第一章 三角形的证明及其应用 单元过关练-【红卷】2025-2026学年八年级下册数学期末复习方案（北师版）

参考 单元过关练 第一章 三角形的证明及其应用 一、选择题 1.B2.D3.D4.B5.B6.C7.A8.B 9.A10.A 二、填空题 11.a=3,b=-3(答案不唯一) 12.等腰三角形“三线合一”13.1014.86 15.13°或65° 三、解答题 16.(1)证明：.△ABC是等边三角形， .∠CAB=∠CBA=60°。 .DF⊥AC, ∴.∠AFE=∠CFE=90°。 ∴.∠CAB+∠AEF=90°。 ∴.∠AEF=30°。 ·.·∠AEF+∠BDE=∠CBA=60° ∴.∠BDE=30°=∠AEF。 .BD=BE。 (4分) (2)w7 (7分) 17.解：分别作出公路夹角的角平分线和线段AB的中垂 线，他们的交点为P,则P点就是修建发射塔的位置。 (7分) B A 18.解：(1)由题意，得OC=CD=DE=EF。 .△OCD,△CDE,△DEF都是等腰三角形。 ∴.∠CD0=∠C0D=15°。 .·∠CDO+∠COD+∠OCD=180°，∠DCE+∠OCD =180°， ∴.∠DCE=∠CD0+∠COD=30°。 (2分) .CD=DE, ∴.∠CED=∠DCE=30°。 .∠CDE=180°-（∠CED+∠DCE)=120°。 ..∠EDF=180°-∠CDE-∠CD0=180°-120°-15°=45°。 DE=EF, 答案 ∴.∠EFD=LEDF=45°。 ∴.∠DEF=180°-（∠EFD+∠EDF)=90°。(4分） (2)由(1)可知，钢管与钢架构成的等腰三角形的底 角是逐渐递增的，若∠AOB=9°，则第一根钢管CD 与钢架0A的夹角为9°，与OB的夹角为18°； 第二根钢管DE与钢架OB的夹角为18°，与OA的 夹角为27°； 第2n-1根钢管与钢架0A的夹角为(2n-1)·9°，与 0B的夹角为2n·9°=18n°。 (6分)》 第2n根钢管与钢架OB的夹角为18n°，与OA的夹 角为9(2n+1)°。 根据点到直线的距离垂线段最短可得： 当9(2n)=90,即n=5时，无法再添加等长的钢管， 此时2n-1=9。 ∴.最多可以添加9根钢管。 (7分) 19.(1)证明：AD⊥BC, .∠ADB=∠ADC=90°。 CD=1,AD=2, ∴.AC2=AD2+CD2=5,AB2=AD2+BD2=20。 BC=(CD+BD)2=25, .AB2+AC2=BC2, ∴.△ABC为直角三角形，∠BAC=90°。 AB⊥AC。 (3分) (2)结论正确。 (4分) 理由：AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADC=90°， .AC2=AD2+CD2,AB2=AD2+BD2 BC2=(CD+BD)2=CD2+2BD.CD+BD2, AD2=BD·CD, .BC2=CD2+2AD2+BD2=AB2+AC2, ∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°。 .AB⊥AC。 (7分)》 20.解：(1)如图，过点A作AH1BC于点H, :∠E=∠C,DE=BC,EA=CA, .△ABC≌△ADE(SAS)。 ∴.S△ABC=S△ADEO (2分) AF⊥DE, 1 1 六2 xDEXAF=2×BCX4AH。 .AF=AH。 AF⊥DE,AH⊥BC,AG=AG, ∴.Rt△AFG≌Rt△AHG(HL). ∴.∠AGF=∠AGH, 即GA平分∠DGB。 (4分) (注：由AF=AH,AF⊥DE,AH⊥BC,也可以直接得到 GA平分∠DGB。) (2)由(1)知，△ABC≌△ADE, .AD=AB。 .AF⊥DE,AH⊥BC,AF=AH, ∴.Rt△ADF≌Rt△ABH(HL)。 ,∴.S四边形DGBA=S四边形AFGH=6。 (6分) 由(1)知，Rt△AFG≌Rt△AHG, .SAAFG=3。 :AF=3 , 1 3 2FG =3, 2 解得FG=4。 (8分) 21.解：(1)140°∠A=2∠M (2分) (2).BWN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB, :LCBN LEBN =2 ∠CBE,∠BCN=∠FCN= 2∠BCF. ∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∴.∠CBE+∠BCF=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360° -(∠ABC+∠ACB)=180°+∠A。 、∠N=180°-（∠CBN+LBCN)=180°-2(LCBE+ 1 1 ∠BCF)=90°- ∠A。 2 kN=0< (5分) (3)∠A的度数为60°或120°或135°或45°。(9分) 22.解：(1)在等边三角形ABC中，AQ平分∠BAC, 点Q是BC的中点。 1 ·.CQ=BQ=2 BC=3 cmo 3 ·1的值为3 0 (2分) (2)根据题意，得BP=t,CQ=2t,则BQ=6-2t。 过点P作PD⊥BC于点D, D 04 在等边三角形ABC中，∠B=60°，点P在线段BQ的 垂直平分线上， B0=7BP,BD=D0=2B0。 根题意，得宁6-2， 解得t=2。 ∴.当t=2s时，点P在线段BQ的垂直平分线上。 (4分) (3)在等边三角形ABC中，AB=AC=BC=6cm, c边上的商为96=35em 在△BPQ中，BQ=6-2t, B0边上的高为PH=5。 2 t cm, 四边形AP0c的面积8x6×35-2×(6-29)× -o (cm2)。 (6分) (4)当PQ⊥AB时，△BPQ为直角三角形。 ∠BPQ=90°， .∠B=60°， .∠BQP=30°。 BQ=2BP,即6-21=2，解得1=3 0 (8分) 当PO LBC时，△BPQ为直角三角形。 .∠BQP=90°， ∴.∠B=60°。 ∴.∠BPQ=30°。 ·2BQ=BP,即2(6-2)=，解得6=2 0 综上所述，当=号或=号。时，△BP0为直角三 12 角形。 (10分) 第二章不等式与不等式组 一、选择题 1.B2.D3.D4.D5.D6.C7.C8.B 9.C10.B单元过关练 拍昭一绅址☆ 红卷 第一章三角形的证明及其应用 用心好卷 时间：90分钟满分：100分 趣归可打印 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.(2025·郑州模拟)如图，线段DG,EM,FN两两相交于B,C,A三 点，则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是 ( A.180° B.360° C.540° D.720° 4678910 第1题图 第2题图 2.(2025春·郑州月考)如图，将含45°角的直角三角尺的直角顶点 C放在一把直尺的一边上，顶点B在直尺的另一边上，AC与直尺 的另一边交于点D,当∠DBC=30时，D,B两点分别落在直尺上的 1cm,7cm处，则直尺的宽度为 ( A.3 cm C.33 cm 33 3.(2025·郑州校级开学)一个多边形的内角和是900°，则这个多边 形的边数是 A.4 B.5 C.6 D.7 4.（2025春·金水区校级期中)下列说法： ①真命题的逆命题一定是真命题； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③如果a,b,c是一组勾股数，那么4a,4b,4c也是一组勾股数； ④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60” 时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60”。其中正 确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(2025春·金水区校级期末)如图，在△ABC中，AC=7,按以下步 骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于)BC的长为半径作弧，两弧 相交于点M和N:②作直线MN交AC于D,连接BD。若AB=4,则 △ABD的周长是 A.10 B.11 C.12 D.13 B Q 第6题图 第7题图 6.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A,B,连接AB,在网格中 再找一个格点C,使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的 个数是 ( ) A.5 B.6 C.8 D.9 7.(2025春·二七区校级月考)如图，将等边△APQ的边PQ向两边 延长，使PB=QC=PQ,则∠BAC的度数为 ( ) A.120° B.110 C.100° D.90° 8.(2025秋·中原区校级月考)如图，一束光线从点A(2,0)出发，经 过y轴上的点B反射后经过点C(4,8),则光线从A点到C点经过 的路线长是 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 OA衣 DF 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC,F是BC的中 点，连接AF。若AB=4,AC=6,DE=3,则△AFB的面积为( A.7.5 B.8 c.9 D.12 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2.D,E是边AB上的 两个动点，F是边AC上的一个动点，若DE=√2，则CD+EF的最 小值为 ( A3② C.1+√2 D.3 2 B2i月 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.（2025·管城区一模)举出一个可以说明命题“若a2=b2,则a=b” 是假命题的反例： 12.(2025春·二七区校级月考)如图，工匠们用这个工具检测屋梁 是否水平。当重垂线经过等腰三角尺底边的中点时，可以确定三 角形的底边与梁是水平的，否则梁就不是水平的，这样测量利用 的几何性质是 王心童®《红卷》·数学BS版·八年级下册 第12题图 第13题图 13.(2025春·金水区校级期中)如图，△ABC是等边三角形，D是 BC延长线上一点，DE⊥AB于点E,EF⊥BC于点F。若CD= 3AE,CF=6,则AC的长为 14.(2025秋·高新区校级月考)如图，在四边形ABCD中，∠DAB= ∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面 积分别记为S1,S2,S3,S4。若S1+S4=135,S=49,则S2=。 B B D 第14题图 第15题图 15.(2025春·郑州期中)如图，AD是△ABC的角平分线，CE是 △ABC的高，∠BAC=50°，∠ACB=78°，点F为边AB上一点，当 △BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 三、解答题（本大题共7个小题，共55分） 16.(7分)(2025春·管城区月考)如图，AD是等边△ABC的中线， DF⊥AC交AB的延长线于点E,垂足为点F。 (1)求证：BD=BE。 (2)连接CE,若AC=2,则CE的长度为 单元过关练/01 17.(7分)学科素养应用意识如图，电信部门要在公路m,n之间的 S区域修建一座电视信号发射塔P。按照设计要求，发射塔P到 区域S内的两个城镇A,B的距离必须相等，到两条公路m,n的 距离也必须相等。发射塔P应建在什么位置？ (要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论) 之 B. ●A 18.(7分)如图，A0B是一钢架，且∠AOB=15°， B 为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些O一 钢管CD,DE,EF,…,添加的钢管长度都与OC相等。 (1)求∠DEF的度数。 (2)若∠AOB=9°，则最多可以添加多少根钢管？ 19.(7分)(2025春·高新区校级月考)【问题情境】如图，在△ABC 中，AD为BC边上的高。 【特例研究】(1)若CD=1,AD=2,BD=4,求证：AB⊥AC。 【猜想证明】(2)根据(1)中的结论，小明猜想：当满足AD=BD· CD,利用勾股定理及其逆定理，可证明△ABC是直角三角形，请 你验证小明的猜想是否正确。 02 单元过关练 20.(8分)如图，在△ABC与△AED中，∠E=∠C,DE=BC,EA=CA, 过A作AF⊥DE,垂足为点F,DE交CB的延长线于点G,连 接AG。 (1)求证：GA平分∠DGB。 （2)若Sma=6,AP=2求FG的长。 21.(9分)【初步认识】 (1)如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB。若∠A =100°，则∠P= ;如图②，BM平分∠ABC,CM平分 外角∠ACD,则∠A与∠M的数量关系是 【继续探索】 (2)如图③，BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB。请探索 ∠A与∠N之间的数量关系。 【拓展应用】 (3)如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC 两外角平分线的交点，延长BP、NC交于点M。在△BMN中， 存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出∠A的度数。 D 王心童®《红卷》·数学BS版·八年级下册 22.（10分)学科素养分类讨论如图，在等边三角形ABC中，AB=AC =BC=6cm,点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s; 点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s,分别连接 PQ,AQ。设运动时间为t(s)(0<t<3),解答下列问题： (1)当AQ平分∠BAC时，求t的值。 (2)当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上？ (3)设四边形APQC的面积为S(cm2),求S与 t之间的函数关系式。 (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使 △BPQ为直角三角形？若存在，求出t的 03 值；若不存在，请说明理由。