第19讲 用二分法求方程的近似解（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第19讲 用二分法求方程的近似解 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断二分法的适用条件 题型2 二分法的具体步骤的辨析 题型3 用二分法确定零点（根）所在的区间 题型4 二分法迭代次数的确定 题型5 用二分法求零点近似值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二分法 精确度 1. 理解概念：通过实例理解二分法概念及适用条件，体会逐步逼近思想. 2. 掌握步骤：提炼并掌握二分法一般步骤，能借助计算工具求解. 3. 体会算法：感受精确与近似的统一，初步形成程序化算法思想. 4. 提升素养：在概念与计算中，培养数学抽象、逻辑推理及运算素养. 学习重点：（1）概念与条件：理解二分法定义，明确仅适用于连续且变号的函数. （2）步骤与应用：掌握定区间、求中点、判精度等标准化步骤并借助工具计算. 学习难点：（1）精确度理解：明确区间长度小于给定精确度时即可停止，并取端点为近似值. （2）算法思想建立：理解循环体中区间更新的逻辑及循环结束条件的判断. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二分法 1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、二分法要点辨析： （1）二分法的求解原理是函数零点存在定理； （2）函数图象在零点附近连续不断； （3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反， 比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解． 知识点02 二分法求零点近似值 1、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）； 否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 2、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即； “精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位， 如计算，精确到0.01，即0.33 （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分； 此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 题型1 判断二分法的适用条件 【例1】（1）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知函数的零点为，而在零点左右两侧的函数值符号都为正，不是异号的，故不能用二分法求函数的零点； 而选项A、B、D中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，可以用二分法求函数的零点. （2）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A. 函数无零点，故错误； B.函数有零点1，当时， ，当 时， ，x=1的两侧同号，不能用二分法，故错误； C. 由图象知：两个零点的两侧函数值异号，能用二分法，故正确； D.由图象知：两个零点-1，2的两侧的函数值同号，不能用二分法，故错误. 【方法总结】 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是： 其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点. 因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用. 【变式1-1】观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图象可知，BD选项中函数无零点，AC选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点. 题型2 二分法的具体步骤的辨析 【例2】用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，显然函数图象是连续的， 则有，，，，， 所以，，，， 故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误. 【方法总结】 二分法的具体步骤的辨析： （1）确定初始区间，确保两端点函数值符号相反。 （2）计算区间中点，并求出中点对应的函数值。 （3）比较符号，保留函数值异号的半区间为新区间。 （4）判断区间长度是否小于精确度，是则停止，否则重复取中点与缩区间的迭代过程。 【变式2-1】若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点________. 【答案】 【详解】设， 则，， ∴第一次取区间的中点， ，∴，∴的零点所在的区间为， ∴第二次取区间的中点， ，∴，∴的零点所在的区间为， ∴第三次取区间的中点. 题型3 用二分法确定零点（根）所在的区间 【例3】用二分法求方程 在 上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（    ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】设，则， ，第一次取，有， 故第二次取，有， 故此时可确定近似解所在区间为． 【方法总结】 用二分法确定零点所在区间的方法如下： 首先，确定一个初始区间，并验证函数在该区间两端点的值异号。 接着，求出该区间的中点并计算对应的函数值。 然后，根据中点函数值与端点函数值的符号关系，保留函数值异号的半个区间作为新的区间。 最后，不断重复上述“取中点、判符号、缩区间”的步骤，直到区间长度满足给定的精确度要求，从而逐步逼近零点。 【变式3-1】用二分法求方程在上的近似解，取中点，则下一个有根区间是___． 【答案】 【详解】令， ， ， ， ，，在区间上有零点， 即的下一个有根区间为. 题型4 二分法迭代次数的确定 【例4】用二分法求函数在区间上的零点，要求误差不超过0.01时，计算中点函数值的次数最少为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】根据题意，原来区间的长度等于2，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 则经过n次操作后，区间的长度为， 令，即，计算中点函数值的次数最少为8. 【方法总结】 二分法迭代次数确定的方法： 方法一：通过误差限公式确定， 设初始区间长度为，目标误差限为，则迭代次数需满足 ，实际应用中，将计算结果向上取整，即可得到满足精度要求的最少迭代次数。 方法二：根据不断重复“取中点、判符号、缩区间”的步骤，每一次区间计算长度，第一次区间长度小于等于精确度时，计算重复的次数，从而可确定二分法的迭代次数. 【变式4-1】已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分（    ） A．8次 B．9次 C．10次 D．11次 【答案】D 【详解】设对区间至少二等分n次，此时区间长度为2， 则第n次二等分后区间长为， 依题意得，所以 ，， 所以. 题型5 用二分法求零点近似值 【例5】某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据： x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5 0.0567 0.1460 0.3284 则下列说法正确的是（    ） A．1.25是满足精确度为0.1的近似值 B．1.5是满足精确度为0.1的近似值 C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D．1.375是满足精确度为0.05的近似值 【答案】D 【详解】因为 ， 且，故AB错误； 因为，，且，故D正确； 因为，且故C错误； 【方法总结】 利用二分法求方程的近似解的步骤 (1) 构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间； (2) 利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M； (3) 区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 【变式5-1】若函数的一个正数零点附近的函数值在用二分法逐次计算时，可参考数据如下表:那么方程的一个近似解精确到为________． 【答案】 【详解】显然是定义域在R上的连续函数，根据函数零点(或方程的解)的二分法近似求法原理， 第1次操作：，有零点的区间长度为； 第2次操作：， 有零点的区间长度为； 第3次操作：， 有零点的区间长度为； 第4次操作：， ，有零点的区间长度为， 此时区间的长度小于精确度；则方程满足要求的近似解 . 一、单选题 1．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点，所以选项A中函数不能用二分法求零点． 2．用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， ， 所以在上有唯一零点，即，故， 所以方程的根落在区间上. 3．已知函数的部分函数值如下表所示：那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（    ） x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6321 0.2776 0.0897 A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7 【答案】B 【分析】根据函数的单调性及表格得，从而可求解. 【详解】易知在上单调递增， 由表格得，且， ∴函数零点在， ∴一个近似值为0.57． 4．用二分法求函数在区间内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为区间的长度为1，经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次二分法的操作，区间的长度变为， 由，解得. 5．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为． 6．一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】对于，函数图象不连续且不存在零点，但在和上函数值符号不同， 所以不能用二分法判断零点，否则会得到矛盾结果，而不与轴相切； 若函数与x轴相切，即函数图象只在轴的一侧，故函数值恒正或恒负，但存在零点， 所以不能用二分法判断零点； 综上，一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的必要不充分条件. 二、多选题 7．用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】第二次所取的区间可能为，第三次所取的区间可能为，． 8．下列函数零点能用二分法求解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于B选项，在单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于C选项，恒成立，所以不能用二分法求解； 对于D选项，，在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解. 9．某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（   ） A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58 【答案】BC 【详解】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知， 方程的唯一近似解在，，，内， 又精确度0.1， 所以方程的近似解（精确度0.1）可取为，. 三、填空题 10．已知函数f（x）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________，________.    【答案】4，3 【详解】图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4； 左右函数值异号的零点有3个， 所以用二分法求解的个数为3． 11．小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为___________. 【答案】 【详解】设，则，， ，；，， 故近似解所在的区间为. 12．用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为______. （参考数据：，，，.） 【答案】1.8 【分析】根据零点存在性定理结合二分法分析求解. 【详解】由题意可知：， ， 又因为函数在上连续， 所以函数在区间上有零点，约为. 13．已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】由题得的定义域为， 因为，当时，， 当且仅当时等号成立，故时不能用二分法求函数零点； 因为， 又当时，， 当且仅当时等号成立， 若要用二分法求的零点，需满足，所以， 四、解答题 14．求方程的实数解（精确到0.1）. 【答案】 【详解】由（1）可知方程对应的函数在上单调递增，方程的根，即为函数的零点 所以通过二分法就可求出函数的零点，， 所以在区间上进行二分法计算. 所以在区间上有零点. 所以在区间上有零点. 所以在区间上有零点. 因为精确度为， 所以对应方程的解为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 用二分法求方程的近似解 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断二分法的适用条件 题型2 二分法的具体步骤的辨析 题型3 用二分法确定零点（根）所在的区间 题型4 二分法迭代次数的确定 题型5 用二分法求零点近似值 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二分法 精确度 1. 理解概念：通过实例理解二分法概念及适用条件，体会逐步逼近思想. 2. 掌握步骤：提炼并掌握二分法一般步骤，能借助计算工具求解. 3. 体会算法：感受精确与近似的统一，初步形成程序化算法思想. 4. 提升素养：在概念与计算中，培养数学抽象、逻辑推理及运算素养. 学习重点：（1）概念与条件：理解二分法定义，明确仅适用于连续且变号的函数. （2）步骤与应用：掌握定区间、求中点、判精度等标准化步骤并借助工具计算. 学习难点：（1）精确度理解：明确区间长度小于给定精确度时即可停止，并取端点为近似值. （2）算法思想建立：理解循环体中区间更新的逻辑及循环结束条件的判断. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二分法 1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、二分法要点辨析： （1）二分法的求解原理是函数零点存在定理； （2）函数图象在零点附近连续不断； （3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反， 比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解． 知识点02 二分法求零点近似值 1、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）； 否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 2、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即； “精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位， 如计算，精确到0.01，即0.33 （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分； 此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 题型1 判断二分法的适用条件 【例1】（1）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． （2）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是： 其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点. 因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用. 【变式1-1】观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 题型2 二分法的具体步骤的辨析 【例2】用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 二分法的具体步骤的辨析： （1）确定初始区间，确保两端点函数值符号相反。 （2）计算区间中点，并求出中点对应的函数值。 （3）比较符号，保留函数值异号的半区间为新区间。 （4）判断区间长度是否小于精确度，是则停止，否则重复取中点与缩区间的迭代过程。 【变式2-1】若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点________. 题型3 用二分法确定零点（根）所在的区间 【例3】用二分法求方程 在 上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（    ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 【方法总结】 用二分法确定零点所在区间的方法如下： 首先，确定一个初始区间，并验证函数在该区间两端点的值异号。 接着，求出该区间的中点并计算对应的函数值。 然后，根据中点函数值与端点函数值的符号关系，保留函数值异号的半个区间作为新的区间。 最后，不断重复上述“取中点、判符号、缩区间”的步骤，直到区间长度满足给定的精确度要求，从而逐步逼近零点。 【变式3-1】用二分法求方程在上的近似解，取中点，则下一个有根区间是___． 题型4 二分法迭代次数的确定 【例4】用二分法求函数在区间上的零点，要求误差不超过0.01时，计算中点函数值的次数最少为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【方法总结】 二分法迭代次数确定的方法： 方法一：通过误差限公式确定， 设初始区间长度为，目标误差限为，则迭代次数需满足 ，实际应用中，将计算结果向上取整，即可得到满足精度要求的最少迭代次数。 方法二：根据不断重复“取中点、判符号、缩区间”的步骤，每一次区间计算长度，第一次区间长度小于等于精确度时，计算重复的次数，从而可确定二分法的迭代次数. 【变式4-1】已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分（    ） A．8次 B．9次 C．10次 D．11次 题型5 用二分法求零点近似值 【例5】某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据： x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5 0.0567 0.1460 0.3284 则下列说法正确的是（    ） A．1.25是满足精确度为0.1的近似值 B．1.5是满足精确度为0.1的近似值 C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D．1.375是满足精确度为0.05的近似值 【方法总结】 利用二分法求方程的近似解的步骤 (1) 构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间； (2) 利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M； (3) 区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 【变式5-1】若函数的一个正数零点附近的函数值在用二分法逐次计算时，可参考数据如下表:那么方程的一个近似解精确到为________． 一、单选题 1．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   2．用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的部分函数值如下表所示：那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（    ） x 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6321 0.2776 0.0897 A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7 4．用二分法求函数在区间内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 6．一个函数不能用二分法求零点是这个函数的图象与x轴相切的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 8．下列函数零点能用二分法求解的是（    ） A． B． C． D． 9．某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（   ） A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58 三、填空题 10．已知函数f（x）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________，________. 11．小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为___________. 12．用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为______. （参考数据：，，，.） 13．已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 四、解答题 14．求方程的实数解（精确到0.1）. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $