第17讲 对数函数（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第17讲 对数函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 对数函数有关的定义域、值域问题 题型2 对数型函数过定点问题 题型3 解对数型不等式 题型4 反函数及其性质应用 题型5 对数函数性质的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 对数函数 反函数 1. 理解概念与图象：经历作图过程，掌握对数函数图象画法及对称作图法，发展直观想象素养. 2. 探究并掌握性质：通过图象观察与代数验证，归纳对数函数的定义域、值域、定点及单调性等核心性质. 3. 理解反函数概念：理解其定义域与值域互换及图象对称性. 4. 熟练应用性质：能利用单调性比较对数式大小，并解决简单的对数不等式及实际问题. 5. 提升核心素养：类比指数函数研究路径，体会数形结合与分类讨论思想，提升数学抽象与逻辑推理素养. 学习重点：（1）图象与性质：掌握对数函数图象特征，准确理解其定义域、值域、定点及单调性. （2）性质的简单应用：能运用对数函数的单调性比较大小，解决简单的对数型函数问题. 学习难点：（1）单调性的代数证明：学生用严谨的代数证明时，逻辑推理能力面临挑战. （2）底数 a的分类讨论：理解底数取值对图象和单调性的决定作用，在底数不确定时能自觉分类讨论. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 对数函数的概念 1.对数函数的概念： 函数 ( ，且 ) 叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为. 2、判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如，且系数为1；（2）底数满足，且 ；（3）真数是x而不是x的函数；（4）整体只有一项；（5）定义域为. 例如， ， 都不是对数函数，可称为对数型函数． 3、两种特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数 . 即时即练 下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 【方法总结】 判断一个函数是对数函数的方法：“四个必须” （1）系数必须为1：对数符号 前面的系数必须是1，不能有其他常数倍数. （2）底数必须合规：底数 必须是一个大于0且不等于1的常数，不能含有自变量 . （3）真数必须纯粹：对数的真数位置只能有自变量 本身，不能是 的代数式（如 或 ）. （4）定义域必须明确：函数的定义域必须是 ，即自变量 必须严格大于0. 知识点02 对数函数的图象与性质 1、对数函数的图象与性质如下表： a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 （0，＋∞） 值域 R 过定点 过定点（1，0），即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是（0，＋∞）上的增函数 是（0，＋∞）上的减函数 2、底数a对函数图象的影响 (1) 底数 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当 时，图象呈上升趋势；当 时，图象呈下降趋势； (2) 函数 与 ( ，且 ) 的图象关于 轴对称； (3) 底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论 还是 ，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大. 即时即练 函数的图象如图所示，则a的值可以是（   ） A． B．2 C．e D． 【答案】A 【详解】因为函数的图象是单调递减的，所以. 【方法总结】 判断对数函数图象的方法： 对数函数图象恒过点，函数定义是，即函数图象恒在y轴的右方，当时，图象从左至右呈下降趋势（函数单调递减），当时，图象从左至右呈上升趋势（函数单调递增）. 知识点03 反函数 1.定义：例如对数函数 是指数函数 的反函数. 2.反函数的性质 (1) 互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称； (2) 若函数 的图象上有一点 ，则点 必在其反函数的图象上，反之也成立； (3) 互为反函数的两个函数的单调性相同； (4) 反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域； (5) 单调函数必有反函数. 题型1 对数型函数有关的定义域、值域 【例1】（1）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. （2）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：令，，则在上单调递增， 又，，所以， 又在上单调递增， 所以，即. 【方法总结】 1、求定义域：条件1：对数的真数恒大于0；条件2：. 2、求值域：对于形如 的复合函数，其值域（最值）的求解步骤如下： （1）分解成两个函数； （2）求的定义域； （3）求的取值范围； （4）利用的单调性求解最值（值域）. 【变式1-1】函数的定义域为________． 【答案】 【详解】要使函数有意义， 只需，解得且， 所以函数的定义域为. 【变式1-2】已知函数，求在上的值域. 【答案】 【详解】令，当时，， 故，由于在上单调递增， 故， 由复合函数单调性可知，在上单调递增， 故. 题型2 对数型函数过定点问题 【例2】函数（，）的图象过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，此时，故定点的坐标为. 【方法总结】 对数型函数 过定点问题的解法： ① 令真数为 1，即令=1，解方程得出定点的横坐标, ② 将横坐标代入函数，求出定点的纵坐标的值, ③ 下结论：所求定点坐标为. 【变式2-1】已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．16 B．10 C．8 D．4 【答案】C 【详解】对于，令，即，则， 即曲线（且）过定点，即， 故，又，， 则， 当且仅当，结合，即时等号成立. 题型3 解对数型不等式 【例3】不等式的解集为______. 【答案】 【详解】不等式，可化为， 因为在上是增函数， 所以不等式，即为，解得 所以不等式的解集为 【方法总结】 （1）形如的不等式，借助y＝的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况进行讨论； （2）形如的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式（b＝），再借助y＝的单调性求解； （3）形如的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 注意：与均大于且. 【变式3-1】已知指数函数，当时，有，则关于x的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵在时，有，，∴． 于是由，得得， ∴原不等式的集为． 题型4 反函数及其性质应用 【例4】已知对数函数且，且图象过点，的反函数记为，则的解析式是________． 【答案】 【详解】因为对数函数且的图象经过点， 所以，所以，所以对数函数的解析式为， 所以其反函数为. 故答案为： 【方法总结】 反函数的性质 （1）同底数的指数函数与对数函数互为反函数； （2）互为反函数的两个函数的定义域与值域互换； （3）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称. 【变式4-1】若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是且的反函数， 所以 且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 题型5 对数函数性质的综合应用 【例5】若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，单调递增，所以， 当时，， 显然当时，在上单调递增， 因此有， 此时函数没有最小值，不合题意； 当时，函数，存在最小值，符合题意； 当时，在上单调递减，最小值， 在上值域为，要满足函数存在最小值， 则只需要. 综上可得：实数a的取值范围为. 【方法总结】 解决对数函数性质的综合问题的注意点 （1）注意代数式的变形，如分式通分，因式分解、配方法、分母（或分子）有理化等变形技巧； （2）解答问题时应注意定义域优先的原则； （3）由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需分类讨论. 【变式5-1】已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以函数的定义域为，则定义域关于原点对称，且，所以为偶函数， 当时，令其为单调递增函数，而是单调递减函数，所以在区间上是单调递减函数， 根据对称性知，函数在区间上是单调递增函数， 所以函数的函数值随着的增大而减小， 因为，所以，即，或， 当时；当时； 所以实数的取值范围为. 一、单选题 1．函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上是减函数， ，即值域为. 2．若函数的反函数的图象过点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】函数的反函数是. 已知反函数的图象过点，则有，解得， 因此原函数为，所以. 3．若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则满足： 解得 4．若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数是偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由指数函数的性质，可得且，所以， 又由对数函数的性质，可得， 且，，所以， 所以. 6．定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可得在上单调递减，且. 因为为奇函数，所以的图象关于原点对称. 画出的大致图象，如图所示，不妨设的图象如图所示， 易得与的函数值异号的区间为，，， 所以不等式的解集是. 二、多选题 7．下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于选项AD：当时，则在上单调递增，故D错误； 且在定义域内单调递增，可知在上单调递增，故A错误； 对于B：因为的定义域为，且，可知为偶函数， 由幂函数性质可知在上单调递减，故B正确； 对于C：因为的定义域为，且，可知为偶函数， 当时，则在上单调递减，故C正确. 8．下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．是定义域上的减函数 C．的值域是 D．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 【答案】AD 【详解】对于A：因为的定义域为，即，所以， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B：的定义域为，又， 所以是定义域上一定不是减函数，故B错误； 对于C：令，解得或，所以的定义域为， 因为能取到所有的正数，所以的值域是，故C错误； 对于D：当时，， 则函数在区间上为增函数，故充分性成立， 若函数在区间上为增函数，则，故必要性不成立， 综上所述，“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故D正确. 9．下列说法正确的是（   ） A．若函数为奇函数，则 B．函数恒过定点 C．若函数，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【详解】对于A，若，则函数为奇函数，但无意义，A错误， 对于B，函数，所以函数恒过定点,B正确， 对于C，令，又，则即， 则函数，即，C错误， 对于D，由题意知且，可得， 则函数的定义域为,D正确. 三、填空题 10．函数的定义域是________． 【答案】且 【详解】定义域满足，解得且. 故所求定义域为且 11．函数的最小值为______． 【答案】 【分析】利用对数的运算法则与换元法得到，结合配方法即可得解. 【详解】因为， 令，则，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 12．已知，，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】等价变形给定不等式，利用指数函数单调性，结合恒成立求出的范围，利用对数函数单调性求出的范围，再分离参数，利用恒成立条件求出范围. 【详解】不等式 ， 依题意，，不等式恒成立， 而函数在上单调递减，则，于是 ，令， 依题意，，不等式恒成立，又函数在上单调递增， ，函数在上单调递减，，因此， 所以实数a的取值范围是. 四、解答题 13．已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 【答案】(1)；函数的定义域为；(2) 【详解】（1）因是奇函数，故， 即得，则有，因不恒为0，故， 当时，，由，可得， 即函数的定义域为：， 又，故是奇函数； 当时，因，函数没有意义. 综上，且函数的定义域为. （2）由（1）得， 因，函数在上为减函数，故得， 又因在上为增函数，故有，即， 依题意对任意的恒成立，故，解得， 故实数m的取值范围为. 14．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的最小值． 【答案】(1); (2) 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，则，当时，， 所以当时，， 当时，， 所以当时，该函数的值域为. （2）当时，， 原不等式可化为，即对恒成立. 令，. 任取，则， 所以， ， 则在上单调递增， 所以. 故，即的最小值为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 对数函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 对数函数有关的定义域、值域问题 题型2 对数型函数过定点问题 题型3 解对数型不等式 题型4 反函数及其性质应用 题型5 对数函数性质的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 对数函数 反函数 1. 理解概念与图象：经历作图过程，掌握对数函数图象画法及对称作图法，发展直观想象素养. 2. 探究并掌握性质：通过图象观察与代数验证，归纳对数函数的定义域、值域、定点及单调性等核心性质. 3. 理解反函数概念：理解其定义域与值域互换及图象对称性. 4. 熟练应用性质：能利用单调性比较对数式大小，并解决简单的对数不等式及实际问题. 5. 提升核心素养：类比指数函数研究路径，体会数形结合与分类讨论思想，提升数学抽象与逻辑推理素养. 学习重点：（1）图象与性质：掌握对数函数图象特征，准确理解其定义域、值域、定点及单调性. （2）性质的简单应用：能运用对数函数的单调性比较大小，解决简单的对数型函数问题. 学习难点：（1）单调性的代数证明：学生用严谨的代数证明时，逻辑推理能力面临挑战. （2）底数 a的分类讨论：理解底数取值对图象和单调性的决定作用，在底数不确定时能自觉分类讨论. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 对数函数的概念 1.对数函数的概念： 函数 ( ，且 ) 叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为. 2、判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如，且系数为1；（2）底数满足，且 ；（3）真数是x而不是x的函数；（4）整体只有一项；（5）定义域为. 例如， ， 都不是对数函数，可称为对数型函数． 3、两种特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数 . 即时即练 下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 判断一个函数是对数函数的方法：“四个必须” （1）系数必须为1：对数符号 前面的系数必须是1，不能有其他常数倍数. （2）底数必须合规：底数 必须是一个大于0且不等于1的常数，不能含有自变量 . （3）真数必须纯粹：对数的真数位置只能有自变量 本身，不能是 的代数式（如 或 ）. （4）定义域必须明确：函数的定义域必须是 ，即自变量 必须严格大于0. 知识点02 对数函数的图象与性质 1、对数函数的图象与性质如下表： a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 （0，＋∞） 值域 R 过定点 过定点（1，0），即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是（0，＋∞）上的增函数 是（0，＋∞）上的减函数 2、底数a对函数图象的影响 (1) 底数 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当 时，图象呈上升趋势；当 时，图象呈下降趋势； (2) 函数 与 ( ，且 ) 的图象关于 轴对称； (3) 底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论 还是 ，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大. 即时即练 函数的图象如图所示，则a的值可以是（   ） A． B．2 C．e D． 【方法总结】 判断对数函数图象的方法： 对数函数图象恒过点，函数定义是，即函数图象恒在y轴的右方，当时，图象从左至右呈下降趋势（函数单调递减），当时，图象从左至右呈上升趋势（函数单调递增）. 知识点03 反函数 1.定义：例如对数函数 是指数函数 的反函数. 2.反函数的性质 (1) 互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称； (2) 若函数 的图象上有一点 ，则点 必在其反函数的图象上，反之也成立； (3) 互为反函数的两个函数的单调性相同； (4) 反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域； (5) 单调函数必有反函数. 题型1 对数型函数有关的定义域、值域 【例1】（1）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． （2）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 1、求定义域：条件1：对数的真数恒大于0；条件2：. 2、求值域：对于形如 的复合函数，其值域（最值）的求解步骤如下： （1）分解成两个函数； （2）求的定义域； （3）求的取值范围； （4）利用的单调性求解最值（值域）. 【变式1-1】函数的定义域为________． 【变式1-2】已知函数，求在上的值域. 题型2 对数型函数过定点问题 【例2】函数（，）的图象过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 对数型函数 过定点问题的解法： ① 令真数为 1，即令=1，解方程得出定点的横坐标, ② 将横坐标代入函数，求出定点的纵坐标的值, ③ 下结论：所求定点坐标为. 【变式2-1】已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．16 B．10 C．8 D．4 题型3 解对数型不等式 【例3】不等式的解集为______. 【方法总结】 （1）形如的不等式，借助y＝的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况进行讨论； （2）形如的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式（b＝），再借助y＝的单调性求解； （3）形如的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 注意：与均大于且. 【变式3-1】已知指数函数，当时，有，则关于x的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 题型4 反函数及其性质应用 【例4】已知对数函数且，且图象过点，的反函数记为，则的解析式是________． 【方法总结】 反函数的性质 （1）同底数的指数函数与对数函数互为反函数； （2）互为反函数的两个函数的定义域与值域互换； （3）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称. 【变式4-1】若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 题型5 对数函数性质的综合应用 【例5】若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 解决对数函数性质的综合问题的注意点 （1）注意代数式的变形，如分式通分，因式分解、配方法、分母（或分子）有理化等变形技巧； （2）解答问题时应注意定义域优先的原则； （3）由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需分类讨论. 【变式5-1】已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 2．若函数的反函数的图象过点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 3．若，则的取值范围是 A． B． C． D． 4．若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．是定义域上的减函数 C．的值域是 D．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 9．下列说法正确的是（   ） A．若函数为奇函数，则 B．函数恒过定点 C．若函数，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 三、填空题 10．函数的定义域是________． 11．函数的最小值为______． 12．已知，，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题 13．已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 14．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的最小值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $