精品解析：浙江省金华十校2024-2025学年高二下学期期末调研考试数学试题

金华十校2024-2025学年第二学期期末调研考试 高二数学试题卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上. 2.选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净. 3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效. 选择题部分（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式将展开，再结合虚数单位的性质进行化简. 【详解】展开得： 因为 所以 故选：B. 2. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由对数型复合函数的定义域确定集合，再结合交集运算即可求解. 【详解】由对数型复合函数的定义域可得：，即， 所以， 所以，有两个元素， 故选：C 3. 如图，等腰梯形为某圆台的轴截面，满足，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由轴截面可得上下底面半径，进而得到高，代入体积公式即可. 【详解】易知上底面圆的半径，下底面圆的半径， 设圆台的高为h，则， 所以该圆台的体积. 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据降幂公式、诱导公式计算即可. 【详解】由，则. 故选：D. 5. 已知向量是平面内的一组基底，则“，的夹角为锐角”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由向量是平面内的一组基底可得向量，不共线，再结合数量积定义及充分条件、必要条件即可求解. 【详解】∵向量是平面内的一组基底，∴向量，不共线. 由，的夹角为锐角可得，所以，所以“，的夹角为锐角”是“”成立的充分条件； 由可得，即. 又向量，不共线，所以，的夹角为锐角，“，的夹角为锐角”是“”成立的必要条件. 综上，“，的夹角为锐角”是“”成立的充要条件. 故选：C. 6. 已知实数，正方形满足轴，且分别在，，的图象上，若正方形的面积为36，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的性质和对数的性质列出等式，并利用正方形的面积求出边长，从而可求得的值. 【详解】因为轴，点分别在上， 所以，化简得. 而，因为正方形的边长相等，所以， 即， 化简得. 因为正方形的面积为36，所以边长为6， 所以，解得， 所以，又，所以. 故选：A. 7. 如图所示的九宫格中共有个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（ ）种. A. 528 B. 524 C. 520 D. 516 【答案】D 【解析】 【分析】用间接法，总取法种数减去不能构成三角形的取法，分四点共线和三点共线两种情况，即可得到可以构成三角形的取法. 【详解】从个点中取个点共有种情况， ①四点共线的有种情况，从共线的个点中取个点都不能构成三角形， 所以在四点共线的情况下不能构成三角形的取法共有种情况， ②三点共线的共有种情况，所以不能构成三角形的取法共有种情况， 所以能够成三角形的取法共有种情况. 故选：D. 8. 某平面四边形中，，，，设，.当的面积取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理和正弦定理并将面积表示为三角函数关系，再结合二倍角的正弦，降幂公式，辅助角公式以及正弦函数的取值求最大值. 【详解】 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，， 所以，所以, 在由正弦定理得， 所以 因为 所以 ， 因为所以所以当即时， 此时的面积取得最大值. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知实数，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例即可求解A，根据基本不等式即可求解BD，根据不等式的性质即可求解C. 【详解】对于A，取，满足，，且，不符合，故A错误， 对于B，由，，且，由基本不等式可得，当且仅当取到等号，故B正确， 对于C，由可得，结合，故，，则，故C正确， 对于D， ，结合，故，当且仅当取到等号，故D错误. 故选：BC 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件A，B相互独立，则 B. 若，，，则 C. 已知随机变量，且，则 D. 线性相关模型中，相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强 【答案】AC 【解析】 【分析】根据独立事件乘积公式判断A；求解条件概率判断B；根据正态分布的对称性求概率判断C；根据相关系数定义判断D. 【详解】若事件A，B相互独立，则，A选项正确； 若，，，则，B选项错误； 已知随机变量，且，所以， 所以，C选项正确； 若变量，的样本相关系数越接近于1，则，的线性相关度越强，D选项错误. 故选：AC 11. 定义在上的非常数函数满足，且，则（ ） A. B. 是的一条对称轴 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】赋值即可求解判断A；赋值即可判断B；赋值，可得，进而结合重要不等式即可判断C；赋值可得，进而得到函数是周期为4的周期函数，进而求解判断D. 【详解】A选项，由，， 令，得， 因为不为常数函数，则不恒为0，故，故A错误； B选项，令，得， 所以是的一条对称轴，故B正确； C选项，令，得， 则， 当且仅当时等号成立，故C正确； D选项，令，得， 因为，所以， 则，即， 则，故， 所以函数是一个周期为4的周期函数， 由，，， 则，，， 则， 则， 故D正确. 故选：BCD. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 除以8的余数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由及二项式定理即可求解. 【详解】由二项式定理可知：， ∴除以8的余数为. 故答案为：. 13. 若是曲线的切线，则__________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标，进而求出值. 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 由，求导得，则，解得， 由切点在直线上，得，所以. 故答案为： 14. 在正方体中，，点E，F，G分别为，，的中点，点在线段上运动（不包括端点），过G，P，的平面截正方体所得的截面周长的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一，分别考虑截面的各种情况，借助于路径方法求解；方法二，考虑截面的各种情况，构造函数利用导数方法研究求解. 【详解】 如图所示，当点为线段中点时，截面为,其中为中点，周长为； 当点为线段内部时，截面为,其中平行且相等，平行且相等，,, 周长取值范围是， 当截面为（其中平行，且分别在棱上）时，周长大于且可以任意接近于四边形的周长， 但小于等于四边形的周长. 当截面为（其中平行，分别在线段上，在线段上，交于延长线上的一点）时， 方法一： 如图所示，利用初中几何知识可证路径长度在路径和路径之间， ∴截面的周长介于四边形的周长与截面的周长之间, 综上，过G，P，的平面截正方体所得的截面周长的取值范围是. 方法二： 设,,,,, , ,,,, ,,,, , , 截面周长为, , 求导， ∴函数单调递增，所以截面的周长介于四边形的周长与截面的周之间, 所以，过G，P，的平面截正方体所得的截面周长的取值范围是. 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年3月9日，国家卫生健康委员会在第十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动.某公司为了响应国家号召，收集了总共100名30-40岁之间员工的BMI指数（BMI=体重÷身高），绘制成如下图的频率分布直方图.若该公司超重的人数占40%.（BMI≥24为超重） （1）求实数s，t的值，并求该公司员工BMI指数的众数； （2）该公司把超重的员工按性别单独做了统计，补全下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析超重是否与性别有关. 性别 正常 超重 合计 男 20 女 20 合计 100 附：列联表参考公式：，其中. 临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1），，众数为23.5 （2）表格见解析，认为性别与超重有关联 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，根据题目中所给的频率，建立方程，可得答案； （2）由（1）中的超重频率可得超重总人数，从而补全列联表，根据独立性检验的解题方法，可得答案. 【小问1详解】 由该公司超重的人数占40%可得，解得， 由频率分布直方图可得，解得， 由频率分布直方图可知BMI指数为时频率最高，则众数为. 【小问2详解】 由（1）可知超重的总人数为，则补全列联表如下： 性别 正常 超重 合计 男 40 20 60 女 20 20 40 合计 60 40 100 零假设为：性别与超重无关联，根据列联表中的数据， 经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与超重有关联. 16. 已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， （1）求； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，结合题意可得答案； （2）由正弦定理，可得，则，然后由可得答案. 【小问1详解】 由余弦定理，， 结合题意得，即. 【小问2详解】 由题意，为锐角三角形，,则，. 由正弦定理得，即， .. 17. 如图1所示，四边形满足，过点作，点在线段上，且满足，将沿直线翻折到的位置（图2），. （1）求证：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，且，证得平面，结合线面垂直的性质，即可证得. （2）方法一：连接AC，BD交于点，得到和，证得平面，得到，进而证得平面，得到，作，证得，得到为平面与平面所成二面角的平面角，在直角中，即可求解； 法二：以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：由翻折的性质，可得，且 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. 【小问2详解】 解：方法一：连接AC，BD交于点， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以，，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以 由（1）知：，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 作，连接，因为，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 所以为平面与平面所成二面角的平面角， 在直角中，可得，所以. 法二：以点为原点，以所在直线分别为轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，， 由（1）知平面，所以平面的法向量为， 设，则，即，解得，即， 设平面的法向量为，且， 则，即，取，可得，所以， 设平面与平面所处二面角的平面角为，则. 18. 已知函数，其中. （1）当时，求的单调递增区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）试比较2.8与的大小并证明. 【答案】（1）； （2）； （3），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出的导数，再解不等式即得. （2）利用导数求出函数的最小值，建立不等式并求解即可. （3）在（2）中取可得，再赋值并作近似计算推理即得. 【小问1详解】 函数的定义域为，当时，， 求导得， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. 【小问2详解】 依题意，，， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， ，由恒成立，得恒成立， 则，即，解得， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，即， 令，有，而， ， 则，两边取对数得，所以. 19. 某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为的且全部由0组成的数码串.传输过程中，每位数码以概率传输记为0，以概率传输记为1，其中，每位数码的传输相互独立，并设事件为“传输结果各位数字之和为偶数”的事件. （1）当时，求； （2）证明：对任意的正整数，有； （3）在传输结果中任取一位数码，记“取到1”的事件为，问：是否存在最大值？若存在，求出使取到最大值的正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明：传输结果各位数字之和为奇数的概率为， 传输结果的数码个数为偶数的概率为， 由， . （3） 记， 则 ①当时，， ②当时，，，即单调递增，不存在最大值. ③当时，正负无法确定， 当为奇数时，，当为偶数时，， 要使取到最大值，应取偶数，记，， ， ， 单调递减，， 综上所述： 当时，不存在最大值： 当时，恒为常数； 当时，在时取到最大值. 【解析】 【分析】（1）由条件可知这3个0都传输为0，或传输为2个1和1个0，再按照独立重复概率公式，列式求解； （2）首先根据题意求和，再根据和根据二项式定理计算，联立方程求解，即可证明； （3）根据（2）的过程计算和，联立后计算，再代入条件概率公式求，从而构造，根据，讨论的取值，判断函数的单调性，从而确定最大值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华十校2024-2025学年第二学期期末调研考试 高二数学试题卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上. 2.选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净. 3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷上无效. 选择题部分（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 如图，等腰梯形为某圆台的轴截面，满足，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量是平面内的一组基底，则“，的夹角为锐角”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知实数，正方形满足轴，且分别在，，的图象上，若正方形的面积为36，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的九宫格中共有个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（ ）种. A. 528 B. 524 C. 520 D. 516 8. 某平面四边形中，，，，设，.当的面积取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知实数，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件A，B相互独立，则 B. 若，，，则 C. 已知随机变量，且，则 D. 线性相关模型中，相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强 11. 定义在上的非常数函数满足，且，则（ ） A. B. 是的一条对称轴 C. D. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 除以8的余数为__________. 13. 若是曲线的切线，则__________. 14. 在正方体中，，点E，F，G分别为，，的中点，点在线段上运动（不包括端点），过G，P，的平面截正方体所得的截面周长的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年3月9日，国家卫生健康委员会在第十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动.某公司为了响应国家号召，收集了总共100名30-40岁之间员工的BMI指数（BMI=体重÷身高），绘制成如下图的频率分布直方图.若该公司超重的人数占40%.（BMI≥24为超重） （1）求实数s，t的值，并求该公司员工BMI指数的众数； （2）该公司把超重的员工按性别单独做了统计，补全下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析超重是否与性别有关. 性别 正常 超重 合计 男 20 女 20 合计 100 附：列联表参考公式：，其中. 临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， （1）求； （2）若，求面积的取值范围. 17. 如图1所示，四边形满足，过点作，点在线段上，且满足，将沿直线翻折到的位置（图2），. （1）求证：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数，其中. （1）当时，求的单调递增区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）试比较2.8与的大小并证明. 19. 某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为的且全部由0组成的数码串.传输过程中，每位数码以概率传输记为0，以概率传输记为1，其中，每位数码的传输相互独立，并设事件为“传输结果各位数字之和为偶数”的事件. （1）当时，求； （2）证明：对任意的正整数，有； （3）在传输结果中任取一位数码，记“取到1”的事件为，问：是否存在最大值？若存在，求出使取到最大值的正整数；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $