第22讲 弧度制（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第22讲 弧度制 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 角度制与弧度制概念辨析 题型2 角度制化为弧度制 题型3 弧度制化为角度制 题型4 扇形弧长、周长、面积的相关计算 题型5 扇形的最值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 弧度制 角度制 扇形面积 1. 理解弧度制概念：经历弧度制概念的生成过程，明确1弧度的含义，体会引入弧度制的必要性，培养数学抽象素养. 2. 掌握角度与弧度互化：熟记特殊角的弧度数，能熟练进行弧度与角度的相互转化，提升数学运算素养. 3. 掌握扇形公式：掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并能灵活应用解决相关问题. 4. 体会一一对应关系：理解在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起的一一对应关系，为后续学习三角函数奠定基础. 学习重点：（1）弧度制定义：准确理解1弧度的角的概念及其合理性； （2）角度弧度互化：掌握互化公式，熟记特殊角的度数与弧度数对应关系. 学习难点：（1）概念探究与理解：理解用“弧长与半径比值”度量圆心角的本质； （2）公式推导与应用：推导并证明弧度制下的扇形弧长和面积公式，并灵活运用. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 角度制与弧度制的概念 1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 2、弧度制的有关概念 为了使用方便，数学上采用另一种度量角的单位制——弧度制． （1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． （2）弧度制： ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②记法：用符号rad表示，读作弧度． 如图，在单位圆O中，的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角． 3、弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同． 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值． 【注意】用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写；用角度制表示角时单位“°”不能丢． 知识点02 角度制与弧度制之间的互化 1、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 2、特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 3、角的集合与实数集R的关系 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系， 如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应； 反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应． 知识点03 弧长与扇形面积公式 1、弧长与扇形面积公式的两种表示 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 【注】扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角． 2、弧长公式与扇形面积公式的注意事项 （1）在应用公式时，要注意的单位是“弧度”； （2）在弧度制下的扇形面积公式，与三角形面积公式的形式相似，可类比记忆． 题型1 角度制与弧度制概念辨析 【例1】（多选）下列各说法中，正确的是（    ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 C．根据弧度的定义，一定等于弧度 D．无论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 【方法总结】 解决角度制与弧度制概念辨析题，需紧扣定义：明确“度”和“弧度”是不同度量单位；牢记1弧度是弧长等于半径的弧所对圆心角；掌握换算关系 180∘=π 弧度；理解角度、弧度度量与圆半径无关.据此逐一分析选项，判断对错，抓住概念本质是关键. 【变式1-1】（多选）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 题型2 角度制化为弧度制 【例2】下列各角中，与角终边相同的是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 角度制化弧度制，核心是利用换算关系 弧度（即 弧度）. 步骤为：①明确待转换的角度值；②用该角度值乘以 ，计算结果即为对应的弧度值. 若需找终边相同的角，可将所得弧度加上 （ ），再与选项比对，看是否存在整数 使等式成立，以此确定答案. 【变式2-1】与角终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D． 题型3 弧度制化为角度制 【例3】 对应的角度是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 弧度制化角度制，核心是利用换算关系：π弧度=180°（即1弧度=）. 具体步骤为：①明确待转换的弧度值；②用该弧度值乘以180°/π，计算结果即为对应的角度值. 【变式3-1】弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 题型4 扇形弧长、周长、面积的相关计算 【例4】（1）已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为___________. （2）扇形圆心角是弧度，弧长为2，则半径为（    ） A． B． C． D． （3）已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为_____________，扇形的面积为_____________． （4）扬州制扇工艺源远流长．如图，作出扇形和，从中剪下扇环形制作扇面，已知该扇面的圆心角，扇面面积为，周长（外围实线部分）为，则___________． 【方法总结】 弧度制下扇形计算的核心是明确圆心角 （弧度）与半径 . 通常利用以下公式进行计算： （1）求弧长：直接套用公式 . （2）求周长：由两条半径与弧长组成，公式为 . （3）求面积：优先使用 ；若已知弧长 ，则用 更简便. 解题时注意统一单位，切勿与角度制公式混淆. 【变式4-1】已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 题型5 扇形的最值问题 【例5】（1）已知某扇形面积为，当其周长最小时，圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 （2）已知某扇形的周长是12，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 解决扇形最值问题，核心是建立目标函数并运用基本不等式.具体方法如下： （1）列公式：明确周长 ，面积 （或 ）. （2）消元转化：①若周长为定值，将 代入面积公式，转化为关于 的二次函数求最大值； ②若面积为定值，则利用基本不等式 求周长最小值. （3）等号成立条件：当且仅当 （即 或圆心角 弧度）时，等号成立，此时面积最大或周长最小. 【变式5-1】（多选）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 一、单选题 1．下列转化结果错误的是 A．60°化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是15° 2．将改写成的形式是（     ） A． B． C． D． 3．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．周长为20的扇形的面积最大为（    ） A．10 B．20 C．25 D．50 5．若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则(　　) A．扇形的圆心角大小不变 B．扇形的面积大小不变 C．扇形的圆心角增大到原来的2倍 D．扇形的面积增大到原来的2倍 6．石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的平面图形的面积为（单位：）（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列各说法，正确的是（　　） A．半圆所对的圆心角是π rad B．圆周角的大小等于2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度 8．下列给出的各角中，与的终边相同的是（   ） A． B． C． D． 9．以下说法正确的有（   ） A．化成弧度为 B．与的终边相同的角的集合是 C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D．已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 三、填空题 10．某款智能扫地机器人在墙角工作时，会启动“扇形深度清扫”模式：来回清扫一个以墙角为圆心、为半径、圆心角为的扇形区域，该扇形区域的面积为___________．（结果保留） 11．若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是______. 12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢)．弧田是由圆弧及其所对的弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积最接近的整数是__________． 四、解答题 13．已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 14．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则 (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 弧度制 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 角度制与弧度制概念辨析 题型2 角度制化为弧度制 题型3 弧度制化为角度制 题型4 扇形弧长、周长、面积的相关计算 题型5 扇形的最值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 弧度制 角度制 扇形面积 1. 理解弧度制概念：经历弧度制概念的生成过程，明确1弧度的含义，体会引入弧度制的必要性，培养数学抽象素养. 2. 掌握角度与弧度互化：熟记特殊角的弧度数，能熟练进行弧度与角度的相互转化，提升数学运算素养. 3. 掌握扇形公式：掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并能灵活应用解决相关问题. 4. 体会一一对应关系：理解在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起的一一对应关系，为后续学习三角函数奠定基础. 学习重点：（1）弧度制定义：准确理解1弧度的角的概念及其合理性； （2）角度弧度互化：掌握互化公式，熟记特殊角的度数与弧度数对应关系. 学习难点：（1）概念探究与理解：理解用“弧长与半径比值”度量圆心角的本质； （2）公式推导与应用：推导并证明弧度制下的扇形弧长和面积公式，并灵活运用. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 角度制与弧度制的概念 1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 2、弧度制的有关概念 为了使用方便，数学上采用另一种度量角的单位制——弧度制． （1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． （2）弧度制： ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②记法：用符号rad表示，读作弧度． 如图，在单位圆O中，的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角． 3、弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；（2）定义不同． 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值． 【注意】用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写；用角度制表示角时单位“°”不能丢． 知识点02 角度制与弧度制之间的互化 1、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 2、特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 3、角的集合与实数集R的关系 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系， 如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应； 反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应． 知识点03 弧长与扇形面积公式 1、弧长与扇形面积公式的两种表示 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 【注】扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角． 2、弧长公式与扇形面积公式的注意事项 （1）在应用公式时，要注意的单位是“弧度”； （2）在弧度制下的扇形面积公式，与三角形面积公式的形式相似，可类比记忆． 题型1 角度制与弧度制概念辨析 【例1】（多选）下列各说法中，正确的是（    ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 C．根据弧度的定义，一定等于弧度 D．无论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 【答案】ABC 【详解】“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，故A正确； 1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，故B正确； 根据弧度的定义，一定等于弧度，故C正确； 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制， 角的大小均与圆的半径长短无关，而是跟弧长与半径的比值有关，故D错误的. 【方法总结】 解决角度制与弧度制概念辨析题，需紧扣定义：明确“度”和“弧度”是不同度量单位；牢记1弧度是弧长等于半径的弧所对圆心角；掌握换算关系 180∘=π 弧度；理解角度、弧度度量与圆半径无关.据此逐一分析选项，判断对错，抓住概念本质是关键. 【变式1-1】（多选）关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 【答案】AC 【详解】角的度数和弧度数是一一对应的，A说法正确； 无论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小均与其所在的圆的半径无关，B说法错误； 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，C说法正确； 用弧度制度量角，该角可为正角，可为负角，也可为零角，D说法错误， 题型2 角度制化为弧度制 【例2】下列各角中，与角终边相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以与角终边相同的角为. 当时，，所以与角终边相同. 而，，所以与角的终边关于轴对称， 与角的终边关于轴对称，与角的终边关于原点对称. 【方法总结】 角度制化弧度制，核心是利用换算关系 弧度（即 弧度）. 步骤为：①明确待转换的角度值；②用该角度值乘以 ，计算结果即为对应的弧度值. 若需找终边相同的角，可将所得弧度加上 （ ），再与选项比对，看是否存在整数 使等式成立，以此确定答案. 【变式2-1】与角终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与角终边相同的角为， 令，解得， 且，则的最小值为1， 所以与角终边相同的最小正角是，即为. 题型3 弧度制化为角度制 【例3】 对应的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 【方法总结】 弧度制化角度制，核心是利用换算关系：π弧度=180°（即1弧度=）. 具体步骤为：①明确待转换的弧度值；②用该弧度值乘以180°/π，计算结果即为对应的角度值. 【变式3-1】弧度化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据角度制与弧度制的互化关系，得. 题型4 扇形弧长、周长、面积的相关计算 【例4】（1）已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为___________. 【答案】 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径， 则该扇形的弧长为 （2）扇形圆心角是弧度，弧长为2，则半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得扇形的半径. （3）已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为_____________，扇形的面积为_____________． 【答案】 / / 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，则. 所以扇形的弧长为； 扇形的面积为. （4）扬州制扇工艺源远流长．如图，作出扇形和，从中剪下扇环形制作扇面，已知该扇面的圆心角，扇面面积为，周长（外围实线部分）为，则___________． 【答案】20 【详解】设，因为扇面的圆心角，所以，， 所以该扇面的周长为，即，整理得：. 扇形的面积，扇形的面积， 所以扇面的面积. 又 ，解得，即. 【方法总结】 弧度制下扇形计算的核心是明确圆心角 （弧度）与半径 . 通常利用以下公式进行计算： （1）求弧长：直接套用公式 . （2）求周长：由两条半径与弧长组成，公式为 . （3）求面积：优先使用 ；若已知弧长 ，则用 更简便. 解题时注意统一单位，切勿与角度制公式混淆. 【变式4-1】已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设扇形的半径r，根据扇形弧长公式可得， 解得，根据扇形面积公式可得， 【变式4-2】小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 【答案】D 【详解】对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：扇形的周长为，C正确； 对于D：扇形的面积为，D错误； 题型5 扇形的最值问题 【例5】（1）已知某扇形面积为，当其周长最小时，圆心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】设扇形的半径为，弧长为，因为扇形面积为，所以，即； 周长为，因为，当且仅当时，取到最小值， 所以当其周长最小时，圆心角的弧度数为. （2）已知某扇形的周长是12，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 扇形的周长为弧长与两个半径之和，即，因此， 扇形的面积公式为，将代入得： ， 这是一个关于的二次函数，二次项系数为，函数图象开口向下，当时，取得最大值. 【方法总结】 解决扇形最值问题，核心是建立目标函数并运用基本不等式.具体方法如下： （1）列公式：明确周长 ，面积 （或 ）. （2）消元转化：①若周长为定值，将 代入面积公式，转化为关于 的二次函数求最大值； ②若面积为定值，则利用基本不等式 求周长最小值. （3）等号成立条件：当且仅当 （即 或圆心角 弧度）时，等号成立，此时面积最大或周长最小. 【变式5-1】（多选）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 【答案】BC 【详解】由题意可知，，， 对于A：当时，，可得，故A错误； 对于B，C：，当时，，此时，，故B，C正确； 对于D：，当且仅当，结合，即 时等号成立，所以的最小值为，故D错误. 一、单选题 1．下列转化结果错误的是 A．60°化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是15° 【答案】C 【详解】对于选项A,,故A正确； 对于选项B,,故B正确； 对于选项C,,故C错误； 对于选项D,,故D正确 2．将改写成的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 3．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为，圆心角为 因为圆心角为的扇形的弧长为 所以由得，解得， 所以该扇形的面积为 4．周长为20的扇形的面积最大为（    ） A．10 B．20 C．25 D．50 【答案】C 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，其面积， 由，当且仅当，即时取等号， 所以，即扇形面积的最大值为. 5．若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则(　　) A．扇形的圆心角大小不变 B．扇形的面积大小不变 C．扇形的圆心角增大到原来的2倍 D．扇形的面积增大到原来的2倍 【答案】A 【详解】由弧度数的定义可知，故扇形的圆心角大小不变．由可知，扇形的面积增大到原来的4倍． 6．石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的平面图形的面积为（单位：）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设所在圆半径为，所在圆半径为，由，得， 又，则， 所以该梅花砖雕的平面图形的面积为（）. 二、多选题 7．下列各说法，正确的是（　　） A．半圆所对的圆心角是π rad B．圆周角的大小等于2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度 【答案】ABC 【详解】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误， 根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，ABC的说法正确． 8．下列给出的各角中，与的终边相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】与的终边相同的角， 对于A，，A是； 对于B，，B是； 对于C，，C是； 对于D，，显然无整数解，D不是. 9．以下说法正确的有（   ） A．化成弧度为 B．与的终边相同的角的集合是 C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D．已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，所以与的终边相同的角的集合是，故B正确； 对于C，将表的分针拨慢20分钟，则分针逆时针旋转，故分针转过的角的弧度是，故C不正确； 对于D，设扇形的弧长，半径为，由于扇形的周长为，圆心角为， 则，解得，则该扇形的面积为，故D正确. 三、填空题 10．某款智能扫地机器人在墙角工作时，会启动“扇形深度清扫”模式：来回清扫一个以墙角为圆心、为半径、圆心角为的扇形区域，该扇形区域的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【详解】该扇形区域的面积为． 11．若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是______. 【答案】2 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢)．弧田是由圆弧及其所对的弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积最接近的整数是__________． 【答案】9 【详解】设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧于，如图所示， 由题意可得∠AOB＝，OA＝4， 在Rt△AOC中，易得∠AOC＝，∠CAO＝， OC＝OA＝，可得矢＝4－2＝2， 由AC＝OA＝，可得弦AB＝2AC＝， 所以弧田面积＝×()＝， 因为，则，从而， 因此，所得弧田面积最接近的整数是9. 四、解答题 13．已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)圆心角，面积的最大值为. 【详解】（1）， ∴扇形的弧长； （2）由已知得，，所以，因为，所以， 所以扇形的面积，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，圆心角. 14．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则 (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $