精品解析：江苏省南通市海门区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

八年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列LOGO中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 4. 把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ） A. 4，13 B. ﹣4，19 C. ﹣4，13 D. 4，19 5. 已知，，是直线（为常数）上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，点，，分别为边，，的中点，连接，，，下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速原路返回学校．这一情景中，速度和时间的函数图象（不考虑图象端点情况）大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知等腰三角形的周长为，腰长为，底边长为，下列表示与的函数关系式及自变量的取值范围，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是正方形的边上一点，把正方形沿着折叠，使得点正好落在对角线上，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与，轴分别交于，两点，点是直线上一点，点是轴上（在点左侧）一动点，以，为邻边作，连接，点是线段的中点，连接，当时，点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，11～12每小题3分，13～16每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 当时，函数的值为______． 12. 甲、乙、丙三组数据的折线图如图所示，根据图形比较各组方差，最小的是______组数据． 13. 若平行四边形中两个内角的度数比为1:2，则其中一个较小的内角的度数是________°． 14. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则关于的不等式的解集为________． 15. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 16. 如图，在矩形中，，．将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点落在对角线上． （1）旋转角的度数为______； （2）连接，则的长度为_______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 某城市月份空气质量指数的箱线图如图所示． （1）这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数分别是多少？ （2）请分析这个月空气质量的特点． 19. 已知与成正比例关系，且当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若，求的取值范围． 20. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 21. 如图，矩形，点是对角线的中点，过点作的垂线与，分别交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求矩形的面积． 22. 已知，为正实数，关于的一元二次方程为． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若是方程的一个实数根，试判断代数式与的大小． 23. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如表： 型号 甲 乙 每台每小时分拣快递件数(件) 1000 800 每台价格(万元) 5 3 该公司计划购买这两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8500件 (1)设购买甲种型号的机器人x台，购买这10台机器人所花的费用为y万元，求y与x之间的关系式； (2)购买几台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 24. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点．函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于点． （1）求，的值； （2）若的面积为，求点的坐标； （3）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于，直接写出的取值范围． 25. 如图，四边形是正方形，是边上任意一点，连接，过点作于点，过点作，交于点． （1）【课本再现】 求证：； （2）【初步探究】 如图，连接，若点是的中点，试探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展提升】 如图，在（2）的条件下，连接，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数． 【详解】根据题意得， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数． 2. 在下列LOGO中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．此题考查了中心对称图形，将一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合的图形叫中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题关键． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项正确； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：A． 3. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选D． 4. 把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ） A. 4，13 B. ﹣4，19 C. ﹣4，13 D. 4，19 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】解：∵x2﹣8x+3＝0 ∴x2﹣8x＝﹣3 ∴x2﹣8x+16＝﹣3+16 ∴（x﹣4）2＝13 ∴m＝﹣4，n＝13 故选：C． 【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 5. 已知，，是直线（为常数）上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一次函数的比例系数判断函数增减性，再比较三点横坐标的大小，结合增减性即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵在中，一次项系数， ∴随的增大而减小． ∵，，是直线（为常数）上的三点，且， ∴． 6. 如图，中，点，，分别为边，，的中点，连接，，，下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形；再根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵点，，分别为边，，的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； 当时，则垂直平分， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故C符合题意； A、B、D三个选项中的条件，结合现有条件无法证明四边形是菱形，故A、B、D不符合题意． 7. 伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速原路返回学校．这一情景中，速度和时间的函数图象（不考虑图象端点情况）大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵伟伟从学校匀速回家， ∴第一段图象为和x轴平行的线段， ∵马上以更快的速度匀速原路返回学校， ∴第二段图象为和x轴平行的线段，且在第一条线段上方，时间更短， ∴速度和时间的函数图象大致是A选项图象． 8. 已知等腰三角形的周长为，腰长为，底边长为，下列表示与的函数关系式及自变量的取值范围，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的周长公式推导y与x的函数关系式，再根据三角形三边关系确定自变量x的取值范围，即可选出正确选项． 【详解】解：∵等腰三角形周长为，腰长为，底边长为， ∴， 整理得， 由三角形的三边关系可得， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，是正方形的边上一点，把正方形沿着折叠，使得点正好落在对角线上，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，可证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； ∴． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与，轴分别交于，两点，点是直线上一点，点是轴上（在点左侧）一动点，以，为邻边作，连接，点是线段的中点，连接，当时，点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，，，然后根据平行四边形的性质设，表示出，根据中点坐标公式得到点的坐标为，然后利用列方程求解即可． 【详解】解：∵直线：与，轴分别交于，两点 ∴当时， ∴ 当时， 解得 ∴ ∵点是直线：上一点 ∴ ∴ ∵以，为邻边作 ∴设 ∴ ∴点E的横坐标为，即 ∵点是线段的中点 ∴点的坐标为，即 ∵ ∴ 解得或（舍去） ∴点的横坐标为． 二、填空题（本大题共6小题，11～12每小题3分，13～16每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 当时，函数的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，． 12. 甲、乙、丙三组数据的折线图如图所示，根据图形比较各组方差，最小的是______组数据． 【答案】乙 【解析】 【详解】解：由折线图得，乙组数据的波动最小，更稳定， ∴方差最小的是乙． 13. 若平行四边形中两个内角的度数比为1:2，则其中一个较小的内角的度数是________°． 【答案】60° 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，推出，根据，求出即可. 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大. 14. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】将一次函数向右平移3个单位长度得到，与x轴交点坐标为，然后求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴将一次函数向右平移3个单位长度得到，与x轴交点坐标为 ∴当时，的图象在x轴上方 ∴关于的不等式的解集为． 15. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据宽与长的数量关系表示出矩形的长，再利用矩形面积公式即可列出方程． 【详解】解：设矩形的阔为步，则矩形的长为步， 由题意得，． 16. 如图，在矩形中，，．将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点落在对角线上． （1）旋转角的度数为______； （2）连接，则的长度为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）如图，取的中点O，连接，首先利用勾股定理求出，然后由斜边中线的性质得到，推出点和点O重合，证明三角形是等边三角形，即可得到旋转角的度数为； （2）如图，过点作交于点F，，交于点，由旋转得，，证明四边形是矩形，，得到，，然后多次利用勾股定理求解． 【详解】解：（1）如图，取的中点O，连接 ∵四边形是矩形 ∴， ∴ ∵点O是的中点 ∴ 由旋转得，，点落在对角线上 ∴点和点O重合， ∴ ∴三角形是等边三角形 ∴ ∴旋转角的度数为； （2）如图，过点作交于点F，交于点 ∵ ∴ 由旋转得，， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ∴或 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或 解得，． 18. 某城市月份空气质量指数的箱线图如图所示． （1）这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数分别是多少？ （2）请分析这个月空气质量的特点． 【答案】（1）解：这个月空气质量指数的最大值是、最小值是、下四分位数是、上四分位数是 （2）解：由箱线图可知，这个月空气质量指数有集中在到之间，分布在到之间，这个月空气质量指数的中位数是，说明这个月空气质量指数有一半低于，中位数右边较长，说明空气质量指数大的部分较分散，空气质量指数小的部分较集中． 【解析】 【分析】（1）根据箱线图找出这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数即可； （2）根据箱线图中这个月空气质量指数的最大值、最小值、上四分位数、下四分位数、中位数分析即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知与成正比例关系，且当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，然后利用待定系数法求解； （2）根据，得到，解得． 【小问1详解】 解：设， ∵当时，；当时，， ∴， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 20. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． 21. 如图，矩形，点是对角线的中点，过点作的垂线与，分别交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1）证明：∵矩形，点是对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，再由，可证明平行四边形是菱形； （2）利用菱形的性质和勾股定理求出的长，根据菱形面积公式求出的长，利用勾股定理求出的长，则可求出，最后根据矩形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在菱形中，，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 已知，为正实数，关于的一元二次方程为． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若是方程的一个实数根，试判断代数式与的大小． 【答案】（1）证明：可变形为， 判别式为， ，为正实数，所以，可得， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）先将原方程整理为一元二次方程的标准形式，再计算判别式，根据题中条件得到，即可得证． （2）利用方程根的定义，把代入方程，通过计算得到两个代数式完全相等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知是方程的一个实数根， 代入方程可得，则， ， ∴． 23. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如表： 型号 甲 乙 每台每小时分拣快递件数(件) 1000 800 每台价格(万元) 5 3 该公司计划购买这两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8500件 (1)设购买甲种型号的机器人x台，购买这10台机器人所花的费用为y万元，求y与x之间的关系式； (2)购买几台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）y＝2x+30（2）购买3台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少，最少费用为36万元 【解析】 【分析】（1）根据总费用＝甲种型号机器人的费用+乙种机器人的费用，求出y与x的关系式即可； （2）根据这10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8500件，列出不等式，求得x的取值范围，再利用（1）中函数，求出y的最小值即可． 【详解】解：（1）y与x之间的函数关系式为： y＝5x+3（10﹣x）＝2x+30； （2）由题可得：1000x+800（10﹣x）≥8500， 解得， ∵2＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，y取得最小值， ∴y最小＝2×3+30＝36， ∴购买3台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少，最少费用为36万元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解决此题的关键是熟练掌握函数的性质．对于一次函数y=kx+b（k为常数，k≠0）,当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 24. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点．函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于点． （1）求，的值； （2）若的面积为，求点的坐标； （3）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于，直接写出的取值范围． 【答案】（1） ， （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将已知两点坐标代入一次函数解析式，解方程组即可得到和的值； （2）先求出点坐标得到的长度，利用三角形面积公式求出点的横坐标，再代入求出纵坐标，即可得到点的坐标； （3）根据题意得到时不等式恒成立的条件，结合一次函数的性质分类讨论，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：把点和点代入函数，得 ，解得； 【小问2详解】 解：当时，函数， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， 由（1）得， 当时，，点的坐标为； 当时，，点的坐标为； 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：由题意得，当时，， 若，当时，，可得，不满足，舍去； 若，整理得，要使所有满足不等式，需，由，解得； 整理不等式得， 当即时，不等式整理得，因为，所有都满足不等式，符合条件； 当即时，不等式变为，恒成立，符合条件； 当即时，不等式整理得，存在不满足，不符合条件； 综上，的取值范围为． 25. 如图，四边形是正方形，是边上任意一点，连接，过点作于点，过点作，交于点． （1）【课本再现】 求证：； （2）【初步探究】 如图，连接，若点是的中点，试探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展提升】 如图，在（2）的条件下，连接，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 设， ∵点是的中点， ∴， ∴； 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴； （3）解：，理由如下： 如图3所示，过点F作于点M，延长交于点N， 由（2）得， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，再证明，得到，，据此可证明； （2）设，则，；由等面积法得到，则，据此可证明，进而可证明垂直平分，则可证明； （3）过点F作于点M，延长交于点N，求出；证明四边形是矩形，得到，，由等面积法得到，则可得到，进而得到，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $