内蒙古2025-2026学年高二下学期数学期末限时小卷（五）

**基本信息** 聚焦导数应用、概率统计等核心模块，通过限时训练整合知识逻辑，强化数学思维与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数应用|4题|切线方程、单调性、极值、零点问题|从几何意义到导数应用，构建“求导-分析-应用”逻辑链条| |概率统计|3题|分布列、期望方差比较、统计概念辨析|从基础分布到数据特征分析，体现数据意识与模型观念| |二项式定理|2题|系数和、特定项系数计算|围绕展开式性质，强化公式应用与推理能力| |组合计数|1题|“至少”型摸球问题|通过间接法考查组合数计算，培养数学眼光|

2025-2026学年第二学期内蒙古高二数学限时小卷（五） 全 解 全 析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：根据题意，函数的图象在点处的切线方程是， 则， 将代入切线方程，得， 则． 故选：． 根据题意，由导数的几何意义可得的值，将代入切线方程，可得的值，将其相加即可得答案． 本题考查导数的几何意义，注意函数在切点处的导数值是切线的斜率，属于基础题． 2.若离散型随机变量的分布列如表所示． 则实数的值为(    ) A. 或 B. C. D. 或 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 利用离散型随机变量的分布列的性质直接求解． 【解答】 解：由离散型随机变量的分布列得： ， 解得． 故选：． 3.盲盒中有大小相同的个红球，个黑球，随机有放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  【解析】解：盲盒中有大小相同的个红球，个黑球，随机有放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数， 则， 所以， 随机无放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数，则的所有可能取值为，，， 则， 所以， ， 所以，． 故选：． 根据二项分布求，，根据超几何分布求，，即可得结果． 本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题． 4.已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有(    ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】B  【解析】解：因为，所以， 所以，令，可得， 又，检验可知， 所以的对称中心点为，所以为的唯一拐点， 且此时在拐点处的切线方程为， 联立，可得，该方程仅有唯一解， 根据三次函数的性质可知，仅有拐点处的切线与函数有一个公共点， 而该三次函数仅有一个拐点，所以满足题意的切线仅有一条． 故选：． 根据三次函数的性质可知，仅有拐点处的切线与函数有一个公共点，从而可得解． 本题考查三次函数的性质的应用，属基础题． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在的展开式中，各二项式系数的和为，则(    ) A. B. C. 展开式中的系数为 D. 展开式中常数项为 【答案】ACD  【解析】解：在的展开式中，各二项式系数的和为， 故，则，故A正确； 展开式的通项， 令，得展开式中的系数为，故C正确； 令，得展开式中常数项为故D正确． 故选：． 直接利用二项式的展开式，赋值法和组合数的应用求出结果． 本题考查的知识点：二项式的展开式，赋值法，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 6.下列说法正确的是(    ) A. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为 B. 若随机变量，，则 C. 若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越弱 D. 若事件，满足，，，则有 【答案】BD  【解析】解：由于，所以数据，，，的方差为，因此选项A错误； 随机变量，， 则，因此选项B正确； 线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，故选项C错误； 由于等价于“事件与事件相互独立”，即，故必有因此选项D正确． 故选：． 选项，根据方差的线性运算性质，计算即可；选项，根据正态分布曲线的对称性可求得结果；选项相关系数越接近，相关性越强；选项，，则两事件相互独立，根据条件概率的计算公式可以求得． 本题主要考查了方差的计算公式，考查了正态分布曲线的对称性，以及条件概率的概率公式，属于中档题． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.从个红球、个黄球中一次性摸取个球，则摸到的球中至少有个黄球的方法数为      用数字作答 【答案】  【解析】解：一次性摸取个球，至少有个黄球分为两种情况： 情况一：三个黄球，； 情况二：两个黄球，一个红球，有种不同方法； 共有种方法． 故答案为：． 分析符合题意的情况种类，然后分类计算，再根据组合和组合数的计算方法，求出结果． 本题考查排列组合相关知识，属于中档题． 8.若的展开式中的常数项为，则        ． 【答案】  【解析】解：由， 其展开式的通项为，，，，，， 而展开式的通项为，，，，， 令，得，或，或，， 因为的展开式中的常数项为， 所以，则， 又，则． 故答案为：． 先求出通项公式，再由常数项为求出的值． 本题考查二项式定理的应用，属于中档题． 四、解答题：本题共2小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数． 求函数的单调区间、极值； 设在上有两个零点，求的范围． 【答案】的增区间和，减区间为，极大值为，极小值为   【解析】解：由题意得，令，得或， 当或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的增区间和，减区间为， 则的极大值为，极小值为， 综上，的增区间和，减区间为，极大值为，极小值为； 在有两个零点等价于方程在有两个不同实根， 计算，，， 由单调性知，当时，直线与图象有两个交点，故． 求导，令，可得极值点，分别讨论不同范围时，的正负，可得单调区间，代入数据，可得极值； 由题意得方程在有两个不同实根，根据可得的单调区间和最值，数形结合，即可得答案． 本题考查由函数零点所在区间求解函数与利用导数求解函数的单调性，属于中档题． 10.本小题分 已知． 讨论函数的单调区间； 若有两个零点，，求的取值范围； 证明：，恒成立． 【答案】当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为   证明：要证，恒成立， 即证，恒成立． 令，． 对求导得． 因为，所以，，则， 所以在上单调递减，所以， 即，即， 即，恒成立  【解析】解：已知，其定义域为，对其求导可得． 当时，对于任意的，恒成立，所以， 所以在上单调递增； 当时，令，解得． 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减． 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 由知，当时，在上单调递增， 此时最多只有个零点，不可能有两个零点； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值． 若有两个零点，则，即． 因为函数在上单调递增，所以． 又因为当时，；当时，， 所以只有当最大值时，才能保证在，上各有个零点， 共两个零点，因此的取值范围为； 证明：要证，恒成立， 即证，恒成立． 令，． 对求导得． 因为，所以，，则， 所以在上单调递减，所以， 即，即， 即，恒成立． 先求导数，利用导数分和两种情况讨论，即可得的单调区间； 利用中得到的在上的单调性，分析出当时，只有在上的最大值时，才能保证有两个零点，求解不等式即可得解； 将原不等式转化为在恒成立，只须利用导数证明在上单调递减，且即可得证． 本题主要考查函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期内蒙古高二数学限时小卷（五） （分值74分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则(    ) A. B. C. D. 2.若离散型随机变量的分布列如表所示． 则实数的值为(    ) A. 或 B. C. D. 或 3.盲盒中有大小相同的个红球，个黑球，随机有放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有(    ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在的展开式中，各二项式系数的和为，则(    ) A. B. C. 展开式中的系数为 D. 展开式中常数项为 6.下列说法正确的是(    ) A. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为 B. 若随机变量，，则 C. 若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越弱 D. 若事件，满足，，，则有 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.从个红球、个黄球中一次性摸取个球，则摸到的球中至少有个黄球的方法数为      用数字作答 8.若的展开式中的常数项为，则        ． 四、解答题：本题共2小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数． 求函数的单调区间、极值； 设在上有两个零点，求的范围． 10.本小题分 已知． 讨论函数的单调区间； 若有两个零点，，求的取值范围； 证明：，恒成立． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $