解题大招15 函数对称性和周期性秒杀大招（解析版）(全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以“结论归纳-性质辨析-综合应用”为主线，系统整合函数周期性（8类结论）、对称性（自身/相互对称）及双对称性与周期关系，提炼“秒求周期”“对称判断”等5大解题技巧，通过高考真题与模拟题实现方法迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |周期性结论|3典例+3训练|8类周期结论（如f(x+a)=-f(x)→T=2a）|从基础周期定义到衍生结论，形成公式体系| |自身对称性|2典例+4训练|“内反表对称”“对称求平均”|区分轴对称/中心对称，推导对称轴/中心公式| |相互对称性|2典例+3训练|“对称解方程”求对称轴/中心|对比单函数与双函数对称差异，强化图像变换逻辑| |双对称性与周期|2典例+2训练|双对称轴/中心→周期公式（如2|b-a|）|整合对称性与周期性，构建综合性质应用链条| |奇偶性与对称性|2典例+2训练|奇偶性→对称性转化（如f(x+a)偶→x=a对称）|链接函数基本性质与图像特征，提升性质迁移能力|

解题大招15 函数对称性和周期性秒杀大招 知识点01 函数周期性结论全归纳 设是不为0的实数，对定义域内任一自变量的值： （1）的一个周期T=. （2）的一个周期T=. （3）的一个周期. （4）（为常数）的一个周期T=. 提示：，两式相减可得： （5）（为常数）的一个周期T=. （6）的一个周期T=. 提示：，相加，得，则T=. （7）的一个周期T=. （8）的一个周期T=. 知识点02 同一个函数的对称性（自身对称） 1．对称性和周期性的区别 若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”. 2．函数图象本身的对称性(自身对称) ⑴图象关于直线对称. 推论1: 的图象关于直线对称. 推论2、的图象关于直线对称. 推论3、)的图象关于直线对称. ⑵的图象关于点对称. 推论1、的图象关于点对称. 推论2、的图象关于点对称. 推论3、的图象关于点对称. 3．函数的对称性与奇偶性的关系 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 知识点03 两个函数间的对称性（相互对称） 1． 函数与图象关于直线对称. （提示：令与中的相等，即， 从而可求得对称轴方程为） 推论1:函数与图象关于直线对称. 推论2:函数与图象关于直线对称. 推论3:函数与图象关于直线对称. 2．函数与图象关于点对称. （提示：令与中的相等，即， 从而可解得对称中心的横坐标为） 推论1: 函数与图象关于点（0，0）对称. 推论2: 函数与图象关于点（，0）对称. 推论3: 函数与图象关于点（-，0）对称. 3．其他的一些特殊的对称结论： ⑴与图象关于y轴对称. ⑵与图象关于原点对称函数. ⑶函数与图象关于x轴对称. ⑷函数与其反函数图象关于直线对称. 知识点04 双对称性和周期性的关系偶函数的特性 1．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. 2．若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. 3．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4｜b－a｜. 题型01 函数周期性结论的应用 解与函数的周期性有关的问题 1.根据题意，求出函数的周期(可以利用知识点1所介绍的二级结论秒出函数的周期). 2.利用函数的周期性，将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 【典例1-1】定义在R上的函数对任意x∈R，都有，，则等于( ) A. B. C. D. 【典例1-2】（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【典例1-3】（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练】 1．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 2.（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 3．（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 题型02 函数自对性结论的应用 1．轴对称问题的常用性质 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x). (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称. 2．中心对称问题的常用性质 (1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x). (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 注意：对于函数自身对称的性质可以简记为：函数自身对称求平均，即性质2关于点，也就是关于点对称. 【典例2-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】(2025·福建龙岩模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为　　　　　. 【跟踪训练】 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数是中心对称图形，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2026秋·辽宁丹东·高三期末）设函数，则（    ） A． 是奇函数    B．是偶函数 B． 的图象关于点中心对称    D．的图象关于直线轴对称 3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 4. (2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3.证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形. 题型03 两个函数对称性结论的应用 1．函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称.可以简记为：两个函数对称解方程，即由a＋x＝b－x，得x＝. 2．函数与图象关于点对称. 【典例3-1】已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称 【答案】A 【详解】设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.故选A. 【典例3-2】(2025·河北邯郸模拟)将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线y＝4x关于直线x＝1对称，则f＝(　　) A.－4 B.－3 C.－2 D.4 【跟踪训练】 1．函数的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线关于轴对称,则（ ） A． B． C． D． 2．(2025·福建厦门模拟)函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，其中m＝(　　) A.3 B. C.－1 D.－ 3.设函数与的图象关于直线对称,且,则（ ） A． B．1 C．2 D．4 题型04 利用函数的双对称性秒求函数周期 一个函数的图象如果具有两条对称轴，或具有两个对称中心，或具有一个对称中心及一条对称轴，则这这个函数一定是周期函数，常利用此结论秒求周期. 【典例4-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．2 D．1 【典例4-2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 2．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ） A． B． C． D． 题型05 由函数的奇偶性确定函数的对称性 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 【典例5-1】已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则有①为奇函数，②关于对称，③关于点对称，④，则上述推断正确的是（    ） A．②③    B．①④    C．②③④    D．①②④ 【典例5-2】（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数在上单调递增，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）函数及其导函数的定义域均为，和都是奇函数，则（     ） A．的周期为4 B．的图象关于点对称 C． D． 1．（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知定义域为的函数满足：，且，都有，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在时取最小值 D． 3．（25-26高一下·江苏镇江·期末）函数与的图象在上有个不同的交点，则（     ） A．4052 B．4053 C．8104 D．8105 4．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数为偶函数，，且，若，则以下结论错误的是（ ）. A． B． C． D． 5．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数，，，和有相同的对称中心.若直线与的图象交于两点，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）函数是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 8．(多选)（2026·广西河池·三模）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 9．(多选)（25-26高二下·浙江宁波·期末）定义在 上的函数满足为偶函数，且，则（     ） A．函数为偶函数 B．函数为周期函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在内至少有个零点 10．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，．若，则的值为________ 11．（2026高一·全国·专题练习）已知函数定义在上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是____. 12．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值; (2)设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 13．（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：曲线是轴对称图形； (3)若，恒成立，求的最大值和的最小值． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招15 函数对称性和周期性秒杀大招 知识点01 函数周期性结论全归纳 设是不为0的实数，对定义域内任一自变量的值： （1）的一个周期T=. （2）的一个周期T=. （3）的一个周期. （4）（为常数）的一个周期T=. 提示：，两式相减可得： （5）（为常数）的一个周期T=. （6）的一个周期T=. 提示：，相加，得，则T=. （7）的一个周期T=. （8）的一个周期T=. 知识点02 同一个函数的对称性（自身对称） 1．对称性和周期性的区别 若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”. 2．函数图象本身的对称性(自身对称) ⑴图象关于直线对称. 推论1: 的图象关于直线对称. 推论2、的图象关于直线对称. 推论3、)的图象关于直线对称. ⑵的图象关于点对称. 推论1、的图象关于点对称. 推论2、的图象关于点对称. 推论3、的图象关于点对称. 3．函数的对称性与奇偶性的关系 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 知识点03 两个函数间的对称性（相互对称） 1． 函数与图象关于直线对称. （提示：令与中的相等，即， 从而可求得对称轴方程为） 推论1:函数与图象关于直线对称. 推论2:函数与图象关于直线对称. 推论3:函数与图象关于直线对称. 2．函数与图象关于点对称. （提示：令与中的相等，即， 从而可解得对称中心的横坐标为） 推论1: 函数与图象关于点（0，0）对称. 推论2: 函数与图象关于点（，0）对称. 推论3: 函数与图象关于点（-，0）对称. 3．其他的一些特殊的对称结论： ⑴与图象关于y轴对称. ⑵与图象关于原点对称函数. ⑶函数与图象关于x轴对称. ⑷函数与其反函数图象关于直线对称. 知识点04 双对称性和周期性的关系偶函数的特性 1．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. 2．若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜. 3．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4｜b－a｜. 题型01 函数周期性结论的应用 解与函数的周期性有关的问题 1.根据题意，求出函数的周期(可以利用知识点1所介绍的二级结论秒出函数的周期). 2.利用函数的周期性，将其他区间上的求值、求零点个数、求详解式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 【典例1-1】定义在R上的函数对任意x∈R，都有，，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】 【分析】由及所求可联想到周期性，所以考虑 ，所以是周期为4的周期函数，故(2026)=f(2)，而由已知可得，所以. 【典例1-2】（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 【典例1-3】（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， （秒杀：的一个周期为） 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 【跟踪训练】 1．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【分析】首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知详解式可求解. 【详解】因为函数满足， 所以，即是以4为周期的函数. 由题意知奇函数的自变量可取0，所以. 又因为当时，，所以，解得， 所以当时，， 所以 . 2.（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】D 【分析】根据条件结合赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出的值，即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以. 由，令，得，故， 由，令，得， 所以，即， 所以，故以4为周期， （秒杀：因为（为常数）的一个周期T=. 而，所以以4为周期） 由，则，， ，， ，， ，， 所以 . 3．（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， (秒解：（秒杀：因为（为常数）的一个周期T=. 而，所以以为周期） ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：，     . 题型02 函数自对性结论的应用 1．轴对称问题的常用性质 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x). (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称. 2．中心对称问题的常用性质 (1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x). (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称. 注意：对于函数自身对称的性质可以简记为：函数自身对称求平均，即性质2关于点，也就是关于点对称. 【典例2-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，进而得到，则，再由基本不等式求解即可． 【详解】， 关于点对称，又， 在和单调递减，且时，时，， 又，， ， 又（当且仅当时取等）， 则. 【典例2-2】(2025·福建龙岩模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为　　　　　. 【答案】[－1，0] 【详解】因为函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)关于直线x＝2对称，又因为f(x)在上单调递减，则f(x)在上单调递增，则由f≤f(1)得，即≤1，解得－1≤x≤0，则解集为[－1，0]. 【跟踪训练】 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数是中心对称图形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性，结合定义域可知对称中心为，再根据定义式求出即可判断A；代入计算即可判断B；利用函数单调性判断CD即可． 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以A错误； 因为，所以，所以B正确； ， 又在上单调递增，在上也单调递增， 所以是增函数，又，所以，所以C错误； 因为，所以， 又因为，所以，所以D错误． 2．（多选）（2026秋·辽宁丹东·高三期末）设函数，则（    ） A． 是奇函数    B．是偶函数 B． 的图象关于点中心对称    D．的图象关于直线轴对称 【分析】直接利用函数对称性的定义验证. 【答案】C 【详解】对于选项A：，则不是奇函数，故A错误； 对于选项B：，则不是偶函数，故B错误； 对于选项C：，故的图象关于点中心对称，故C正确； 对于选项D：，则的图象不关于直线轴对称，故D错误； 故选：C. 【题后反思】判断函数的对称性，一般直接通过函数的定义来进行，不要忽略对定义域的考查，函数定义域的对称性是函数具备对称的前题. 3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，， 则， 则的图象的对称中心是 4. (2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3.证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形. 【证明】要使函数f(x)有意义，则＞0，故0＜x＜2，即f(x)的定义域为x∈(0，2)，f(2－x)＝ln＋a(2－x)＋b(1－x)3＝－ln－ax－b(x－1)3＋2a＝－f(x)＋2a， 故曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称. 题型03 两个函数对称性结论的应用 1．函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称.可以简记为：两个函数对称解方程，即由a＋x＝b－x，得x＝. 2．函数与图象关于点对称. 【典例3-1】已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3，0)对称 【答案】A 【详解】设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.故选A. 【典例3-2】(2025·河北邯郸模拟)将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线y＝4x关于直线x＝1对称，则f＝(　　) A.－4 B.－3 C.－2 D.4 【答案】D 【详解】函数y＝42－x的图象与函数y＝4x的图象关于直线x＝1对称，将y＝42－x的图象向下平移4个单位长度得到y＝42－x－4的图象，再将y＝42－x－4的图象向左平移1个单位长度得到y＝42－(x＋1)－4＝41－x－4的图象，即f(x)＝41－x－4，故f＝－4＝4.故选D. 【跟踪训练】 1．函数的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线关于轴对称,则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的图象关于轴对称的图象的函数详解式为,而函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线的图象关于轴对称,所以函数的详解式为,故选D. 2．(2025·福建厦门模拟)函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，其中m＝(　　) A.3 B. C.－1 D.－ 【答案】D 【详解】设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点为Q(x'，y')，则则y'＝f(1－2m＋x')，即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，得m＝－.故选D. 3.设函数与的图象关于直线对称,且,则（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】设是函数的图象上任意一点,它关于直线对称的点的坐标为,由题意知在函数的图象上,所以,解得,即 ， 所以,解得,故选C. 题型04 利用函数的双对称性秒求函数周期 一个函数的图象如果具有两条对称轴，或具有两个对称中心，或具有一个对称中心及一条对称轴，则这这个函数一定是周期函数，常利用此结论秒求周期. 【典例4-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】由函数的图象关于直线对称，可得对任意，都有， 即，所以为偶函数， 由可得，即， 所以是以4为周期的偶函数， 因此， 由，令可得， 所以． 【典例4-2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】C 【分析】首先根据偶函数的定义结合已知条件求得函数的周期，最后借助函数周期性求解函数值即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为， 所以，所以，所以的周期为. 因为时，，所以 2．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为. 因为，所以，即， 所以， 所以，即. 题型05 由函数的奇偶性确定函数的对称性 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 【典例5-1】已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则有①为奇函数，②关于对称，③关于点对称，④，则上述推断正确的是（    ） A．②③    B．①④    C．②③④    D．①②④ 【答案】D 【分析】当涉及到函数的奇偶性时，直接利用结论或者利用函数图象平移得到与函数相关的性质，从而作出判断，也可以寻找形似函数来进行判断. 【详解】（法一）因为为奇函数，所以关于点对称， 又是上的奇函数，过，点，所以过，所以有； 又为偶函数，所以关于对称；所以有， 又，所以，所以的周期为4， 所以由，得，所以为奇函数，所以①②④正确. （法二）举例：符合题意，再验证得到①②④正确. 故选：D. 【温馨提醒】当函数既有对称轴、又有对称中心，可以取为正弦型或余弦型函数来进行判断，化抽象函数为具体函数，直接明了. 【典例5-2】（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性解不等式，偶函数在对称区间内单调性相反，可以利用到对称轴的距离列不等式判断． 【详解】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 【跟踪训练】 1．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数在上单调递增，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性和单调性逐一判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 令得，A错误； 令得，C错误； 又函数在上单调递增，， 所以，，B错误，D正确. 2．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）函数及其导函数的定义域均为，和都是奇函数，则（     ） A．的周期为4 B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】C 【分析】先根据、 为奇函数，推导出 、 的对称性与周期性，再据此逐一验证选项即可. 【详解】 为奇函数， ，  ① 则关于点 中心对称， 对①两边求导：，， 即 关于直线 对称，即，  ② 为奇函数， ， 令 ，则 ，代入得：， 即 关于点 对称，故，  ③ 联立②③：， 令 ，则 ，代入得：， 即 ，故 ， 的周期为 ，且， 由 及 ，则， 令 ，得 ， 又 关于 对称，故 ， 令 ，代入①式：，即 ， 由 ，令 ，得 ， 又 ，令 代入 ，得： ，所以，即， 故 ，得 ，所以， 所以， 即 的周期为 ； 选项A：由 ，可知 周期为 ，A错误； 选项B：由③式 ，可知 的对称中心为 ，而非 ，B错误； 选项C由 可得 ， 由 关于点 中心对称，即 ， 令 ，得 ，故，即， 又 综上：，C正确； 选项D：由 关于直线 对称，得 ， 又由 为奇函数，且关于点对称， 即 ，令 ，得 ， 由 ，令 ，得 ，故 ， 由 ，令 ，得 ， 由为奇函数求导知关于直线对称，即， 由 关于直线 对称，， 由得 ，结合 ， 令 ，得 ， 又令 ，，联立得 ，故 ， 因此 ， 因为 周期为 ，一个周期内函数值之和为 ，且，故： ，D错误. 1．（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若函数的图象关于点对称，则对定义域内任意满足，结合函数定义域先确定对称中心横坐标的可能值，再代入验证即可. 【详解】∵ 要使函数有意义，则，即，解得，故函数定义域为. 若函数存在对称中心，则横坐标为区间中点，接下来验证的值： ， ， ∴ ， 即对任意定义域内的，都满足，故函数的图象的对称中心为. 2．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知定义域为的函数满足：，且，都有，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在时取最小值 D． 【答案】D 【详解】令，则，故，故A错误； 因为，所以的函数图象关于点中心对称，故B错误； 因为，都有， 所以在上单调递增， 因为的函数图象关于点中心对称，所以在上单调递增， 则在上单调递增，则无最小值，故C错误； ，故D正确. 3．（25-26高一下·江苏镇江·期末）函数与的图象在上有个不同的交点，则（     ） A．4052 B．4053 C．8104 D．8105 【答案】B 【分析】根据两函数的对称性可求出它们的对称中心为，结合图象求出它们在上交点的总个数，即可求得结果. 【详解】易知函数关于点成中心对称， 又函数满足； 因此函数也关于点成中心对称， 易知函数的最小正周期为，其值域为 因为函数在上单调递减，且当时，，当，； 可知的值域为； 画出两函数在同一坐标系下的图象如下图： 根据图象可知两函数在上除了之外，共有四个交点， 且由对称性可知这四个交点的横坐标之和为0，纵坐标之和满足， 再由周期性可知两函数在上除了之外共有个交点， 结合对称性可知. 4．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数为偶函数，，且，若，则以下结论错误的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由抽象函数判断函数的对称性，并根据条件，采用赋值法，判断AB选项，再利用赋值，判断函数的周期性，再由对称性和周期性判断CD. 【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，所以， 在中，令，得， 又，所以，故A正确； 令，得，即，得， 而，故B错误； 由已知得，则，得， 那么，所以函数是周期为的周期函数， 故，故C正确； 因为函数的图象关于直线对称，所以， 因为函数的周期为，所以，所以，故D正确. 5．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据详解式得关于直线对称，利用导数判断在上单调性，再应用对称性和单调性判断函数值的大小即可. 【详解】由， 所以关于直线对称， 当时，，则， 所以在上单调递增， 由，则，而， 所以，故，即， 由，故，即， 综上，. 6．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数，，，和有相同的对称中心.若直线与的图象交于两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过函数图像平移的性质得到和的对称中心，从而得到，再令，解得两点的横坐标，再求出的值. 【详解】可看成是平移得到，所以对称中心为. ， 令，则， 所以为奇函数，对称中心为. ，的对称中心为. 和有相同的对称中心,，即. 则直线为， 令，解得， 由题意知两点在直线上， 所以. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）函数是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原题条件转换为函数与函数得图象有三个交点，故只需画图分析即可得解. 【详解】由已知得， 则， 所以函数的图象关于直线对称，关于原点对称， 又， 进而有，所以函数是以4为周期的周期函数. 由有三个零点可知，函数与函数的图象有三个交点， 当直线与函数图象在上相切时， 由，即， 故方程有两个相等的实根. 由，解得， 当时，，作出函数与函数的图象如图： 由图知当直线与函数图象在上相切时，， 数形结合可得在上有三个零点时，实数满足， 再根据函数的周期为4， 可得所求的实数的范围为. 8．(多选)（2026·广西河池·三模）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 9．(多选)（25-26高二下·浙江宁波·期末）定义在 上的函数满足为偶函数，且，则（     ） A．函数为偶函数 B．函数为周期函数 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在内至少有个零点 【答案】ABD 【分析】根据已知及奇偶性的定义判断A，再由已知及偶函数性质判断B，最后利用奇偶性、周期性研究函数的对称性和零点判断C、D. 【详解】因为是偶函数，所以， 因为，所以， 将 替换为，得， 结合，可得，即， A：由上推导可知，所以函数为偶函数，正确， B：由，可得， 所以函数是周期为的周期函数，正确， C：由（关于 轴对称）和周期为， 因为，所以，而， 因此， 则函数图象关于点对称，不是关于直线 对称，错误； D：在中，令，得， 因为是偶函数，所以，代入得，解得， 结合周期为，可知均为， 同理，由，可知也为， 在区间内，所有奇数点都是函数的零点，共有个， 因此至少有个零点，正确. 10．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，．若，则的值为________ 【答案】4050 【分析】根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用函数的周期和赋值法进行求解即可. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 所以函数关于中心对称； 因为，所以关于对称， 所以函数是周期为4的周期函数， 所以在中令，又， 则. 令，则； 令，则， 所以. 则 11．（2026高一·全国·专题练习）已知函数定义在上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是____. 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，对称性以及函数图象和性质，结合函数零点的定义分析即可. 【详解】定义在上函数满足，可得为奇函数， 又由，可得有对称轴， 由，可得， 则最小正周期为4， 函数的零点即函数与函数图象交点的横坐标， 又当时，， 在同一坐标系内作出函数与函数图象如下： 两函数图象有3个公共点， 则函数的零点个数是3. 12．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值; (2)设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 【答案】(1)； (2)①； ②证明：因为，其定义域为， 所以， 所以， 所以函数的图象关于点对称． 【分析】（1）由定义域关于原点对称，得，再代入检验即可； （2）①由题意可得，将代入求解即可； ②证明即可. 【详解】（1）因为为奇函数， 由，得， 即， 当时，得，定义域为，不满足题意； 当时，由，得， 又因为是奇函数， 故定义域关于原点对称， 所以， 解得； 当时，， 定义域为，关于原点对称， 且，满足题意； 所以； （2）①因为， 所以； ②略； 13．（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：曲线是轴对称图形； (3)若，恒成立，求的最大值和的最小值． 【答案】(1) (2)令， 则， 所以曲线关于直线对称； (3)的最大值为，的最小值为． 【分析】（1）首先求出导函数，求出切线斜率，再根据点斜式方程求切线方程. （2）根据轴对称的定义证明即可. （3）利用分离常数，得到，再利用导数得到递增，得到的最小值；先由必要条件得，再验证该取值下差函数非正，从而确定的最大值. 【详解】（1）由题知，又，， 所以切线方程为，即． （2）略 （3）由题知，令； 由于关于直线对称，故只需考虑即可． 则，令， 则， 由，得，． 在上单调递增，在上单调递减，， 所以当，，，单调递增， 所以．即的最小值为． 由题意，，恒成立，令，， 因为，所以，即，即， 下面证明时，恒成立， 易知关于对称，故考虑即可， ；记，则； 在必有一解， 且在单调递减，在单调递增． 又，所以，从而． 即，． 所以的最大值为． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $