第27讲 正弦函数、余弦函数的性质（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第27讲 正弦函数、余弦函数的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 三角函数的周期 题型2 三角函数的奇偶性 题型3 三角函数的单调性 题型4 利用三角函数单调性比较大小 题型5 正弦、余弦函数的最值（值域）问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 三角函数 周期函数 1. 理解性质：结合图象探究正余弦函数的周期性、奇偶性、单调性及最值，培养直观想象与数学抽象素养. 2. 掌握应用：能运用函数性质解决比较大小、求值域及单调区间等问题，提升逻辑推理与数学运算素养. 3. 体会思想：体会数形结合、换元转化及由特殊到一般的数学思想. 学习重点：（1）性质归纳：准确掌握正、余弦函数的周期性、奇偶性、单调区间及最值. （2）性质应用：熟练运用上述性质解决相关的三角函数综合问题. 学习难点：（1）概念理解：深刻理解周期函数及最小正周期的意义. （2）综合应用：利用换元法求解复合三角函数的单调区间与最值. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 周期函数 1、周期函数的定义：函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期. 【注意】定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. 2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. 3、周期函数的周期公式 （1）一般地，函数的最小正周期 （2）若函数的周期是，则函数的周期为, 知识点02 正（余）弦函数的性质 1、正（余）弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 知识点03 正弦型及与余弦型函数的性质 函数 定义域 值域 单调性 当，时，将视为整体，代入或相应的单调区间求解；当或时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当时为奇函数； 当时为偶函数 当时为偶函数； 当时为奇函数 周期性 图象对称性 将视为整体，代入或相应的对称轴或对称中心的横坐标满足的方程求解. 知识点04 三角函数的值域求法 1、一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等． 2、三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 3、常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)． （2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)． （3）对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论． 题型1 三角函数的周期 【例1】（1）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． （2）下列函数，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． （3）函数的最小正周期为_________. 【方法总结】 求三角函数周期的方法： （1）定义法：若成立，则函数的周期为T； （2）公式法：的周期为，的周期为，的周期为， （3）观察法：画出函数的图象草图，由观察图象可得函数的周期. 【变式1-1】求下列函数的周期： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】已知函数. （1）画出函数的简图； （2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期. 题型2 三角函数的奇偶性 【例2】函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【方法总结】 判断函数奇偶性的两个关键点 （1）看函数的定义域是否关于原点对称；（2）看与的关系. 【变式2-1】（多选）下列函数中，是奇函数的是（    ）． A． B．， C．， D． 题型3 三角函数的单调性 【例3】函数的一个递增区间是（    ）． A． B． C． D． 【方法总结】 用整体替换法求函数y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式. 【变式3-1】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为______. 题型4 利用三角函数单调性比较大小 【例4】，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 【变式4-1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型5 正弦、余弦函数的最值（值域）问题 【例5】函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 求三角函数值域或最值的常用方法 （1）形如y＝sin（ωx＋φ）的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值（值域）. （2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c（a≠0）的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c（a≠0）化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c（a≠0），根据二次函数的单调性求值域（最值）. （3）对于形如y＝asin x（或y＝acos x）的函数的最值还要注意对a的讨论. 【变式5-1】已知函数，.则的最大值为___________. 【变式5-2】函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则在上的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．同时具有以下性质：“①最小正周期是，②在区间上是增函数”的一个函数是（    ） A． B． C． D． 5．函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 6．已知函数在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则该函数的（   ） A．值域为 B．增区间是（） C．图象的对称中心为（） D．图象的对称轴方程为（） 9．函数的周期可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．按从小到大排列的顺序为__________． 11．函数的值域是____________ 12．设函数，则________. 四、解答题 13．已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)求关于的不等式的解集. 14．已知函数，． (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27讲 正弦函数、余弦函数的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 三角函数的周期 题型2 三角函数的奇偶性 题型3 三角函数的单调性 题型4 利用三角函数单调性比较大小 题型5 正弦、余弦函数的最值（值域）问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 三角函数 周期函数 1. 理解性质：结合图象探究正余弦函数的周期性、奇偶性、单调性及最值，培养直观想象与数学抽象素养. 2. 掌握应用：能运用函数性质解决比较大小、求值域及单调区间等问题，提升逻辑推理与数学运算素养. 3. 体会思想：体会数形结合、换元转化及由特殊到一般的数学思想. 学习重点：（1）性质归纳：准确掌握正、余弦函数的周期性、奇偶性、单调区间及最值. （2）性质应用：熟练运用上述性质解决相关的三角函数综合问题. 学习难点：（1）概念理解：深刻理解周期函数及最小正周期的意义. （2）综合应用：利用换元法求解复合三角函数的单调区间与最值. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 周期函数 1、周期函数的定义：函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期. 【注意】定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. 2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. 3、周期函数的周期公式 （1）一般地，函数的最小正周期 （2）若函数的周期是，则函数的周期为, 知识点02 正（余）弦函数的性质 1、正（余）弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 知识点03 正弦型及与余弦型函数的性质 函数 定义域 值域 单调性 当，时，将视为整体，代入或相应的单调区间求解；当或时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当时为奇函数； 当时为偶函数 当时为偶函数； 当时为奇函数 周期性 图象对称性 将视为整体，代入或相应的对称轴或对称中心的横坐标满足的方程求解. 知识点04 三角函数的值域求法 1、一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等． 2、三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 3、常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)． （2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)． （3）对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论． 题型1 三角函数的周期 【例1】（1）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦型函数周期性可知：的最小正周期. （2）下列函数，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合. （3）函数的最小正周期为_________. 【答案】 【详解】由诱导公式可知，， 当时，与不恒相等，故的最小正周期为. 【方法总结】 求三角函数周期的方法： （1）定义法：若成立，则函数的周期为T； （2）公式法：的周期为，的周期为，的周期为， （3）观察法：画出函数的图象草图，由观察图象可得函数的周期. 【变式1-1】求下列函数的周期： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【详解】（1）函数的周期为. （2）函数的周期为. （3）函数的周期为. （4）函数的周期为. 【变式1-2】已知函数. （1）画出函数的简图； （2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期. 【答案】（1）见解析；（2）是， 【详解】（1） 函数图象如图所示： （2）由图象知该函数是周期函数，其图象每隔重复一次，故函数的周期是. 题型2 三角函数的奇偶性 【例2】函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【详解】选项A: 因为的定义域为R， 又，所以是奇函数，故A错误； 选项B: 因为的定义域为R，又，所以是偶函数，故B错误； 选项C: 因为的定义域为R，又，所以是奇函数，故C正确； 选项D: 因为的定义域为R，又，所以是偶函数，故D错误. 【方法总结】 判断函数奇偶性的两个关键点 （1）看函数的定义域是否关于原点对称；（2）看与的关系. 【变式2-1】（多选）下列函数中，是奇函数的是（    ）． A． B．， C．， D． 【答案】ACD 【详解】对A，由，定义域为， 且， 故函数为奇函数，故A正确 对B，由函数的定义域为，故该函数为非奇非偶函数，故B错 对C，，定义域关于原点对称， 且，故C正确 对D，的定义域为， 且， 故该函数为奇函数，故D正确 题型3 三角函数的单调性 【例3】函数的一个递增区间是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，可得 ， 当时，是的一个单调增区间，而其它选项不符合. 【方法总结】 用整体替换法求函数y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式. 【变式3-1】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意有, 可得, 又由，在上为减函数，故必有, 可得. 故实数的取值范围为. 题型4 利用三角函数单调性比较大小 【例4】，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦函数的单调性可知：在上单调递增，又易知，所以. 【方法总结】 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 【变式4-1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， ， 所以，所以. 题型5 正弦、余弦函数的最值（值域）问题 【例5】函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，可得， 则. 【方法总结】 求三角函数值域或最值的常用方法 （1）形如y＝sin（ωx＋φ）的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值（值域）. （2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c（a≠0）的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c（a≠0）化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c（a≠0），根据二次函数的单调性求值域（最值）. （3）对于形如y＝asin x（或y＝acos x）的函数的最值还要注意对a的讨论. 【变式5-1】已知函数，.则的最大值为___________. 【答案】1 【详解】因为，所以， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的最大值为1． 【变式5-2】函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 故当时，函数取最大值，且. 一、单选题 1．下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A不符合题意； 对于B，作出函数的图象， 由图可知，函数的最小正周期为，故B符合题意； 对于C，函数的最小正周期为，故C不符合题意； 对于D，函数，其图象如图， 由图可知，函数不是周期函数，故D不符合题意. 2．下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，选项中函数的定义域为，关于原点对称. 对于A中，函数，则， 所以函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B中，函数， 所以函数为偶函数，不符合题意； 对于C中，函数， 所以函数为偶函数，不符合题意； 对于D中，函数，又的定义域为R， 所以函数是奇函数，符合题意. 3．已知函数，则在上的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 所以当，即时，函数单调递增． 4．同时具有以下性质：“①最小正周期是，②在区间上是增函数”的一个函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，的周期， 当时，，所以函数在区间上是增函数，正确； 对于B，的周期，不符合题意； 对于C，的周期，不符合题意； 对于D，的周期， 当时，，所以函数在区间上先增后减，不符合题意. 5．函数，则（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数 C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数 【答案】B 【详解】的定义域为， 对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 对B：若，， ，故为偶函数，B正确； 对C：若，，，故不是偶函数，故C错误； 对D：若，， 若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数. 6．已知函数在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对任意的，恒成立， 因为函数在区间内单调递增， 所以，函数在上为减函数， 当时，因为，则， 所以，， 所以，，解得， 所以，，解得， 因为，则，所以，. 二、多选题 7．（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，而余弦函数在上单调递增，则，A错误； 对于B，，余弦函数随锐角的增大而减小， 则有，即，B正确； 对于C，，， 正弦函数在上单调递减，因此，C正确； 对于D，由，得，D错误. 8．已知函数，则该函数的（   ） A．值域为 B．增区间是（） C．图象的对称中心为（） D．图象的对称轴方程为（） 【答案】ABD 【详解】对于选项，因为，所以 ， 则的值域为，故正确； 对于选项，令， 解得为函数的增区间，故正确； 对于选项，令，解得， 所以函数的对称中心为，故错误； 对于选项，令，解得即为函数的对称轴， 故正确. 9．函数的周期可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】当，时，函数，最小正周期为，故选项A可能； 当，时，函数，最小正周期为，故选项B可能； 当，时，函数，最小正周期为，故选项C可能； 而对于选项D： ， 则若时， ， 令 ， 所以 与题设矛盾，故函数的最小正周期不可能是； 三、填空题 10．按从小到大排列的顺序为__________． 【答案】 【详解】， ，. 在上递增，且， ，即. 11．函数的值域是____________ 【答案】 【详解】， ，又函数在上单调递增， 则，. 即. 12．设函数，则________. 【答案】0 【详解】∵f(x)＝sinx的周期T＝＝6. ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015) ＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2014)＋f(2015) ＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5) ＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5) 四、解答题 13．已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)偶函数；(2) 【详解】（1）解：由函数， 可得， 令，可得其定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数， 所以函数为偶函数. （2）解：由函数， 可得， 因为不等式，可得， 则满足，解得， 故该不等式解集为. 14．已知函数，． (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间是，. (2)，此时；，此时. 【详解】（1）的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. （2）∵，则， 故， ∴，此时，即， ，此时，即． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $