精品解析：江苏省宿迁市泗洪县2025-2026学年下学期八年级数学期末试卷

八年级数学试题 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列谚语所描述的事件中属于不可能事件的是（ ） A. 夜里星光明，明朝依旧晴 B. 种瓜得瓜种豆得豆 C. 乌云脚底白，定有大雨来 D. 葫芦藤上结南瓜 4. 在下列调查方式中，较为合适的是（ ） A. 为了检测聊城的空气质量，采用普查的方式 B. 调查2026年春节联欢晚会的收视率，采用抽样调查的方式 C. 调查“神舟二十二号”飞船各零部件情况，采取抽样调查的方式 D. 为了解一批灯管的使用寿命，采用普查的方式 5. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列一个条件后不能使平行四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 7. 分式的最大值是（ ） A. 5 B. 6 C. D. 8. 如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G．连结、．下列结论：①；②；③；④的面积为75．其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 计算：________． 10. 因式分解：______． 11. 要使式子有意义，则x的取值范围是________． 12. 无理数的有理化因式是________． 13. 投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为________（结果精确到0.1）． 14. 如图，在正六边形中连接三条对角线，则该图中梯形的个数是______． 15. 如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 16. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是________． 17. 若，，则代数式的值等于________． 18. 如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解分式方程： （1） （2） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 分解因式： （1） （2） 四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分） 23. 如图，四边形中，，，为对角线． （1）证明：四边形是平行四边形． （2）已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 24. 江苏城市足球联赛（苏超）中，淮安队需要采购两种训练用球：A型训练球和B型训练球．已知买一个A型训练球比买一个B型训练球便宜20元．用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同． （1）求A型、B型训练球每个各多少元？ （2）淮安队计划购买A、B两种训练球共20个，其中A型球不多于11个，且总费用不超过1430元．问共有几种购买方案？哪种方案总费用最低？并求出最低费用． 25. 为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 课外阅读时间（小时） 频数（人数） 第1组 2 第2组 3 第3组 15 第4组 a 第5组 5 请根据图表信息回答下列问题： （1）求出频数分布表中的 ，扇形统计图中的 ； （2）该频数分布直方图的组距是 ；并将频数分布直方图补充完整； （3）学校将每周课外阅读时间在6小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有多少人？ 26. 如图，在直角梯形中，，于点C，，，点M从点A出发，以的速度向点B运动；同时点N从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． （1）求当t为几秒时，四边形为矩形； （2）当四边形为等腰梯形时，求t的值． 五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分） 27. 阅读理解，并完成下列问题： 材料 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形关系，二者本质上是对多项式进行的两个相反方向的运算．整式乘法是把若干个整式（单项式或多项式）相乘，因式分解是把一个多项式拆成若干个整式乘积的形式，整式乘法的结果就是因式分解的原多项式；因式分解的结果就是整式乘法的因式组合，二者都遵循整式的乘法法则（分配律，结合律，交换律），只是运算方向相反．同时，从整式乘法的过程中感悟出因式分解的思路和方法． 例子 整式乘法 因式分解 感悟方法 例1 分组法 例2 拆项法 例3 ． 添项法 （1）在表格中完成例3的“因式分解”过程； （2）因式分解： ① ② （3）已知：、、，证明：． 28. 综合实践课上，数学老师带领学生探究矩形的旋转． 如图1，四边形是一张矩形纸片，，．先将边向上翻折，使与重合后打开，折痕为，沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点E逆时针旋转，点F的对应点为． （1）如图2，当点在矩形的内部，与相交于点M，连接，，，，根据 （填选项），证得，； A． B． C． D． （2）如图3，当点落在边上时，边恰好经过点F，则两个矩形重叠部分四边形的面积为 ； （3）如图4，当点在矩形的外部，点与点重合时，判断四边形的形状，并说明理由． （4）如图5，当点在矩形的外部，点落在对角线上，与相交于点，判断点、、是否在同一条直线上，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义进行判断即可，分式的定义为：若都是整式（），且中含有字母，则是分式，需注意是常数不是字母． 【详解】解：根据分式的定义逐一判断： 选项A分母是常数，选项B分母是常数，选项D分母是常数，三个式子的分母都不含字母，都是整式， 选项C中，分子和分母都是整式，且分母含有字母，符合分式的定义， 则 是分式． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A.被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，故是最简二次根式，故A正确； B.被开方数含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，故B错误； C.被开方数含分母，故不是最简二次根式，故C错误； D.二次根式在分母的位置，故不是最简二次根式，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3. 下列谚语所描述的事件中属于不可能事件的是（ ） A. 夜里星光明，明朝依旧晴 B. 种瓜得瓜种豆得豆 C. 乌云脚底白，定有大雨来 D. 葫芦藤上结南瓜 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不可能事件的定义，在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，结合定义判断各选项即可得到答案. 【详解】∵不可能事件是指在一定条件下，一定不会发生的事件， A选项描述的事件是可能发生也可能不发生的随机事件， B选项描述的事件是一定发生的必然事件， C选项描述的事件是可能发生也可能不发生的随机事件， D选项葫芦藤只能结葫芦，不可能结南瓜，是一定不会发生的事件， ∴D是不可能事件， 故选D. 4. 在下列调查方式中，较为合适的是（ ） A. 为了检测聊城的空气质量，采用普查的方式 B. 调查2026年春节联欢晚会的收视率，采用抽样调查的方式 C. 调查“神舟二十二号”飞船各零部件情况，采取抽样调查的方式 D. 为了解一批灯管的使用寿命，采用普查的方式 【答案】B 【解析】 【分析】当调查范围大，具有破坏性或不需要精确结果时，适合抽样调查；当调查要求精度高，意义重大，范围小或无破坏性时，适合普查．据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵检测聊城空气质量，调查范围广，无法进行普查， ∴A不符合要求； ∵调查2026年春节联欢晚会收视率，调查对象数量极大，适合采用抽样调查， ∴B符合要求； ∵调查“神舟二十二号”飞船各零部件情况，对安全性要求极高，每个零部件都必须检查，需要采用普查， ∴C不符合要求； ∵了解灯管使用寿命的调查具有破坏性，无法采用普查， ∴D不符合要求． 5. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于因式分解，符合题意； B．等式的左边不是多项式，不属于因式分解，不符合题意； C．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 6. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列一个条件后不能使平行四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、四边形是平行四边形，， 是矩形，不符合题意； B、， 是直角三角形，， 四边形是平行四边形， 是矩形，不符合题意； C、四边形是平行四边形，， 是矩形，不符合题意； D、四边形是平行四边形，， 是菱形，符合题意． 7. 分式的最大值是（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 8. 如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G．连结、．下列结论：①；②；③；④的面积为75．其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形性质和折叠性质可得，，利用HL证明，得出，设，在中利用勾股定理求出的值，从而判断的长及与的关系，利用等腰三角形性质和外角性质证明，从而判断平行；利用三角形面积公式及等高模型计算的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵， ∴，． 由折叠可知：， ，． ∴． 在和中，  ， ∴， 故①正确； ∴． 设，则， ， ． 在中，， 即， 解得， ∴， 故②正确； ∴， ∴ ． ∵， ∴． ∵． 又∵ ， ∴， ∴． ∴，即． ∴，故③正确； ∵， 且在上，，， ∴ ． 故④错误． 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 用提公因式的方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 要使式子有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】式子有意义， 二次根式的被开方数需为非负数，且分式的分母不为， 可得，解得． 则x的取值范围是． 12. 无理数的有理化因式是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵，乘积不含有二次根式， ∴的有理化因式是（答案不唯一） ． 13. 投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为________（结果精确到0.1）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了模拟试验，由频率估计概率，近似数等知识点，掌握用频率估计概率是解题的关键．结合折线统计图，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近，据此即可估计小新投壶一次投中的概率． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近，投中的概率约为，结果精确到0.1为， 故答案为：． 14. 如图，在正六边形中连接三条对角线，则该图中梯形的个数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据梯形定义，需要寻找一组对边平行而另一组对边不平行的四边形的个数． 首先找到图内有几组平行线，再根据平行线找关于这组平行线的截线，看构成的四边形是否满足梯形的定义． 【详解】如图，图内有一组平行线且该平行线上有两个截线的共有以下几组： ，，． 在的平行线里，可以组成梯形的四边形是，，； 在的平行线里，可以组成梯形的四边形是，，； 在的平行线里，只有一组截线和，该截线无法构成梯形． 所以图中梯形的个数是． 15. 如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质，求出，然后根据等腰三角形的判定，求出，再根据直角三角形的性质求得，所以，，即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 16. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程的解为正数，以及分式方程不能有增根列出不等式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴且． 17. 若，，则代数式的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】先将所求代数式通分变形，利用完全平方公式转化为含和的形式，先计算与的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：， ，， 将，代入变形后的代数式得： ． 18. 如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，与交于点，根据可得当，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，，与交于点， 由题意得：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 当，即时，最小， 此时，的最小值为． 三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将每个二次根式化简，再进行二次根式的加减计算即可； （2）分别根据平方差公式、完全平方公式化简二次根式，再进行二次根式的加减计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 原分式方程无解 【解析】 【分析】确定各分式方程的最简公分母，因为解分式方程的核心是去分母转化为整式方程，所以首先要找到所有分母的最简公分母．方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程，用到等式的基本性质．求解得到的整式方程，得到未知数的候选解．将候选解代入最简公分母检验，因为分母不能为0，所以如果最简公分母为0，该方程无解，若不为0则是原方程的解． 【小问1详解】 解：去分母，得 ， 去括号，得， 移项得， 检验：把代入，分母不为0， 所以是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：去分母，得： ， 展开整理得， 解得， 检验：把代入分母，得，分式无意义， 因此原方程无解． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；原式 【解析】 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 22. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分） 23. 如图，四边形中，，，为对角线． （1）证明：四边形是平行四边形． （2）已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即． ∴． ∴四边形是平行四边形． （2） 如图， 四边形就是所求作的菱形． 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，即，从而可得结论； （2）作对角线的垂直平分线交于，交于，从而可得菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，作线段的垂直平分线，菱形的判定，熟练的利用菱形的判定进行作图是解本题的关键． 24. 江苏城市足球联赛（苏超）中，淮安队需要采购两种训练用球：A型训练球和B型训练球．已知买一个A型训练球比买一个B型训练球便宜20元．用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同． （1）求A型、B型训练球每个各多少元？ （2）淮安队计划购买A、B两种训练球共20个，其中A型球不多于11个，且总费用不超过1430元．问共有几种购买方案？哪种方案总费用最低？并求出最低费用． 【答案】（1）60元，80元 （2）三种方案，购买A型训练球11个，购买B型训练球9个总费用最低；最低为1380元 【解析】 【分析】（1）设A型训练球每个x元，则B型训练球每个元，根据题意中的等量关系“用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同”建立分式方程即可解决问题； （2）设购买A型训练球m个，则购买B型训练球共个，根据题意中的不等关系：“A型训练球不多于11个，且总费用不超过1430元”建立一元一次不等式组解决问题． 【小问1详解】 解：设A型训练球每个x元，则B型训练球每个元，根据题意，得： ， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴元， 答：A型训练球每个60元，B型训练球每个80元； 【小问2详解】 解：设购买A型训练球m个，则购买B型训练球共个，根据题意得： ， 解得：， ∵m为正整数， ∴m可取：9，10，11， ∴共有三种方案： ①A型训练球9个，则购买B型训练球11个，费用：， ②A型训练球10个，则购买B型训练球10个，费用：， ③A型训练球11个，则购买B型训练球9个，费用：， ∴购买A型训练球11个，购买B型训练球9个总费用最低，最低为1380元． 25. 为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示： 组别 课外阅读时间（小时） 频数（人数） 第1组 2 第2组 3 第3组 15 第4组 a 第5组 5 请根据图表信息回答下列问题： （1）求出频数分布表中的 ，扇形统计图中的 ； （2）该频数分布直方图的组距是 ；并将频数分布直方图补充完整； （3）学校将每周课外阅读时间在6小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有多少人？ 【答案】（1）25；6 （2）2；频数分布直方图补充如下： （3）1080人 【解析】 【分析】（1）用第3组的人数除以其所占百分比即可求出抽取总人数，用抽取总人数减去其余各组的人数即可求出，用第2组的人数除以抽取总人数，即可求出； （2）根据组数和组距的定义，即可求组距；根据a的值，补全频数分布直方图即可； （3）根据样本估计总体，用1800乘以每周课外阅读时间在6小时以上的学生所占百分比，再计算即可． 【小问1详解】 解：抽取总人数为（人）， （人）， ， ∴； 【小问2详解】 解：由频数分布表和频数分布直方图可知，组数是5，组距是， 频数分布直方图补充略； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有1080人． 26. 如图，在直角梯形中，，于点C，，，点M从点A出发，以的速度向点B运动；同时点N从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． （1）求当t为几秒时，四边形为矩形； （2）当四边形为等腰梯形时，求t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，四边形为矩形，则，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，求出，得，解方程即可. 【小问1详解】 解：由题意得：， 则，， ∵， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作于点，如图， 则， 又∵， ， 解得：. 五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分） 27. 阅读理解，并完成下列问题： 材料 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形关系，二者本质上是对多项式进行的两个相反方向的运算．整式乘法是把若干个整式（单项式或多项式）相乘，因式分解是把一个多项式拆成若干个整式乘积的形式，整式乘法的结果就是因式分解的原多项式；因式分解的结果就是整式乘法的因式组合，二者都遵循整式的乘法法则（分配律，结合律，交换律），只是运算方向相反．同时，从整式乘法的过程中感悟出因式分解的思路和方法． 例子 整式乘法 因式分解 感悟方法 例1 分组法 例2 拆项法 例3 ． 添项法 （1）在表格中完成例3的“因式分解”过程； （2）因式分解： ① ② （3）已知：、、，证明：． 【答案】（1） （2）① ；② （3）证明： ∵，， ∴，，  ∴ ∴ ∴ 【解析】 【分析】（1）根据表格进行因式分解即可； （2）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可； （3）先将原式化简为，再由平方的非负性及不等式的性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：      ； ②解：   【小问3详解】 略 28. 综合实践课上，数学老师带领学生探究矩形的旋转． 如图1，四边形是一张矩形纸片，，．先将边向上翻折，使与重合后打开，折痕为，沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点E逆时针旋转，点F的对应点为． （1）如图2，当点在矩形的内部，与相交于点M，连接，，，，根据 （填选项），证得，； A． B． C． D． （2）如图3，当点落在边上时，边恰好经过点F，则两个矩形重叠部分四边形的面积为 ； （3）如图4，当点在矩形的外部，点与点重合时，判断四边形的形状，并说明理由． （4）如图5，当点在矩形的外部，点落在对角线上，与相交于点，判断点、、是否在同一条直线上，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）解：四边形是菱形， 理由：由（2）知四边形是矩形， ∴，即， 同理，得四边形是矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形是菱形； （4）解：点、、在同一条直线上， 理由：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵点落在对角线上， ∴点、、在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴点、、在同一条直线上． 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等的判定定理即可解答； （2）由题意易得，，利用勾股定理求出，进而得到，同理（1）易证，得到，，进而得到；设，则，利用勾股定理求出，即可求解； （3）证明，，推出四边形是平行四边形，再证明，推出，即，即可得出结论； （4）连接，证明，再证明，推出，进而得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，，， ∴， ； ∴根据证得； 【小问2详解】 解：连接， ∵矩形中，，， ∴，， 由折叠的性质得，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵边恰好经过点F， ∴， ∴， 同理（1）得， ∴，， ∵点落在边上， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵即， ∴， ∵， ∴， ∴两个矩形重叠部四边形的面积为； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $