，从而求得△ABC的周长 【详解】（1）， ，.........2分 又，，， ，.........4分 又，；........5分 （2），.........7分 ；.........8分 （3）因为与的夹角， ，.........9分 又，， 解法1：， ，.........11分 则；.........12分 所以△ABC的周长为..........13分 解法2：在△ABC中，由余弦定理得，，.........11分 即，所以，.........12分 所以△ABC的周长为..........13分 16．（15分）已知△ABC的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求△ABC的面积； (3)若，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先分析题意，利用正弦定理进行边角互化，进而通过特殊角的余弦值求解即可. （2）通过余弦定理列出方程，求解关键边长，进而求出三角形面积即可. （3）通过正弦定理判断角为锐角，利用二倍角公式结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得：， ..........1分， ..........3分 显然则， ..........4分 又，故； ..........5分 （2）， 由余弦定理可得，整理可得， ..........7分 又，解得， ..........8分 ..........10分 （3）由正弦定理得：，则， ..........11分 ，即，则，故为锐角， ， ..........12分 ， ..........13分 ， ..........14分 ..........15分 17．（15分）为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图. (1)试估计消费金额的84%分位数. (2)若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率. (3)为吸引顾客，该村特推出两种促销方案. 方案一：每满80元可减8元； 方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折. 若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠. 【答案】(1)92 (2) (3)方案二更优惠 【分析】（1）利用频率分布直方图估计百分位数. （2）利用古典概型求对应事件的概率. （3）分别求出两个方案的费用，进行比较，可得答案. 【详解】（1）先计算各区间的频率： ：频率为；：频率为； ：频率为；：频率为； ：频率为；：频率为...........2分 因为，...........3分 所以消费金额的分位数位于之间. 由...........5分 所以消费金额的分位数为. （2）消费金额在[80，100)内的3个“水果达人”记为A，B，C， 消费金额在[100，120]内的2个“水果达人”记为a，b............6分 所有样本点有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种， 2人中至少有1人购买金额不低于100元的有7种，...........8分 设事件：2人中至少有1人消费金额不低于100元，则............10分 （3）游客按方案一，购买10千克水果，需花费：元；...........12分 按方案二，购买10千克水果，需花费：元............14分 所以游客应该选择方案二更优惠............15分 18．（17分）正三棱柱中，是的中点，连接，交于点，，．    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； (3)求直线与平面ABC所成角的正切值 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正三棱锥的几何性质，明确所求三棱锥的高和底面积，结合三棱锥的体积公式，可得答案； （2）根据中位线定理，结合线面平行的判定定理，可得答案； （3）根据线面角的定义，作图，结合直三棱柱的几何性质，可得答案. 【详解】（1）正三棱锥中，是的中点，，..........2分 三棱锥的体积为：...........6分 （2）连接，是矩形，是的中点， 为的中点，，.........8分 平面，平面，..........9分 平面..........10分 （3）取中点，连接， ..........11分 为的中点，， 平面，平面，即为直线与平面所成角，.........12分    ，，分别为的中点，..........13分 ，，即...........15分 19．（17分）如图，在直三棱柱中，，，点是线段的中点，连接． (1)求证：平面 (2)设平面与平面的交线为直线．求证： (3)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形以及直三棱柱的性质，利用线面垂直的性质与判定，可得答案； （2）根据线面平行的性质与判定，可得答案； （3）由题意将三棱柱补形为四棱柱，根据线面垂直的性质以及二面角平面角的定义，利用勾股定理以及锐角三角函数，可得答案. 【详解】（1）由为的中点，，则，易知， 在三棱柱中，易知，， 则，故，..........1分 在三棱柱中，由，则，..........2分 由平面，平面，则，..........3分 因为，平面，所以平面，..........4分 因为平面，所以，..........5分 因为，平面，所以平面...........6分 （2）在三棱柱中，，..........7分 因为平面，平面，所以平面，..........9分 因为平面平面，平面，所以...........10分 （3）由题意，将三棱柱补形成四棱柱，如下图： 其中底面为正方形，为的中点， 由（1）可知平面，且，则平面， 在四棱柱中，易知，则平面， 因为平面，所以， 由（1）可知平面，且平面，所以， 所以为二面角的平面角，..........12分（找出二面角的平面角给2分） 在四棱锥中，平面， 因为平面，所以，..........13分 易知，，..........15分 所以，则二面角的正弦值为...........17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $命题双向细目表 海南省海口市2025-2026学年第二学期高一数学期末试卷（人教A版高中数学必修第二册）命题双向细目表 题号 题型 考查知识点 难度系数 分值 1 单项选择题 独立事件概率、互斥事件概率计算、至多一次击中的概率求解 0.85 5 2 单项选择题 平面向量的坐标运算、向量平行的坐标表示 0.85 5 3 单项选择题 复数的代数运算、复数虚部的定义 0.85 5 4 单项选择题 平面向量的线性运算、向量的分解与线性表示 0.75 5 5 单项选择题 空间点、线、面的位置关系、线面平行与垂直的判定定理 0.75 5 6 单项选择题 正方体的结构特征、异面直线所成角的计算 0.70 5 7 单项选择题 解三角形（正余弦定理）、角平分线的性质、中点相关的长度计算 0.65 5 8 单项选择题 锐角三角形的性质、正余弦定理的应用、边的取值范围求解 0.55 5 9 多项选择题 随机事件的概率、互斥事件的判断、相互独立事件的判定 0.75 6 10 多项选择题 解三角形（正余弦定理、三角形形状判断、三角形面积公式） 0.70 6 11 多项选择题 正方体的结构特征、线面平行的判定、动点轨迹问题、异面直线的判断、三棱锥体积计算 0.60 6 12 填空题 斜二测画法、直观图与原图形的面积换算 0.80 5 13 填空题 正四棱台的结构特征、棱台的体积计算 0.75 5 14 填空题 平面向量的数量积运算、向量的模长计算、动点的轨迹与最值问题 0.65 5 15 解答题 平面向量的数量积运算、向量夹角的计算、向量的模长、三角形周长计算 0.75 13 16 解答题 解三角形（正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换） 0.70 15 17 解答题 统计（频率分布直方图、百分位数计算、分层抽样、古典概型概率计算、方案优化选择） 0.65 15 18 解答题 正三棱柱的结构特征、三棱锥体积计算、线面垂直的判定定理、直线与平面所成角的计算 0.60 17 19 解答题 直三棱柱的结构特征、线面平行的判定定理、平面与平面的交线性质、二面角的计算 0.50 17 合计 150 $