第21讲 诱导公式（六大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第21讲 诱导公式 【人教A版2019】 模块一 诱导公式 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 【题型1 诱导公式二、三、四的应用】 【例1】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式化简即得. 【解答过程】由，得. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高一上·浙江湖州·期末）（　　） A． B． C． D． 【解题思路】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即. 【解答过程】. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）求值：（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用三角函数的诱导公式化简求值即可. 【解答过程】 ， 故选：A. 【变式1.3】（2025高二上·北京·学业考试）在下列各数中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由半角和全角诱导公式逐项化简即可； 【解答过程】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：A. 【题型2 诱导公式五、六的应用】 【例2】（24-25高一上·云南保山·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用诱导公式以及整体带入思想即可求得结果. 【解答过程】因为，所以， 故选：D. 【变式2.1】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用三角函数的诱导公式即可求解. 【解答过程】 ， 故选：D. 【变式2.2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据诱导公式化简求值. 【解答过程】因为， 所以， 故选：A. 【变式2.3】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角函数定义得到，由诱导公式得到答案. 【解答过程】由三角函数定义知，， . 故选：C. 【题型3 三角函数的化简、求值——诱导公式】 【例3】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）计算：（   ） A． B．1 C． D． 【解题思路】利用诱导公式化简即可求值. 【解答过程】 . 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）计算（   ） A．＋1 B．1 C．－1 D．－+1 【解题思路】利用诱导公式和特殊角的函数值求解即可. 【解答过程】原式. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高一上·全国·课后作业）化简． 【解题思路】根据诱导公式化简即可求解. 【解答过程】原式 ． 【变式3.3】（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）（1）化简：； （2）已知，求的值． 【解题思路】（1）利用诱导公式运算求解即可； （2）以为整体，结合诱导公式运算求解即可. 【解答过程】（1）原式 ； （2）因为，， 所以 ． 【题型4 三角函数恒等式的证明——诱导公式】 【例4】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 【解题思路】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【解答过程】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 【变式4.1】（24-25高一上·全国·课后作业）证明：． 【解题思路】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来证得等式成立. 【解答过程】 ， ， 故等式左边，等式成立． 【变式4.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知、、为的三个内角，求证：. 【解题思路】利用三角形的内角和定理可得出，再结合诱导公式可证得原等式成立. 【解答过程】证明：在中，，则. 所以， ， 故原等式得证. 【变式4.3】（24-25高一·全国·课后作业）求证：当或3时，. 【解题思路】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 【解答过程】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 【题型5 诱导公式在三角形中的应用】 【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用诱导公式以及三角形内角和关系，结合平方关系计算可得结果. 【解答过程】由，可得， 易知 所以，所以． 故选：C. 【变式5.1】（2025高一上·全国·专题练习）在△ABC中，下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角形中角之间的关系，结合诱导公式化简即可. 【解答过程】在中，有， ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 【变式5.2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角为的三个内角，若，则一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【解题思路】根据诱导公式以及内角和定理得出，从而判断三角形的形状. 【解答过程】因为 所以， 可得， 又因为， 所以，则，所以一定是等腰三角形． 故选：C． 【变式5.3】（24-25高一下·浙江·期中）已知为的三个内角，下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为，逐个去分析即可选出答案． 【解答过程】由题意知，在中，， 对A选项，，故A选项正确； 对B选项，，故B选项正确； 对C选项，，故C选项正确； 对D选项，，故D选项不正确． 故选：D. 【题型6 诱导公式与其他知识综合】 【例6】（24-25高一上·全国·周测）已知角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由三角函数的定义可得出的值，再利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【解答过程】由题意，点为角终边上一点，由三角函数定义可得， 所以． 故选：B． 【变式6.1】（2025·辽宁·三模）已知，则（    ） A． B．1 C． D．3 【解题思路】由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得. 【解答过程】， 故选：D. 【变式6.2】（24-25高一上·山东淄博·期末）已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【解题思路】（1）由求出点的值，结合三角函数定义可得； （2）利用诱导公式化简可得. 【解答过程】（1）由题意知，因角的终边与轴的正半轴重合，且终边过点， 则点到原点的距离， 则； （2） ． 【变式6.3】（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知是第三象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 【解题思路】（1）借助诱导公式和同角三角函数的基本关系化简即可； （2）构造齐次式，将弦化切，代入计算即可. 【解答过程】（1）由题意，， 解得，又是第三象限角， . （2）由（1），，是第三象限角，则， . 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据诱导公式即可求解. 【解答过程】因为 故选：A. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据范围计算范围，再结合的正负性，得出，则可计算，最后利用诱导公式化简即可. 【解答过程】，则， 又，则， 故， . 故选：A. 3．（24-25高一上·云南德宏·期末）的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据诱导公式求值. 【解答过程】 . 故选：A. 4．（24-25高一上·广东汕头·期末）（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用诱导公式化简即可求出. 【解答过程】 , 故选：. 5．（24-25高一上·云南昭通·期末），那么（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角函数的诱导公式，可得答案. 【解答过程】因为，所以. 故选：D. 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由三角函数的诱导公式和同角三角函数关系可得. 【解答过程】因为，所以， 由平方关系可得， 所以. 故选：B. 7．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据任意角的三角函数的定义求出，再化简可求得结果. 【解答过程】由题意得， 所以. 故选：B. 8．（24-25高一上·广西百色·期末）已知角的终边过点，则（   ） A． B．1 C． D． 【解题思路】由三角函数的定义求得，利用诱导公式化为齐次式，进而求解即可. 【解答过程】因为角的终边过点，所以， 所以 . 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据诱导公式逐项分析即可得解. 【解答过程】由诱导公式知，，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 10．（24-25高一上·安徽亳州·期末）在中，下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用三角形内角关系结合诱导公式计算求解各个选项即可. 【解答过程】由已知，所以，A正确； ，所以B错误； 因为，， ，故C错误D正确． 故选：AD． 11．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知角的始边为轴的非负半轴，角的终边与单位圆的交点为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据三角函数的定义可得，，即可结合诱导公式逐一求解. 【解答过程】由题意可知：，， 故，，，故BCD正确，A错误， 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知，则 ． 【解题思路】由，利用诱导公式求解. 【解答过程】． 故答案为：. 13．（24-25高一上·山西大同·期末） 0 ． 【解题思路】根据诱导公式化简计算即可. 【解答过程】原式 ． 故答案为：0. 14．（24-25高一上·江苏·期末）已知，则 ． 【解题思路】利用诱导公式及同角公式计算得解. 【解答过程】由，得 . 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）化简． 【解题思路】利用诱导公式进行化简求值. 【解答过程】，， 故原式． 16．（24-25高一上·全国·课后作业）化简下列各式并求值： (1)； (2)． 【解题思路】直接利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可. 【解答过程】（1） . （2） . 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【解题思路】利用诱导公式化简即可. 【解答过程】左边右边， 所以． 18．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【解题思路】（1）由诱导公式化简可得，再由同角三角函数的商关系，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，化为齐次式的形式，然后代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）由得 所以. （2）由（1）知，， 所以. 19．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与边的正半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，且． (1)的值； (2)若点的横坐标为，求的值. 【解题思路】（1）由诱导公式化简可得； （2）由定义可得，即可求出. 【解答过程】（1）因为，所以，， 所以； （2）因为点的横坐标为，所以，又为锐角，所以， ， 所以. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲 诱导公式 【人教A版2019】 模块一 诱导公式 1．诱导公式 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 2．一组重要公式 (1)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). (2)(n∈Z). ①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z). ②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有 (k∈Z). 类似地，有： (3)(n∈Z). (4)(n∈Z). 3．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 【题型1 诱导公式二、三、四的应用】 【例1】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·浙江湖州·期末）（　　） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）求值：（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2025高二上·北京·学业考试）在下列各数中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 诱导公式五、六的应用】 【例2】（24-25高一上·云南保山·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 三角函数的化简、求值——诱导公式】 【例3】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）计算：（   ） A． B．1 C． D． 【变式3.1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）计算（   ） A．＋1 B．1 C．－1 D．－+1 【变式3.2】（24-25高一上·全国·课后作业）化简． 【变式3.3】（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）（1）化简：； （2）已知，求的值． 【题型4 三角函数恒等式的证明——诱导公式】 【例4】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求证：. 【变式4.1】（24-25高一上·全国·课后作业）证明：． 【变式4.2】（24-25高一·全国·课后作业）已知、、为的三个内角，求证：. 【变式4.3】（24-25高一·全国·课后作业）求证：当或3时，. 【题型5 诱导公式在三角形中的应用】 【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（2025高一上·全国·专题练习）在△ABC中，下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知角为的三个内角，若，则一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【变式5.3】（24-25高一下·浙江·期中）已知为的三个内角，下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 诱导公式与其他知识综合】 【例6】（24-25高一上·全国·周测）已知角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（2025·辽宁·三模）已知，则（    ） A． B．1 C． D．3 【变式6.2】（24-25高一上·山东淄博·期末）已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【变式6.3】（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知是第三象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南德宏·期末）的值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东汕头·期末）（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·云南昭通·期末），那么（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广西百色·期末）已知角的终边过点，则（   ） A． B．1 C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·安徽亳州·期末）在中，下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知角的始边为轴的非负半轴，角的终边与单位圆的交点为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知，则 ． 13．（24-25高一上·山西大同·期末） ． 14．（24-25高一上·江苏·期末）已知，则 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）化简． 16．（24-25高一上·全国·课后作业）化简下列各式并求值： (1)； (2)． 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 18．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知. (1)求的值； (2)求的值. 19．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与边的正半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，且． (1)的值； (2)若点的横坐标为，求的值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$