（旧知清零）专题04 三角形（讲义）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

2026-2027学年人教版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案 专题04 三角形【能力清单+核心易错点+错题复盘练】 1、能清晰理解三角形的核心定义与特性，准确区分三角形和其他多边形的概念边界。 2、能熟练完成三角形的高绘制、边长验证、内角和推导操作，理解三边关系、内角和性质的内在关联逻辑。 3、能熟练运用三角形稳定性、三边关系、内角和定理，完成各类三角形相关题型的求解。 4、能根据不同实际场景，灵活选择实物验证、特征推导的方法适配对应的解题需求。 5、会检验三角形相关结论，选择反向拼接、边长核验、角度拆分的策略验证答案正确性。 6、能分辨三角形相关的实际问题，抓住“找准三角形的边、角核心约束条件”这一关键。 7、做题时，能圈出题目中的“高”“底”“两边之和”“内角和”“稳定性”等核心关键词。 8、能熟练根据实际场景设定解题路径，区分直接特征判断、分步验证推导的适用场景。 9、能准确识别“三角形特性类、三边关系类、内角和计算类”不同题型，匹配对应的规范求解步骤。 10、能根据已知的三角形边长、角度结果反推题目缺失的边、角参数，理清三角形各要素的对应逻辑。 1、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形才是标准三角形，仅三条线段随意拼接、未完全封闭的图形不能直接判定为三角形。 2、验证三条线段能否围成三角形时，需保证任意两边之和大于第三边，不能仅验证其中一组边的和大于第三边就直接下结论。 3、给三角形指定底边作高时，高必须从该底边对应的顶点出发，向底边作垂直线段，不能从边上的非顶点位置出发随意绘制高。 4、反向核验三角形内角计算结果时，将求出的三个内角度数相加，最终得到的总度数必须和三角形内角和固定值180°完全相等。 5、推导三角形边长的取值范围时，所有边的长度都要满足三边关系约束，不能仅算出单一边的范围就忽略其余边的合法性校验。 6、标注三角形边长、角度的最终结果时要明确匹配对应单位，避免出现长度单位和角度单位的指代错配问题。 7、计算部分边长被遮挡的三角形题型时，要先结合三边关系筛选出合法的边长取值，不能直接硬套普通图形的边长计算逻辑乱凑数值。 8、同一道三角形相关题目的判定基准必须完全统一，不能中途随意更改三边关系、内角和的规则乱判图形属性。 9、解决三角形稳定性的实际应用问题时，要先确认结构是否构成完整的三角形框架，不能直接把非三角形的多边形结构强行套用稳定性特性。 10、只有符合定义的标准平面三角形场景，才能适配三边关系、内角和为180°的相关规则，非平面的曲面三角形场景不能随意套用本单元的常规三角形运算逻辑。 一、选择题 1．已知三角形的两条边分别是4厘米和10厘米，那么第三条边的长度不可能是（    ）。 A．7厘米 B．10厘米 C．13厘米 D．15厘米 【答案】D 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；； 进行解答即可。 【解答】A．7厘米，，可能是第三条边； B．10厘米，，可能是第三条边； C．13厘米，，可能是第三条边； D．15厘米，，不满足三边关系，不可能是第三条边。 故答案为：D 2．用三根小棒围三角形，下面选项中，能围成三角形的是（    ）。 A．3cm、4cm、8cm B．3cm、5cm、8cm C．3cm、4cm、5cm D．3cm、6cm、2cm 【答案】C 【分析】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。取每个选项中最短的两根小棒求和，并判断是否大于第三根小棒长度即可。 【解答】A．3＋4＜8，不能围成三角形； B．3＋5＝8，不能围成三角形； C．3＋4＞5，能围成三角形； D．2＋3＜6，不能围成三角形。 3．下面一定是轴对称图形的是（    ）。 A．平行四边形 B．梯形 C．长方形 D．任意三角形 【答案】C 【分析】轴对称图形即沿一条直线对折后两部分能完全重合。 【解答】A．平行四边形：一般的平行四边形沿任何直线对折，两旁部分不能完全重合，只有特殊的平行四边形才是轴对称图形，此选项错误； B．梯形：一般的梯形沿任何直线对折，两旁部分不能完全重合，只有等腰梯形才是轴对称图形，此选项错误； C．长方形：长方形沿两组对边中点的连线对折，两旁部分都能完全重合，一定是轴对称图形，此选项正确； D．任意三角形：一般的三角形沿任何直线对折，两旁部分不能完全重合，只有等腰三角形或等边三角形才是轴对称图形，此选项错误。 所以一定是轴对称图形的是长方形。 4．如图是由一个等边三角形和一个任意三角形拼成的图形，拼成的图形的周长（刚好是一个整数）最短是（    ）厘米。 A．37 B．35 C．28 D．38 【答案】C 【分析】等边三角形的三条边都相等，观察上图可知，等边三角形的边长为9厘米，等边三角形的周长为9×3＝27（厘米），由于三角形任意两边之和大于第三边，所以拼成的四边形的周长大于等边三角形的周长，即拼成的四边形的周长大于27厘米，最短是27＋1＝28（厘米）；据此即可解答。 【解答】9×3＝27（厘米） 27＋1＝28（厘米） 据分析可得：如图是由一个等边三角形和一个任意三角形拼成的图形，拼成的图形的周长（刚好是一个整数）最短是28厘米。 5．如图，用9个同样的等边三角形依次排列，可拼成一个（    ）。 A．长方形 B．三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形 【答案】D 【分析】根据题意，三条边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形的三个角都是60°。再根据选项中四个图形的特征选择即可。 【解答】A．长方形的特征：长方形两组对边平行且相等，长方形的四个角都是直角；而等边三角形三个角都是60°，不可能拼成一个长方形； B．三角形只有3条边，而用多个三角形依次排列，拼出来的图形有4条边，所以不可能是三角形； C．平行四边形的上下两条边长度相等。 用4个等边三角形拼的时候，上下边各占2个三角形的边长，长度相等，所以是平行四边形。 但用9个三角形拼，上边占4个边长，下边占5个边长，两条边不相等，所以不是平行四边形； D．它有一组对边平行（上下两条边），且两条腰长度相等，完全符合等腰梯形的特征。 所以用9个同样的等边三角形依次排列，可拼成一个等腰梯形。 6．一个等腰三角形的一个底角和顶角的度数之和是140°，这个三角形按角分类是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不确定 【答案】C 【分析】等腰三角形两个底角相等且内角和是180°，这个等腰三角形的底角是180°－140°＝40°，用180°减两个底角即可得出顶角的度数，再根据三角形中有一个角大于90°的是钝角三角形，三个角小于90°的是锐角三角形，有一个角是直角的是直角三角形判断即可。 【解答】等腰三角形两个底角相等且内角和是180° 180°－140°＝40° 180°－40°×2 ＝180°－80° ＝100° 100°＞90° 这个三角形按角分类是钝角三角形。 7．明明画了一个直角三角形（如下图），这个三角形∠1的度数在20至30之间，∠2的度数可能是（    ）°。 A．48 B．56 C．64 D．78 【答案】C 【分析】根据是个直角三角形，推出两个锐角的和是90°，而已知∠1的度数在20到30之间（不包含端点值），这样可以计算∠2的范围，对照选项选出符合范围的即可。 【解答】∠1＋∠2＝90° 当∠1＝20°时，∠2＝90°－20°＝70° 当∠1＝30°时，∠2＝90°－30°＝60° 所以∠2的度数在60°到70°之间（不包含端点值）。 看选项： A．48°＜60°，不符合。 B．56°＜60°，不符合。 C．60°＜64°＜70°，符合。 D．78°＞70°，不符合。 8．一个三角形既是等腰三角形，又是钝角三角形，其中一个内角是40°，另外两个内角分别是（    ）。 A．40°和100° B．70°和70° C．50°和90° D．无法判断 【答案】A 【分析】一个三角形既是钝角三角形，又是等腰三角形，它的一个内角是40°，40°若作为顶角，180°减去40°得到两个相等的底角和，再除以2等到底角是70°，这三个角均为锐角，不符合题意，所以40°一定是底角，才能是钝角三角形。根据三角形的内角和是180°，用180°减去两个相等的底角的度数就是顶角的度数，据此作答。 【解答】 所以另外两个内角分别是40°和100°。 二、填空题 9．一个三角形的两条边长分别是3厘米和7厘米，第三条边的长度为整厘米数。这个三角形的周长最长是（ ）厘米。 【答案】19 【分析】三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边。根据三角形三边关系，可以确定第三条边的长度范围；因为要求周长最长，即第三条边要取范围内的最大整数值；确定第三条边的最大长度后，将三条边长相加即可求出最长周长。 【解答】7－3＝4（厘米） 7＋3＝10（厘米） 4厘米＜第三边的长度＜10厘米 所以第三条边最长是9厘米。 3＋7＋9 ＝10＋9 ＝19（厘米） 10．在梯形纸上剪一刀（如图），使剪下的图形中有一个是平行四边形，另一个图形可能是（    ）或（    ）。（想一想，在图中画一画） 【答案】三角形；梯形。 （画法不唯一） 【分析】梯形有一组对边平行，要剪出一个平行四边形，需要利用梯形的一组平行边，再作一条与腰平行的线。 【解答】从梯形上底的一个顶点作一条与另一腰平行的线段，这样剪下的图形是平行四边形，另一个图形是三角形。 从梯形的上底（非顶点）的位置作一条与腰平行的线段，这样剪下的一个图形是平行四边形，另一个图形是梯形。 图略。 11．梦梦准备用图钉固定硬纸条做一个三角形，她最少应准备（ ）根硬纸条，准备（ ）个图钉。如果其中的两根硬纸条分别是5cm和8cm，另一根硬纸条可能是（ ）。 【答案】3 3 5cm（答案不唯一） 【分析】至少要准备3根硬纸条，因为三角形有3条边； 至少要用3颗图钉，因为三角形有3个顶点； 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【解答】她最少准备3根硬纸条，准备3个图钉； 第三条边的长度大于8－5＝3（cm），小于8＋5＝13（cm），另一根硬纸条长度只要大于3厘米，小于13厘米即可。（答案不唯一） 12．王老师想从下图中这四根吸管中选择三根围成一个三角形（不剪断吸管），围成的三角形周长是（ ）厘米。这是一个（ ）三角形。 【答案】28 等腰 【分析】四根吸管长度分别为20厘米、10厘米、10厘米、8厘米，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，筛选所有选三根的组合，选择满足三边关系，可以围成三角形的三条边即可。 把三边相加，求出三角形的周长；再根据三角形有两条边长度相等，是等腰三角形，进行判断即可。 【解答】20厘米、10厘米、10厘米：10＋10＝20，不满足三边关系，无法围成三角形； 20厘米、10厘米、8厘米：10＋8＝18＜20，不满足三边关系，无法围成三角形； 10厘米、10厘米、8厘米：10＋10＞8、10＋8＞10，满足三边关系，可以围成三角形。 10＋10＋8 ＝20＋8 ＝28（厘米） 围成的三角形周长是28厘米。这是一个等腰三角形。 13．一个等腰三角形两条边的长度分别是6厘米和12厘米，这个等腰三角形的周长是（ ）厘米。 【答案】30 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；判断出该三角形的腰和底各是多少厘米，再计算三角形的周长即可。 【解答】如果腰长是6厘米，6＋6＝12（厘米），不符合三角形的三边关系。 如果腰是12厘米，12＋12＝24（厘米），24＞6，符合三角形的三边关系。 所以三角形的三边为：12厘米、12厘米、6厘米。 12＋12＋6 ＝24＋6 ＝30（厘米） 14．如图，一块三角形纸被撕了一个角，被撕的角是（ ）。这是一个（ ）三角形。 【答案】95° 钝角 【分析】三角形的内角和是180°，用180°减去已知的两个角的度数，即可求出被撕的这个角的度数。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有两个角相等的三角形是等腰三角形。据此解答。 【解答】180°－30°－55° ＝150°－55° ＝95° 一块三角形纸被撕了一个角，被撕的角是95°。这是一个钝角三角形。 15．一个等腰三角形的顶角是100°，底角是（ ）°；按角分，这个三角形是（ ）三角形。另一个等腰三角形一条边是5cm，另一条边是10cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm。 【答案】40 钝角 25 【分析】三角形内角和为，等腰三角形两个底角相等，因此底角＝（180°－顶角）÷2； 三角形按角分类，判断最大的角，最大的角是钝角，是钝角三角形；最大的角是直角，是直角三角形；最大的角是锐角，则是锐角三角形； 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边分情况判断即可。 【解答】（180°－100°）÷2 ＝80°÷2 ＝40° 三角形最大的角是100°，是钝角，则是钝角三角形； 若腰长为5cm，则5＋5＝10cm，不满足三边关系，无法围成三角形； 若腰长为10cm，则5＋10＞10，满足条件，周长为10＋10＋5 ＝20＋5 ＝25（cm） 16．在三角形中，已知∠1＝45°，∠2＝55°，那么∠3＝（ ）；在直角三角形中，已知一个锐角是50°，另一个锐角是（ ）。 【答案】80° 40° 【分析】根据三角形内角和是180度，可得∠3＝180°－∠1－∠2；在直角三角形中，两个锐角的度数之和是90度，所以另一个锐角的度数是：90°－50°，据此即可解答。 【解答】由分析可得： ∠3＝180°－∠1－∠2 ＝180°－45°－55° ＝135°－55° ＝80° 90°－50°＝40° 所以，在三角形中，已知∠1＝45°，∠2＝55°，那么∠3＝80°；在直角三角形中，已知一个锐角是50°，另一个锐角是40°。 三、判断题 17．用5cm、5cm和10cm长的三根小棒可以围成一个等腰三角形。（ ） 【答案】× 【分析】三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边。据此计算较短的两条边之和，看是否大于最长边。等腰三角形是两腰相等的三角形。 【解答】因为5＋5＝10（cm），两边之和等于第三边，不满足大于第三边的条件。所以这三根小棒不能围成三角形，更不能围成等腰三角形。 故答案为：× 18．一个三角形最小的内角是50°按角分类，这个三角形是个锐角三角形。（ ） 【答案】√ 【分析】三角形的内角的和是。已知最小的内角是，假设另一个内角也是50°，算出第三个内角的度数，看是否等于或大于90°，据此判断三角形。 【解答】180°－50°－50°＝80° 三角形的一个内角不可能等于或大于90°，所以这个三角形是锐角三角形。 故答案为：√ 19．由A城到B城有三条路线，如图，走第①条路线最近，用三角形的知识解释是在三角形中任意两边之和大于第三边。（ ） 【答案】√ 【分析】由图可知，①号路线是一条直直的线段，而②号和③号路线分别是由两条线段组成的。在三角形中，①号路线是一条较长的边，而②号和③号路线分别由两条较短边组成。根据三角形的任意两边之和大于第三边可推理出①号路线最短。 【解答】由A城到B城有三条路线，走第①条路线最近，用三角形的知识解释是任意两边之和大于第三边。原题说法正确。 故答案为：√ 20．在同一个三角形中，如果一个较大的内角等于其他两个内角的和，那么这个三角形一定是直角三角形。（ ） 【答案】√ 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 三角形内角和是180°。设这个三角形三个内角分别是∠1、∠2、∠3，∠1＋∠2＝∠3，∠1＋∠2＋∠3＝180°，那么∠3＋∠3＝180°，∠3＝180°÷2＝90°。这个三角形是直角三角形。 【解答】在同一个三角形中，如果一个较大的内角等于其他两个内角的和，那么这个三角形一定是直角三角形。 故答案为：√ 四、计算题 21．按下图的方法将三角形纸折叠，则的度数是多少？ 【答案】50° 【分析】看图可知，原三角形是个直角三角形，根据三角形的内角和是180°，用180°－90°－65°可以求出∠1的度数。如下图：根据三角形的内角和是180°，用180°减去2个∠1的度数即可求出的和；因为＋∠2组成一个平角，平角＝180°，所以用180°减去的和即可求出∠2的度数，据此解答。 【解答】根据分析： ∠1＝180°－90°－65° ＝90°－65° ＝25° ＝180°－（25°＋25°） ＝180°－50° ＝130° ＝50° 所以∠2的度数是50°。 22．求出下面未知角的度数。 【答案】120° 【分析】用四边形的内角和360°减去已知三个角的度数，就是未知角的度数。 【解答】 所以未知角的度数为120°。 五、作图题 23．在点子图中分别画一个直角三角形、钝角三角形和等腰三角形。 【答案】（画法不唯一） 【分析】直角三角形有一个角是直角，直角等于90°，据此画出直角三角形；钝角三角形有一个角是钝角，钝角是大于90°小于180°的角，据此画出钝角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形。根据这些图形的特点进行画图。（画法不唯一） 六、解答题 24．三角形的一条边长是10厘米，另外两条边长（整厘米数）的和是15厘米，这两条边长可以分别是多少厘米？你能把你想到的符合条件的一组一组地都写出来吗？试试看。 【答案】3厘米和12厘米、4厘米和11厘米、5厘米和10厘米、6厘米和9厘米、7厘米和8厘米。 【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。先列举出和是15的所有整数组合，再逐一验证每组数据与已知边10厘米是否满足“两边之和大于第三边”的条件。 【解答】15＝1＋14＝2＋13＝3＋12＝4＋11＝5＋10＝6＋9＝7＋8 ①另外两边为1厘米和14厘米时：1＋10＝11（厘米），11＜14，不能围成三角形。 ②另外两边为2厘米和13厘米时：2＋10＝12（厘米），12＜13，不能围成三角形。 ③另外两边为3厘米和12厘米时：3＋10＝13（厘米），13＞12，能围成三角形。 ④另外两边为4厘米和11厘米时：4＋10＝14（厘米），14＞11，能围成三角形。 ⑤另外两边为5厘米和10厘米时：5＋10＝15（厘米），15＞10，能围成三角形。 ⑥另外两边为6厘米和9厘米时：6＋9＝15（厘米），15＞10，能围成三角形。 ⑦另外两边为7厘米和8厘米时：7＋8＝15（厘米），15＞10，能围成三角形。 答：这两条边长可以分别是3厘米和12厘米、4厘米和11厘米、5厘米和10厘米、6厘米和9厘米、7厘米和8厘米。 25．三角形的一条边长是8厘米，另外两条边长（整厘米）的和是14厘米，这两条边长可以分别是多少厘米？你能把你想到的符合条件的一组一组地都写出来吗？试试看。 【答案】7厘米和7厘米；8厘米和6厘米；9厘米和5厘米；10厘米和4厘米 【分析】任意三角形的两边之和大于第三边，三角形的一条边长是8厘米，另外两条边长（整厘米）的和是14厘米； 14＝7＋7，当另外两条边是7厘米和7厘米，此时7＋8＝15（厘米），15＞8，可以构成三角形； 14＝8＋6，当另外两条边是8厘米和6厘米，此时6＋8＝14（厘米），8＜14，可以构成三角形； 14＝9＋5，当另外两条边是9厘米和5厘米，此时5＋8＝13（厘米），9＜13，可以构成三角形； 14＝10＋4，当另外两条边是10厘米和4厘米，此时4＋8＝12（厘米），10＜12，可以构成三角形； 14＝11＋3，当另外两条边是11厘米和3厘米，此时3＋8＝11（厘米），无法构成三角形； 14＝12＋2，当另外两条边是12厘米和2厘米，此时2＋8＝10（厘米），10＜12，无法构成三角形； 14＝13＋1，当另外两条边是13厘米和1厘米，此时1＋8＝9（厘米），9＜13，所以无法构成三角形；据此解题 。 【解答】14＝7＋7 7＋8＝15（厘米） 15＞8，所以两外两条边是7厘米和7厘米时，可以构成三角形； 14＝8＋6 6＋8＝14（厘米） 8＜14，所以两外两条边是8厘米和6厘米时，可以构成三角形； 14＝9＋5 5＋8＝13（厘米） 9＜13，所以两外两条边是9厘米和5厘米时，可以构成三角形； 14＝10＋4 4＋8＝12（厘米） 10＜12，所以两外两条边是10厘米和4厘米时，可以构成三角形； 答：这两条边长可以分别是7厘米和7厘米；8厘米和6厘米；9厘米和5厘米；10厘米和4厘米。 26．淘气用一根1.2米长的木条做一个腰长是45厘米的等腰三角形风筝骨架，那么这个风筝骨架的底边是多少厘米？（连接处不计） 【答案】 30厘米 【分析】已知木条总长度即为三角形的周长，风筝骨架是等腰三角形，根据等腰三角形的特征可知两条腰的长度相等。题干中单位不统一，根据1米＝10分米＝100厘米，将米换算成厘米，再根据“底边＝周长－腰长×2”的数量关系列综合算式进行脱式计算。 【解答】1.2米＝120厘米 （厘米） 答：这个风筝骨架的底边是30厘米。 27．一根铁丝可以围成一个腰长12厘米，底长18厘米的等腰三角形，如果改围一个等边三角形，那么等边三角形的边长是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】先根据等腰三角形周长公式求出铁丝总长度，等腰三角形周长＝腰长×2＋底边长；铁丝长度不变，等边三角形三条边相等，等边三角形边长＝周长÷3。 【解答】12×2＋18 ＝24＋18 ＝42（厘米） 42÷3＝14（厘米） 答：等边三角形的边长是14厘米。 28．丽苑小区有一个花坛，由3个不同的等边三角形围成（如图）。从A点出发绕花坛走一圈，要走多少米？ 【答案】336米 【分析】等边三角形的三条边都相等，即最大的等边三角形的边长为（56＋28）米，因此从A点出发绕花坛走一圈，要走2个（56＋28）米、2个28米和2个56米，依此计算出要走的总长度即可。 【解答】（56＋28）×2＋28×2＋56×2 ＝84×2＋56＋112 ＝168＋56＋112 ＝224＋112 ＝336（米） 答：从A点出发绕花坛走一圈，要走336米。 29．我国潍坊（又称鸢都）作为世界风筝之都，是世界风筝文化交流的中心。小红为参加风筝节，特意做了一个风筝，风筝的造型是等腰三角形，其中一个顶角是46度，风筝的底角是多少度？ 【答案】67度 【分析】三角形内角和等于180度，且等腰三角形的两个底角相等。已知顶角是46度，先用180度减去顶角的度数求出两个底角的度数和，再除以2即可求出一个底角的度数。 【解答】（180－46）÷2 ＝134÷2 ＝67（度） 答：风筝的底角是67度。 30．红色教育基地的农耕实践园围长方形木条防护栏，长方形结构容易晃动变形，文文同学提议斜钉一根木条加固围栏。 （1）文文这样建议的理由是什么？ （2）若图中，。 ①木条围成的三角形按角分是一个（ ）三角形，按边分是一个（ ）三角形。 ②求出图中和的度数。 【答案】（1） 三角形具有稳定性 （2） ① 锐角；等腰； ② ∠2＝75°，∠3＝30°。 【分析】（1）四边形容易变形，具有不稳定性；三角形不容易变形，具有稳定性。加一根木条将四边形分成两个三角形，利用了三角形的稳定性。 （2）已知AB＝AC，所以按边分是等腰三角形；∠1和∠ABC组成平角，用180°减去∠1的度数，求出∠ABC的度数，∠2＝∠ABC，再用180°减去2个底角，求出顶角∠3。三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。在三角形中，两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 【解答】（1）略 （2）若图中AB＝AC，∠1＝105°。 ①木条围成的三角形ABC按角分是一个锐角三角形，按边分是一个等腰三角形。 ②∠ABC＝180°－105°＝75° ∠2＝∠ABC＝75° ∠3＝180°－75°－75°＝105°－75°＝30° 答：∠2的度数是75°，∠3的度数是30°。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学四升五暑期进阶衔接金牌学案 专题04 三角形【能力清单+核心易错点+错题复盘练】 1、能清晰理解三角形的核心定义与特性，准确区分三角形和其他多边形的概念边界。 2、能熟练完成三角形的高绘制、边长验证、内角和推导操作，理解三边关系、内角和性质的内在关联逻辑。 3、能熟练运用三角形稳定性、三边关系、内角和定理，完成各类三角形相关题型的求解。 4、能根据不同实际场景，灵活选择实物验证、特征推导的方法适配对应的解题需求。 5、会检验三角形相关结论，选择反向拼接、边长核验、角度拆分的策略验证答案正确性。 6、能分辨三角形相关的实际问题，抓住“找准三角形的边、角核心约束条件”这一关键。 7、做题时，能圈出题目中的“高”“底”“两边之和”“内角和”“稳定性”等核心关键词。 8、能熟练根据实际场景设定解题路径，区分直接特征判断、分步验证推导的适用场景。 9、能准确识别“三角形特性类、三边关系类、内角和计算类”不同题型，匹配对应的规范求解步骤。 10、能根据已知的三角形边长、角度结果反推题目缺失的边、角参数，理清三角形各要素的对应逻辑。 1、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形才是标准三角形，仅三条线段随意拼接、未完全封闭的图形不能直接判定为三角形。 2、验证三条线段能否围成三角形时，需保证任意两边之和大于第三边，不能仅验证其中一组边的和大于第三边就直接下结论。 3、给三角形指定底边作高时，高必须从该底边对应的顶点出发，向底边作垂直线段，不能从边上的非顶点位置出发随意绘制高。 4、反向核验三角形内角计算结果时，将求出的三个内角度数相加，最终得到的总度数必须和三角形内角和固定值180°完全相等。 5、推导三角形边长的取值范围时，所有边的长度都要满足三边关系约束，不能仅算出单一边的范围就忽略其余边的合法性校验。 6、标注三角形边长、角度的最终结果时要明确匹配对应单位，避免出现长度单位和角度单位的指代错配问题。 7、计算部分边长被遮挡的三角形题型时，要先结合三边关系筛选出合法的边长取值，不能直接硬套普通图形的边长计算逻辑乱凑数值。 8、同一道三角形相关题目的判定基准必须完全统一，不能中途随意更改三边关系、内角和的规则乱判图形属性。 9、解决三角形稳定性的实际应用问题时，要先确认结构是否构成完整的三角形框架，不能直接把非三角形的多边形结构强行套用稳定性特性。 10、只有符合定义的标准平面三角形场景，才能适配三边关系、内角和为180°的相关规则，非平面的曲面三角形场景不能随意套用本单元的常规三角形运算逻辑。 一、选择题 1．已知三角形的两条边分别是4厘米和10厘米，那么第三条边的长度不可能是（    ）。 A．7厘米 B．10厘米 C．13厘米 D．15厘米 2．用三根小棒围三角形，下面选项中，能围成三角形的是（    ）。 A．3cm、4cm、8cm B．3cm、5cm、8cm C．3cm、4cm、5cm D．3cm、6cm、2cm 3．下面一定是轴对称图形的是（    ）。 A．平行四边形 B．梯形 C．长方形 D．任意三角形 4．如图是由一个等边三角形和一个任意三角形拼成的图形，拼成的图形的周长（刚好是一个整数）最短是（    ）厘米。 A．37 B．35 C．28 D．38 5．如图，用9个同样的等边三角形依次排列，可拼成一个（    ）。 A．长方形 B．三角形 C．平行四边形 D．等腰梯形 6．一个等腰三角形的一个底角和顶角的度数之和是140°，这个三角形按角分类是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不确定 7．明明画了一个直角三角形（如下图），这个三角形∠1的度数在20至30之间，∠2的度数可能是（    ）°。 A．48 B．56 C．64 D．78 8．一个三角形既是等腰三角形，又是钝角三角形，其中一个内角是40°，另外两个内角分别是（    ）。 A．40°和100° B．70°和70° C．50°和90° D．无法判断 二、填空题 9．一个三角形的两条边长分别是3厘米和7厘米，第三条边的长度为整厘米数。这个三角形的周长最长是（ ）厘米。 10．在梯形纸上剪一刀（如图），使剪下的图形中有一个是平行四边形，另一个图形可能是（    ）或（    ）。（想一想，在图中画一画） 11．梦梦准备用图钉固定硬纸条做一个三角形，她最少应准备（ ）根硬纸条，准备（ ）个图钉。如果其中的两根硬纸条分别是5cm和8cm，另一根硬纸条可能是（ ）。 12．王老师想从下图中这四根吸管中选择三根围成一个三角形（不剪断吸管），围成的三角形周长是（ ）厘米。这是一个（ ）三角形。 13．一个等腰三角形两条边的长度分别是6厘米和12厘米，这个等腰三角形的周长是（ ）厘米。 14．如图，一块三角形纸被撕了一个角，被撕的角是（ ）。这是一个（ ）三角形。 15．一个等腰三角形的顶角是100°，底角是（ ）°；按角分，这个三角形是（ ）三角形。另一个等腰三角形一条边是5cm，另一条边是10cm，这个等腰三角形的周长是（ ）cm。 16．在三角形中，已知∠1＝45°，∠2＝55°，那么∠3＝（ ）；在直角三角形中，已知一个锐角是50°，另一个锐角是（ ）。 三、判断题 17．用5cm、5cm和10cm长的三根小棒可以围成一个等腰三角形。（ ） 18．一个三角形最小的内角是50°按角分类，这个三角形是个锐角三角形。（ ） 19．由A城到B城有三条路线，如图，走第①条路线最近，用三角形的知识解释是在三角形中任意两边之和大于第三边。（ ） 20．在同一个三角形中，如果一个较大的内角等于其他两个内角的和，那么这个三角形一定是直角三角形。（ ） 四、计算题 21．按下图的方法将三角形纸折叠，则的度数是多少？ 22．求出下面未知角的度数。 五、作图题 23．在点子图中分别画一个直角三角形、钝角三角形和等腰三角形。 六、解答题 24．三角形的一条边长是10厘米，另外两条边长（整厘米数）的和是15厘米，这两条边长可以分别是多少厘米？你能把你想到的符合条件的一组一组地都写出来吗？试试看。 25．三角形的一条边长是8厘米，另外两条边长（整厘米）的和是14厘米，这两条边长可以分别是多少厘米？你能把你想到的符合条件的一组一组地都写出来吗？试试看。 26．淘气用一根1.2米长的木条做一个腰长是45厘米的等腰三角形风筝骨架，那么这个风筝骨架的底边是多少厘米？（连接处不计） 27．一根铁丝可以围成一个腰长12厘米，底长18厘米的等腰三角形，如果改围一个等边三角形，那么等边三角形的边长是多少厘米？ 28．丽苑小区有一个花坛，由3个不同的等边三角形围成（如图）。从A点出发绕花坛走一圈，要走多少米？ 29．我国潍坊（又称鸢都）作为世界风筝之都，是世界风筝文化交流的中心。小红为参加风筝节，特意做了一个风筝，风筝的造型是等腰三角形，其中一个顶角是46度，风筝的底角是多少度？ 30．红色教育基地的农耕实践园围长方形木条防护栏，长方形结构容易晃动变形，文文同学提议斜钉一根木条加固围栏。 （1）文文这样建议的理由是什么？ （2）若图中，。 ①木条围成的三角形按角分是一个（ ）三角形，按边分是一个（ ）三角形。 ②求出图中和的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $