精品解析：海南省海口市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

机密★启用前 海口市20242025学年第二学期 高一年级期末考试（数学） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的并集运算即可求解. 【详解】由合，， 所以，故C正确. 故选：C. 2. ，，，，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】充分性：因为且，由不等式的性质可得，充分性成立； 必要性：取，，，，则成立，且，但”不成立，必要性不成立. 因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得，根据平面向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】由题意有， 故选：B. 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数先求，进而即可求. 【详解】由题意有，所以， 故选：C. 5. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】由三角函数的定义可得，， 由两角差的正弦公式可得. 故选：B. 6. 已知四边形为矩形，，，是的中点，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，再利用坐标表示向量的数量积，从而可求解. 【详解】由题，以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 则，，则，故A正确； 故选：A. 7. 若点是两条相交直线，外的任意一点，则过点有且只有一条直线与直线，都（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知两条相交直线，可唯一确定一平面，再利用平面垂线知识即可求解. 【详解】由题意可知两条相交直线，可唯一确定一平面，因点是两条相交直线，外的任意一点，则可得过点与平面垂直的垂线只有一条，从而可得只有一条直线与直线，都垂直，故D正确. 故选：D. 8. 已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在区间上单调递减 C. 的周期为3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法逐项分析判断. 【详解】对于A，令，得，则， 令，得，函数是偶函数，A错误； 对于B，令，得，而，则函数在上不是单调递减函数，B错误； 对于C，令，得，则， 令，，得，则，，C错误； 对于D，由为偶函数，得，D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次对甲、乙两个工厂生产的相同数量的零件质量（单位：克）统计中，得到如下表： 工厂 平均质量 中位数 众数 方差 甲厂 63 63 61 乙厂 63 62 61 其中，根据统计数据，下列结论中正确的是（ ） A. 甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂 B. 甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂 C. 甲、乙两厂生产的零件中61克出现的次数相同 D. 甲厂生产的零件中质量大于63克的数量多于乙厂 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的定义逐一验证即可求解. 【详解】根据表格有，所以甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂，故A正确； 根据平均数，中位数和众数不能判断极差，而，所以甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂，故B正确； 根据众数的定义可知，众数是出现次数最多的，不能判断甲、乙两厂生产的零件中61克出现的次数相同，故C错误； 由于甲乙两厂的平均质量为63克，不能判断甲厂生产的零件中质量大于63克的数量多于乙厂，故D错误. 故选：AB. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数的图象关于点中心对称 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图像先求，进而得即可判断AB，计算是否为0即可判断C，根据图像的变换得即可判断D. 【详解】由图可知，，所以，故A错误； 由，由，解得，故B正确； 所以，又，故C正确； 将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数，又为奇函数，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是奇函数 C. 函数是增函数 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A求即可判断，对于B根据函数的奇偶性即可判断，对于C利用复合函数的单调性即可判断，对于D利用奇偶性和单调性即可求解. 【详解】对于A：由，所以的定义域为，故A正确； 对于B：由A得的定义域为，又，所以是奇函数，故B正确； 对于C：令，所以，由在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数单调性得在是减函数，故C错误； 对于D：由是奇函数且在是减函数，由得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算先求，即可求. 【详解】由题意有，所以， 故答案为：. 13. 某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量（单位：克）随时间（单位：天）的变化规律满足，其中为初始质量．若初始质量满足，则时，的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再结合对数的运算即可求解. 【详解】由题意可得当时，， 所以. 故答案为：. 14. 已知四边形为矩形，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为________；当三棱锥的体积最大时，其内切球的半径为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空：取中点，由几何知识可得，则为外接球的球心，从而可求解；空：过作于，然后再利用等体积法即可求解. 【详解】空：取中点，则，所以为外接球的球心， 所以外接球的半径为，由球的表面积公式. （2）当三棱锥的体积最大时，平面垂直于平面，用等体积的方法求该三棱锥内切球的半径， 即过作于，则面， 在中可解，，， 在中，由，由余弦定理可得解得， 在中用勾股定理得， 因为，， 代入公式 即，解得. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解， （2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理可求解，即可根据面积公式求解. 【小问1详解】 由结合正弦定理可得 因为，则 所以． 则有故． 【小问2详解】 由得 因，所以 由余弦定理得 所以，解得 所以 ． 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是的中点，，，． （1）求证：∥平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：连接交于，且连接，则为的中点． 因为是的中点，所以为的中位线，所以， 又因为面，面，所以面 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，且连接，即证，利用线面平行的判断定理即可求解； （2）先求点到平面的距离，再求底面面积，根据三棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为的中点，所以， 又因为，所以， 因为，面，，所以面， 菱形中，，，所以，所以， 因为为的中点，所以点到面的距离为 又 所以 所以三棱锥的体积为． 17. 2025年海口市某中学举办校园诗词大赛，评委对参赛选手的表现进行打分．现随机抽取了40名选手的成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示频率分布直方图． （1）求的值； （2）估计这40名选手成绩的平均数和第95百分位数（同组中数据用该组区间中点值作代表）； （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人．若第二组选手成绩的平均数和方差分别为65和30，第五组选手成绩的平均数和方差分别为95和40，请据此估计第二组和第五组所有选手成绩的方差． （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体样本平均数为，总体样本方差为，则总体样本平均数，总体样本方差．） 【答案】（1） （2）平均数为77，第95百分位数为95分 （3） 【解析】 【分析】（1）由各组的频率和为1列方程即可求解； （2）根据平均数和百分位数的定义求解即可； （3）先根据频率分布直方图求出第二组、第五组的频数，然后根据所给的平均值、方差公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以； 【小问2详解】 40名选手成绩的平均数为， 因为前4组的频率和为， 前5组的频率和为， 所以第95百分位数位于内，设其为， 则，解得， 即第95百分位数为95分． 【小问3详解】 设第二组、第五组选手成绩的平均数、方差分别为，，，， 且从第二组选取的人数为，从第五组选取的人数为， 则第二组和第五组所有选手的成绩平均数为， 第二组和第五组所有选手成绩的方差为 ， 所以第二组和第五组所有选手成绩的方差为． 18. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，函数有两个不同零点，求的取值范围； （3）设函数，若对任意的，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换先化简，即可求的单调减区间； （2）由，得，作出函数图像，利用数形结合即可求解； （3）由得，令，得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意有 ， 若为单调递减函数，有， 解得， 所以的减区间为， 【小问2详解】 因为，所以 令得，由图可知，所以． 【小问3详解】 由得恒成立 令，得，由（2）可知时，取最小值为；时，取最大值为1．所以． 因为，当且仅当，即时等号成立． 所以，即． 19. 双曲函数是工程数学中一类重要的函数，也是一类最重要的初等函数，在数学与物理等众多领域有着丰富的实际应用．其中双曲正弦函数解析式为，双曲余弦函数解析式为，双曲正切函数． （1）判断函数的单调性并说明（无需严格证明），并求其值域； （2）求函数的最小值； （3），比较与的大小． 【答案】（1）在上单调递增，说明： 由题意可知 故的定义域为 又 且在上单调递减 从而可知在上单调递增． 因为，所以，即， 所以的值域为． （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意有，化简得，由的单调性即可得的单调性，进而分析得的值域； （2）先计算，即可得，利用均值不等式求的范围，即可得的最小值； （3）设，当时，分析与的大小，进而得与的大小，即可得与0的大小，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 所以， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立 所以当时，． 【小问3详解】 设 ， 因为，所以， 当时，，则，故， 当时，，则，则，故， 综上，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 海口市20242025学年第二学期 高一年级期末考试（数学） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. ，，，，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知四边形为矩形，，，是的中点，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 7. 若点是两条相交直线，外的任意一点，则过点有且只有一条直线与直线，都（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 8. 已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在区间上单调递减 C. 的周期为3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次对甲、乙两个工厂生产的相同数量的零件质量（单位：克）统计中，得到如下表： 工厂 平均质量 中位数 众数 方差 甲厂 63 63 61 乙厂 63 62 61 其中，根据统计数据，下列结论中正确的是（ ） A. 甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂 B. 甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂 C. 甲、乙两厂生产的零件中61克出现的次数相同 D. 甲厂生产的零件中质量大于63克的数量多于乙厂 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数的图象关于点中心对称 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为奇函数 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是奇函数 C. 函数是增函数 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则________． 13. 某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量（单位：克）随时间（单位：天）的变化规律满足，其中为初始质量．若初始质量满足，则时，的值为________． 14. 已知四边形为矩形，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为________；当三棱锥的体积最大时，其内切球的半径为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高的长． 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是的中点，，，． （1）求证：∥平面； （2）求三棱锥的体积． 17. 2025年海口市某中学举办校园诗词大赛，评委对参赛选手的表现进行打分．现随机抽取了40名选手的成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示频率分布直方图． （1）求的值； （2）估计这40名选手成绩的平均数和第95百分位数（同组中数据用该组区间中点值作代表）； （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人．若第二组选手成绩的平均数和方差分别为65和30，第五组选手成绩的平均数和方差分别为95和40，请据此估计第二组和第五组所有选手成绩的方差． （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体样本平均数为，总体样本方差为，则总体样本平均数，总体样本方差．） 18. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，函数有两个不同零点，求的取值范围； （3）设函数，若对任意的，都有，求的取值范围． 19. 双曲函数是工程数学中一类重要的函数，也是一类最重要的初等函数，在数学与物理等众多领域有着丰富的实际应用．其中双曲正弦函数解析式为，双曲余弦函数解析式为，双曲正切函数． （1）判断函数的单调性并说明（无需严格证明），并求其值域； （2）求函数的最小值； （3），比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $