11.4空间中的垂直关系（专项训练）高一数学人教B版必修第四册

**基本信息** 以垂直关系为核心，构建“定义-定理-题型-方法”四层体系，通过漏洞扫描、通法锤炼、能力强化三阶训练，实现空间几何逻辑推理与直观想象的融合提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与平面垂直|9题|判定定理“线线垂直→线面垂直”、性质定理应用，动点位置判定四步法|从定义出发，通过判定/性质定理构建线面垂直证明逻辑链，结合正方体、四棱锥等模型强化应用| |平面与平面垂直|8题|判定定理“线面垂直→面面垂直”、性质定理“交线垂线→线面垂直”|以线面垂直为基础，推导面面垂直判定与性质，通过翻折、动点问题深化知识联动| |空间中的夹角|14题|异面直线平移法、线面角射影法、二面角平面角构造法|从异面直线到线面角再到二面角，形成“定义-构造-计算”递进逻辑，培养空间角转化能力| |空间中的距离|6题|点面距离垂线段法，线面/面面距离转化为点面距离|以点面距离为核心，统一距离问题求解路径，结合几何体体积、平行关系提升迁移能力|

11.4：空间中的垂直关系 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 直线与平面的垂直 考点一：线面垂直定义 一般地，如果直线与平面相交于一点，且对平面内任意一条过点的直线，都有，则称直线与平面垂直（或是平面的一条垂线，是直线的一个垂面），记作，其中为垂足。 考点二：直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 考点三：直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 题型一：直线与平面垂直的判定与性质 根据直线与平面垂直的判定定理和性质定理，进行判断和证明. 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知直线，和平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·山东聊城·阶段检测）（多选）已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列判断错误的是（   ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 3．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是（    ）    A．与的夹角为 B．平面 C．平面∥平面 D．平面 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 5．（江苏淮安市2025-2026学年高一第二学期期末调研测试数学试题）已知四棱锥的底面为矩形，平面，为的中点，平面平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）已知直线平面，直线平面，且直线与，都相交，如图，求证：． 7．（2025高三·全国·专题练习）如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 8．（25-26高一下·天津·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 9．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）如图，三棱柱中，，，.    (1)证明：； (2)若，，求三棱锥的体积. 题型二：由线面垂直判断动点位置 1.先找平面内两条相交定直线； 2.过定点分别作的垂面； 3.两个垂面的交线，就是动点所在直线； 4.再与给定几何体表面相交，得到具体位置. 1．（25-26高一下·上海·期末）如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·安徽马鞍山·阶段检测）如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 3．（24-25高三上·山西大同·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线. (1)求证：； (2)若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面. 4．（23-24高一下·安徽亳州·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为2，点，分别在棱和上. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积是，平面，试确定点的位置，并证明你的结论. 考点02 平面与平面的垂直 考点一：平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 考点二：平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 题型一：平面与平面垂直的判定与性质 根据平面与平面垂直的判定定理和性质定理，进行判断和证明. 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知为三条不同直线，为三个不同平面，则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（25-26高一下·江苏扬州·期末）已知是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（25-26高二下·浙江宁波·期末）（多选）设直线是三条不同的直线，平面，是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的有（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 4．（25-26高一下·江苏镇江·期末）如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点.    (1)求证：平面平面； (2)如果，，为中点.求证：平面平面. 5．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别为，的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：平面平面. (3)求证：平面. 6．（江苏苏州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题）如图，已知四棱台的底面是平行四边形，，为的中点，为钝角三角形． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，求证：平面． 7．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． 8．（25-26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：. 题型二：平面与平面垂直的应用 1．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，．    (1)证明：平面． (2)求二面角的正切值． (3)在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 2．（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25高一下·四川德阳·期末）在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 4．（2015·河南郑州·二模）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 5．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 考点03 空间中的夹角问题 考点一：异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 考点二：直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 考点三：二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 特殊二面角：直二面角 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 图形语言： 符号语言：. 题型一：异面直线所成角的求解 统一采用平移法求解异面直线所成角，在空间选取合适的点，将两条异面直线平移至相交状态，形成对应的夹角。异面直线所成角的取值范围为，若平移后得到钝角，则取其补角作为最终结果，最后在构造出的三角形中，利用边长关系计算角度大小。 1．（25-26高一下·河北唐山·阶段检测）在空间中，为两个定点，且 ，动点到直线 的距离为，动点到直线 的距离为，若二面角为，当，时，异面直线 和所成角正切值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河南·阶段检测）在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·上海·期末）在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________． 6．（25-26高一下·河南洛阳·阶段检测）已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______． 题型二：直线与平面所成角的求解 先过直线上一点作平面的垂线，找到直线在平面内的射影，斜线和其射影所形成的锐角就是直线与平面所成角。按照定义区分特殊情况，直线垂直平面时夹角为，直线平行平面或在平面内时夹角为，结合直角三角形的边角关系完成角度计算。 1．（江苏淮安市2025-2026学年高一第二学期期末调研测试数学试题）已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正三棱锥侧棱和底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·上海·期末）在四面体中，平面，，，则直线与平面所成的角的大小为__________． 3．（25-26高一下·广东·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，为中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 4．（浙江嘉兴市2025-2026学年高一第二学期期末检测数学试题）如图1，将一边长为2的正六边形沿着对角线进行翻折，四边形翻折至四边形，得到五面体，如图2所示．    (1)求证：平面； (2)若，求与平面所成角的余弦值． 5．（浙江台州市2025-2026学年高二下学期6月期末质量评估数学试题）如图，在三棱锥中，，，，，． (1)求的值； (2)求证：平面平面； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值． 6．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB 的中点，E为劣弧CB 的中点，且， (1)求证: 平面 (2)求直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值. 题型三：平面与平面所成角的求解 1.定棱：找出两个平面的交线； 2.取垂足：在棱上取一点； 3.两面分别作棱的垂线：在面内作，在面内作，则就是二面角的平面角（或其补角）. 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·天津河东·阶段检测）在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·上海·期末）在空间中，点A、B、C在平面上的投影分别为、、．若是等腰直角三角形，且是等边三角形，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为__________． 4．（25-26高一下·天津河西·阶段检测）如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的二面角的大小为________． 5．（25-26高一下·上海·期末）如图，四边形和都是边长为1的正方形，且二面角的大小为． (1)证明：直线和是异面直线； (2)求直线与所成的角的大小； (3)求点B到平面的距离． 6．（25-26高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 7．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 8．（25-26高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，． (1)若平面与平面的交线为，证明：； (2)证明：平面平面； (3)若与平面所成的角为60°，求平面与平面所成二面角的正切值． 考点04 空间中的距离问题 考点一：点到平面的距离 给定空间一个平面及一个点，过点可以作且只可以作平面的一条垂线。如果记垂足为，则称为在平面内的射影（也称为投影），线段为平面的垂线段，的长为点到平面的距离。 考点二：线面、面面之间的距离 直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离； 当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离。 题型一：空间中距离问题的求解 空间距离包含点到直线、点到平面、直线到平面、平面到平面四类，解题核心是统一转化为点到平面的距离。过定点向对应平面作垂线段，垂线段长度即为所求距离；当直线与平面、两个平面互相平行时，可在直线或平面上任取一点，转化为点面距离计算。 1．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离等于1； B．直线到平面的距离等于1； C．平面到平面的距离等于1. D．点到平面的距离等于1 2．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 3．（2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱，M、N分别为、的中点，E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离. 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，平面，，，点为的中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、． (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面，并求平面到平面的距离． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.4：空间中的垂直关系 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 直线与平面的垂直 考点一：线面垂直定义 一般地，如果直线与平面相交于一点，且对平面内任意一条过点的直线，都有，则称直线与平面垂直（或是平面的一条垂线，是直线的一个垂面），记作，其中为垂足。 考点二：直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 考点三：直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 题型一：直线与平面垂直的判定与性质 根据直线与平面垂直的判定定理和性质定理，进行判断和证明. 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知直线，和平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据线面垂直的性质可知，若直线，，则“”，即必要性成立；若，，则直线可以在平面内，也可以与平面相交，还可以为相交且垂直，所以充分性不成立， 因此，若，则“”是“”的必要不充分条件. 2．（25-26高一下·山东聊城·阶段检测）（多选）已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列判断错误的是（   ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ABD 【详解】若，满足，但不满足，故A错误； 若，平面内存在平行于交线的直线，这条直线与平面平行，故B错误； 若，则一个平面内任意直线与另一平面无交点，即，故C正确； 若，则不满足，故D错误． 3．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是（    ）    A．与的夹角为 B．平面 C．平面∥平面 D．平面 【答案】BCD 【分析】将展开图折成正方体，根据正方体的性质，由异面直线所成角的定义可判断A； 由线面平行的判定定理可判断B； 根据面面平行的判定定理可判断C，由线面垂直的判定定理可判断D. 【详解】展开图可以折成如图①所示的正方体．    因为在正方体中平面 ∥平面 ，因为 平面 ， ∥平面 ，故B正确； 如图②所示，连接 ，    因为∥ ，所以四边形 是平行四边形，所以 ∥ . 所以 为与的夹角. 因为 为正三角形，所以 ，故A不正确. 易知∥ 平面 ， 平面 ，所以∥平面 ； 同理可得∥平面 ， 平面， 所以平面∥平面 ，故C正确. 正方体中 平面 ， 因为 平面 ，所以 . 正方形 中 ， 因为 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面 ，所以 . 同理可证 平面 ，所以 ． 因为 平面， 所以 平面，故D正确. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 【答案】 【详解】平面，平面， ，又， ． ，是的中点， ，，平面， 平面． ，， ． ，，平面， 平面． ． 5．（江苏淮安市2025-2026学年高一第二学期期末调研测试数学试题）已知四棱锥的底面为矩形，平面，为的中点，平面平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)连接，设，连接， 因为是矩形，所以是的中点， 在中，为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2)因为是矩形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以， 因为是矩形，所以， 因为且平面， 所以平面，故平面. 【分析】（1）连接，设，连接，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而可证平面. 【详解】（1）略 （2）略 6．（25-26高一下·全国·课后作业）已知直线平面，直线平面，且直线与，都相交，如图，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的性质和平面内两平行直线的性质即可证明. 【详解】证明：因为，，所以， 所以，确定一平面， 又与，都相交，所以， 在同一平面内，因为，所以. 7．（2025高三·全国·专题练习）如图，是等边三角形，直线平面ABC，直线平面ABC，且，F是线段EB的中点．求证：平面ABC． 【答案】证明见解析 【分析】取AB的中点M，先证四边形是平行四边形，则，再利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理得证． 【详解】取AB的中点M，连接FM和CM， 在中，F是EB的中点，M是AB的中点，则且， 由平面，而平面，得， 所以，，因此四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面． 8．（25-26高一下·天津·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明：连接， 因为，，为线段的中点， 所以四边形是平行四边形，是平行四边形， 设，连接，则是的中点， 又为线段的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2)证明：因为是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为，四边形是平行四边形，所以四边形是菱形， 所以， 又，，平面， 所以平面． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 9．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）如图，三棱柱中，，，.    (1)证明：； (2)若，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)取的中点，连接， 因为，所以⊥， 又，， 所以为等边三角形，故⊥， 又，平面，所以⊥平面， 又平面，所以；    (2)1 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥，⊥，从而得到线面垂直，线线垂直； （2）由线面垂直得到三棱锥的高及长度，利用锥体体积公式进行求解 【详解】（1）略 （2）因为，故， 即为等边三角形，故， 由（1）知，为边长为2的等边三角形，故， 又，故，所以， 又⊥，且都在平面内， 所以⊥平面，故即为三棱锥的高， 其中， 三棱锥的体积为. 题型二：由线面垂直判断动点位置 1.先找平面内两条相交定直线； 2.过定点分别作的垂面； 3.两个垂面的交线，就是动点所在直线； 4.再与给定几何体表面相交，得到具体位置. 1．（25-26高一下·上海·期末）如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交延长线于点，则直线l为过点平行于的直线，即可确定平面，可得解. 【详解】根据题意，延长交延长线于点， 因为平面与平面交于直线l，且平面， 则直线l为过点平行于的直线， 又因为，则，所以与共面，即平面， 所以点P可以位于，而点、和都不在平面上，故C正确. 2．（22-23高一下·安徽马鞍山·阶段检测）如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是的中点时，平面. 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【详解】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. 3．（24-25高三上·山西大同·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线. (1)求证：； (2)若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）首先证得线面平行，然后利用线面平行的性质定理即可证得线线平行； （2）先确定为与底面所成角，当时，结合（1）的结论以及线面垂直的判定定理即可得答案. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 分别为的中点， ， 为的中点，且为矩形， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平面平面， 平面， 又平面，平面平面， . （2）底面， 为与底面所成角， 当时，由（1）有， ， 且，平面， 平面， 因为平面， ， ，面，面， 由（1）有， 平面. 4．（23-24高一下·安徽亳州·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为2，点，分别在棱和上. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积是，平面，试确定点的位置，并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)当点是棱靠近点的三等分点，即时平面，证明见解析 【分析】（1）依题意可得、，从而得到平面，即可得证； （2）当点是棱靠近点的三等分点，即时平面，首先求出，过点在平面内作交于点，连接，交于点，即可得到，从而证明平面，则，结合（1）即可得证. 【详解】（1） 连接、，因为正方体， 所以平面，又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以； （2）当点是棱靠近点的三等分点，即时平面，证明如下： 因为三棱锥的体积是， 所以， 即， 解得，所以，即， 过点在平面内作交于点， 连接，交于点， 因为，所以， 当时， 所以，所以， 又，所以， 所以，即， 又平面，所以平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 由（1）可知，，平面， 所以平面. 考点02 平面与平面的垂直 考点一：平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 考点二：平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 题型一：平面与平面垂直的判定与性质 根据平面与平面垂直的判定定理和性质定理，进行判断和证明. 1．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知为三条不同直线，为三个不同平面，则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由条件得到的位置关系，即可判断A；由条件得到的位置关系，即可判断B；由条件得到的位置关系，即可判断C；利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理，由条件证明，即可判断D. 【详解】对于A，若，，则、相交或异面，故A错误； 对于B，若，，则或相交；故B错误； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，如图所示，因为，经过直线和平面内一点可作平面， 设，则，因为，所以， 又，故，故D正确． 2．（25-26高一下·江苏扬州·期末）已知是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】应用线面平行判断A，应用线面垂直判断D，应用面面平行判定B，应用面面垂直判定定理判断C. 【详解】若，，则可能在内，A选项错误； 当，，不在内，不在内，满足，，但是不平行，B选项错误； 若，则存在，又因为，所以，，则，C选项正确； 若，不在内，不在内，满足，但是，D选项错误. 3．（25-26高二下·浙江宁波·期末）（多选）设直线是三条不同的直线，平面，是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的有（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】AD 【分析】根据线面、面面之间平行、垂直的判定定理可逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以垂直于内的两条相交直线， 又，所以垂直于内的两条相交直线，则，故A正确. 对于B，若，，，则与可能相交，也可能平行，如都平行于与的交线时，也满足，，，但是与相交，故B错误. 对于C，若，，，，当时，或或者与相交； 当与相交时，由线面垂直的判定定理可知，故C错误. 对于D，若，，则或， 又，所以在平面内可找到一条直线垂直于平面，由面面垂直的判定定理可知，故D正确. 4．（25-26高一下·江苏镇江·期末）如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点.    (1)求证：平面平面； (2)如果，，为中点.求证：平面平面. 【答案】(1)因为，分别为棱，的中点，所以， 又因为平面，而平面，所以平面， 同理，，分别为棱，的中点，所以， 又因为平面，而平面，所以平面， 由于和交于点，所以平面平面. (2)因为，为中点，所以， 同理，因为，所以， 在平面中，和交于点，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【分析】（1）根据中位线判断，，然后结合面面平行的判断定理即可判断； （2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，从而有平面，然后结合面面垂直的判断定理即可判断. 【详解】（1）略. （2）略. 5．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别为，的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：平面平面. (3)求证：平面. 【答案】(1). (2)∵底面为矩形，∴. 平面平面，平面平面，∴平面. ∵平面， . ，，平面. 平面，平面平面. (3)取的中点，连接，，如图所示， ，分别为，的中点，，. ∵底面为矩形，为的中点，，. ，，得四边形为平行四边形. . 平面，平面， 平面. 【详解】（1），为的中点，，，，. 平面平面，平面平面， 平面. 为的中点，点到底面的距离. 底面为矩形，，，. . 三棱锥的体积为. （2）略 （3）略 6．（江苏苏州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题）如图，已知四棱台的底面是平行四边形，，为的中点，为钝角三角形． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，求证：平面． 【答案】(1)由四棱台的结构可知， 因为为的中点，， 则， 又四边形是平行四边形，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； (2)作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 由棱台的性质可知，侧棱相交于一点，即共面， 因为棱台的底面底面， 底面平面，底面平面， 所以，所以， 又，所以， 又平面， 所以平面． 【分析】（1）通过判断四边形为平行四边形，得到，即可求证； （2）作，垂足为，通过面面垂直的性质定理得到，再结合，即可求证. 【详解】（1）略 （2）略 7．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． 【答案】(1)如图，取的中点为，连接，， 因为为的中点，所以，， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 又为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 故平面. (2)因为平面平面，平面平面， 又四边形为正方形，所以， 所以平面， 所以. 又因为，，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【分析】（1）取的中点为，连接，，利用三角形的中位线定理结合棱柱的性质可证得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）根据四边形为正方形，平面平面，得出，再结合（1）中的平行关系得出，从而得出平面，根据平面与平面垂直的判定定理得出平面平面． 【详解】（1）略 （2）略 8．（25-26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：. 【答案】(1)取的中点，连接，由是的中点，得，， 由是矩形边的中点，得，则， 四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. (2)过作于点，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，又平面，则， 由，，得为的中点，且， 则，， ， 于是，而平面， 因此平面，又平面，所以. 【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定，结合平行公理及平行四边形性质推理得证. （2）过作于点，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定及性质推理得证. 【详解】（1）略 （2）略 题型二：平面与平面垂直的应用 1．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，．    (1)证明：平面． (2)求二面角的正切值． (3)在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在，，理由见解析. 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）作出二面角的平面角，在中求值； （3）当时满足条件，由正弦定理求出即得比值. 【详解】（1）因为底面，所以底面，平面， 所以，所以， 又，是中点，所以. 因为底面，平面，所以， 又底面是正方形，所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. （2）因为底面，平面，所以平面⊥底面， 过点作，因为平面平面 所以平面，过作，连接，则， 所以是二面角的平面角.    因为是中点，所以， 设，则，所以， 所以，即二面角的正切值是. （3）对线段上的点，因为平面，平面， 所以，则当时，满足条件. 如图，在四边形中，过作，垂足为，交于， 则， 设，则 因为，所以，所以， 又，所以 所以，又， 所以，此时时，，，平面， 所以平面，平面，所以平面⊥平面.    2．（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 3．（24-25高一下·四川德阳·期末）在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)当为中点时，平面平面，证明见解析. 【分析】（1）连接，证明，，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点为，连接，，，先根据面面平行的判定定理，证明平面平面，再由平面平面，即可证明平面平面. 【详解】（1）因为，又为的中点， 所以为等边三角形，四边形为菱形，所以， 因为为的中点，所以，所以，即 连接，所以， 若使构成的四棱锥体积最大，则平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面；    （2）当为中点时，平面平面. 取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以平面平面， 由（1）得平面，又平面，所以平面平面， 所以平面平面.    4．（2015·河南郑州·二模）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，的中点，连接，，，即可证明平面，平面，从而得到平面平面，即可得证； （2）连接，不妨设，依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，要使平面，只需即可，再由勾股定理计算可得. 【详解】（1）取的中点，的中点，连接，，， 则有，，，所以， 则与共面， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 平面平面， 又平面，∴平面； （2）连接，不妨设，则， 所以， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面， ∴平面平面， ∵，∴，又点是的中点，所以， 又平面平面，平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，只需即可， 又∵， ∴，即， ∴（负值舍去），即时，平面. 5．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面． (1)求证：； (2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点，证明见解析． 【分析】（1）设为的中点，连接，，通过证明可得平面，进而可得结论； （2）当为的中点时，使平面平面，通过，可证明面面平行，进而可得面面垂直. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，如图． ∵为正三角形， ∴． 在菱形中，， ∴为正三角形，又为的中点， ∴． 又，面 ∴平面． ∵平面，∴； （2）当为的中点时，满足平面平面． 证明如下： 在中，． 又平面，平面 ∴平面，同理，平面 在菱形中，． 平面，平面 ∴平面， 又平面，平面，， ∴平面平面． 由（1）得平面，而平面， ∴平面平面， ∴平面平面． 考点03 空间中的夹角问题 考点一：异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 考点二：直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 考点三：二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 特殊二面角：直二面角 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 图形语言： 符号语言：. 题型一：异面直线所成角的求解 统一采用平移法求解异面直线所成角，在空间选取合适的点，将两条异面直线平移至相交状态，形成对应的夹角。异面直线所成角的取值范围为，若平移后得到钝角，则取其补角作为最终结果，最后在构造出的三角形中，利用边长关系计算角度大小。 1．（25-26高一下·河北唐山·阶段检测）在空间中，为两个定点，且 ，动点到直线 的距离为，动点到直线 的距离为，若二面角为，当，时，异面直线 和所成角正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过，分别作，的平行线，使之交于点，根据余弦定理求出，再证明，进而利用异面直线所成角的定义求解即可. 【详解】如图， 过，分别作，的平行线，使之交于点， 因为，所以，而，二面角为， 则，而，， ， 即，又平面，所以平面， 由，可得平面，又平面， 则，又为异面直线 和所成角或其补角， 所以. 2．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，是平面外的一点，，，，分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义结合余弦定理计算即可求解. 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 3．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以是异面直线和所成角或其补角， 所以在中，，所以， 即异面直线和所成角的大小是. 4．（25-26高一下·河南·阶段检测）在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求所成角的余弦. 【详解】如图： 取中点，连接，，则，则或其补角为异面直线与所成的角. 不妨设，则中，，，， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦为. 8．（25-26高一下·上海·期末）在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________． 【答案】 【分析】取的中点，构造三角形的中位线，将异面直线与所成的角转化为三角形的内角，结合余弦定理可得. 【详解】 取的中点，连接， 由E、F分别为边、的中点，由三角形的中位线性质可得，为异面直线与所成的角， 在中，由余弦定理可得， 所以， 由异面直线间夹角范围可得直线与所成的角为. 9．（25-26高一下·河南洛阳·阶段检测）已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______． 【答案】 【分析】由条件证明平面，结合线面垂直定义可得，由此可得结论. 【详解】如图所示，连接， 由已知，，点为的中点， ，，又，平面， 所以平面，又平面ABE， 所以，故异面直线与所成的角的大小为． 题型二：直线与平面所成角的求解 先过直线上一点作平面的垂线，找到直线在平面内的射影，斜线和其射影所形成的锐角就是直线与平面所成角。按照定义区分特殊情况，直线垂直平面时夹角为，直线平行平面或在平面内时夹角为，结合直角三角形的边角关系完成角度计算。 1．（江苏淮安市2025-2026学年高一第二学期期末调研测试数学试题）已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正三棱锥侧棱和底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设底面边长，结合侧面积与底面积的关系求出斜高，再利用正三棱锥的几何特征计算高和侧棱长，最终求得侧棱与底面所成角的正弦值. 【详解】设正三棱锥底面正三角形的边长为,则底面正三角形面积. 设侧面斜高为，侧面积为3个全等等腰三角形的面积和，即， 由题意，即 ，化简得. 内切圆半径，底面中心到三角形顶点的距离是外接圆半径. 斜高、高、底面内切圆半径构成直角三角形，则 代入、，解得. 因为侧棱、高、底面外接圆半径构成直角三角形，所以 ， 代入、，得，即. 由于侧棱在底面射影为，因此侧棱与底面所成角的正弦值为高与侧棱长的比值， 即 . 2．（25-26高一下·上海·期末）在四面体中，平面，，，则直线与平面所成的角的大小为__________． 【答案】 【分析】取中点，连接，利用线面垂直找到所求线面角，再利用边长关系计算可得. 【详解】 取中点，连接， 因为，所以， 由平面易得，又平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 所以，即直线与平面所成的角的大小为. 3．（25-26高一下·广东·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，为中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)记与交于点，显然为的中点，由D为中点得，    由平面，平面可得平面． (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由得直线与所成角即直线与所成角，由余弦定理计算得到夹角的余弦值； （3）记与交于点N，由等体积法可得B到平面的距离为d，根据直线与平面的定义求得所成角的正弦值； 【详解】（1）略 （2）由得直线与所成角即直线与所成角， 即或其补角为所求角，记为，而由勾股定理得， ，， 由余弦定理可得． （3）记与交于点N，易得，，， 由得，可得的面积， 记点B到平面的距离为d，由等体积法得， 即，可得， 而由平面几何知识显然可得， 记直线与平面所成角为，则．    4．（浙江嘉兴市2025-2026学年高一第二学期期末检测数学试题）如图1，将一边长为2的正六边形沿着对角线进行翻折，四边形翻折至四边形，得到五面体，如图2所示．    (1)求证：平面； (2)若，求与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：翻折的过程中，，，所以，又， 所以四边形为平行四边形，．又平面，平面， 所以平面． (2)． 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，得，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）连接，，先证平面，得平面平面，作于点，可得平面，即得为与平面所成角，借助于直角三角形中三角函数定义及图形对称性即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）如图，连接，，在正六边形中，， ，所以，， 又，平面,则平面， 又平面.故平面平面， 作于点，因平面平面,则平面， 所以为与平面所成角． 因平面，平面,则，， 所以，， 由对称性得与平面所成角的大小等于与平面所成角的大小， 所以其余弦值为．    5．（浙江台州市2025-2026学年高二下学期6月期末质量评估数学试题）如图，在三棱锥中，，，，，． (1)求的值； (2)求证：平面平面； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)2 (2)设，连接， 由（1）知，，因此， 又因为，所以点为的中点， 在和中，，，， 因此，，得， 因为点为的中点，所以， 由已知，平面，平面，， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面． (3) 【分析】（1）方法一：利用平面向量的基本定理将、分别用、线性表示，再根据结合利用向量的数量积即可求解；方法二：设，取中点，连接，利用三角形中位线结合等腰三角形知识即可求解. （2）设，连接，利用平面几何知识证得，结合线面垂直的判定得到平面，进而证得平面平面． （3）设点在平面内的射影为，先证得为直线与平面所成角，设，通过计算相继得到，，，，，再由余弦定理求得，进而求得，，即得答案. 【详解】（1）方法一：因为，所以 因为，， 所以， ， 又，所以， 即，得，故． 法二：设，取中点，连接， 则是的中位线，得， 因为是的中点，所以也是的中点， 由已知，得为等腰三角形，即， 又因为，所以． （2）略 （3） 由（2）知，平面，平面，得平面平面， 设点在平面内的射影为，则点在直线上，且平面， 连接，，则为直线与平面所成角， 不妨设，则， 在中，，得， 在中，，得， 在中，，， ，， 在中，由余弦定理得， 所以，因此， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为 6．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB 的中点，E为劣弧CB 的中点，且， (1)求证: 平面 (2)求直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值. 【答案】(1)连接交于，因为为劣弧的中点， 故是中点，又是中点，所以， 平面，平面，因此平面． (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求解； （2）利用线面垂直的判定定理得到平面，故是直线与平面所成的角．计算的值，从而得解． 【详解】（1）略 （2）依题意，平面，平面，故， 又为半圆弧的中点，因此，平面， 因此平面，故是直线与平面所成的角． 因为，所以， 因为，所以， 故直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值为． 题型三：平面与平面所成角的求解 1.定棱：找出两个平面的交线； 2.取垂足：在棱上取一点； 3.两面分别作棱的垂线：在面内作，在面内作，则就是二面角的平面角（或其补角）. 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用长方体的线面垂直性质找出二面角的平面角，再通过直角三角形的边角关系计算得到二面角的余弦值. 【详解】长方体中侧棱底面，因此，且， 所以二面角的平面角就是. 由题意，矩形中，，，， 由勾股定理得斜边. 在中，，即二面角的余弦值为. 2．（25-26高一下·天津河东·阶段检测）在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到所求二面角的平面角，结合勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，连接，设，    因为正方体，所以，， 所以就是平面与平面所成二面角， 设正方体的边长为，则，，， 所以，故C正确. 3．（25-26高一下·上海·期末）在空间中，点A、B、C在平面上的投影分别为、、．若是等腰直角三角形，且是等边三角形，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为__________． 【答案】/ 【分析】利用设值法来求解，将问题从一般到特殊，再利用射影面积公式：来求解． 【详解】设等腰直角三角形中，，，则， 点在平面上的投影分别为、、， 设， 是等边三角形，设其边长为，则： ， 令，则代入上式得： ， 由前两式知：，取（不符合题意），代入中， ， ， 解得：， ， 即， 设平面与平面所成的锐二面角为，根据射影面积公式： ． 4．（25-26高一下·天津河西·阶段检测）如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的二面角的大小为________． 【答案】 【详解】根据题意，可将直三棱柱补成正方体， 因为平面平面，所以， 所以即为平面与平面所成的二面角， 又因为等腰直角三角形， 所以平面与平面所成的二面角的大小为. 5．（25-26高一下·上海·期末）如图，四边形和都是边长为1的正方形，且二面角的大小为． (1)证明：直线和是异面直线； (2)求直线与所成的角的大小； (3)求点B到平面的距离． 【答案】(1)如图： 因为平面，平面，且直线，平面， 所以直线和是异面直线. (2) (3) 【分析】（1）利用异面直线的判定定理证明两直线异面. （2）先明确两异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求角. （3）利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）∵，，所以即为二面角的平面角，等于. 又，所以为等边三角形，所以. 又平面，且，所以平面. ∵，所以平面. 平面，所以. 又，所以. 又因为，所以即为异面直线与所成的角，即为. 在中，，，， 所以，所以. （3）因为平面，平面，所以平面平面. 取中点，连接，则， 又平面平面，平面，所以平面. ∵是边长为1的等边三角形，所以. 所以. 又中，，， 所以. 设到平面的距离为， 则. 6．（25-26高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明：连接交于点，连接， 四边形为正方形，是中点， 又为中点，， 平面，平面， 平面. (2)证明：平面，平面，， 四边形为正方形,, ，平面, 平面， 又平面,， ，为线段的中点， ， 又，平面, 平面， 又平面，平面平面. (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，可得，再通过直线与平面平行判定定理证明； （2）先证明平面，得到,再利用，为线段的中点可得，从而得到平面，最后得到平面平面； （3）作于点，连接，，先证明平面，得到，又，所以平面，平面，，所以，是二面角的平面角，通过余弦定理计算出二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）作于点，连接， 平面，平面， ， 四边形为正方形,, ，平面, 平面， 平面,， 又，且，平面, 平面, 平面，， 是二面角的平面角， ， 在中，,同理, 在中， ,则为直角三角形， 由于，故与全等， 在中，由余弦定理， 即二面角的余弦值为. 7．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 【答案】(1)取SD的中点M，连接ME，MC， 因为E，M分别为SA，SD的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则， 且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． (2) (3) 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； （3）由（2）可知：平面ABCD，利用等体积转化法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）取AB的中点O，连接SO，CO，AC，    因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以二面角的余弦值为． （3）由（2）可知：平面ABCD， 且，， 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则， 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为． 8．（25-26高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，． (1)若平面与平面的交线为，证明：； (2)证明：平面平面； (3)若与平面所成的角为60°，求平面与平面所成二面角的正切值． 【答案】(1)因为，平面，平面， 所以平面，又平面， 平面平面，所以. (2)取的中点，连接，. 因为为等边三角形，所以. 又，，所以， 所以四边形为平行四边形，又， 故四边形为矩形，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. (3) 【分析】（1）利用线面平行的性质证明线线平行； （2）利用面面垂直的判定定理证明； （3）设出的边长，由直线与平面所成的角为60°，求出其他边长，根据第（2）问，作出二面角的平面角，通过解三角形求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，平面，平面， 所以平面平面，过作于， 因平面平面,平面,则平面， 所以是与平面所成的角，即. 过点作于，连， 因为平面，平面，所以, 又平面,所以平面， 因平面，所以，则为平面与平面所成的角. 设，则，， 因平面，平面，则, 在中，，所以. 在中，，. 在中，， 易得与相似，则，所以， 所以. 考点04 空间中的距离问题 考点一：点到平面的距离 给定空间一个平面及一个点，过点可以作且只可以作平面的一条垂线。如果记垂足为，则称为在平面内的射影（也称为投影），线段为平面的垂线段，的长为点到平面的距离。 考点二：线面、面面之间的距离 直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离； 当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离。 题型一：空间中距离问题的求解 空间距离包含点到直线、点到平面、直线到平面、平面到平面四类，解题核心是统一转化为点到平面的距离。过定点向对应平面作垂线段，垂线段长度即为所求距离；当直线与平面、两个平面互相平行时，可在直线或平面上任取一点，转化为点面距离计算。 1．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离等于1； B．直线到平面的距离等于1； C．平面到平面的距离等于1. D．点到平面的距离等于1 【答案】ABC 【分析】分别由平面、平面和平面、平面平面即可分析求解判断ABC；设点到平面的距离等于d，由即可求解判断D. 【详解】由正方体结构性质可知平面，所以点到平面的距离等于1，A正确； 由正方体结构性质可知，在平面外，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离等于点C到平面的距离， 又由正方体结构性质可知平面，所以直线到平面的距离为，B正确； 由正方体结构性质可知平面平面，平面且平面， 所以平面到平面的距离等于，C正确； 设点到平面的距离等于d，由题意可得， 所以，又， 所以由得，D错误. 故选：ABC 2．（2026高一·全国·专题练习）某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 【答案】 【详解】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 3．（2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】(1)由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. (2)距离为1. 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【详解】（1）略 （2）由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱，M、N分别为、的中点，E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离. 【答案】 【分析】连接，先证明平面平面，从而可得平面与平面的距离到平面的距离，再利用等体积法求出到平面的距离即可. 【详解】连接， 分别为的中点， 分别是的中点， ，平面， 又平面，平面， 平行且等于， 是平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面平面， ∴平面与平面的距离到平面的距离， 中，，，， 由， 得，解得， ∴平面与平面的距离为. 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，平面，，，点为的中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、． (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面，并求平面到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析，平面到平面的距离为. 【分析】（1）根据线面垂直的性质及判定定理证得平面，再由面面垂直的判定证明结论. （2）根据面面平行的判定定理证得平面平面，根据点面、面面的距离的定义求得平面到平面的距离. 【详解】（1）由平面，平面，则，而， 由，平面，则平面， 由平面，则平面平面； （2）依题意可知，平面，平面， 由于，平面，所以平面平面， 由（1）知平面，则平面，， 所以平面，平面， 由平面，平面，平面平面， 所以，又点为的中点，则是的中点， 所以平面到平面的距离为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $