第26讲 正弦函数、余弦函数的图象（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第26讲 正弦函数、余弦函数的图象 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 “五点法”画正（余）弦函数的图象 题型2 含绝对值的三角函数图象 题型3 用正（余）弦函数的图象解不等式 题型4 正（余）弦函数的图象辨识 题型5 与正（余）弦函数有关的交点问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正弦函数 余弦函数 正弦曲线 余弦曲线 1. 理解生成：借助单位圆理解正弦曲线生成过程，培养直观想象素养. 2. 掌握作图：掌握“五点法”画正、余弦函数简图，提升数学运算素养. 3. 探究联系：利用诱导公式推导正、余弦曲线平移变换关系，培养逻辑推理素养. 4. 体会思想：领悟数形结合与化归思想，为后续研究三角函数性质奠基. 学习重点：（1）五点法作图：掌握正弦、余弦函数在一个周期内五个关键点的坐标及作图步骤. （2）图象特征：理解正弦曲线与余弦曲线的波浪形、连续性与光滑性. 学习难点：（1）几何法原理：理解利用单位圆中三角函数线描点生成正弦曲线的几何映射过程. （2）图象变换：准确理解并运用诱导公式，实现正弦曲线到余弦曲线的平移变换. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正弦曲线与余弦曲线 1、正弦曲线：正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图． 【要点诠释】 （1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质； （2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题． 2、余弦曲线：余弦函数的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图． 3、将正弦曲线向左平移个单位长度即能得到余弦曲线． 知识点02 正（余）弦函数的图象 1、正（余）弦函数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ,,,, ,,,, 2、用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤 （1）确定五个关键点：最高点、最低点、与轴的三个交点（三个平衡点）； （2）列表：将五个关键点列成表格形式； （3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点； （4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征； （5）平移：将所作的上的曲线向左、向右平行移动（每次平移个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线. 知识点03 用三角函数图象解三角不等式的方法 1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象； 2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集； 3、根据公式一写出不等式的解集． 题型1 “五点法”画正（余）弦函数的图象 【例1】画出下列函数在区间上的图象： (1)； (2)； (3)． 【方法总结】 “五点法”作形如y＝asin x＋b（或y＝acos x＋b），x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下： （1）列表：取x＝0，，π，，2π； （2）描点：将表中所对应的点（x，y）标在坐标平面内； （3）连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来.在连线过程中要注意曲线的“凸性”. 【变式1-1】作出函数，的大致图像． 题型2 含绝对值的三角函数图象 【例2】关于函数y＝sin|2x|，下列说法正确的是（    ） A．周期为π，是奇函数 B．值域为，关于对称 C．在上递增，是偶函数 D．是非奇非偶函数，函数最大值为2 【方法总结】 含绝对值的问题，应注意绝对值符号里面的代数式. （1）将y＝sin x的图象在y轴右侧的保持不动，在左侧作右侧关于y轴的对称图形，便得到y＝sin｜x｜的图象（偶函数）； （2）将y＝sin x的图象在x轴上方的保持不动，x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，便得到y＝｜sin x｜的图象等. 【变式2-1】作出函数的图象 题型3 用正（余）弦函数的图象解不等式 【例3】不等式的解集为______. 【方法总结】 用三角函数图象解三角不等式的方法 （1）作出相应正弦函数或余弦函数在指定区间D上的图象，比如； （2）写出适合不等式在区间D上的解集； （3）根据公式一写出不等式的解集. 【变式3-1】在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型4 正（余）弦函数的图象辨识 【例4】函数在上的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【方法总结】 对于正（余）弦函数相关的图象辨识问题，通常采用“三步法”进行快速判断： （1）判断奇偶性：计算，若 则为偶函数（图象关于 yy轴对称）， 则为奇函数（图象关于原点对称），据此排除不对称的选项； （2）代入特殊值：选取区间内易于估算的点，计算函数值的正负或大小； （3）分析单调性/趋势：结合复合函数性质，分析局部区间内的增减或极值情况，最终确定正确图象. 【变式4-1】函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型5 与正（余）弦函数有关的交点问题 【例5】方程，实根的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【方法总结】 （1）函数的零点是一个实数，是方程的根，也是函数的图象与x轴交点的横坐标． （2）方程的解，就是等号两侧对应两个函数图象的交点横坐标. （3）方程根的个数（函数的零点个数）问题，往往利用数形结合，转化为交点个数问题. 【变式5-1】若方程在上有两个实数根，则的取值范围为____. 一、单选题 1．用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 2．函数 的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   4．若，则使函数有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．从函数的图象来看，当时，对于的x有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．已知函数在上恰有两个不同的零点，则的值可能为（   ） A．0 B． C． D．1 二、多选题 7．函数，的图像与直线（t为常数，）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．关于三角函数的图象，有下列命题为真命题的是（ ） A．与的图象关于轴对称； B．与的图象相同； C．与的图象关于轴对称； D．与的图象关于轴对称； 9．已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．函数的图象与的图象在上的交点个数为________. 11．函数，，若方程有个不同的实数解，则的值为______. 12．函数的零点个数为______． 四、解答题 13．已知函数． （1）作出函数在上的图像； （2）此函数是否为周期函数？若是，求出它的最小正周期． 14．用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26讲 正弦函数、余弦函数的图象 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 “五点法”画正（余）弦函数的图象 题型2 含绝对值的三角函数图象 题型3 用正（余）弦函数的图象解不等式 题型4 正（余）弦函数的图象辨识 题型5 与正（余）弦函数有关的交点问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正弦函数 余弦函数 正弦曲线 余弦曲线 1. 理解生成：借助单位圆理解正弦曲线生成过程，培养直观想象素养. 2. 掌握作图：掌握“五点法”画正、余弦函数简图，提升数学运算素养. 3. 探究联系：利用诱导公式推导正、余弦曲线平移变换关系，培养逻辑推理素养. 4. 体会思想：领悟数形结合与化归思想，为后续研究三角函数性质奠基. 学习重点：（1）五点法作图：掌握正弦、余弦函数在一个周期内五个关键点的坐标及作图步骤. （2）图象特征：理解正弦曲线与余弦曲线的波浪形、连续性与光滑性. 学习难点：（1）几何法原理：理解利用单位圆中三角函数线描点生成正弦曲线的几何映射过程. （2）图象变换：准确理解并运用诱导公式，实现正弦曲线到余弦曲线的平移变换. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正弦曲线与余弦曲线 1、正弦曲线：正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图． 【要点诠释】 （1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质； （2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题． 2、余弦曲线：余弦函数的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图． 3、将正弦曲线向左平移个单位长度即能得到余弦曲线． 知识点02 正（余）弦函数的图象 1、正（余）弦函数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ,,,, ,,,, 2、用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤 （1）确定五个关键点：最高点、最低点、与轴的三个交点（三个平衡点）； （2）列表：将五个关键点列成表格形式； （3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点； （4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征； （5）平移：将所作的上的曲线向左、向右平行移动（每次平移个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线. 知识点03 用三角函数图象解三角不等式的方法 1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象； 2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集； 3、根据公式一写出不等式的解集． 题型1 “五点法”画正（余）弦函数的图象 【例1】画出下列函数在区间上的图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)图象见解析；(2)图象见解析；(3)图象见解析 【详解】（1）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示 （2）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示 （3）按五个关键点列表： 2 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示 【方法总结】 “五点法”作形如y＝asin x＋b（或y＝acos x＋b），x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下： （1）列表：取x＝0，，π，，2π； （2）描点：将表中所对应的点（x，y）标在坐标平面内； （3）连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来.在连线过程中要注意曲线的“凸性”. 【变式1-1】作出函数，的大致图像． 【答案】见解析 【详解】 根据五点法作图列表得： 画图像得： 题型2 含绝对值的三角函数图象 【例2】关于函数y＝sin|2x|，下列说法正确的是（    ） A．周期为π，是奇函数 B．值域为，关于对称 C．在上递增，是偶函数 D．是非奇非偶函数，函数最大值为2 【答案】C 【详解】由函数y＝sin|2x|，图象如下： ∴函数y＝sin|2x|：偶函数，值域为，在上递增； 故选：C 【方法总结】 含绝对值的问题，应注意绝对值符号里面的代数式. （1）将y＝sin x的图象在y轴右侧的保持不动，在左侧作右侧关于y轴的对称图形，便得到y＝sin｜x｜的图象（偶函数）； （2）将y＝sin x的图象在x轴上方的保持不动，x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，便得到y＝｜sin x｜的图象等. 【变式2-1】作出函数的图象 【答案】见解析 【详解】，， 作出函数图象后，将轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，即为函数的图象，如图 题型3 用正（余）弦函数的图象解不等式 【例3】不等式的解集为______. 【答案】 【详解】 画出的图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 【方法总结】 用三角函数图象解三角不等式的方法 （1）作出相应正弦函数或余弦函数在指定区间D上的图象，比如； （2）写出适合不等式在区间D上的解集； （3）根据公式一写出不等式的解集. 【变式3-1】在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在[0，2π]上，函数的定义域满足， 即，结合图象，知道． 故选：B. 题型4 正（余）弦函数的图象辨识 【例4】函数在上的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】因为，， 则， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D； 又，由于，所以，故排除B； 【方法总结】 对于正（余）弦函数相关的图象辨识问题，通常采用“三步法”进行快速判断： （1）判断奇偶性：计算，若 则为偶函数（图象关于 yy轴对称）， 则为奇函数（图象关于原点对称），据此排除不对称的选项； （2）代入特殊值：选取区间内易于估算的点，计算函数值的正负或大小； （3）分析单调性/趋势：结合复合函数性质，分析局部区间内的增减或极值情况，最终确定正确图象. 【变式4-1】函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的定义域为，故排除C； 又， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除D； 又，，即，所以排除B. 题型5 与正（余）弦函数有关的交点问题 【例5】方程，实根的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】因为， 则与，的图象如下所示： 由图可得与，有且仅有个交点， 所以方程，实根有个. 【方法总结】 （1）函数的零点是一个实数，是方程的根，也是函数的图象与x轴交点的横坐标． （2）方程的解，就是等号两侧对应两个函数图象的交点横坐标. （3）方程根的个数（函数的零点个数）问题，往往利用数形结合，转化为交点个数问题. 【变式5-1】若方程在上有两个实数根，则的取值范围为____. 【答案】 【详解】在同一直角坐标系中作出的图象，的图象， 由图象可知，当，即时， 函数的图象与的图象有两个交点， 即方程在上有两个实根， 故的取值范围为. 一、单选题 1．用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】与对应五点的横坐标相同，则五点法对应五点的横坐标， 2．函数 的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用五点法画出函数的部分图象如图所示，由图易知与y 轴最近的最高点的坐标为. 3．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】根据题意，函数，其定义域为， 由，函数为偶函数， 函数图象关于轴对称，故排除C、D； 当时，，，则，排除B. 4．若，则使函数有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则，，如下图所示： ，. 5．从函数的图象来看，当时，对于的x有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】先画出，的图象，即A与D之间的部分， 再画出的图象，如下图： 由图象可知它们有2个交点B、C， 所以当时，的x的值有2个. 6．已知函数在上恰有两个不同的零点，则的值可能为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【详解】由，可得， 因在上恰有两个不同的零点， 即函数与在上恰有两个不同的交点， 而函数在上单调递增，在上单调递减， 且 ，， 作出两函数的图象，可得. 由图可知，， 可得，故. 二、多选题 7．函数，的图像与直线（t为常数，）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABC 【详解】作出，的图像观察可知，    当或时，的图像与直线的交点个数为0； 当或或时，的图像与直线的交点个数为l； 当或时，的图像与直线的交点个数为2. 故选：ABC. 8．关于三角函数的图象，有下列命题为真命题的是（ ） A．与的图象关于轴对称； B．与的图象相同； C．与的图象关于轴对称； D．与的图象关于轴对称； 【答案】BD 【详解】对于A，为偶函数，它的图象是由图象保留的部分，然后关于轴对称得到部分所得，所以与的图象不关于轴对称，故A错误； 对于B，，，故它们图象相同，故B正确； 对于C，函数值都是非负数，函数值有正有负，所以它们图象不关于轴对称，故C错误； 对于D，，故它们图象关于轴对称，同时也重合，故D正确. 9．已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】∵，令，，令，如下图所示： 要使得函数在上有个零点，则函数在上有个不同的零点，显然， 所以，，解得．由选项可知，B、C满足题意. 三、填空题 10．函数的图象与的图象在上的交点个数为________. 【答案】 【详解】作出函数与在上的图象， 如图所示： 由图可知，两函数图象在上有个交点. 11．函数，，若方程有个不同的实数解，则的值为______. 【答案】或 【详解】当时，， 因为方程在上有三个不同的实数解， 所以，直线与函数在上的图象有三个交点，如下图所示： 由图可知，当或时，直线与函数在上的图象有三个交点， 故或. 12．函数的零点个数为______． 【答案】7 【详解】依题意求函数的零点个数，可以转化为求函数与的交点个数， ， 如图，对于函数，当时，；当时，；当时，；当时，； 所以在轴非负半轴上两个函数图像有4个交点， 当时，；当时，；所以在轴负半轴上两个函数图像有3个交点，    综上，函数的零点个数为7. 四、解答题 13．已知函数． （1）作出函数在上的图像； （2）此函数是否为周期函数？若是，求出它的最小正周期． 【答案】（1）作图见解析；（2）是周期函数，最小正周期为. 【详解】. （1）函数在上的图像如下图： （2）由图像可知，该函数是周期函数，最小正周期为. 14．用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)作图见解析 【详解】（1）解：由，列表： 描点、连线、绘图，可得函数的图象，如图所示. （2）解：由，可得，列表如下： 1 －1 描点、连线，可得函数的图象，如图所述， （3）解：列表: 0 0 1 0 -1 0 描点、连线，可得函数的图象，如图所示： 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $