浙江金华市2025-2026学年高二下学期6月期末质量检测数学试题

2025一2026学年第二学期期末质量检测 高二数学试题卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上」 2.选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡 皮擦净 3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区城内，答策写在本试题 卷上无效. 选择题部分（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求， 1.已知复数z=2号则12（▲） A.V5 B.1 C.V2 D.2 2.已知全集U-R,集合M=异0，则CM=(▲） A.(-∞，-1)U[2,+∞) B.(-∞，-1]U(2,+o) C.(-0,-1]U[2,+∞) D.[-1,2] 3.命题“Hx∈R,inx≤1”的否定是（▲） A.Hx庆R,sinx≤1 B.xER,sinxo>1 C.xeR,sinx>1 D.]xo∈R,sinxo≤1 4.已知随机变量X服从正态分布N(6,σ)，且P(X≤3)=0.4，则P(X≤9)=（▲） A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6 5.已知m,几是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，下列命题中正确的是（▲） A.若m⊥a,n∥β，a⊥B,则m⊥n B.若a⊥B,m⊥a,则m∥B C.若m∥a,∥B,则m∥B D.若m⊥，n⊥B,ax∥B,则m∥n 6.(x+是}(@0)的展开式中，第3项为常数项，且该常数项为60，则实数a的值为（▲） A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2-ac=c2且A=30°，则C=(▲) A.45° B.40° C.60° D.50° 8.已知实数x,y满足5+7=13,7+11'=15y,则x,y的大小关系是（▲） A.x>y B.x=y C.x<y D.不确定 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知平面向量a=(2,1),b=(-1,2),c=(3,1),下列说法正确的是（▲） A.a∥b B.a+b =a-b C.若ka+b与c共线，则k=-5 D.a(b+c)=7 10.设函数f(x)的定义域为R,定义g(x)=(x-1)f(x),h(x)=f(x)+2x.若g(x)为奇函数，h(x)为偶 函数，则下列说法正确的是（▲） A.f(1)=0 B.f(x)的解析式为f(x)=-2x(x+1) C.fx)在区间(-1，号)上单调递增 D.fx)的最大值为分 11.下列说法正确的是（▲） A.设ke[0,m1,若v的方程cos(o+k)=1-co80有解，则k的取值范围是|0，] B.若实数a,b满足c2+2cosb=1,则2a-cosb的取值范围是[1-2V3,1+V了] C.设a,y∈(0，m),cosa,cosy是方程5x2-3x-1=0的两根，则in=YT 5 D.若Hx∈R,sin(x+a)+sin(x+b)≤l-sinx恒成立，则sina sinb≤0 非选择题部分（共2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若扇形的圆心角为，弧长为2m,则此扇形的面积为△ l3.若曲线y=(2x+a)e存在过原点的切线，则实数a的取值范围为▲ 14.已知在四面体ABCD中，△ABC和△ABD的面积分别是5和8，且二面角C-AB-D的平面 角为60°，则经过棱AB和四面体内切球球心的截面的面积为▲ 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)某校为落实“阳光体育”政策，鼓励学生积极参加体育锻炼，从全校随机抽取了200 名学生，统计他们每周的体育锻炼时间（单位：小时），将数据分成6组：[0,2)，[2,4)，[4,6)， [6,8),[8,10),[10,12],并根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求α的值，并估计全校学生每周锻炼时间 个频率/组距 的平均数和第70百分位数（百分位数用分 数表示)； 0.14 (2)现采用分层抽样的方法，从周平均体育锻 0.105 炼时间在[2,8)内的学生中抽取10人，再从 a 这10人中随机选取2人作为“阳光体育之 星”，求这2人来自同一组的概率 0.05 0.02 0 2 4 681012时间（单位：小时） (第15题图) 16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足bcoA=(2c-a)coBB. (1)求角B的大小；(2)若b=2V3,△ABC的周长为6+2V3,求△ABC的面积. 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，已知AB=AD=2BC=2,四棱锥P- ABCD的体积为V了，平面PAB与平面ABCD的夹角为60°且P在底面上的投影O在四边 形ABCD内（包括边界） (1)求证：AB∥0C; (2)若平面PAB与平面PAD所成角的余弦值为YT,求直线PD与平面PAB所成角的正 弦值. p B (第17题图) 18.(17分)学校社团招新设置n(n≥2，n∈N)个集章点，编号为1,2，…，n,每号点初始有1枚 红色印章、1枚蓝色印章。按以下规则流转： ①工作人员向1号点随机放1枚印章，红、蓝概率各为0.5； ②2号点从1号点的3枚印章中随机取1枚，3号点从2号点的3枚印章中随机取1枚，依 此类推，直到n号点从n-1号点取完1枚； ③最后从n号点的3枚印章中随机移除1枚，完成一轮集章. (1)求第一轮集章结束后，1号点恰好有2枚红色印章的概率； (2)当=2时，记第一轮集章结束后2号点红色印章数量为X,求X的数学期望； (3)记第一轮集章结束后几号点的红色印章数量为X,求X的数学期望. 19.(17分)已知函数e)=-tlnx,函数ge)in2x+(-1P,keR (1)求e)在(。，e上的值域： 2)当xe,2)时，证明：2≥号(x-1片 (3)设01,2为方程f(x)=m(m∈R)的两个不等实根且满足g(x)+g(2)≥0恒成立，求实数k 的最小值. 高二数学卷评分标准与参考答案 一、单项选择题(5×8=40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 P 答案 冈 C B D D B D C 二、多项选择题(3×6=18分) 题号 9 10 11 答案 BD BCD ACD 11.ACDI详解】A选项：由cos(y+k)=1-cosv→cos vcosk-sin vsink=1-cosv→(cosk+1)coSv 6imv=】有解的充要条件为cosk+打+sink≥1→cosk之→ke0, 故A正确， 8达。产+2-1白co0-1e1训-5s85→2a-cob-2al-父 ∈[1-2V5,1+2V5,故B错误. 3 cos aC+cosy = C选项： 5sinasin'y-(ay)-1-cosa-cos'r+casacosv 1 cosa.cosy=-5 1(cosa+cosy+2 2cosqc0sy+co3acos三，3，放C亚喻 D选项：由sin(x+a)+sin(x+b)≤l-sinx→sinxcosa+cosxsina+sinxcosb+cosxsinb≤l-sinx →(cosa+cosb+1)sinx+(sina+sinb)ccsx≤l→(cosa+cosb+1)2+(sina+sinb)2≤1 1cos(a-b)tcosatcashs0-2cos2coscocosa cos -cos 2 2 2 法一：由反证法可推出sinasinb>0不合题意，故D正确. 00 2 2 22 b sin asin 22 ns0,故D正确故选ACD. 2 三、填空题(3×5=15分) 12.3m 13.（-∞，-8]U[0,+0∞) 14.40W3 13 14.40V3 【详解】记内切球球心为L,面ABI截四面体得到截面ABX,点X在棱CD上. 13 ∴.I到面ABC和面ABD的距离相等（都等于r),因此I在二面角CAB-D的角平分面上. 设二面角CMB-D的大小为8：截面ABX与面ABC和面MBD的夹角均为2 设S。ABC=S,S,MBD=S,AB=1,在面ABC中从C向AB作高，长度为h:在面ABD中从D向AB 作高，长度为，则。=2S,A。=2S.四面体被界面ABX分为两个小三棱能，点C到面4BX的距离为 h.sin气·点D到平面ABx的距离为h。sin号 8 .设截面△ABX的面积为S,则四面体的总体积为： -s(2S+2sin9 2 点D到面4BC的距离为h,sin8,另一方面四面体的体积还可以表示为：V=!Sh。sin日=2 sin日. 3 3 s2(S +S)sing=25S.sin= 2S S2 cos 3 2,将S=5,3,=8代人得S=2:58cos30-405 231 S1+S 5+8 13 四、解答题(13+15+15+17+17=77分) 15.(1)(0.02+0.05+a+2×0.105+0.14)×2=1=a=0.08 x=1×0.02×2+3×0.105×2+5×0.105×2+7×0.14×2+9×0.08×2+11×0.05×2=6.22 第70百分位数：0.04+0.21+0.21+(x-6)×0,.14=0.7三x=54 …8分 (2)“体育锻炼时间在2,8)内”包含第2、3、4组，频率分别为0.21、0.21、0.28.对应人数42人、42人、 56人，则抽样比=10=1 ,故各组抽取人数为3人、3人、4人 14014 P(2人来自同一组)=C+C+C=2.4 …t…t 13分 4515 16.(1)由正弦定理，将边转化为角，sinBcos A=(2sinC-sinA)cosB, 展开得：sinBcosA+sin Acos B=2 sin Ccos B,得sinC=2 sin Ccos B, 庙于sinC≠0得c0sB三)ZB=60,omam 7分 (2)已知周长a+b+c=6+2√3，b=2V3,a+c=6, 由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B代人∠B=60，°b=2W3得(2W5)2=a2+c2-ac, 又a+c=6,ac=8 SacsinB27x8×是=23. 15分 2 17.(1)过P作PO⊥面ABCD交于点O,PH⊥AB交于点H, 连接HO和CO.因为ABc面ABCD,所以PO⊥AB. 又因为PH⊥AB,PH∩PO=P,故AB⊥面PHO→AB⊥HO →∠PHO即为平面PAB与平面ABCD的夹角→∠PHO=60°. 4o-V5→P0-=m=5÷H0=PO-1=BC.面∠ABC=0.即BCH0. S梯形ABD √3 所以四边形BHCO为平行四边形，那么AB/OC…6分 (2)法一：以A为原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过A月垂直于底面的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，得A(0,0,0),B(0,2,0),D(2,0,0)设AH=t,根据题(1)可得P1,t,√3)， 则AB=(0,2,0),AD=(2,0,0),AP=(1,4,5), 设=(x,,名)为平面PAB法向量。 a·=0+%+53=0◆名=1=万=(-5.0，) n·AB=02y=0 设n2=(x2,2,2)为平面PAD法向量， 西D=0+%+5,=0令为=5→店=05) n2·AD=0「2x2=0 所以cos<n,n2>= 7 →t2=4→1=2 阿网 2V2+37 此时P1,2,V3),PD=(1,-2,-V3),设直线PD与平面PAB所成角为a 则sina=cos<m,PDy= 5+0--6 15分 2.2√2 4 法二：设AH=x(0≤x≤2).则PA=Vx2+4,PB=V(2-x)2+4,PD=PA=V2+4. cOS∠PAB= PA2+AB2-PB2 M 2PA.PB cos∠PAD=PA+AD2-PD √x2+4 2PA.PD Vx2+4 2 ∴.sin∠PAB= m∠PAD=+3.过A在平面PAB内作M1AP, Vx2+4 Vx2+4 在平面PAD内作AN⊥AP,则∠MAN为平面PAB与平面PAD所成夹角的补角. 过点B作BB'IIAP交AM于点B',过点D作DD'/IAP交AN于点D'. AB=ABsin∠PAB=4,AD=ADsin∠PAD=2Y+3,BD=22,BB=ABcos∠PAB= 2x Vx2+4 Vx2+4 Vx2+4 DD=ADcos∠PAD= 2 Vx2+4 在直角梯形BBDD冲，BD2=BD2-(DD-BBy=8-4x-1 x2+4 则cos∠MAW= AB+AD-B D x√万 →x=2,此时PB⊥AB:PD=PA=V22+4=2√2， 2AB·AD2√x2+37 而m=号Sn*P0=25 1 3,SMB=1AB.PH=2→d=D-M坦=V3, SPAB 设所求线面角为p,则sinp= d3√6 ………15分 PD 22 4 18.(1)解：记D=“第一轮集章结束后1号点恰有2枚红色印章”，应从1号点放入一枚红色印章，取出 111 1 一枚蓝色印章，所 P(D)2*6,即第一轮集章结束后1号点恰有两枚红色印章概率为6.…5分 ②由题可知X的雀取值为0上2P心X=0-若P心X=)-子PX=2》=后 所以2号点红色印章数量X的数学期龈E(X)=×0+2x1+×2=1. 1 1 …10分 6 3 6 (3)法一：设x表示k号点位接到印章后、弃牌前红色印章张数，k=1,2,,n, P-2=P=0-x)对k=l2m-lk)=1+6 2 3 由EG)专得)k2儿设第兰笼结束后号点位红色印章个数为X则有 2 E(X0=E(x,)-3E(x,)=5E(x,)=L. 17分 法二：记A=“抽取卡片后号点位有两枚红色印章和一枚蓝色印章” B=从i号手中取出的卡为红色印章，所以P(4)=4=AB+不B=B.（2≤i≤小. P(Bl4)=子P(8不)=分，则由全概率公式可得. P(4=P(4P(a4+P不PB4)-P(4)+ 则P(4)=P(4+5P(4)-Pr4)-》又P(4)=分所以P(4)=克1si 假设第一轮集章结束后，n号点位红色印章为X,可能取值为0,1,2 PX=0)=P团xP(a石名P(X=-P氏()P(81)+P团P(国1a)-号 P(X=2到=P(4)xP回4小=G,所以E(x)=0x+1x径+2x1.. 17分 6 3 6 法三：从收集、传递、丢弃，所有操作对红色印章和蓝色印章完全公平，最后每个点位都剩2枚印章，红 印章的数学期望就是，总数的一半，即2×。=1. 17分 190f()=-,可知f()在2 上单调递增，在(1，©)上单调递减，又 所以()在(2e上的值城为(0,1· …4分 (2)令1=x-1,当x∈，2)时.1e0,1）,原不等式等价于证明：n≥，1e0,1 1-13 段A=芒，则0-220.所以a的在1o)上单毫 1-2 所以h()≥h(0)=0,得证.… 10分 (3)油f'(x)=-lnx,又f(x)mx=1,可得0<m<1, 不妨令0<x1<1<x2<2,要证x+x2>2,即证x>2-x2,而0<2-x2<1, 即证f(x)>f(2-x),即证f(x)>f(2-x)· 设h(x)=f(x)-f(2-x),1<x<2,则h'(x)=-lx-n(2-x)=-n[x(2-x】, 因为1<x<2,所以0<(2-x)x<1,从而-n[x(2-x)]>0,所以'(x)>0,h(x)在(1,2)上为增函 数故h(x)>h(1)=0,故f(x)>f(2-x)即f(x)>f(2-x)成立，得x+x2>2成立 又g(2-x)=-g(x),得g(x)=-g(2-x).由g(x)+g(x)≥0，代入得：g(x)≥g(2-x): 又1<2-x<x2,只需g(x)在(1,2)上单调递增，即g(x)≥0，x∈(1,2) 2 又令1=x-1,t∈(0，)，可得k≥ 32(2-1 可得k之-8 31 化二8时，g日=222r≥0，满足单调避增，不等式 1-t2 一，存在区间导数小于0，不满足题意综上：实数K的最小 8 3 17分