湖北武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）2025-2026学年高一下学期数学期中模拟卷

2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （测试内容：三角函数、平面向量及其应用、复数） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知z＝﹣2﹣i，则的虚部是（　B　） A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i 【解析】 由z＝﹣2﹣i，得，∴（﹣2﹣i）（﹣2+2i）＝4﹣4i+2i﹣2i2＝6﹣2i， 则的虚部是﹣2． 2．下列命题： ①若都是非零向量，则；②的充要条件是且；③λ，μ为实数，若，则与共线；④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件．其中，假命题的个数是（　C　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 对于①：向量的数量积不满足结合律，故①错误；对于②：且或， 所以，且是的必要不充分条件，故②错误；对于③：当λ＝μ＝0时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故③错误；对于④：若A，B，C，D是不共线的四点，当时，则AB∥CD且，此时，四边形ABCD为平行四边形；当四边形ABCD为平行四边形时，由相等向量的定义可知，所以，若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件，故④对． 3．已知，则与的夹角为（　A　） A． B． C． D． 【解析】 设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，由题意可知，||＝1，，则，即1+1+2×1×1×cosθ＝3，解得． 4．（　B　） A． B．﹣1 C． D． 【解答】 5．图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则φ＝（　A　） A． B． C． D． 【解析】 因为筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，所以周期为，所以ω，因为筒车的轴心O距水面的高度为，筒车的半径为2m，所以，则，此时，又t＝0时，d＝0，则，即，而，则． 6．已知sin（α）cosα，则sin（2α）的值为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 因为sin（α）cosαsinαcosαcosαsinαcosα＝sin（α）＝cos（α），所以sin（2α）＝cos（2α）＝2cos2（α）﹣1＝2×（）2﹣1． 7．在△ABC中，AD为BC上的中线，G为AD的中点，M，N分别为线段AB，AC上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则λ+4μ的最小值为（　C　） A． B． C． D．2 【解析】 如图所示，由题意（）（），设，0＜x＜1，则x（1﹣x）λ（1﹣x），所以，，得，所以λ+4μ（λ+4μ）（）（5），当且仅当，即，时等号成立，∴λ+4μ的最小值为． 8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则sinB＝（　D　） A． B． C． D． 【解析】 因为，所以3cosA3•，整理可得b2＝c2﹣3a2，① 因为，可得，所以cosB，解得2b2＝a2+c2，② 由①②可得，ca，b＝2a，所以cosB，可得sinB． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数z1＝1+2i，z2＝2﹣i，则下列选项正确的是（　BCD　） A． B．|z1z2|＝|z1||z2| C． D． 【解析】 因为复数z1＝1+2i，z2＝2﹣i，所以（1+2i）2＝﹣3+4i≠|z1|2，A错误；|z1z2|＝|（1+2i）（2﹣i）|＝|4+3i|＝5，|z1|，|z2|，则|z1z2|＝|z1||z2|，B正确；||＝||＝||＝|i|＝1，（z1+z2）2＝（3+i）2＝9+6i﹣1＝8+6i，z2+2z1z2+z2＝（1+2i）2+2（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝﹣3+4i+2（4+3i）+4﹣4i﹣1＝8+6i，D正确． 10．已知平面向量，，满足||＝||＝||＝||＝2，则下列结论正确的是（　BCD　） A．2 B．与的夹角为 C．|2|＝2 D．（）•（）的最大值为6+4 【解析】 如图所示，设，，则，因为，即，所以△OAB是等边三角形，所以与的夹角为，所以，故A错误，B正确；因为4﹣4×2+4×4＝12，故，故C正确；因为，设，则，所以，因为，所以，所以，所以当且仅当与反向时，取得最大值，且最大值为，故D正确． 11．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（　ACD　） A．λ最大值为1 B．μ最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 【解析】 如图所示，以AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，则A（﹣1，0），D（﹣1，2），E（1，1），设∠BOP＝α，则P（cosα，sinα），α∈[0，π]，所以（cosα+1，sinα），，，1），由，得2λ＝cosα+1，且λ+2μ＝sinα，α∈[0，π]，对于A：当α＝0时，λmax＝1，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D： φ）+2+2，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 　　 ． 【解析】 由，，得，所以在方向上的投影向量的坐标为：． 13．设函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为　　 ． 【解析】 函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，可得：，k∈Z，解得ω，k∈Z，ω＞0，则ω的最小值为：． 14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，1，点P是△ABC的重心，且AP，则a＝　　 ．或 【解析】 ∵，∴ 整理得，解得或sinA＝2（舍去），∵0＜A＜π，∴，或．又∵点P是△ABC的重心，∴（），∴2（22+2||•||cosA），∵，整理得c2+4ccosA﹣24＝0．当时，c2+2c﹣24＝0，得c＝4，此时，解得；当时，c2﹣2c﹣24＝0，得c＝6，此时，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知复数z1＝5+10i，复数z2在复平面内对应的点为Z（3，﹣4）． （1）若复数z2是关于x的方程x2+mx+n﹣1＝0的一个根，m、n∈R，求m+n的值； （2）若复数z满足，求复数z的共轭复数． 【解答】 （1）z2＝3＝4i，z2＝3﹣4i，因为复数z2是关于x的方程x2+mx+n＝1＝0的一个根，所以（3﹣4i）2+m（3﹣4i）+n﹣1＝0，即3m+n﹣8﹣（4m+24）i＝0，即，解得m＝﹣6，n＝26，所以m+n＝20； （2）由题意可得，∴． 16．（本小题满分15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（sinA+sinB）（a﹣b）＝c（sinC）． （1）求A； （2）若，D是线段AC上的一点，∠ABD＝∠CBD，，求c． 【解析】 （1）因为，所以，即，所以，又A为三角形内角，所以； （2）设，则∠ABC＝2θ，所以cos∠ABC，解得，所以，所以，再由得c． 17．（本小题满分15分）如图，已知△ABC、△DEF均为等边三角形，△ABC的边长为，D、E、F分别为BE、CF、AD的中点． （1）用基底表示向量； （2）延长AD与BC交于点M，延长AE与BC交于点N，求||． 【解析】 （1）∵△ABC、△DEF均为等边三角形，△ABC的边长为，D、E、F分别为BE、CF、AD的中点，∴ ，∴（1﹣8）24，∴用基底表示向量得：． （2）延长AD与BC交于点M，延长AE与BC交于点N，则A，D，M三点共线，设s，则，又M，B，C三点共线，∴，解得，∴，∴M为BC上靠近B得三等分点，，∵A，E，N三点共线，∴设t，则，又N，B，C三点共线，∴，解得，∴，∴，∴||的大小为：． 18．（本小题满分17分）已知函数f（x）＝sin4x+cos4x． （1）求f（x）的对称中心； （2）将函数y＝f（x）的图象上所有的点向下平行移动个单位长度，然后保持各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象． （i）求的值域； （ii）当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】 （1）f（x）＝sin4x+cos4x＝（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x，令，得，所以f（x）的对称中心为； （2）由已知可得， ，令sin2x＝t，则，根据二次函数的性质可知，当时，；当t＝1时，，所以函数的值域为； （ii）原不等式等价于，也即，即恒成立， ①当a＝0时，恒成立，显然成立，故a＝0符合题意； ②当a＞0时，令，由可得t∈[0，π]，此时﹣1≤cost≤1，0≤sint≤1，所以2acost+sint≥﹣1•2a+0，当且仅当cost＝﹣1且sint＝0即t＝π时等号成立，所以的最小值为﹣2a，若要满足不等式恒成立则﹣2a＞a﹣4，得，则； ③当a＜0时，同理可得2acost+sint≥2a，当且仅当t＝0时等号成立，所以的最小值为2a，若要满足不等式恒成立则2a＞a﹣4，得a＞﹣4，则﹣4＜a＜0，综上所述，a的取值范围为． 19．（本小题满分17分）定义：若非零向量，函数f（x）的解析式满足f（x）＝asinx+bcosx，则称f（x）为的伴随函数，为f（x）的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数f（x）为向量的伴随函数，在△ABC中，，f（A）＝1，且，求AB+AC的值； （3）若函数f（x）为向量的伴随函数，关于x的方程在[0，2π]上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【解析】 （1）因为＝2（sinxcosx）﹣4cosx ，则，故； （2）因为f（x）为向量的伴随函数，所以2sin（x）， 所以，可得，因0＜A＜π，则，故，解得，因B+C＝π﹣A，则，又，代入解得①，由正弦定理，，可得AC＝4sinB，AB＝4sinC，代入①，可得AC•AB＝16sinBsinC＝6②，又由余弦定理，BC2＝AC2+AB2﹣2AC•ABcosA，可得AC2+AB2﹣AC•AB＝12③，于是（AB+AC）2＝AB2+AC2+2AC•AB＝12+3AC•AB＝30，解得； （3）因为f（x）为向量的伴随函数，所以f（x）＝2sinx+cosx，由，可得，即，当或时，；当时，，作出函数在[0，2π]上的图象，如图所示． 因方程在[0，2π]上有且仅有四个不相等的实数根，等价于函数y＝m与函数的图象在[0，2π]上有四个交点．由图知，当或21＜m＜3时，两函数有四个交点．故实数m的取值范围为∪（21，3）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/17 10:46:26；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷 （测试内容：三角函数、平面向量及其应用、复数） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知z＝﹣2﹣i，则的虚部是（　　） A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i 2．下列命题： ①若都是非零向量，则；②的充要条件是且；③λ，μ为实数，若，则与共线；④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件．其中，假命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 4．（　　） A． B．﹣1 C． D． 5．图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则φ＝（　　） A． B． C． D． 6．已知sin（α）cosα，则sin（2α）的值为（　　） A． B． C． D． 7．在△ABC中，AD为BC上的中线，G为AD的中点，M，N分别为线段AB，AC上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则λ+4μ的最小值为（　　） A． B． C． D．2 8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则sinB＝（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数z1＝1+2i，z2＝2﹣i，则下列选项正确的是（ ） A． B．|z1z2|＝|z1||z2| C． D． 10．已知平面向量，，满足||＝||＝||＝||＝2，则下列结论正确的是（　　） A．2 B．与的夹角为 C．|2|＝2 D．（）•（）的最大值为6+4 11．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（　　） A．λ最大值为1 B．μ最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 13．设函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ． 14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，1，点P是△ABC的重心，且AP，则a＝　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知复数z1＝5+10i，复数z2在复平面内对应的点为Z（3，﹣4）． （1）若复数z2是关于x的方程x2+mx+n﹣1＝0的一个根，m、n∈R，求m+n的值； （2）若复数z满足，求复数z的共轭复数． 16．（本小题满分15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（sinA+sinB）（a﹣b）＝c（sinC）． （1）求A； （2）若，D是线段AC上的一点，∠ABD＝∠CBD，，求c． 17．（本小题满分15分）如图，已知△ABC、△DEF均为等边三角形，△ABC的边长为，D、E、F分别为BE、CF、AD的中点． （1）用基底表示向量； （2）延长AD与BC交于点M，延长AE与BC交于点N，求||． 18．（本小题满分17分）已知函数f（x）＝sin4x+cos4x． （1）求f（x）的对称中心； （2）将函数y＝f（x）的图象上所有的点向下平行移动个单位长度，然后保持各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象． （i）求的值域； （ii）当时，恒成立，求实数a的取值范围． 19．（本小题满分17分）定义：若非零向量，函数f（x）的解析式满足f（x）＝asinx+bcosx，则称f（x）为的伴随函数，为f（x）的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数f（x）为向量的伴随函数，在△ABC中，，f（A）＝1，且，求AB+AC的值； （3）若函数f（x）为向量的伴随函数，关于x的方程在[0，2π]上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $