专题3 第21练 三次函数的性质-2027届高三数学一轮复习微题型练习

**基本信息** 系统梳理三次函数奇偶性、对称性、根与系数关系及切线条数等核心性质，通过导数工具深化性质理解，培养逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质归纳|4点核心性质|奇偶性判定、对称中心推导、根与系数关系、切线条数区域划分|从定义出发，结合导数工具推导性质，形成“定义-性质-应用”逻辑链| |题型应用|5题（单选2/多选2/填空1/解答1）|导数判单调性、切线方程构造、极值与零点分析、对称中心简化计算|以性质为基础，通过典型例题实现性质到解题的迁移，覆盖高考高频考法|

第21练　三次函数的性质 (分值：40分) 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的性质 (1)奇偶性：f(x)不可能为偶函数；当且仅当b=d=0时，f(x)是奇函数. (2)对称性：中心对称，且对称中心是.若f(x)有极值，则它的对称中心是两个取极值的点的中点. 引申性质：若y=f(x)是可导函数. ①若图象关于点(m，n)对称，则y=f'(x)的图象关于直线x=m对称； ②若图象关于直线x=m对称，则y=f'(x)的图象关于点(m，0)对称； ③奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. (3)根与系数的关系 设ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1，x2，x3，则ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3. 比较系数可得x1+x2+x3=-x1x2+x2x3+x3x1=x1x2x3=-. (4)三次函数切线条数 设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在对称中心N处的切线为l，函数f(x)及l把坐标平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，如图1(a<0)、图2(a>0)所示. ①当定点P在对称中心N或在Ⅰ和Ⅲ区域时，过点P的切线有且仅有一条； ②当定点P在函数f(x)的图象上(除去对称中心)或在切线l上时，过点P的切线有两条； ③当定点P在Ⅱ和Ⅳ区域时，过点P的切线有三条. 一、单项选择题(每小题5分，共10分) 1.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上单调，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，-]∪[+∞) B.[-] C.(-∞，-)∪(+∞) D.(-) 2.过y轴上一点(0，a)可以作函数f(x)=x3+x2-x图象的3条切线，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 3.已知三次函数f(x)=x3+ax+2，下列叙述正确的是(　　) A.当a=1时，函数f(x)无极值点 B.函数f(x)的图象关于点(0，2)中心对称 C.过点(0，2)的切线有两条 D.当a<-3时，函数f(x)有3个零点 4.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，且方程f(x)=0有3个实数根，它们分别是α，β，2，则(　　) A.c=0 B.若(2，f(2))是f(x)图象的对称中心，则极小值是-12 C.f(1)≥2 D.|α-β|≥3 三、填空题(共5分) 5.已知三次函数y=f(x)有三个零点x1，x2，x3，且在点(xi，f(xi))处的切线的斜率为ki(i=1，2，3)，则++=　　　　　　. 四、解答题(共13分) 6.(13分)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f'(x)是函数y=f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=x3-x2+. (1)当m=1时，求f +f +…+f +f 的值；(6分) (2)若不等式2xln x+f'(x)+3≥0恒成立，求实数m的取值范围.(7分) 第21练　三次函数的性质 (分值：40分) 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的性质 (1)奇偶性：f(x)不可能为偶函数；当且仅当b=d=0时，f(x)是奇函数. (2)对称性：中心对称，且对称中心是.若f(x)有极值，则它的对称中心是两个取极值的点的中点. 引申性质：若y=f(x)是可导函数. ①若图象关于点(m，n)对称，则y=f'(x)的图象关于直线x=m对称； ②若图象关于直线x=m对称，则y=f'(x)的图象关于点(m，0)对称； ③奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. (3)根与系数的关系 设ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1，x2，x3，则ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3. 比较系数可得x1+x2+x3=-x1x2+x2x3+x3x1=x1x2x3=-. (4)三次函数切线条数 设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在对称中心N处的切线为l，函数f(x)及l把坐标平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，如图1(a<0)、图2(a>0)所示. ①当定点P在对称中心N或在Ⅰ和Ⅲ区域时，过点P的切线有且仅有一条； ②当定点P在函数f(x)的图象上(除去对称中心)或在切线l上时，过点P的切线有两条； ③当定点P在Ⅱ和Ⅳ区域时，过点P的切线有三条. 一、单项选择题(每小题5分，共10分) 1.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上单调，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，-]∪[+∞) B.[-] C.(-∞，-)∪(+∞) D.(-) 答案　B 解析　由f(x)=-x3+ax2-x-1，得f'(x)=-3x2+2ax-1， 因为函数在R上单调， 所以f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立，则Δ=4a2-12≤0⇒-≤a≤ 所以实数a的取值范围是[-]. 2.过y轴上一点(0，a)可以作函数f(x)=x3+x2-x图象的3条切线，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为f(x)=x3+x2-x， 所以f'(x)=3x2+2x-1， 设切点为(x0+-x0)， 则切线方程为y=(3+2x0-1)(x-x0)++-x0， 而切线过点(0，a)，将(0，a)代入得a=-2- 令g(x)=-2x3-x2，g'(x)=-6x2-2x， 令g'(x)<0，得x∈∪(0，+∞)，此时g(x)的单调递减区间为和(0，+∞)， 令g'(x)>0，得x∈此时g(x)的单调递增区间为 故g(x)有极小值g=-有极大值g(0)=0，由题意可知g(x)的图象与直线y=a有3个交点，则得到a的取值范围为故A正确. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 3.已知三次函数f(x)=x3+ax+2，下列叙述正确的是(　　) A.当a=1时，函数f(x)无极值点 B.函数f(x)的图象关于点(0，2)中心对称 C.过点(0，2)的切线有两条 D.当a<-3时，函数f(x)有3个零点 答案　ABD 解析　对于A，当a=1时，f(x)=x3+x+2，f'(x)=3x2+1>0，f(x)单调递增，无极值点，故A正确； 对于B，因为f(x)+f(-x)=4，所以函数f(x)的图象关于点(0，2)中心对称，故B正确； 对于C，设切点坐标为(x1，f(x1))，则切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)， 因为切线过点(0，2)，所以2-f(x1)=f'(x1)(-x1)，即2--ax1-2=-3-ax1，解得x1=0， 即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误； 对于D，f'(x)=3x2+a，当a<-3时，令f'(x)=0，得x=± 当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 则f(x)的极大值f >f(0)=2>0，所以若函数f(x)有3个零点， 则f(x)的极小值f=+2<0，解得a<-3，故D正确. 4.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，且方程f(x)=0有3个实数根，它们分别是α，β，2，则(　　) A.c=0 B.若(2，f(2))是f(x)图象的对称中心，则极小值是-12 C.f(1)≥2 D.|α-β|≥3 答案　ACD 解析　已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，所以在x=0处取得极大值，则f'(0)=0，由f'(x)=3x2+2bx+c，得f'(0)=c=0，所以A正确； 方程f(x)=0有一个根是2，则f(2)=8+4b+d=0， 由函数图象的对称中心是(2，0)，可得f(1)=-f(3)， 代入得1+b+d=-(27+9b+d)， 化简得5b+d+14=0， 联立解得 则f(x)=x3-6x2+16， 求导得f'(x)=3x2-12x， 令f'(x)=3x2-12x=0，解得x=0或x=4， 可知函数在(-∞，0)，(4，+∞)上单调递增，在(0，4)上单调递减，所以f(x)在x=4处取得极小值， 则f(4)=43-6×42+16=-16，所以B错误； 由f(x)=x3+bx2+d，可得f'(x)=3x2+2bx，因为f(x)在[0，2]上单调递减，所以f'(2)≤0， 即12+4b≤0，解得b≤-3. 由f(2)=8+4b+d=0，得d=-4b-8，则f(1)=1+b+d=-3b-7， 由b≤-3，可得-3b-7≥2，所以f(1)≥2，所以C正确； 因为方程f(x)=0有3个实数根α，β，2，所以设f(x)=(x-α)(x-β)(x-2)=x3-(α+β+2)x2-2αβ， 所以得 由f(2)=0，得d=-4b-8， 由(α-β)2=(α+β)2-4αβ，得(α-β)2=(b+2)2+2d=b2-4b-12=(b-2)2-16， 由选项C的分析知b≤-3，所以(b-2)2-16≥9，所以|α-β|≥3，所以D正确. 三、填空题(共5分) 5.已知三次函数y=f(x)有三个零点x1，x2，x3，且在点(xi，f(xi))处的切线的斜率为ki(i=1，2，3)，则++=　　　　　　. 答案　0 解析　设f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a≠0)，则f'(x)=a(x-x1)(x-x2)+a(x-x1)(x-x3)+a(x-x2)(x-x3)，由导数的几何意义可得k1=f'(x1)=a(x1-x2)(x1-x3)，k2=f'(x2)=a(x2-x1)(x2-x3)，k3=f'(x3)=a(x3-x1)(x3-x2)， 所以++=++ ==0. 四、解答题(共13分) 6.(13分)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f'(x)是函数y=f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=x3-x2+. (1)当m=1时，求f +f +…+f +f 的值；(6分) (2)若不等式2xln x+f'(x)+3≥0恒成立，求实数m的取值范围.(7分) 解　(1)函数f(x)=x3-x2+ 当m=1时，f(x)=x3-x2+ ∵f'(x)=x2-x， ∴f″(x)=2x-1， 令f″(x)=2x-1=0，解得x= 则对称中心的纵坐标为f =1，故对称中心为 ∴f(x)+f(1-x)=2， ∴f +f =2，f +f =2，…，f +f =2，f =1， 则f +f +…+f +f =2×49+1=99. (2)∵2xln x+f'(x)+3≥0，f'(x)=x2-mx， 即mx≤2xln x+x2+3， 又x>0， ∴m≤在x∈(0，+∞)上恒成立. 令t(x)==2ln x+x+ ∴m≤t(x)min. ∵t'(x)=+1-== 令t'(x)=0，得x=1或x=-3(舍去). 当x∈(0，1)时，t'(x)<0，函数t(x)在(0，1)上单调递减； 当x∈(1，+∞)时，t'(x)>0，函数t(x)在(1，+∞)上单调递增， ∴t(x)min=t(1)=4. ∴m≤t(x)min=4， 即m的取值范围为(-∞，4]. 学科网（北京）股份有限公司 $