湖北武汉市吴家山中学2025-2026学年高一下学期数学期中复习卷4.19

**基本信息** 结合赵爽弦图、冬奥会会徽等文化与现实情境，通过复数、向量、三角函数等知识，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，层次分明适配期中复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、斜二测画法面积、向量投影|基础巩固，如复数虚部直接考查概念| |多选|3/18|三角形外心重心、三角函数对称性|能力提升，结合向量与三角形性质| |填空|3/15|解三角形角平分线、线段比值|情境应用，如冬奥会会徽角度测量| |解答|5/77|赵爽弦图类比、三角函数图像变换、立体几何山路面积|创新综合，赵爽弦图面积关系探究适配高考趋势|

吴家山中学高一下学期数学期中复习卷（26-4-19） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则z的虚部是（    ） A．i B． C． D．1 【答案】D【详解】依题意，， 所以z的虚部是1.故选：D 2．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D【详解】直观图矩形的面积， 则原图面积，故选：D． 3．如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】正八边形中，，所以，，连接，过点作，交、于点、，交于点， 设，中，由余弦定理得，， △OAF中，， 所以，解得， ，解得， 所以，当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为，此时取得最小值为，当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最大值为，因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是．故选：A． 4．非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A【详解】向量在向量上的投影向量为，，， ，又，， 是非零向量，，，解得，故选：A． 5．在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B【详解】由可知，三边成等差数列，所以是长度居中的边，其所对的角也为大小居中的角，因为三角形中若有钝角，则必为最大角，所以必为锐角，又，所以.由题意可得：，化简得，又，， 所以，所以，解得（负根舍去）.故选：B． 6．如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】D【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系：因为在中，为线段的中点，所以， 则，所以，设，， 则，所以，故， 又因为，所以，所以， 故，，，因为，所以即的最大值与最小值的差为.故选：D. 7．某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中S为山顶，A，B，C为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回A处，预计该山路的面积的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A【详解】正三棱锥的侧面展开图如图所示，连接，分别与交于点，则线段为修建道路的长度的最小值．因为，所以，，， 则，，故，正弦定理知道，且， 解得．在中，解得， 所以预计该山路的面积的最小值为．故选：A. 8．若函数的图象在区间上恰好存在2个对称中心和1条对称轴，则的取值范围为（  B ） A． B． C． D． 【详解】设函数的最小正周期为，则，由题意可知，即， 解得，因为，，所以， 又，所以，，则或， 解得或，所以的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（    ） A．是的外心 B．是的重心 C． D． 【答案】BC【详解】∵点为的中点，，，∴，，. 又，∴. 取的中点，的中点，连接，，如图所示. 则由向量的加法法则可知：，，∴，.∴，，三点共线，，，三点共线，∴点为中线和的交点，即是的重心，故选项A错误，选项B正确； 又，故选项C正确；∵，∴，故选项D错误. 故选：BC. 10．在中，三个角所对的边分别为，其外接圆的半径为，若，则（    ） A．的面积为 B． C． D． 【答案】ABD【详解】对于A，在中，由正弦定理得，所以， 所以的面积为故A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得，当且仅当时等号成立，又因为，所以，故B正确； 对于C，因为，即，仅当时等号成立，又，所以，故C不正确； 对于D，设，则，由，得，即， 因为，解得.即，故D正确.故选：ABD. 11．已知，下列说法正确的是（ BCD ） A．若，在区间上单调 B．若关于直线对称，则 C．若，且为的一个对称中心，则 D．若，在区间上的最大值与最小值的差的取值范围是 【详解】A选项：当时，，因为，所以， 因为函数在上不单调，所以函数在区间上不单调. 故A错误； B选项：若关于直线对称，则或， 由；方程无解. 所以. 故B正确； C选项：时，为的一个对称中心，所以， 所以. 故C正确； D选项：当时，，其中，且. 当与关于某条对称轴对称时，不妨设，此时，，故在处取得最大值，在端点处取得最小值，因此在区间上的最大值与最小值的差取得最小值；当与都在的某一个单调区间内时， ， 其中，且.当，时，. 故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________. 【答案】1【详解】在中，，由余弦定理可得，所以，所以，又面积为，所以，所以， 所以，所以，因为是的角平分线，， 所以，因为， 所以， 所以， 所以，所以，所以.故答案为：1. 13．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____. 【答案】【详解】由题意，在中，由余弦定理，； 因为，所以，在中，由正弦定理，所以，解得，故答案为：. 14．已知，．则的取值范围是______． 【详解】令， 则，， 故，则，， 对称轴为 ，令，则， 故，又，故使得最小的在区间内，故对， 有，即有，则，即，又， 取交集可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．正方形的边长为，，，点是边所在直线上的一个动点． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1)；(2)【详解】（1）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，   ，，所以， 又因为，所以，解得. （2）因为点是边所在直线上的一个动点，所以设，则，因为，所以，所以， 所以，，设与的夹角为，则. 16．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周脾算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图1所示）．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的，，与中间一个小等边拼成的一个较大的等边．记的面积为，的面积为，的面积为． (1)若，求； (2)设，当时，求以及的值． 【详解】(1)因为，所以，记，则，在中， 由余弦定理得，所以； (2)法一：设，则，在中由正弦定理得（其中为外接圆半径）， 所以，得，因为，所以，当时，，此时，， 所以，即； 法二：设，则，在中由正弦定理 得（其中为外接圆半径），而.（以下同法一） 17．已知函数，（）的周期是. (1)求函数的解析式以及函数在上的单调增区间； (2)解不等式； (3)若时，方程f(x)=m恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值. 【详解】（1） ， 因为，所以，所以，，，当时，即时函数单调递增，所以函数在区间上的单调递增区间是； （2）因为，即，所以，， 解得，，所以不等式的解集为 （3）当时，，此时，在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 根据对称性，，所以. 18．在中，，，D为AC上一点，，． (1)请画出大致图形，求BD的长度； (2)四边形ABPD的四顶点共圆，求的取值范围． 【答案】(1)图形见解析，；(2)【详解】（1）设，，则， 因为，则，即，解得：，则  (2)由(1)知，在中，，，为外接圆的直径，为外接圆上任意一点，当在点时，，当在点时，，当点在优弧上时，，设， ，在中，由正弦定理可知，，则，， ，其中，，，， 因为，所以，，， 当时，为，当时，的最大值为， 所以此时的取值范围是； 当点在劣弧上时，，设， ，在中，由正弦定理可知，， 则，， ，当时，即时，的最大值为，但， ，所以，则的范围是， 综上可知，的取值范围是. 19．已知函数. (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，函数在区间（且）上恰好有2026个零点，求的最小值； (3)在第（2）问条件下，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度后得到函数的图象.若关于的方程在上有且仅有四个解，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为的最小正周期为，又因为，且，则，解得，当时，， 令，解得，所以的对称中心为； 当时，， 令，解得，所以的对称中心为； 综上所述，的对称中心为或. （2）将函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，则， 因为是的一个零点，则，即， 又因为，则，可得，解得， 所以，最小正周期. 令，可得，则或，， 解得或，，若函数在（且）上恰好有2026个零点， 要使最小，则m、n恰好为的零点，故. （3）由题意知，且，令，且，则， 因为，则， 当时，满足方程组的值有且仅有四个， 且函数在上单调递增，在上单调递减，令，可得必有两个相异零点，，由直线与和，的图象分别有两个交点，作出直线与和，的图象，如图所示，由图象可得，，即在区间上有两个相异零点， 则满足，解得，所以的取值范围是 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴家山中学高一下学期数学期中复习卷（26-4-19） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则z的虚部是（    ） A．i B． C． D．1 2．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 3．如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 6．如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．3 D．4 7．某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中S为山顶，A，B，C为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回A处，预计该山路的面积的最小值为（    ）． A． B． C． D． 8．若函数的图象在区间上恰好存在2个对称中心和1条对称轴，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（    ） A．是的外心 B．是的重心 C． D． 10．在中，三个角所对的边分别为，其外接圆的半径为，若，则（    ） A．的面积为 B． C． D． 11．已知，下列说法正确的是（ BCD ） A．若，在区间上单调 B．若关于直线对称，则 C．若，且为的一个对称中心，则 D．若，在区间上的最大值与最小值的差的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________. 13．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____. 14．已知，．则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．正方形的边长为，，，点是边所在直线上的一个动点． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 16．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周脾算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图1所示）．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的，，与中间一个小等边拼成的一个较大的等边．记的面积为，的面积为，的面积为． (1)若，求； (2)设，当时，求以及的值． 17．已知函数，（）的周期是. (1)求函数的解析式以及函数在上的单调增区间； (2)解不等式； (3)若时，方程f(x)=m恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值. 18．在中，，，D为AC上一点，，． (1)请画出大致图形，求BD的长度； (2)四边形ABPD的四顶点共圆，求的取值范围． 19．已知函数. (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，函数在区间（且）上恰好有2026个零点，求的最小值； (3)在第（2）问条件下，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度后得到函数的图象.若关于的方程在上有且仅有四个解，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $