第1章三角形的证明及其应用 期末综合复习优生辅导训练题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以三角形全等判定为核心，通过性质应用、综合推理及实践建模，系统整合角平分线、垂直平分线等知识，提炼辅助线构造与多结论论证方法，培养逻辑推理与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|10题（单选1-5、填空8-12）|角平分线距离转化、垂直平分线性质直接应用|从全等判定（SAS/ASA）到性质定理（角平分线/垂直平分线）的直接应用| |综合证明|8题（单选6-7、填空13-14、解答15-18）|构造全等（作垂线/延长线）、多结论链式推理|性质定理的综合推导，形成“判定-性质-应用”逻辑链| |实践拓展|2题（解答19-20）|模型转化（构造全等解决实际问题）|知识迁移至现实情境，体现应用意识与模型观念|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明及其应用》 期末综合复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AB,AC于点D,B,再分别以点D,B为圆心，以大于号DE的长度为半径作弧，两弧交 于点F,作射线AF交BC于点G,若AB=16,CG=4,则△ABG的面积是() G E D B A.20 B.24 C.28 D.32 2.如图是某品牌商标抽象出来的几何图形，已知∠B=(,∠E=β，那么 ∠A+∠C+∠D+∠F的度数为() A.a+B a+pm B. C.a+β+90° 2Q+B+90o D. 3.如图，若BD⊥AE于B,DC⊥AF于C,且DB=DC,∠BAC=70°， ∠ADG=125°，则下列说法正确的是() G D B E A.∠DAB=30° B.∠DGF=160° C.AD=GD D.∠CDA=∠CDG 4.如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D, 过点D作DE‖BC交AB于E,交AC于G,若EG=4,且BE=12,则GC的长为() E D A.6 B.7 C.8 D.9 5.如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB的延长线于点D,PE⊥AC于点E, PF⊥BC的延长线于点F,连接PB,PC.若PD=PE=PF,∠BAC=70°，则 ∠BPC的度数为(). A A.25° B.30° c.35° D.40° 6.如图，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,OA<OC, ∠AOB=∠COD=36°.连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论正确的是(). ①∠AMB=36 ②AC=BD ③OM平分∠AOD ④MO平分∠AMD A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 7.如图，在△AOB和△DOC中，OA=OB,OC=OD,OA<OC, ∠AOB=∠COD=110°，连接AC、BD交于点M,连接OM.下列结论：① ∠AMB=110°；②AC=BD:③OM平分∠AOD;④MO平分∠BMC.其中正确的结 论个数有()个. A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题 8.已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线 AC的距离为 9.如图，△ABC中，∠B=2∠C,AD平分∠BAC,若AB=8,AC=12,则BD边的 长为 10.如图，是工人师傅用边长均为m的正六边形和正方形地砖围绕着点B进行的铺设.若 将另一块边长为m的正n边形地砖恰好能镶嵌在∠ABC处，则n= 11.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8,BC=6,CE平分∠ACB,ED⊥AC 于D,则AE= E D 12.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=5,连接BD,BD⊥CD, ∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 B 13.如图，在△ABC中，CD是角平分线，∠BAC=90°，直线l垂直平分AC,交BC于 点E.若AD=4,BD=5,△ABE的周长为24，则△BCD的面积为 14.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过O点作EF‖BC交 AB于点E,交AC于点F,过点O作OD⊥AC于D,下列四个结论： ①EF=BE+DC: ②∠B0C=90+1 ∠A; ③点O到△ABC各边的距离相等； ④设OD=m,AE+AF=n,则S= -mn 其中正确的是 三、解答题 15.如图，AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=45°，∠C=73, D E (1)求∠DAE的度数. (2)设∠B=a,∠C=B,求∠DAE(用a,B表示) 16.如图，请用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹） B B 图① 图② (1)如图①，在△ABC中，AB=AC,M,N分别是边AB,AC上的点，且BM=CN, 请画出∠BAC的角平分线， (2)如图②，△ABC和△ACD均为等边三角形，点E是AB的中点，请画出线段BC的垂直 平分线。 17.如下图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作DE⊥AB交BA的 延长线于点E,F为BC边上一点，且∠BAF=110°.已知∠ADE=55°，连接DF, B ()∠CAF的度数为· (2)求证：FD平分∠AFC. (3)若AB=6,AF=3,CF=a,且S△AcF=b,求△ABD的面积（用含a,b的代数式表 示)· 18.如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F, AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF与直线MN交于点P,已知 △AFN的周长为13cm E B 入V P (1)求线段BC的长； (2)求证：点P在线段BC的垂直平分线上： (3)①已知∠FAN=52°，则∠FPN的度数为 ②若∠FAN=&,则∠FPN=_·(用含a的式子表示) 19.【问题情境】 如图，在四边形ABCE中，连接AC,点D是CE上一点，连接AD,BD,过点A作 AF⊥CB交CB延长线于点F.己知∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AE=AC 图1 图2 【问题解决】 (1)如图1，△ABC与△ADE全等吗？为什么？ (2)如图1，求∠FAE的度数： (3)如图2，延长BF到点G,使得FG=FB,试判断CD,BF与DE之间的数量关系，并说 明理由， 20.探究以下问题： D B Bū E D 图① 图② 图③ 图④ 【问题提出】 (1)如图①，在△ABE和△DEC中，点A在边DE上，E是边BC的中点，AB=CD.探究 ∠D与∠BAE之间的数量关系. 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图②，过点C作CF‖AB,交DE的延长线 于点F,构造△ABE≌△FCE即可判断，则∠D与∠BAE之间的数量关系是 (2)如图③，在△ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是△ABC的中线，过点C作 CE⊥BC,且CE=4,∠ADE=90°，求AE的长： (3)【问题解决】为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，某校在校园内建造了一 处劳动实践基地△ABC(如图④)，AC=100米，E为AB的中点，EF⊥AC于点F,将 △AEF区域作为工具房，点G在EF上，EG=30米，BG=CG,∠BGC=90°，将 △BEG和△CFG区域作为展示区.求展示区的边CF的长. 参考答案 1.解：过点G作GH⊥AB于点H,如图所示： H B .∠GHA=∠C=90°」 由作图可得，AF为∠BAC的平分线， ..GH=CG. .AB=16,CG=4 5ac-号AB-GH=16×4=2 故选：D, 2.解：连接AC,DF如图所示： ,四边形内角和为360°， ∴.∠FAC+∠ACD+∠CDF+∠DFA=360, ∴.∠FAB+∠CAB+∠ACB+∠BCD+∠CDE+∠EDF+∠DFE+∠EFA=360°， :∠CAB+∠ACB=180°-∠B,∠EDF+∠DFE=180°-∠E, .∠FAB+180°-∠B+∠BCD+∠CDE+180°-∠E+∠EFA=360°， ∴整理可得：∠A+∠C+∠D+∠F=∠B+∠E=a+B. 3.解：BD⊥AE,DC⊥AF,DB=DC, .AD平分∠BAC, ,∠BAC=70 :∠DAB=∠DAC=号x70°=35°，故A错误； ,∠ADG=125, .∠DGF=∠ADG+∠DAC=125°+35°=160°，故B正确： .∠AGD=180°-∠DGF=20°， .∠DAG≠∠AGD, ,AD≠GD,故C错误； .DC⊥AF, .∠ACD=∠GCD=90 ∴.∠CDA=90°-∠DAC=55°，∠CDG=90°-∠AGD=70°， .∠CDA≠∠CDG,故D错误， 故选：B. 4.解：.BD平分∠ABC, .∠ABD=∠DBC, .DE‖BC, ∴.∠DBC=∠EDB, .∠ABD=∠EDB, .ED=BE=12, 同理：GC=GD, .EG=4, ∴.GD=ED-EG=12-4=8, ∴GC=GD=8. 5.解：PD⊥AB,PF⊥BC,且PD=PF, :PB平分∠DBC.即：∠PBC=∠ABC, 同理可得：∠PCF= 2<ACF, EABC+∠BAC,∠PCF=∠PBC+∠BPC)A ABc+zBPC-∠ABC+∠BAC. ·∠BPC=3∠BAC 在△ABC中，∠BAC=70°， ∠BPC=35°. 故选为：C 6.解：：∠AOB=∠COD=36°， ∴.∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD, .OA=OB,OC=OD. ∴.△AOC≌△BOD SAS, ∴.AC=BD,故②正确： ∠OAC=ㄥOBD, 设AM和OB交于点N, .∠ANO=∠BNM, .180°-∠OAC-∠ANO=180°-∠OBD-∠BNM,即∠AOB=∠AMB=36°， 故①正确： 过点O分别作OE⊥AC,OF⊥BD,垂足分别为E,F, ,△AOC≌△BOD SAS, ..OE=OF ∴.OM平分∠AMD,故③错误，④正确： 综上，正确的有①②④， 故选：B. 7.解：.∠AOB=∠C0D=110°， ∴.∠AOB+∠AOD=∠AOD+∠COD 即∠AOC=∠BOD, 在△OAC和△OBD中， OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD ∴.△OAC≌△OBD SAS, .∴.∠OAC=∠OBD,AC=BD,所以②正确； 设BD与OA交于点N .:∠ANB=∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD, ∴.∠AMB=∠AOB=110°，所以①正确： 过O点作OE⊥AC于E,OF⊥BD于F,如图， .△OAC△OBD ∴.SAOAC=SA0BD .'AC=BD ∴.OE=OF, ∴.MO平分∠BMC,所以④正确： 对于OM平分∠AOD,现有条件不足以证明， .∴.∠AOM≠∠DOM,所以③错误. 综上所述：正确的结论是①②④， 有3个正确的、 8.解：.'AF是等腰△ABC底边BC上的高， ∴.AF是∠BAC的角平分线， 又·点F到直线AB的距离为3， 根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点F到直线AC的距离为3. 9.解：在AC上取一点E,使得AB=AE, E AD ∠BAC 平分 .∴.∠BAD=∠EAD, 在△ABD和△AED中， AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD .∴.△ABD≌△AED SAS, BD=ED,∠B=∠AED, 又.·∠AED=∠EDC+∠C,∠B=2∠C, ∴.∠EDC+∠C=2∠C, ∴∠EDC=∠C, .ED=EC=AC-AE=12-8=4, ∴.BD=ED=4, 故答案为：4. 10.解：由题意知，正六边形的内角 180×6-2=120,正方形的内角为90°， 6 .∠ABC=360°-120°-90°=150°， 设镶嵌在∠ABC处的正多边形地砖的边数为n, 依题意得， 180°×(n-2=150°， 之 解得n=12, 经检验，n=12符合题意. 11.解：.CE平分∠ACB,ED⊥AC于D,CB⊥BE, ∴.BE=DE, 又.CE=CE, .Rt△CED≌Rt△CEBHL, ∴.CD=BC=6, 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AC=AB2+BC2=10 .∴.AD=10-6=4, 设AE=X,则DE=BE=8-x, 在Rt△ADE中，由勾股定理得， AD+DE=AE2, 即42+8-xP=x2 解得x=5,即AE=5, 故答案为：5. 12.解：.BD⊥CD, .∴.∠DBC+∠C=90°， .∠A=90°， .∠ABD+∠ADB=90°， .∠DBC+∠C=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠C, ∴.∠DBC=∠ABD,即BD为∠ABC的平分线， .BD为∠ABC的平分线， 当DP⊥BC时，DP的长度最小， 又：AD⊥AB, ∴.AD=DP, AD=5,AD=DP. ∴.DP=5,即DP长的最小值为5. 故答案为：5. 13.解：，直线l垂直平分AC, ∴.AE=CE, ,△ABE的周长为24， .AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=24. 又AD=4,BD=5, AB=9, .BC=15 过D作DF⊥BC于F, D ,CD是角平分线，∠BAC=90, .DF=AD=4, ÷△BCD的直积为号×15×4=30， 故答案为：30. 14.解：，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, .∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OCF, :EF‖BC, .∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC .∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF, ..BE=OE,CF=OF. .EF=OE+OF=BE+CF,故①错误，不符合题意； ,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, :∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB, 0c+20CB=克2ABc+∠nCB=1am0-∠A=90-A. ∴∠B0C=180°-∠OBC+∠0CB=180°- 90-号 A=90+A故正 确，符合题意； 如图，过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N,连接OA, ,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, ∴.OM=ON,ON=OD=m, ..OM=ON=OD=m, .AE+AF=n, ∴.SAAEF=SAAOE+S△AOF =号A证0M+号AF-0D 号on-MA )mn,故④正确，符合题意 由OM=ON=OD,即点O到△ABC各边的距离相等，故③正确，符合题意： 综上可得：正确的是②③④ 15.(1)解：AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=45°，∠C=73°， .∠BAC=180°-45°-73°=62°，∠AEB=90°， ∠BAD=3∠BAC=31°，∠BAE=90-∠B=45, .∠DAE=∠BAE-∠BAD=14°： (2)解：：AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=C,∠C=B, .∠BAC=180°-Q-B,∠AEB=90°， 8∠BAD之BAC=90°-&-)B,∠BMAE=90°-∠B=90©-Q ÷∠DAE=∠BAE-∠BAD=号B-a 16.(1)解：∠BAC的角平分线如图所示， M--- D 图① (2)解：线段BC的垂直平分线如图所示， 图② 17.(1)解：，DE⊥AB,∠ADE=55° .∴.∠DAE=90°-55°=35° ,∠BAF=110° ∴.∠CAF=180°-∠BAF-∠DAE=35°. (2)解：证明：如图，过点D作DG⊥AF于点G,DH⊥BC于点H. D .∠BAF=110°∠CAF=35° FH .∴.∠DAE=∠DAF=35° ,BE⊥DE,DG⊥AF, ∴.DE=DG 又.'BD平分∠ABC,DH⊥FC, .'DE=DH, .DG=DH, ∴.FD平分∠AFC. (3)解：S△Acr=b, AFDc+号CFDH-b, 2 由(2)，得DG=DH=DE, 号×3DH+aDH=b,解得DH 2b 3+a ∴.DE=DH= 2b 3+a SaAm号AB-DE=号 1 ×6x,26=66 3+a3+a 18.(1)解：，EF垂直平分AB,MN垂直平分MN, .AF=BF,AN=CN, ,△AFN的周长为13cm, .BC=BF+FN+NC=AF+FN+AN=13 cm; (2)证明：如图，连接BP,AP,PC E ,EF垂直平分AB,MN垂直平分MN, ..PA=PB,PA=PC, ..PB=PC, ∴，点P在线段BC的垂直平分线上： (3)解：①：AF=BF,AN=CN,AEP=∠AMP=90°， .∠ABC=∠BAF,∠ACB=∠CAN, ,∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠FAN=52°， .2∠ABC+2∠ACB+52°=180°， .2∠ABC+∠ACB=128°， .∠ABC+∠ACB=64°， ,∠PEA+∠PMA+∠EPM+∠CAB=360°，∠PEA+∠PMA=180°， ∴.∠EPM+∠CAB=180°，∠ABC+∠ACB+CAB=180°， .∠FPN=∠EPM=∠ABC+∠ACB=64, 故答案为：64°； ②.∠ABC=∠BAF,∠ACB=∠CAN,∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°， ∠FAN=a, .2∠ABC+2∠ACB+a=180°， .2∠ABC+∠ACB=180°-a, ·∠ABC+∠ACB=90-1 q, .∠PEA+∠PMA+∠EPM+∠CAB=360°，∠PEA+∠PMA=180°， .∠EPM+∠CAB=180°，∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°， .∠FPN=∠EPM=∠ABC+∠ACB=90-1& q, 故答案为：90°-1 19.(1)△ABC与△ADE全等，理由如下： :∠BAD=∠CAE=90°， .∠BAC=∠DAE, 在△ABC与△ADE中， AB=AD ∠BAC=∠DAE AC=AE .∴△ABC≌△ADE SAS: (2)解：：∠CAE=90°，AE=AC, .∠ACE=∠E=45°， :△ABC≌△ADE, .∠ACB=∠E=45°， ,AF⊥CB, .∠F=90°， .∠FAC=45°. .∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°： (3)CD=DE+2BF?理由如下： .△ABC≌△ADE. .DE=BC,∠ABC=∠ADE. ∴.∠ABF=∠ADC, .FG=FB,AF⊥CB, .AB=AG,BG=2 BF, .∠ABF=∠G, .∠ADC=∠G, ∠ACB=45°，∠ACE=45°， .∠ACE=∠ACB 在△ACD与△ACG中， ∠ADC=∠G ∠ACD=∠ACG, AC=AC ∴.△ACD≌△ACG AAS, ∴CD=CG, ..CG=BC+BG, ∴.CD=CG=DE+2BF」 20.(1)解：如图②，过点C作CF‖AB,交DE的延长线于点F, E F 图② 则∠B=∠ECF, ,E是边BC的中点， ..BE=CE, 在△ABE和△FCE中， ∠B=∠ECF ∠AEB=∠FEC BE=CE .△ABE≌△FCE AAS, .AB=CF,∠BAE=∠F, .AB=CD ..CD=CF, ∠D=∠F, .∠D=∠BAE: (2)解：如图③，过点C作CF‖AB,交AD的延长线于点F. A 人 C D 图③ .∠BAD=∠F,∠DCF=∠B=90° ,AD是△ABC的中线， .BD=CD 在△ABD和△FCD中， ∠BAD=∠F ∠B=∠DCF BD=CD ∴△ABD≅△FCD(AAS). ∴AB=CF=2，AD=DF. ∵CE⊥BC， ∴∠DCE=90°. $$\therefore \angle D C E = 9 0 ^ { \circ } .$$ $$\therefore \angle D C F + \angle D C E = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ 即 E，C，F 三点共线. $$\because \angle A D E = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，即 DE⊥AD， ∵AD=DF， ∴DE 是线段 AF 的垂直平分线 ∴AE=EF=CE+CF=6. (3)解：如图④，过点 B//BH∥AF， 交 FE 的延长线于点 H. A F E B C 图④ ∴∠H=∠EFA. 的中点， ∴BE=AE. 在 △BEH 和 △AEF 中， ∠H=∠EFA ∠BEH=∠AEF BE=AE ∴△BEH≅△AEF(AAS). ∴BH=AF，EH=EF. ∵EF⊥AC， $$\therefore \angle E F A = \angle C F G = \angle H = 9 0 ^ { \circ } .$$ $$\therefore \angle F G C + \angle F C G = 9 0 ^ { \circ } .$$ $$\because \angle B G C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ .∠HGB+∠FGC=90° .∠HGB=∠FCG 在△BGH和△GCF中， ∠H=∠CFG ∠HGB=∠FCG, GB=CG ∴.△BGH≌△GCFAAS. .BH=GF,GH=CF, ..GF=AF AC=100米， ..HF=HG+GF=CF+AF=100. EH=EF=2Hr=50米。 :.CF=GH=EH+EG=50+30=80(米). ∴.展示区的边CF的长为80米。