三角恒等变换【9个题型】讲义-2025年暑假新高一数学常考题型归纳

2025暑假新高一数学常考题型归纳 【三角恒等变换】 总览 题型梳理 一．求两角和与差的三角函数值（共12小题） 二．两角和与差的三角函数的逆用（共8小题） 三．求二倍角的三角函数值（共8小题） 四．二倍角的三角函数的逆用（共5小题） 五．半角的三角函数（共4小题） 六．三角函数的积化和差公式（共5小题） 七．三角函数的和差化积公式（共3小题） 八．三角函数的恒等变换及化简求值（共8小题） 九．三角函数中的恒等变换应用（共7小题） 【知识点清单】 【知识点的认识】 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α＝1． （2）商数关系：tanα． 2．诱导公式 公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos _ α ，其中k∈ Z． 公式二：sin（π+α）＝﹣sin _ α ，cos（π+α）＝﹣cos _ α ，tan（π+α）＝tan α． 公式三：sin（﹣α）＝﹣sin _ α ，cos（﹣α）＝cos _ α ． 公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos _ α ． 公式五：sin（α）＝cosα ，cos（α）＝sinα． 公式六：sin（α）＝cos α ，cos（α）＝﹣sin α 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝ cos αcosβ + sin αsinβ ； （2）C（α+β）：cos（α+β）＝ cos αcosβ ﹣ sin αsinβ ； （3）S（α+β）：sin（α+β）＝ sin αcosβ + cos αsinβ ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝ sin αcosβ ﹣ cos αsinβ ； （5）T（α+β）：tan（α+β）． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）S2α：sin 2α＝2sin _ α cos _ α ； （2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α ＝2cos2α﹣1 ＝1﹣2sin2α ； （3）T2α：tan 2α． 【解题方法点拨】 诱导公式记忆口诀： 对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”． 2.半角的三角函数 【知识点的认识】 半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan；②tan． 3．三角函数的积化和差公式 【知识点的认识】 三角函数的积化和差公式： （1）sinαsinβ[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）] cosαcosβ[cos（α﹣β）+cos（α+β）] （2）sinαcosβ[sin（α+β）+sin（α﹣β）] cosαsinβ[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）] （3）tanαtanβ tanαcotβ． 4.三角函数的和差化积公式 【知识点的认识】 三角函数的和差化积公式： （1）sinα+sinβ＝2sincos sinα﹣sinβ＝2cossin （2）cosα+cosβ＝2coscos cosα﹣cosβ＝﹣2sinsin （3）cosα+sinαsin（α）cos（） cosα﹣sinαcos（α）sin（α） 题型分类 知识讲解与常考题型 一．求两角和与差的三角函数值（共12小题） 1．已知0＜α＜π，cos，则sin（α）＝（　　） A． B． C． D． 2．已知，，则（　　） A．tanα﹣3tanβ＝0 B．tanα+3tanβ＝0 C．3tanα﹣tanβ＝0 D．3tanα+tanβ＝0 3．已知，且，则（　　） A． B． C． D． 4．已知，，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 5．已知α，β均为锐角，且，，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 6．已知α为钝角，且，则（　　） A． B． C． D． 7．已知且m≠﹣1，则（　　） A． B． C． D． 8．已知sinα+3cosβ＝1，cosα﹣3sinβ＝2，则sin（α﹣β）＝（　　） A． B． C． D． 9．计算cos63°cos18°+sin63°sin18°的值为（　　） A． B． C． D． 10．若，其中α，β∈（0，π），则sinα+sinβ＝（　　） A． B． C． D． 11．已知α，β∈（0，π），且，，则α+β＝（　　） A． B． C． D． 12．已知锐角α满足，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 二．两角和与差的三角函数的逆用（共8小题） 13．已知锐角α满足，则sinα+cosα＝（　　） A． B． C． D． 14．计算：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（　　） A． B． C． D． 15．已知α，β为三角形的两个内角，，则β＝（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 16．sin318°cos162°+cos（﹣42°）cos72°的值为（　　） A． B． C． D． 17．sin130°cos170°﹣cos50°sin10°＝（　　） A． B． C． D． 18．tan200°+tan40°tan20°•tan40°＝（　　） A． B． C．1 D．﹣1 19．在△ABC中，已知，则角C＝（　　） A． B． C． D． 20．tan75°﹣tan30°﹣tan75°tan30°＝ 　 　 ． 三．求二倍角的三角函数值（共8小题） 21．已知函数f（x）＝sinx+cos（x+θ）的最大值为，则cos2θ＝（　　） A． B． C． D． 22．已知锐角α满足，则tan2α＝（　　） A． B． C． D．﹣1 23．若，则cos2α的值为（　　） A． B．. C． D．. 24．若，则sin2α＝（　　） A． B． C．或 D． 25．若，则（　　） A． B． C． D． 26．已知，则（　　） A． B． C． D． 27．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 28．已知角α终边在第二象限，且，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 四．二倍角的三角函数的逆用（共5小题） 29．已知，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 30．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 31．设a＝2sin42°cos42°，，，则（　　） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c 32．下列各式的值为的是（　　） A．sin37.5°cos7.5°﹣cos37.5°cos97.5° B． C． D． 33．若tanα＝2，则的值为（　　） A．1 B． C． D．﹣1 五．半角的三角函数（共4小题） 34．若，且，则等于（　　） A． B． C． D． 35．已知α为第一象限角，sinα，则tan（　　） A． B． C．2 D． 36．已知，则（　　） A． B． C． D． 37．已知α是第三象限角，，则 　 　 ． 六．三角函数的积化和差公式（共5小题） 38．已知角α，β满足tanα＝2，sinβ＝2cos（α﹣β）sinα，则tanβ＝（　　） A． B． C． D． 39．下列式子中正确的是（　　） A． B． C．tanα+tanβ＝tan（α+β）+tanαtanβtan（α+β） D． 40．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是（　　） A．[﹣1，1] B． C． D． 41．在△ABC中，B，则sinA•sinC的最大值是（　　） A． B． C． D． 42．已知sin（α+β）•sin（β﹣α）＝m，则cos2α﹣cos2β的值为 　 　 ． 七．三角函数的和差化积公式（共3小题） 43．已知锐角x满足sin3x﹣sinx＞0，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 44．已知，则cos2α﹣cos2β＝（　　） A． B． C． D． 45．已知sinα+sinβ，cosα+cosβ，则tan（α+β）的值为　 　 ． 八．三角函数的恒等变换及化简求值（共8小题） 46．若tanθ＝2，则（　　） A． B． C． D． 47．（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 48．化简计算的值为（　　） A． B． C． D． 49．设.若满足条件的α与β存在且唯一，则tanαtanβ＝（　　） A． B．1 C．2 D．4 50．（　　） A． B． C． D． 51．若，则（　　） A．cos（α+β）＝0 B． C． D． 52．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα+tanβ，则（　　） A．3α﹣β B．2α﹣β C．3α+β D．2α+β 53．若sin（α+β）＝cos2αsin（α﹣β），其中2α，α+β，，k∈Z，则tan（α+β）的最大值为（　　） A． B． C． D． 九．三角函数中的恒等变换应用（共7小题） 54．设函数，若函数f（x）在区间上恰有4个零点，则实数ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． 55．函数在上的值域为（　　） A．[3，4] B． C． D． 56．已知函数，则（　　） A．若函数f（x）相邻两条对称轴的距离为，则ω＝2 B．当ω＝1，时，f（x）的值域为 C．当ω＝1时，是f（x）的对称中心 D．若f（x）在内有且仅有两个零点，则5＜ω≤8 57．下列三个关于函数的命题： ①只需将函数的图象向右平移个单位即可得到f（x）的图象； ②函数f（x）的图象关于对称； ③函数f（x）在上单调递增． 其中，真命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．以上皆不对 58．已知函数，将f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象，若g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，则θ的最小值为（　　） A． B． C． D． （多选）59．关于函数，则下列选项中正确的有（　　） A．其表达式可写成 B．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴 C．f（x）在区间上单调递增 D．存在使f（x+α）＝f（x+3α）恒成立 60．已知函数，且y＝f（x）的最小正周期是4π． （1）求ω的值，并求此时y＝f（x）的对称轴； （2），求函数g（x）的单调递减区间． 课后针对训练 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，，则（    ） A． B． C． D． 9．（    ） A． B． C． D．1 10．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，若角满足，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 11．已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 12．的值为（    ） A． B． C． D． 13．设，且，则（    ） A． B． C． D． 14．化简（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 15．下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 16．已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 17．已知，则下列说法正确的是（    ） A．函数的单调递增区间是 B．若为锐角，则函数的最大值是 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．若为钝角，则函数没有最小值 18．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 19．已知，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 20．已知，，且，则 ． 21．已知 ． 22．已知，，，则 ； ． 23．若、都是锐角，且，，则 ． 四、解答题 24．已知为偶函数，求的值． 25．在中，为锐角，且，，求． 26．把下列各式化成的形式. (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025暑假新高一数学常考题型归纳 【三角恒等变换】 总览 题型梳理 一．求两角和与差的三角函数值（共12小题） 二．两角和与差的三角函数的逆用（共8小题） 三．求二倍角的三角函数值（共8小题） 四．二倍角的三角函数的逆用（共5小题） 五．半角的三角函数（共4小题） 六．三角函数的积化和差公式（共5小题） 七．三角函数的和差化积公式（共3小题） 八．三角函数的恒等变换及化简求值（共8小题） 九．三角函数中的恒等变换应用（共7小题） 【知识点清单】 【知识点的认识】 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α＝1． （2）商数关系：tanα． 2．诱导公式 公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos _ α ，其中k∈ Z． 公式二：sin（π+α）＝﹣sin _ α ，cos（π+α）＝﹣cos _ α ，tan（π+α）＝tan α． 公式三：sin（﹣α）＝﹣sin _ α ，cos（﹣α）＝cos _ α ． 公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos _ α ． 公式五：sin（α）＝cosα ，cos（α）＝sinα． 公式六：sin（α）＝cos α ，cos（α）＝﹣sin α 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝ cos αcosβ + sin αsinβ ； （2）C（α+β）：cos（α+β）＝ cos αcosβ ﹣ sin αsinβ ； （3）S（α+β）：sin（α+β）＝ sin αcosβ + cos αsinβ ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝ sin αcosβ ﹣ cos αsinβ ； （5）T（α+β）：tan（α+β）． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）S2α：sin 2α＝2sin _ α cos _ α ； （2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α ＝2cos2α﹣1 ＝1﹣2sin2α ； （3）T2α：tan 2α． 【解题方法点拨】 诱导公式记忆口诀： 对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”． 2.半角的三角函数 【知识点的认识】 半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan；②tan． 3．三角函数的积化和差公式 【知识点的认识】 三角函数的积化和差公式： （1）sinαsinβ[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）] cosαcosβ[cos（α﹣β）+cos（α+β）] （2）sinαcosβ[sin（α+β）+sin（α﹣β）] cosαsinβ[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）] （3）tanαtanβ tanαcotβ． 4.三角函数的和差化积公式 【知识点的认识】 三角函数的和差化积公式： （1）sinα+sinβ＝2sincos sinα﹣sinβ＝2cossin （2）cosα+cosβ＝2coscos cosα﹣cosβ＝﹣2sinsin （3）cosα+sinαsin（α）cos（） cosα﹣sinαcos（α）sin（α） 题型分类 知识讲解与常考题型 一．求两角和与差的三角函数值（共12小题） 1．已知0＜α＜π，cos，则sin（α）＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】由已知，利用平方关系求出sin，再求出sinα，cosα，然后将sin（）展开，将前面的值代入即可． 【解答】解：因为0＜α＜π，cos， 所以，所以sin， 所以，即， 所以sin，cosα， 则sin（α）cos． 故选：D． 【点评】本题考查平方关系，两角和与差的正弦公式等，属于中档题． 2．已知，，则（　　） A．tanα﹣3tanβ＝0 B．tanα+3tanβ＝0 C．3tanα﹣tanβ＝0 D．3tanα+tanβ＝0 【考点】求两角和与差的三角函数值；同角正弦、余弦的商为正切．版权所有 【分析】应用和差角正弦公式将题设公式展开得，，进而有，即可得． 【解答】解：因为，， 所以，， 两式相除得，3，故tanα+3tanβ＝0． 故选：B． 【点评】本题主要考查了和差角公式，同角基本关系的应用，属于基础题． 3．已知，且，则（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】根据条件关系及两角和余弦公式条件可化简为cos（α+β）＝sinβ，结合诱导公式结合余弦函数性质及角的范围可得，由此可得结论． 【解答】解：由已知可得，即cosβcosα＝sinβ+sinβsinα， 整理得cos（α+β）＝sinβ，即； 因为， 由于α+β∈（0，π），， 所以，即． 故选：C． 【点评】本题考查诱导公式和两角和的余弦公式，余弦函数的性质，属于基础题． 4．已知，，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】先应用同角三角函数关系求出，再根据两角和差余弦公式计算求解． 【解答】解：因为， 所以， 又， 则， 所以cosα＝cos[（α）]cos（α）sin（α）． 故选：B． 【点评】本题考查同角三角函数的基本关系及求两角和与差的三角函数值，属于中档题． 5．已知α，β均为锐角，且，，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】根据条件，利用平方关系求出sin（α+β），cosβ，构角α＝α+β﹣β，再利用正弦的差角公式，即可求解． 【解答】解：由题意可得0＜α+β＜π， 可得，， 所以． 故选：C． 【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式以及两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题． 6．已知α为钝角，且，则（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】根据同角三角函数平方关系求得cos（），再利用两角差正弦求解． 【解答】解：α为钝角，所以， 因为， 所以cos（）， sin（）[sin（）﹣cos（）] （）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式的应用，属于基础题． 7．已知且m≠﹣1，则（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】利用和角公式先把的分子、分母展开，再弦化切，代入已知条件即可． 【解答】解：已知且m≠﹣1， 则． 故选：C． 【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系式，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题． 8．已知sinα+3cosβ＝1，cosα﹣3sinβ＝2，则sin（α﹣β）＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】根据题意，将所给的两个等式两边平方、相加，结合同角三角函数的平方关系与两角差的正弦公式求出答案． 【解答】解：由sinα+3cosβ＝1，两边平方得sin2α+6sinαcosβ+9cos2β＝1…①， 由cosα﹣3sinβ＝2，两边平方得cos2α﹣6cosαsinβ+9sin2β＝4…②， ①+②，可得（sin2α+cos2α）+9（cos2β+sin2β）+6（sinαcosβ﹣cosαsinβ）＝5， 化简得10+6sin（α﹣β）＝5，解得． 故选：C． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题． 9．计算cos63°cos18°+sin63°sin18°的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】由两角和差余弦公式直接求解即可． 【解答】解：原式＝cos（63°﹣18°） ＝cos45° ． 故选：B． 【点评】本题考查了两角和差余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 10．若，其中α，β∈（0，π），则sinα+sinβ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】由（sinα+sinβ）2，（cosα+cosβ）2相加即可求解． 【解答】解：令sinα+sinβ＝t（t＞0）①， ∵②， ∴由①2+②2，得， 又，故．又t＞0，∴． 故选：A． 【点评】本题考查了两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，是中档题． 11．已知α，β∈（0，π），且，，则α+β＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】由已知得出，，再根据两角和的余弦公式求得，结合α+β∈（0，π）即可求解． 【解答】解：∵α，β∈（0，π），且， ∴ ∴， ∴cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ， ∵α+β∈（0，π），∴． 故选：A． 【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，是基础题． 12．已知锐角α满足，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值；同角正弦、余弦的平方和为1．版权所有 【分析】根据同角三角函数的平方关系，求出cos（α），然后根据α＝（α），运用两角和的正弦公式求出答案． 【解答】解：根据α为锐角，可知α∈（，），由，可得cos（α）， 所以sinα＝[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin． 故选：D． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题． 二．两角和与差的三角函数的逆用（共8小题） 13．已知锐角α满足，则sinα+cosα＝（　　） A． B． C． D． 【考点】两角和与差的三角函数的逆用．版权所有 【分析】利用两角和的正弦公式求得，然后根据同角三角函数的平方关系求得（sinα+cosα）2，结合α为锐角求出答案． 【解答】解：由题意得sin（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β）sin（α﹣β）， 即sin[（α+β）+（α﹣β）]，可得sin2α＝2sinαcosα， 所以（sinα+cosα）2＝sin2α+cos2α+2sinαcosα＝1， 结合α是锐角，可得sinα+cosα． 故选：C． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式等知识，属于基础题． 14．计算：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（　　） A． B． C． D． 【考点】两角和与差的三角函数的逆用．版权所有 【分析】由已知结合诱导公式及和差角公式进行化简即可求解． 【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10° ＝sin20°cos10°+cos20°sin10° ＝sin30°． 故选：A． 【点评】本题主要考查两角和的正弦公式及诱导公式的应用，属于基础题． 15．已知α，β为三角形的两个内角，，则β＝（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【考点】两角和与差的三角函数的逆用．版权所有 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到sinα、cos（α+β），再用凑角求解． 【解答】解：∵α，β为三角形的两个内角，且， ∴，， ∵，， ∴， ， ∵，α+β＜π，∴． 故选：B． 【点评】本题主要考查了和差角公式，同角基本关系的应用，属于中档题． 16．sin318°cos162°+cos（﹣42°）cos72°的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】两角和与差的三角函数的逆用；运用诱导公式化简求值．版权所有 【分析】由已知结合诱导公式及和差角公式进行化简即可求解． 【解答】解：sin318°cos162°+cos（﹣42°）cos72° ＝sin42°sin72°+cos42°cos72° ＝cos30°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了诱导公式及和差角公式的应用，属于基础题． 17．sin130°cos170°﹣cos50°sin10°＝（　　） A． B． C． D． 【考点】两角和与差的三角函数的逆用．版权所有 【分析】用诱导公式化简然后用两角和的正弦公式合并，然后由特殊角的三角函数求其值，即可解答． 【解答】解：原式＝﹣sin50°cos10°﹣cos50°sin10° ． 故选：A． 【点评】本题主要考查了和差角公式及诱导公式的应用，属于基础题． 18．tan200°+tan40°tan20°•tan40°＝（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【考点】两角和与差的三角函数的逆用．版权所有 【分析】由已知结合两角和的正切公式即可求解． 【解答】解：因为tan（20°+40°）， 则tan20°+tan40°， tan200°+tan40°tan20°•tan40°＝tan20°+tan40°tan20°•tan40° ． 故选：A． 【点评】本题主要考查了两角和正切公式的应用，属于基础题． 19．在△ABC中，已知，则角C＝（　　） A． B． C． D． 【考点】两角和与差的三角函数的逆用．版权所有 【分析】结合两角和的正切公式可求出A+B，进而可求C． 【解答】解：因为， 所以tan（A+B）， 故A+B， 则角C． 故选：A． 【点评】本题主要考查了两角和的正切公式的应用，属于基础题． 20．tan75°﹣tan30°﹣tan75°tan30°＝ 　1　 ． 【考点】两角和与差的三角函数的逆用．版权所有 【分析】根据tan45°＝tan（75°﹣30°）＝1，运用两角差的正切公式进行求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据tan45°＝tan（75°﹣30°）＝1， 可得1，整理得tan75°﹣tan30°＝1+tan75°tan30°， 所以tan75°﹣tan30°﹣tan75°tan30°＝（1+tan75°tan30°）﹣tan75°tan30°＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题． 三．求二倍角的三角函数值（共8小题） 21．已知函数f（x）＝sinx+cos（x+θ）的最大值为，则cos2θ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值；三角函数的最值．版权所有 【分析】根据两角和的正弦公式与辅助角公式，结合正弦函数的性质求得，可得，然后运用二倍角的余弦公式求出答案． 【解答】解：由题意得f（x）＝sinx+cosxcosθ﹣sinxsinθ ＝（1﹣sinθ）sinx+cosθcosx，其中， 根据正弦函数的性质，可知f（x）的最大值为， 两边平方，化简得2﹣2sinθ＝3，解得，所以． 故选：C． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系与诱导公式、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题． 22．已知锐角α满足，则tan2α＝（　　） A． B． C． D．﹣1 【考点】求二倍角的三角函数值．版权所有 【分析】根据同角三角函数的关系求出tanα，进而运用二倍角的正切公式求出答案． 【解答】解：根据，α∈（0，），可得， 所以，可得． 故选：C． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式等知识，属于基础题． 23．若，则cos2α的值为（　　） A． B．. C． D．. 【考点】求二倍角的三角函数值；两角和与差的三角函数的逆用．版权所有 【分析】根据已知条件，结合正切的两角和公式，以及弦化切公式，即可求解． 【解答】解：若， 则，解得tan， cos2α． 故选：A． 【点评】本题主要考查正切的两角和公式，以及弦化切公式，属于基础题． 24．若，则sin2α＝（　　） A． B． C．或 D． 【考点】求二倍角的三角函数值；运用诱导公式化简求值．版权所有 【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解即可． 【解答】解：已知， 则． 故选：A． 【点评】本题考查了诱导公式及二倍角的余弦公式，属基础题． 25．若，则（　　） A． B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值；运用诱导公式化简求值．版权所有 【分析】由已知结合诱导公式，二倍角公式即可求解． 【解答】解：因为，， 所以． 故选：A． 【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题． 26．已知，则（　　） A． B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值．版权所有 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值． 【解答】解：因为， 则 ＝1﹣2sin2（）＝1﹣2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二倍角公式及诱导公式的应用，属于基础题． 27．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值；运用诱导公式化简求值．版权所有 【分析】根据两角和差正弦公式及二倍角余弦公式计算求解． 【解答】解：因为， 由辅助角公式可得，， 所以cos（）＝2sin2（）﹣1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了和差角公式，诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题． 28．已知角α终边在第二象限，且，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值；任意角的三角函数的定义．版权所有 【分析】先根据终边上的点求正弦值和余弦值，再根据二倍角正弦和余弦公式计算即可． 【解答】解：角α终边在第二象限，且，则，， ，， ． 故选：C． 【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题． 四．二倍角的三角函数的逆用（共5小题） 29．已知，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 【考点】二倍角的三角函数的逆用；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】结合二倍角正弦公式，利用平方关系求解． 【解答】解：因为， 所以0＜sinα＜cosα， 则， 所以． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系的应用，属于基础题． 30．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】二倍角的三角函数的逆用．版权所有 【分析】由题意利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式即可求解． 【解答】解：因为， 所以sinα，cosα， 则． 故选：B． 【点评】本题考查了二倍角公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 31．设a＝2sin42°cos42°，，，则（　　） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c 【考点】二倍角的三角函数的逆用．版权所有 【分析】根据二倍角公式化简a，b，c，再根据特殊角的三角函数值判断a，b，c的大致范围选择即可 【解答】解：a＝2sin42°cos42°＝sin84°， ，， 因为b＝tan64°＞1＞sin84°＝a，，， 故c＜a＜b． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于中档题． 32．下列各式的值为的是（　　） A．sin37.5°cos7.5°﹣cos37.5°cos97.5° B． C． D． 【考点】二倍角的三角函数的逆用．版权所有 【分析】根据两角和的正弦公式判断A项的正误；利用二倍角的正切公式判断出B项的正误；利用二倍角的余弦公式可判断C、D两项的正误，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据sin37.5°cos7.5°﹣cos37.5°cos97.5°＝sin37.5°cos7.5°+cos37.5°sin7.5° ＝sin（37.5°+7.5°）＝sin45°，可知A项不符合题意； 根据，可知B项不符合题意； 根据 ，可知C项符合题意； 根据，可知D项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式与二倍角公式等知识，属于基础题． 33．若tanα＝2，则的值为（　　） A．1 B． C． D．﹣1 【考点】二倍角的三角函数的逆用；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】由二倍角公式可得，根据齐次式可得． 【解答】解：因为tanα＝2， 根据二倍角公式及同角基本关系可得，cos2α＝cos2α﹣sin2α，tan， 则． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系的应用，属于基础题． 五．半角的三角函数（共4小题） 34．若，且，则等于（　　） A． B． C． D． 【考点】半角的三角函数．版权所有 【分析】由平方关系、半角公式即可求解． 【解答】解：因为，， 所以， 又， 所以． 故选：D． 【点评】本题考查同角三角函数的基本关系与求半角公式的应用，为中档题． 35．已知α为第一象限角，sinα，则tan（　　） A． B． C．2 D． 【考点】半角的三角函数．版权所有 【分析】由已知结合二倍角公式及同角基本关系即可求解． 【解答】解：因为， 所以，解得或2， 因为α为第一象限角，所以，k∈Z，∈Z， 所以舍去）． 故选：D． 【点评】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养，属于基础题． 36．已知，则（　　） A． B． C． D． 【考点】半角的三角函数．版权所有 【分析】由已知结合二倍角公式进行化简即可求解． 【解答】解：因为， 所以cosθ2cos21， 所以cos， 则2cos． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题． 37．已知α是第三象限角，，则 　﹣2　 ． 【考点】半角的三角函数．版权所有 【分析】根据求出的值，再求的值． 【解答】解：因为， 所以， 因为α是第三象限角， 所以，则， 所以． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查半角的三角函数，属于基础题． 六．三角函数的积化和差公式（共5小题） 38．已知角α，β满足tanα＝2，sinβ＝2cos（α﹣β）sinα，则tanβ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的积化和差公式；诱导公式．版权所有 【分析】根据三角函数的积化和差公式，化简后可得到sin（2α﹣β）＝0，所以有β＝2α+kπ，（k∈Z），再根据正切的诱导公式及二倍角公式，即可得到答案． 【解答】解：已知角α，β满足tanα＝2，sinβ＝2cos（α﹣β）sinα， 由三角函数积化和差公式，得： ， 所以sin（2α﹣β）＝0，即：β＝2α+kπ，（k∈Z）， 所以：． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 39．下列式子中正确的是（　　） A． B． C．tanα+tanβ＝tan（α+β）+tanαtanβtan（α+β） D． 【考点】三角函数的积化和差公式；三角函数的和差化积公式．版权所有 【分析】利用两角和与差的正弦展开化简可判断A；利用两角和与差的正弦、余弦展开化简可判断B；举反例可判断C；利用两角和的正弦、余弦展开，结合正弦、余弦的二倍角公式化简可判断D． 【解答】解：对于A， cosαsinβ， 则，故A错误； 对于B， ＝sinθ﹣sinφ， 则不成立，故B错误； 对于C，若，则， ， ∵，此时tanα+tanβ≠tan（α+β）+tanαtanβtan（α+β），故C错误； 对于D， ，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的积化和差与和差化积公式，考查运算求解能力，是中档题． 40．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是（　　） A．[﹣1，1] B． C． D． 【考点】三角函数的积化和差公式．版权所有 【分析】先利用和差化积公式对cosAsinC展开，化简整理求得cosAsinCsin（A﹣C），进而利用正弦函数的性质求得sin（A﹣C）的范围，进而求得cosAsinC的范围． 【解答】解：cosAsinC[sin（A+C）﹣sin（A﹣C）][sin（π﹣B）﹣sin（A﹣C）]sin（A﹣C） 因为﹣1≤sin（A﹣C）≤1 所以sin（A﹣C） 即cosAsinC的取值范围为 故选：C． 【点评】本题主要考查了和差化积公式的应用，正弦函数的值域问题等．考查了学生对三角函数基础知识的掌握和灵活运用． 41．在△ABC中，B，则sinA•sinC的最大值是（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的积化和差公式．版权所有 【分析】化简可得sinAsinCsin（2A），由0，可求2A，从而可得sinA•sinC的最大值． 【解答】解：sinAsinC＝sinAsin（π﹣A﹣B） ＝sinAsin（A） ＝sinA（cosAsinA） sin2Acos2A sin（2A） ∵0 ∴2A ∴2A时，sinAsinC取得最大值． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角函数的积化和差公式的应用，三角函数最值的求法，属于基础题． 42．已知sin（α+β）•sin（β﹣α）＝m，则cos2α﹣cos2β的值为 　m　 ． 【考点】三角函数的积化和差公式．版权所有 【分析】利用和差化积公式的逆运算对原式进行化简可得cos2α﹣cos2β的值． 【解答】解：由已知得：sin（α+β）•sin（β﹣α）cos2α﹣cos2β＝m 故答案为：m 【点评】考查学生灵活运用和差化积公式进行化简求值．是一道基础题． 七．三角函数的和差化积公式（共3小题） 43．已知锐角x满足sin3x﹣sinx＞0，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的和差化积公式．版权所有 【分析】根据题意，利用和差化积公式得到sin3x﹣sinx＝2cos2xsinx，然后根据余弦函数性质解不等式，即可得到本题的答案． 【解答】解：由和差化积公式，可得sin3x﹣sinx＝2cossin2cos2xsinx， 不等式sin3x﹣sinx＞0等价于2cos2xsinx＞0， 根据x是锐角，可得sinx＞0，故求cos2x＞0即可， 所以，解得， 取k＝0，得，结合x为锐角，可得，B项正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质等知识，属于基础题． 44．已知，则cos2α﹣cos2β＝（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的和差化积公式；二倍角的三角函数的逆用．版权所有 【分析】先用降幂公式，再用和差化积公式即可． 【解答】解：已知， 则 ． 故选：D． 【点评】本题考查了二倍角公式，重点考查了和差化积公式，属基础题． 45．已知sinα+sinβ，cosα+cosβ，则tan（α+β）的值为　　 ． 【考点】三角函数的和差化积公式．版权所有 【分析】根据三角函数的和差化积把已知条件化简得到两个式子，然后把两式相除得到的正切值，然后把所求的式子利用二倍角公式化简，代入即可求出值． 【解答】解：由，得， 由，得， 两式相除，得， 则 故答案为： 【点评】考查学生灵活运用三角函数的和差化积公式化简求值，灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，学生做题时应利用整体代入的方法求值． 八．三角函数的恒等变换及化简求值（共8小题） 46．若tanθ＝2，则（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】利用二倍角公式和同角三角函数间的基本关系求解． 【解答】解： cosθ（sinθ﹣cosθ） ， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题． 47．（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数．版权所有 【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值． 【解答】解：． 故选：D． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 48．化简计算的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．版权所有 【分析】由三角恒等变换求解即可． 【解答】解：原式 ． 故选：B． 【点评】本题考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 49．设.若满足条件的α与β存在且唯一，则tanαtanβ＝（　　） A． B．1 C．2 D．4 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．版权所有 【分析】先由tanα＝mtanβ，可得sinαcosβ＝mcosαsinβ，再根据，结合两角差的正弦公式求出sinαcosβ，cosαsinβ，进而可求出sin（α+β），再根据唯一性可求出m，再求出tan（α﹣β），结合两角差的正切公式求出tanβ，tanα，即可得解． 【解答】解：由tanα＝mtanβ，得，即sinαcosβ＝mcosαsinβ， 所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以α+β∈（0，π）， 因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一， 所以， 所以m＝4，经检验符合题意， 所以tanα＝4tanβ， 因为，所以α＞β，所以， 则，解得， 所以tanαtanβ＝4tan2β＝1． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题． 50．（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．版权所有 【分析】利用三角函数的恒等变换化简求值即可． 【解答】解：原式． 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中等题． 51．若，则（　　） A．cos（α+β）＝0 B． C． D． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．版权所有 【分析】根据α+2β＝（α+β）+β，利用两角和与差的余弦公式化简已知等式，推导出sinαsinβ﹣cosαcosβ＝0，进而算出cos（α+β）＝0，可得答案． 【解答】解：因为cos（α+2β）＝cos[（α+β）+β]＝cos（α+β）cosβ﹣sin（α+β）sinβ， 所以，即， 可得0， 所以0，即0，去分母得sinαsinβ﹣cosαcosβ＝0， 可得cos（α+β）＝﹣（sinαsinβ﹣cosαcosβ）＝0，A项符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式等知识，考查了计算能力，属于基础题． 52．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα+tanβ，则（　　） A．3α﹣β B．2α﹣β C．3α+β D．2α+β 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．版权所有 【分析】由商数关系和和差角公式计算可得sin（α+β）＝cosα，由诱导公式结合角的范围即可求得． 【解答】解：因为tanα+tanβ， 所以， 所以sin（α+β）＝cosα， 因为α∈（0，），β∈（0，），所以α+β∈（0，π）， 又因为sin（α+β）＝cosα，所以或， 即或（舍），故． 故选：D． 【点评】本题考查商数关系和和差角公式，诱导公式等，属于基础题． 53．若sin（α+β）＝cos2αsin（α﹣β），其中2α，α+β，，k∈Z，则tan（α+β）的最大值为（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；正弦函数的定义域和值域．版权所有 【分析】经过换元，二倍公式，降幂公式得到，然后利用正弦函数的有界性求出最值 【解答】解：由题意，设，则， 所以sin（α+β）＝cos2αsin（α﹣β），即sinx＝cos（x+y）siny， 所以sinx＝（cosxcosy﹣sinxsiny）siny＝cosxcosysiny﹣sinxsin2y， 所以cosxcosysiny﹣sinxsin2y﹣sinx＝cosxcosysiny﹣sinx（1+sin2y）＝0， 因为α+βkπ，k∈Z，所以cosx≠0， 将方程两边除以cosx得cosysiny﹣tanx（1+sin2y）＝0， 所以tanx， 令2y＝θ，k＝tanx， 所以k，则sinθ＝k（3﹣cosθ）， 所以3k＝kcosθ+sinθsin（θ+φ）， 其中tanφ＝k，又sin（θ+φ）≤1， 所以3k，解得k， 所以tan（α+β）的最大值为． 故选：D． 【点评】本题考查了三角函数的求值运算应用问题，是中档题． 九．三角函数中的恒等变换应用（共7小题） 54．设函数，若函数f（x）在区间上恰有4个零点，则实数ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数中的恒等变换应用．版权所有 【分析】运用三角恒等变换公式化简可得f（x）＝sin（ωx），根据的取值范围，运用正弦函数的性质建立关于ω的不等式，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：由题意得f（x）（1+cosωx）sinωx， 设，由，可得，即， 因为f（x）在区间上恰有4个零点，sint＝0在区间（，）上有4个根， 结合正弦函数的性质，可得，解得． 故选：C． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题． 55．函数在上的值域为（　　） A．[3，4] B． C． D． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．版权所有 【分析】由f（x）＝﹣2sin2x+3sinx+2，令t＝sinx，转化为二次函数求解． 【解答】解：f（x）＝﹣2sin2x+3sinx+2， 令t＝sinx，由，得，f（x）变为y＝﹣2t2+3t+2， 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减， 当时，时，ymin＝3，所以f（x）值域为． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，属于中档题． 56．已知函数，则（　　） A．若函数f（x）相邻两条对称轴的距离为，则ω＝2 B．当ω＝1，时，f（x）的值域为 C．当ω＝1时，是f（x）的对称中心 D．若f（x）在内有且仅有两个零点，则5＜ω≤8 【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性．版权所有 【分析】利用辅助角公式可得，根据周期公式以及函数图象可判断A错误，结合正弦函数图象性质可得B正确，将代入检验可得C错误，根据整体代换法以及正弦函数图象性质，结合零点个数限定出不等式，解得5≤ω＜8，可得D错误． 【解答】解：易知， 对于A，若函数f（x）相邻两条对称轴的距离为，即可得，则ω＝1，A错误； 对于B，当ω＝1时，， 当时，， 又， 所以f（x）的值域为，即B正确； 对于C，当ω＝1时，，将代入检验可得， 显然不是f（x）的对称中心，即C错误； 对于D，若，可得， 若f（x）在内有且仅有两个零点，可得，解得5≤ω＜8，因此D错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题． 57．下列三个关于函数的命题： ①只需将函数的图象向右平移个单位即可得到f（x）的图象； ②函数f（x）的图象关于对称； ③函数f（x）在上单调递增． 其中，真命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．以上皆不对 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性．版权所有 【分析】对于①，利用三角恒等变换得到，利用左加右减得到平移后的解析式，得到①错误；对于②，计算出，②错误；对于③，求出，由于y＝sint在上单调递增，得到③正确． 【解答】解：对于①，f（x）＝sin（2x）+sin2x sin2xcos2x+sin2x ， g（x）sin2x的图象向右平移个单位得到，①错误； 对于②，f（）sin0，故图象不关于对称，②错误； 对于③，时，， 由于y＝sint在上单调递增， 故在上单调递增，③正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题． 58．已知函数，将f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象，若g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，则θ的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】利用诱导公式及辅助角公式化简f（x）解析式，利用图象的平移变换可得g（x），由f（﹣x）＝g（x），即可求解θ的最小值． 【解答】解：函数 ＝cos（2x）+sin（2x） ， 则g（x）， 因为f（x）与g（x）关于y轴对称，则f（﹣x）＝g（x）， 所以，所以2kπ，k∈Z， 所以θkπ，k∈Z，因为θ＞0， θ的最小值为． 故选：C． 【点评】本题主要考查三角恒等变换的应用，考查运算求解能力，属于中档题． （多选）59．关于函数，则下列选项中正确的有（　　） A．其表达式可写成 B．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴 C．f（x）在区间上单调递增 D．存在使f（x+α）＝f（x+3α）恒成立 【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的单调性；余弦函数的对称性．版权所有 【分析】根据降幂公式、辅助角公式化简f（x），结合余弦型函数的对称性、单调性逐一判断即可判断ABC选项；假设其存在，再根据f（x+α）＝f（x+3α）解方程即可判断； 【解答】解：f（x）sin2xsin2x， 对于A，cos（2x），故A错误； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，当时，有， 因为函数y＝cosx在上单调递增且， 所以f（x）在区间上单调递增，故C正确； 对于D，存在，使f（x+α）＝f（x+3α）恒成立，即存在，使得， 所以，或， 即或， 若，显然f（x+α）＝f（x+3α）不恒成立； 若，虽满足f（x+α）＝f（x+3α）恒成立， 但此时不存在这样的整数k，使得，故D错误． 故选：BC． 【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题． 60．已知函数，且y＝f（x）的最小正周期是4π． （1）求ω的值，并求此时y＝f（x）的对称轴； （2），求函数g（x）的单调递减区间． 【考点】三角函数中的恒等变换应用．版权所有 【分析】（1）由二倍角的正弦公式化简得，结合三角函数的周期公式求出ω，可得，再利用正弦函数的对称性求出答案； （2）由（1）的结论求出g（x）表达式，然后利用诱导公式、二倍角的正弦公式与辅助角公式，化简可得，再运用正弦函数的单调性解出g（x）的单调递减区间． 【解答】解：（1）由题意得， 根据f（x）的最小正周期是4π， 可得，解得，所以． 令，k∈Z，解得x＝（2k+1）π，k∈Z， 所以f（x）图象的对称轴为x＝（2k+1）π，k∈Z； （2）由（1）可得 cosxsincoscosxsinx （sinxcoscosxsin）sin（x）． 令，解得， 所以函数g（x）的单调递减区间为，k∈Z． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题． 课后针对训练 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，，则（    ） A． B． C． D． 9．（    ） A． B． C． D．1 10．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，若角满足，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 11．已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 12．的值为（    ） A． B． C． D． 13．设，且，则（    ） A． B． C． D． 14．化简（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 15．下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 16．已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 17．已知，则下列说法正确的是（    ） A．函数的单调递增区间是 B．若为锐角，则函数的最大值是 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．若为钝角，则函数没有最小值 18．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 19．已知，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 20．已知，，且，则 ． 21．已知 ． 22．已知，，，则 ； ． 23．若、都是锐角，且，，则 ． 四、解答题 24．已知为偶函数，求的值． 25．在中，为锐角，且，，求． 26．把下列各式化成的形式. (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A A A C C B A D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 C D A C ABD BD BC ABD AD 1．B 【分析】由诱导公式及正弦和角公式逆用可求值. 【详解】 . 故选：B. 2．C 【分析】利用余弦差角公式即可求解. 【详解】因为，都是锐角，所以，则，． 所以． 故选：C 3．A 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 4．A 【分析】将和平方后相加，结合已知值，建立方程求解. 【详解】令①， ∵②， 由①2＋②2，得， 又，∴． ∵，∴t＞0，∴． 故选：A. 5．A 【分析】法一：由二倍角余弦公式有，即可得；法二：由及二倍角余弦公式，即可得. 【详解】法一：由，则， 法二：由，则， . 故选：A． 6．C 【分析】利用同角的平方公式和正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由为第二象限角，且，可得， 再由正弦的二倍角公式得， 故选：C. 7．C 【分析】利用和角的正切公式可得，结合角的范围即得答案. 【详解】由已知可得：， 所以， 又，则，故. 故选：C. 8．B 【分析】化简得出，化简得出，求出，得到的值，即可求出的值. 【详解】由题意， ∵， ∴ 又∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 9．A 【分析】应用两角和余弦公式计算求解. 【详解】， 故选：A. 10．D 【分析】根据角的终边所经过的点计算角的正弦值和余弦值，根据的余弦值计算其正弦值，最后将所有已知量代入两角差的余弦公式计算即可. 【详解】依题意，，， 由可知， 则或. 故选：D. 11．C 【分析】根据同角关系，结合余弦的和角公式即可代入求解. 【详解】由可得，， 由，得，， 故， 故选：C 12．D 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 13．A 【分析】根据两角和的余弦公式、二倍角的正弦公式化简后，由正余弦函数的性质可得，即可得解. 【详解】因为， 所以， 则． 因为，， 所以只有时成立，解得， 故，． 故选：A 14．C 【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式化简所求代数式，可得结果. 【详解】 . 故选：C. 15．ABD 【分析】对于A利用诱导公式化简计算即可判断，对于B由二倍角公式计算即可判断，对于C利用辅助角公式化简计算即可判断，对于D利用二倍角的正切公式计算即可判断. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C: ，故C错误； 对于D：，故D正确． 故选：ABD. 16．BD 【分析】对于A，由两角和的余弦公式、商数关系即可验算；对于B，直接由两角差的余弦公式验算即可；对于C，首先得，，然后直接验算即可；对于D，由，即可得解. 【详解】对于A，因为，， 所以， 解得，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，为锐角，所以， 又因为，所以，所以， ，故C错误； 对于D，因为，为锐角，所以， 又因为，所以只能， 因为，解得，故D正确. 故选：BD. 17．BC 【分析】利用三角恒等变换得，应用正弦型函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】 ， A：令，得，错； B：当时，，此时函数的最大值是，对； C：当时，，此时函数取到最大值，故直线是函数图象的一条对称轴，对； D：当时，，此时函数的最小值是，错. 故选：BC 18．ABD 【分析】利用二倍角的余弦公式化简判断A，利用两角差的正切公式化简判断B，结合诱导公式，利用两角差的余弦公式求解判断C，通分利用辅助角公式、二倍角公式求解判断D. 【详解】对于A，由二倍角的余弦公式得，故A正确， 对于B，由两角差的正切公式得，故B正确， 对于C，由题意结合两角差的余弦公式得，故C错误， 对于D，由诱导公式得， 可得，故D正确. 故选：ABD 19．AD 【分析】A选项，利用同角三角函数关系和正弦和角公式得到；B选项，计算出，展开后代入求解；C选项，得到，结合角的范围得到；D选项，在C基础上，得到，结合求出. 【详解】A选项，由，得， 所以，则， 所以，A正确； B选项，由，得， 即，又， 解得，B错误； C选项，， 又，故，所以，C错误； D选项，由，得， 所以， 与联立，得，D正确. 故选：AD. 20．/ 【分析】利用和差公式化简可得，即，再根据同角三角函数求值即可. 【详解】， ， 联立得， 由，得， 可得，， 所以或（舍）． 故答案为： 21． 【分析】应用两角和的正切公式化简计算求解. 【详解】. 故答案为：. 22． 3 /1.2 【分析】第一空：先求出，再由的两角差的正切公式求解；第二空：由诱导公式及三角恒等变换化简为，进行求解． 【详解】因为，，则， 所以， 则； ． 故答案为：3；. 23． 【分析】利用同角三角函数的基本关系计算，由，利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】由题意有，所以，又，， 所以， 所以 ，又，所以， 故答案为：. 24． 【分析】先整理得，进而可得，即得. 【详解】 因为是偶函数，所以， 所以． 25．． 【分析】根据的三角函数值，结合为锐角判断出为钝角，再利用同角平方关系和两角差的余弦公式求解. 【详解】依题意，所以， ，则或， 因为为锐角，知为钝角． ，， ． 又，，从而， 所以． 26．(1) (2) (3)且 (4)且 (5) (6) (7) 【分析】（1）（2）（3）（4）均可根据辅助角公式（其中）直接转化即可； （5）先利用倍角公式将解析式进行降幂处理，再结合辅助角公式即可转化的形式； （6）先利用两角和与差的正弦公式将解析式转化成形式再利用辅助角公式进行转化即可； （7）先利用两角和的正弦公式将解析式中的转化成形式，再利用利用倍角公式将得到的解析式中的二次项进行降幂处理得到一次项，再将得到的一次项部分根据辅助角公式进行转化即可得解. 【详解】（1）因为，所以. （2）. （3）因为，所以， 其中满足，. （4）因为，所以， 其中满足，. （5），即. （6） . （7） . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$