湖北武汉外国语学校2025-2026学年高一下学期期中数学试题

武汉外国语学校2025-2026学年度下学期期中 高一数学试题 考试时间：2026年4月22日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 2．如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（ ） A． B． C． D． 3．若复数（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 4．已知，，则（ ） A． B． C． D． 5．某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，三棱柱中，点，，，分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ） A．，，，四点共面 B．与是异面直线 C．，，三线共点 D． 8．在中，，，为三边，若，则最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，为复数，．下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列说法正确的是）（ ） A．所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥 B．分别在两个不同平面内的两条直线一定是异面直线 C．棱柱的顶点数、面数、棱数之间满足关系 D．棱台的侧面一定是梯形 11．如图，正三棱台的上下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点为上一点，且，则下列结论中正确的有（ ） A．过的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为 B．直径为的球可以整体放入该三棱台内 C．过点，，的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 D．棱长为2的正四面体可以在该棱台内随意转动 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知角满足，则________． 13．在中，角，，的对边分别为，，，若，且为的内心，且，则________． 14．如图，在棱长为2的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）是虚数单位，，为何值时，复数为纯虚数？ （2）已知关于的实系数一元二次方程的一个根为，求，的值． 16．（15分） 已知，，与的夹角． （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，，边上的中点为． （1）求四棱锥的体积； （2）求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积； （3）求三棱锥外接球的表面积． 18．（17分） 已知的内角，，所对的边分别为，，且． （1）求； （2）若，点在上，直线上一点满足，在点和点的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 19．（17分） 对任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角． （1）若非零向量，满足，且，求的取值范围； （2）若向量，，且，求正数的值； （3）已知非零向量，满足（是正整数），向量，的夹角，且，求． 学科网（北京）股份有限公司 $