内蒙古赤峰市2025--2026学年高二下学期数学期末复习测试题（一）

**基本信息** 内蒙古赤峰市高二下学期期末数学复习测试题，涵盖函数、数列、几何等模块，融入姜撞奶温度拟合、投篮挑战赛等真实情境，注重数学眼光、思维与语言的综合考查，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、充分必要条件、复数纯虚数等|基础概念直接应用，如解三角形判断形状| |多选题|3/18|不等式性质、二项式定理、线性回归|多选项辨析，如数学建模中线性回归分析| |填空题|3/15|等差数列、导数切线斜率、条件概率|小巧灵活，如抽奖活动条件概率计算| |解答题|5/77|立体几何证明与距离、概率统计（独立性检验）、函数零点、圆锥曲线|综合应用，如投篮挑战赛分布列与期望，结合高考真题题型|

高二下期末复习测试题（一） 一、单选题 1．（河南新未来联考2025-2026学年高二下学期6月测评数学试题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，解得， 由，解得，且， 所以， 即． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】配方得到圆的充要条件即可判断. 【详解】方程配方得， 若方程表示圆，则，解得， 则“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 3．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知，，，若是纯虚数，则的值为（    ） A．1 B．0或1 C．1或2 D．2 【答案】A 【分析】先根据复数的加法运算法则求出，再根据纯虚数的定义即可求出的值. 【详解】由题可得， 因为是纯虚数， 所以，解得. 4．（河南新未来联考2025-2026学年高一下学期6月测评数学试题（B卷））在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】由，结合正弦定理，可得， 又， 因为为三角形内角，所以. 根据余弦定理，，可得， 中，，且，所以为等边三角形. 5．（2027高三·全国·专题练习）函数对任意，都有，的图象关于点中心对称，且，则（     ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】先由已知等式得出函数的周期，再通过函数图象的平移与对称性推导出函数的奇偶性，然后利用周期和奇偶性将所求自变量转化到已知函数值的点上，从而求出结果. 【详解】因为函数对任意，都有， 所以函数的周期，将的图象向左平移1个单位长度，可得的图象， 又的图象关于点中心对称， 所以的图象关于点对称，故为上的奇函数， 所以． 故选：B. 6．（25-26高二下·江苏·阶段检测）某校高二年级开设数学、物理、化学、生物四个竞赛课程，小李，小王，小陈三名同学，每人至少选一个课程，至多选两个课程，且每个课程恰有1人选择，则不同的选择方法种数为（    ） A．72 B．36 C．18 D．24 【答案】B 【分析】依题意有一名同学选择了两个课程，通过排列组合计算出方法种数. 【详解】四个竞赛课程有三名同学选择，每个课程恰有1人选择，那么有一名同学选择了两个课程，剩下两个课程由余下两名同学选择，所以，. 7．（25-26高二下·河北承德·期中）已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，再结合切线过点得到关于切点横坐标的表达式，最后通过求导研究该表达式的单调性，进而求出的最大值. 【详解】设切点坐标为 ， 因为 ，所以，所以切点处的切线斜率 ， 由点斜式得切线方程为： 令，代入切线方程可得纵截距： ， 设函数 ，则， 令，由于恒成立，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 因此为的最大值点， 最大值为 ，即的最大值为. 8．（河南新未来联考2025-2026学年高二下学期6月测评数学试题）已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，若，则的最大值为（   ） A．333 B．334 C．335 D．336 【答案】A 【分析】依题意，则，，，尽可能地小，再讨论进行求解． 【详解】因为数列单调递增，且各项均为正整数，若想使最大， 则，，，尽可能地小， 所以取，，，，则 ， 即， 因为数列单调递增，且各项均为正整数， 所以，，，，， 即，，，，， 所以 ， 即，所以， 又因为为正整数，所以的最大值为333．故选A． 二、多选题 9．（2027高三·全国·专题练习）（多选）已知，则下列不等关系一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别对每个选项进行变形或构造函数，利用已知条件中变量的大小关系和函数的单调性判断不等式是否成立. 【详解】由，则，又在上单调递减，则，故A错误； 不等式 等价于 ，即 ， 令 ，则 在 上恒成立，故 在 上单调递增， 因 ，故 ，故B正确； 由等价于，设，在上单调递减，且， 所以，即，故C错误； 由等价于， 设，在上单调递增，且，所以， 所以，即，故D正确． 故选：BD. 10．（24-25高二下·福建厦门·期中）已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（   ） A．展开式中共有6项 B．展开式中二项式系数的和为64 C．展开式中常数项为 D．展开式中二项式系数最大的项是第3项 【答案】BC 【分析】对于A，令，可得，据此可判断；对于B，利用二项式系数和性质判断；对于C，由题可得展开式通项，令指数为0，可得常数项，据此可判断；对于D，依次写出二项式系数，即可判断. 【详解】由题可得展开式通项为. 对于A，令，可得展开式各项系数和，则，则展开式共有7项，故A错误； 对于B，二项式系数和为，故B正确； 对于C，对于通项，令，则常数项为，故C正确； 对于D，由通项，可得二项式系数依次为：， 则系数最大项为，为第4项，故D错误. 11．（浙江省温州市十校联盟2025-2026学年高二下学期6月期末练习数学试题）某学校数学兴趣小组在＂探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况＂的数学建模活动中，将时间（分钟）与温度（摄氏度）的关系用模型（其中e为自然对数的底数）拟合．设，变换后得到一组数据： 2 2.5 3 3.5 4 4.04 4.01 3.98 t 3.91 由上表可得线性回归方程，则（   ） A．样本数据的下四分位数为2.5 B． C．当时，残差为0.01 D． 【答案】ABD 【分析】由指数型回归模型的线性变换、统计中的四分位数、线性回归性质、残差定义展开即可求解. 【详解】对于A选项，样本取值按从小到大排列为：，，，，共有5个数据， 则其下四分位数的位置计算为，则取第二个数据，即2.5，故A正确； 对于B选项，，则， 则，解得，故B正确； 对于C选项，当时，的实际观测值为，代入回归方程得， 所以对应残差为，故C错误； 对于D选项，对原指数模型两边同时取自然对数：，可得， 和已知线性回归方程对比，可得，两边取指数得，故D正确. 三、填空题 12．（2026·安徽滁州·三模）记为等差数列的前项和，若，，则_________． 【答案】10 【分析】首先求首项和公差，再代入求和公式. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，解得：，， 所以. 13．（2027高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线与直线平行，则________． 【答案】1 【分析】先利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据与已知直线平行得到斜率相等，从而列出方程解出参数. 【详解】因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以曲线在点处的切线的斜率为2， 因为，所以， 所以． 故答案为：. 14．（浙江湖州市2025-2026学年高二下学期6月期末教学质量监测数学试题）现有一个抽奖活动，主持人将两件奖品随机放在编号为1，2，3，4，5，6的两个不同箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）．记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子．则______，______． 【答案】 【分析】通过贝叶斯公式和全概率公式求解. 【详解】①由题意得，. 在的前提下，另一个奖品在中，若在中，则， 若在其余位置，. 则. 在的前提下，令两个奖品在中，. 则. 所以. 所以. ②由题意得，， . 四、解答题 15．（2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】(1)由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. (2)距离为1. 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【详解】（1）略 （2）法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 16．（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且． (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为是以为首项，为公比的等比数列， 所以，整理得， 又，所以是首项为，公差为的等差数列． (2)． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以， 所以， 则， 两式相减，可得 ， 即． 17．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在，两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在，两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立． (1)在参赛的同学中，随机抽查50名的得分情况，得到如下列联表 得分分 得分分 合计 先在点投篮 20 5 25 先在点投篮 10 15 25 合计 30 20 50 依据小概率值的独立性检验，判断投篮得分与第一次投篮点的选择是否有关？ (2)小明在点投中的概率为0.7，在点投中的概率为0.3． （ⅰ）求小明第一次投中的概率； （ⅱ）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望． 参考公式：． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有关 (2)（ⅰ）0.5； （ⅱ） 0 2 3 4 6 ． 【分析】（1）由题设及独立性检验知识可完成判断； （2）（i）设第一次选择在点投篮记为事件A，在点投篮记为事件B，投中记为事件E，然后由全概率公式可得答案； （ii）由题可得可取0，2，3，4，6，据此可得分布列及期望. 【详解】（1）零假设：投篮得分与第一次投篮点的选择无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 因此认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关，此推断犯错误的概率不超过0.01． （2）设第一次选择在点投篮记为事件A，在点投篮记为事件B，投中记为事件E， 则，，，． （ⅰ）， 所以小明第一次投中的概率为0.5． （ⅱ）小明投篮总得分可取0，2，3，4，6， 则， ， ， ，， 所以的分布列为 0 2 3 4 6 所以． 18．（26-27高二·全国·暑假作业）已知函数. (1)当时，证明：. (2)证明：当时，仅有1个零点；当时，有2个零点. 【答案】(1)当时，， 则. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以函数在处取到最大值. 所以，即. (2)，当时，. 当时，令，得单调递减， 令，得单调递增， 又，函数在处取得极小值， 故在上的唯一零点是 所以当时，仅有1个零点. 当时，令，得单调递减， 令，得单调递增， 因为，所以，则， 又，当时，，所以必存在唯一的，使得， 所以当时，有2个零点. 【分析】（1）结合函数最值进行不等式证明. （2）分类讨论含参函数的单调性，再结合函数单调性和值域判断函数的零点个数. 【详解】（1）略 （2）略 19．（25-26高二下·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【分析】（1）由题意转化为抛物线的定义，即可得到曲线方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，即可得到直线过定点的证明. 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古赤峰市高二年级2025--2026学年下学期期末复习测试题（一） 数 学 一、单选题：每小题5分，共40分. 1. （河南新未来联考2025-2026学年高二下学期6月测评数学试题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2. （25-26高三·全国·一轮复习）已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. （26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知，，，若是纯虚数，则的值为（    ） A．1 B．0或1 C．1或2 D．2 4. （河南新未来联考2025-2026学年高一下学期6月测评数学试题（B卷））在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5. （2027高三·全国·专题练习）函数对任意，都有，的图象关于点中心对称，且，则（     ） A．1 B． C．0 D．2 6. （25-26高二下·江苏·阶段检测）某校高二年级开设数学、物理、化学、生物四个竞赛课程，小李，小王，小陈三名同学，每人至少选一个课程，至多选两个课程，且每个课程恰有1人选择，则不同的选择方法种数为（    ） A．72 B．36 C．18 D．24 7. （25-26高二下·河北承德·期中）已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 8. （河南新未来联考2025-2026学年高二下学期6月测评数学试题）已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，若，则的最大值为（   ） A．333 B．334 C．335 D．336 二、多选题：每小题6分，共18分. 9. （2027高三·全国·专题练习）（多选）已知，则下列不等关系一定正确的是（     ） A． B． C． D． 10. （24-25高二下·福建厦门·期中）已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（   ） A．展开式中共有6项 B．展开式中二项式系数的和为64 C．展开式中常数项为 D．展开式中二项式系数最大的项是第3项 11. （浙江省温州市十校联盟2025-2026学年高二下学期6月期末练习数学试题）某学校数学兴趣小组在＂探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况＂的数学建模活动中，将时间（分钟）与温度（摄氏度）的关系用模型（其中e为自然对数的底数）拟合．设，变换后得到一组数据： 2 2.5 3 3.5 4 4.04 4.01 3.98 t 3.91 由上表可得线性回归方程，则（   ） A．样本数据的下四分位数为2.5 B． C．当时，残差为0.01 D． 三、填空题：每小题5分，共15分. 12. （2026·安徽滁州·三模）记为等差数列的前项和，若，，则_________． 13. （2027高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线与直线平行，则________． 14. （浙江湖州市2025-2026学年高二下学期6月期末教学质量监测数学试题）现有一个抽奖活动，主持人将两件奖品随机放在编号为1，2，3，4，5，6的两个不同箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）．记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子．则______，______． 四、解答题 15. （13分）（2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 16. （15分）（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且． （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和． 17. （15分）（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在，两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在，两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立． （1）在参赛的同学中，随机抽查50名的得分情况，得到如下列联表 得分分 得分分 合计 先在点投篮 20 5 25 先在点投篮 10 15 25 合计 30 20 50 依据小概率值的独立性检验，判断投篮得分与第一次投篮点的选择是否有关？ （2）小明在点投中的概率为0.7，在点投中的概率为0.3． （ⅰ）求小明第一次投中的概率； （ⅱ）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望． 参考公式：． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. （17分）（26-27高二·全国·暑假作业）已知函数. （1）当时，证明：. （2）证明：当时，仅有1个零点；当时，有2个零点. 19. （17分）（25-26高二下·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． ************************************************************************************************************ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $