13.2.3 直线与平面的位置关系（题型专练）高一数学苏教版必修第二册

13.2.3 直线与平面的位置关系 题型一 线面关系的判断 1．(23-24高一下·吉林四平实验中学·期末)（多选）已知为异面直线，平面，平面，，则下列结论错误的是（   ） A．与都相交 B．与中至少一条相交 C．与都不相交 D．与中只有一条相交 【答案】ABD 【分析】假设与相交，推出与平面斜交或，与已知条件矛盾，故与不相交，同理可证与也不相交，ABD错误. 【详解】假设与相交，因为，所以， 则与平面斜交或，与平面矛盾，故与不相交， 同理可证与也不相交，C正确，ABD错误. 故选：ABD 2．(24-25高一下·山东聊城·期末) （多选）已知空间中三条不同的直线，，和平面，且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与相交，则与相交 D．若与相交，则与相交 【答案】AD 【分析】利用空间中线线与线面的位置关系逐一分析各选项的正误，可得出合适的选项. 【详解】对A：因为，，则.故A成立； 对B：若，，则或.故B错误； 对C：若，与相交，则与相交或与异面，故C错误； 对D：若，与相交，则与相交.故D成立. 故选：AD 3．(24-25高一下·河南郑州第一中学·期中) （多选）设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定、性质逐项分析判断. 【详解】对于A，，若，则不能推得，A错误； 对于B，由，得，而，因此，B正确； 对于C，由，得，而，因此，C错误； 对于D，由，得，而，则可能平行、可能相交、也可能是异面直线，D错误. 故选：ACD 4．(24-25高一下·江苏南京金陵中学等校·期末) （多选）如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABD 【分析】根据线线平行证明线面平行，进而判断各选项. 【详解】因为为平行四边形对角线的交点，所以为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，A选项正确； 同理平面，平面，所以 ，B选项正确； 由四边形为平行四边形，所以，平面，平面，故平面，故D正确； 又与平面相交于点，故C错误； 故选：ABD. 5．(23-24高一下·江苏无锡堰桥高级中学·期中) （多选）已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理不正确的是（    ） A．， B．，，且 C．， ， D．，， 【答案】AB 【分析】对于A，根据直线与直线的位置关系判断；对于B，根据直线与平面的位置关系判断；对于C，根据面面平行的位置关系判断；对于D，根据面面平行的性质定理判断. 【详解】对于A，因为，则可以平行或相交，故A错误； 对于B，因为，则或，或，故B错误； 对于C，因为，则由面面平行的位置关系得，故C正确； 对于D，因为，则由面面平行的性质定理得，故D正确. 故选：AB. 题型一 线面平行的判定定理 1．(24-25高一下·江苏南京第一中学·期末)如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点． (1)证明：； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证和，再由线线垂直证明线面垂直，易得； （2）取的中点，易证，得到，则得，由线线平行即得线面平行. 【详解】（1） 如图，连接交于点，由四边形是正方形，可得，   因平面，平面，则， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2）如图，取的中点，连接， 由分别是棱的中点．可得， 又，则，即得，所以 因平面，平面， 所以平面． 2．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期末)如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为D，的中点为E.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用中位线平行即可证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用线线垂直证明线面垂直，再利用线面垂直可得线线垂直，最后可得证线线垂直. 【详解】（1） 在直棱柱中，为的中点，则为的中点， 连接，可得为的中点，因此. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为棱柱是直三棱柱，所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面，平面，， 所以平面. 又因为平面，所以. 因为，所以矩形是正方形，因此. 因为平面，，所以平面. 又因为平面，所以. 3．(24-25高一下·江苏徐州侯集高级中学·月考)在正三棱柱中，D为的中点． (1)证明：平面； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）连接交于，连接，易得，利用线面平行的判定证明结论； （2）由已知及线面垂直的性质得，，再由线面垂直的判定和性质定理证明结论. 【详解】（1）连接交于，连接， 由侧面为矩形，易知是的中点， 由D为的中点，则， 由平面，平面，所以平面； （2）由D为的中点，为等边三角形，则， 由平面，平面，则， 都在平面内，则平面， 由平面，所以. 4．(24-25高一下·江苏淮安涟水县第一中学·月考)如图，在三棱柱中，平面ABC，各棱长均为4，D为AB的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设，连接，易知 ，再由线面平行的判定证明结论； （2）由（1）知，异面直线与所成角为（或其补角），再由已知及余弦定理、平方关系求夹角正弦值. 【详解】（1）设，连接，知为的中点， 因为D为AB的中点，则 ，平面，平面， 所以平面； （2）因为 ，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，由题意知， 则，则， 所以异面直线与所成角的正弦值为. 5．(24-25高一下·江苏苏州工业园区南京航空航天大学苏州附属中学·月考)如图，在正四棱锥中，已知侧棱和底面边长都等于是的中点． (1)求证：平面． (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）作出异面直线所成的角，由余弦定理求解. 【详解】（1）因为四边形为正方形。 所以 又平面，平面， 所以平面. （2）取中点，连接,， 则，且， 即（或补角）为异面直线与所成角， 因为, 所以 即异面直线与所成角的余弦w值为. 题型二 线面平行的性质定理 1．(23-24高一下·云南昆明云南师范大学附属中学·月考)如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为PD的中点. (1)设平面与直线相交于点F，求证：； (2)若，，，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)30° 【分析】（1）利用线线平行证明线面平行，再证线线平行，再利用平行的传递性就可以得到结果； （2）利用已知条件作出线在平面上的射影，得到线面角的平面角，再进行计算即可. 【详解】（1） 证明：∵平面与直线相交于点F， ∴平面平面. ∵四边形是菱形， ∴. ∵平面，平面， ∴平面. ∵平面，平面平面， ∴. 由平行的传递性可得： （2）连接，取的中点H，连接，， ∵在菱形中，，， ∴是等边三角形. ∵H是的中点，∴. ∵平面，平面，∴. ∵，平面，， ∴平面， ∴是直线与平面的所成角. ∵E是的中点，， ∴. ∵平面，平面，∴. ∵H为的中点，∴， 在中，. ∵在等边中，高， ∴在中，，可得， 即直线与平面所成角的大小为30°. 2．(23-24高一下·江苏无锡辅仁高级中学·月考)如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.   (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面； (3)设平面平面，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，再证明即可； （2）根据线面平行与面面平行的判定证明平面平面即可； （3）根据线面平行的判定与性质证明即可. 【详解】（1）设，连接，因为是平行四边形，故， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. （2）若为侧棱的中点，，则， 又平面，平面，故平面. 又，平面，平面，故平面. 又，平面，故平面平面. 又平面，故平面. （3）因为，平面，平面，故平面. 又平面平面，平面，故    3．(23-24高一下·江苏无锡第一中学·期中)我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面． (1)证明：三棱锥为鳖臑； (2)若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为． ①证明：直线平面； ②判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②平行，证明见解析. 【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解； （2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解； ②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解. 【详解】（1）∵， ∴为直角三角形， ∵平面，且平面，平面，平面， ∴，，， ∴和为直角三角形， ∵，平面，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴， ∴为直角三角形， ∴三棱锥为鳖曘. （2）① 连接，∵点分别为的中点， ∴， 且平面，平面， 所以直线平面， ②平行， 证明：平面，平面，平面 平面=， 所以. 4．(23-24高一下·浙江三锋教研联盟·期中)如图，在几何体中，四边形为直角梯形，已知，平面平面 (1)证明： 平面 (2)证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线段对应成比例可得，进而得到，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）先有线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得到 【详解】（1）连接交于，连接． 因为四边形为直角梯形，，所以， 又因为，所以， 因为面面，所以平面. （2）因为四边形为直角梯形，所以． 因为面面，所以平面． 因为面，面面． 所以． 5．(23-24高一下·辽宁沈阳东北育才学校科学高中部·月考)如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点． (1)求证：平面EAC． (2)若M是CD上异于C，D的点，连接PM交CE于点G，连接BM交AC于点H，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线证明，然后根据线面平行的判定定理完成证明； （2）根据线面平行的性质定理完成证明. 【详解】（1）连接交于，连接， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以是的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面平面，平面， 所以. 题型三 线面垂直的判定定理 1．如图所示，在三棱锥中，，，点O，M分别为线段，的中点． (1)若平面平面，证明：； (2)证明：平面； (3)求与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解. (2)证明见详解. (3) 【分析】（1）利用线线平行证得平面，再结合线面平行的性质加以证明； （2） 由线线垂直，,,再结合线面垂直的性质加以证明； （3）利用中位线将两条线与平移到一个三角形，根据余弦定理求解 【详解】（1）由题：点O，M分别为线段AC，AB的中点，所以 ； 又因为平面，平面，所以平面； 而平面，平面平面，故,所以. （2）因为，所以为边长为4的等边三角形， O为线段AC的中点，所以； 又因为，，故； 在中，，所以； 而，平面ABC，所以平面. （3） 取中点，连接，于是是中位线，则， 于是与所成角即为，由题知，， 又，由三线合一，，做完， 同理，在中，由余弦定理 故直线与所成角的余弦值为. 2．(24-25高一下·江苏通州高级中学·)如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面⊥底面，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若，求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）由侧面PAD⊥底面ABCD结合，可得平面，据此可完成证明； （2）取PD中点为G，连接FG，GA，通过证明可完成证明； （3）由（2）通过证明平面可完成证明. 【详解】（1）因底面是矩形，则， 又侧面底面，侧面底面，底面， 则平面， 因为平面，所以； （2）取PD中点为G，连接FG，GA，因是的中点， 则.又是的中点，, 则，从而四边形是平行四边形. 则，又平面，平面，则平面； （3）因，又G为PD中点，则. 由（1）可得平面，又平面，则. 又平面，，则平面. 由（2）可得，则平面. 3．(24-25高一下·江苏苏州高新区苏州实验中学（本部）·月考)如图，正四棱锥和正四面体A-CDF的所有棱长均相等，G为BE的中点．   (1)证明：； (2)证明：点A，B，C，F共面； (3)判断FG是否垂直于平面ACD，若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不垂直，理由见解析 【分析】（1）先证明，，可得平面，再利用线面垂直的 性质即可证明结论； （2）先证明平面，平面，可得两平面重合，再结合平行四边形的性质即可证明结论； （3）利用反证法，假设平面，退导出矛盾，说明假设不成立即可. 【详解】（1）如图，取中点，连接，，，，    因为是正四棱锥，是正四面体，为的中点， 所以，， 因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以； （2）因为是正四棱锥，是正四面体，为的中点， 所以，， 因为，平面，所以平面， 又因为，平面，平面， 所以平面与平面重合， 所以四点共面，设正四面体与正四棱锥的棱长为2a, 则，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为，所以， 所以四点共面； （3）假设平面，因为平面，则， 又因为四边形是平行四边形， 所以四边形是菱形，则 ， 与，矛盾， 故假设不成立， 所以FG与平面ACD不垂直. 4．(24-25高一下·江苏·)如图，在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，为AC与BD的交点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明； （2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明. 【详解】（1）分别是的中点，是矩形， ，且， 四边形是平行四边形，则. 又平面平面， 平面. （2）如图，连接. 正方形ABCD的边长为， ， 则. 又平面平面ABCD，. 由底面ABCD为正方形可得， 又平面平面， 平面. 又平面，， 又平面平面， 平面. 5．(23-24高一下·江苏苏州·调研)如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，，E，F，G分别为线段AD，BC，PB的中点. (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面AFG. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证平面，有，再由，可证平面PBC； （2）连接交于点，由，得为中点，可得，线面平行的判定定理得平面. 【详解】（1）因为底面为矩形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 平面，所以， 又，为中点，则， 平面，，所以平面. （2）连接交于点，连接， 由四边形为矩形，分别为中点，所以， 则，即为中点，又因为为中点，有， 平面，平面，所以平面. 题型四 线面垂直的性质定理 1．(24-25高一下·江苏丹阳马相伯高级中学·期末)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形．为中点． (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判断，结合平行公理推理得证. （2）取的中点，则，根据题设条件可证得四边形是矩形，即有，利用线面垂直的判定和性质推理可得证. 【详解】（1）取的中点，连接，由为中点，得且， 又，，则，， 因此四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. （2）取的中点，连结，由三角形为等边三角形，得， 在直角梯形中，，且， 则，且，四边形是平行四边形， 由，得平行四边形是矩形，则， 而，平面，平面， 因此平面，而平面，则，所以. 2．(24-25高一下·江苏海安实验中学·月考)如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证平面，根据线面平行的判定定理在平面内找到一条直线与之平行即可； （2）将线线垂直转化为与所在的某个平面垂直即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则为的中点，又为的中点，故， 平面，平面，故平面. （2）取中点为，连接，，为的中点， 故，而底面， 故底面，底面，故； 又为的中点，则，而，即， 故， 而，平面，平面， 故平面， 又平面，故，即. 3．(23-24高一下·江苏南京河西外国语学校·月考)已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．已知．若为的中点，为的中点，   (1)平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）连结，证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证. 【详解】（1）如图，取的中点，连结，    在直角梯形，，，，， 所以，则， 所以，则为等边三角形，即， 因为N是PA的中点， 所以，， 又，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC； （2）连结， 因为，M是BC的中点， 所以， 由（1）可知，，又M是BC的中点，所以， 因为AM，平面，， 所以平面， 因为平面，所以． 4．(23-24高一下·江苏扬州高邮临泽中学·调研)如图所示，已知平面，平面，为等边三角形，，F为CD的中点． 求证： (1)平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）应用线面垂直的判定定理证明线线垂直. 【详解】（1）取CE的中点G，连接FG，BG， 因为F为CD的中点，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以，又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面 （2）因为平面，平面，所以， 因为为等边三角形，F为CD的中点，所以， 因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以 5．(23-24高一下·江苏如皋·调研)如图，正方体中，为底面的中心，为棱上一点． (1)证明：平面； (2)若平面，求证：为棱的中点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）连接，交于点，由题意可证四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）设正方体的棱长为2，，由线面垂直的性质定理可得，分别求得的值，再由勾股定理求得，即可证明. 【详解】（1） 连接，交于点，则为中点，连接， 为底面的中心， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 且平面，平面，所以平面. （2）设正方体的棱长为2，，则， 连接，因为平面，平面，所以， 因为，， ，所以， 即，解得，即， 所以为棱的中点． 题型一 直线与平面所成的角 1．(24-25高一下·江苏无锡江阴第二中学·月考)如图，四棱锥中，底面是正方形，，，点，分别为棱，的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线可得，由线面平行的判定定理可得平面； （2）由线面垂直的判定定理可得平面； （3）由（2）中的结论结合解直角三角形可求线面角的正弦值. 【详解】（1），分别为棱，的中点，， 平面，平面，平面． （2），，且，、平面， 平面． （3）连接，由 （2）知平面， 为直线与平面所成角， ，且四边形为正方形，， ，， 故直线与平面所成角的正弦值为． 2．(24-25高一下·江苏常州高级中学·期末)如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接，设，通过题设证明，，进而求证即可； （2）设的中点为，连接，先证明平面，则为直线与平面所成角，进而求解即可. 【详解】（1）连接，设，连接，设， 在菱形中，， 在直四棱柱中，平面，且平面， 所以，又平面， 所以平面， 因为平面，所以. 在菱形中，，则， 则，则，而， 因为，所以，则， 则，故，即， 因为平面， 所以平面. （2）设的中点为，连接， 由于，则， 因为平面，且平面， 所以， 又平面， 所以平面， 则为直线与平面所成角， 因为， 所以在中，， 则直线与平面所成角的正切值为． 3．(23-24高一下·江苏常州北郊高级中学·调研)如图，四边形是矩形，，，平面，，.点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）根据线面垂直判定定理证明平面，结合线面角定义确定和平面所成的角，解三角形求解即可. 【详解】（1）连接交于，连接，因为为、的中点， 所以为的中位线； 所以，而平面，平面， 故平面；                                             （2）因为平面，平面，所以 ， 又由，而，平面， 故平面； 故即为和平面所成的角. 由已知，，， 在直角三角形中，可得， 所以和平面所成角的正弦值为. 4．(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点.   (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，通过证明 ，可得平面； （2）通过证明平面，可知为直线与平面所成的角，从而得解. 【详解】（1）如图，取中点，连接，    由于分别为的中点，故 ，且， 又 ，可得 ，且， 故四边形为平行四边形， 所以 ，又因为平面平面， 所以 平面. （2）因为底面底面， 又平面， 平面，又平面. 由为的中点，所以， 又平面平面， 直线在平面内的射影为直线， 故为直线与平面所成的角， 由底面底面可得，， 为等腰直角三角形，且平分， ，所以直线与平面所成的角为. 5．(23-24高一下·江苏南京外国语学校·期末)如图，棱长为a的正方体中，分别是上的点，． (1)求B点到平面的距离； (2)求与平面所成角的余弦值．（请不用空间向量法，用空间向量法不得分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先证明平面，再根据点到平面的距离定义求解； （2）首先利用平行关系转化，在根据（1）的垂直关系，求线面角，即可求解. 【详解】（1）连结，，交于点， 因为平面，平面，所以， ，，且平面 所以平面， 所以点到平面的距离为； （2）在上取点，连结，使，且， 所以，且，又，且, 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以与平面所成角为与平面所成角, 由（1）知，平面，所以为所求角， ，， 所以，， 所以与平面所成角的余弦值为. 题型二动点问题 1．(24-25高一下·江苏邗江中学·月考)如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点． (1)若，证明：． (2)若平面，试确定在上的位置，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)是的中点，理由见详解 【分析】（1）通过等腰三角形的性质证得，从而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明． （2）根据线面平行的性质定理得，从而根据是线段的中点即可确定点的位置. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为中点， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以． （2）是的中点，理由如下： 若平面，由平面，平面平面， 得，又是的中点，在上， 所以是的中点 2．(23-34高一下·江苏平潮高级中学·)如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，M为上一点，且 (1)求证：平面 (2)若为正三角形，，求异面直线与所成角的大小; (3)点E为中点，点F在线段上，且，若平面，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，利用相似比证明，由线面平行的判定定理证明即可; （2）先证明,得到异面直线与所成的角为，然后利用余弦定理求解即可; （3） 先证明平面平面，再由线面平行的性质定理得到，再根据相似三角形求解即可. 【详解】（1）连接交于点N，连接， 设及，可知， 又，所以，所以在中有， 又平面，而平面，所以平面 （2）取的中点O，连接，， 根据，，O为的中点，可知为平行四边形， 所以，且， 则异面直线与所成的角即为（或其补角）， 因为为边长是4的等边三角形， 故，又， 所以， 所以异面直线与所成角的大小是 （3）取中点G，连 ， 因为E是中点， G为中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 且， ，平面， 所以平面平面BDM， 又平面EFG，所以平面 又平面，且平面平面， 所以，所以 由题可知，所以 即 3．(23-24高一下·福建厦门外国语学校·月考)如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，，7 【分析】（1）作，连接，利用平行公理可得共面，即可说明如何画线； （2）连接并延长交于E，连接，利用线面平行的性质定理推出，结合线段成比例，即可推出结论；利用余弦定理求出，结合线段成比例，即可求得线段MN的长. 【详解】（1）因为，所以M为的中点， 作，交于G，则G为的中点，连接， 则，由题意知四边形为平行四边形，则， 故，即共面， 故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点N，使直线平面， 连接并延长交于E，连接， 因为平面，平面，平面平面， 故，则， 由题意知四边形为正方形，故， 则，即假设成立， 故在线段上存在一点N，使直线平面，此时； 由于，，故，故， 中，，则 ， 即，而，， 故，则. 4．(22-23高一下·广东广州三校·期中)如图，棱长为2的正方体中，P，Q分别是棱的中点． (1)平面与直线交于R点，求的值； (2)在线段上是否存在点M，使得面，若存在，请求出M点位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为线段上靠近点的四等分点 【分析】（1）根据题意，延长和交于，连接，交于，即可得到，从而得到结果； （2）根据题意，取中点，中点，连接，即可得到四边形为平行四边形，从而得到结果. 【详解】（1） 延长和交于，连接，交于， 即平面与直线交于点， 因为为中点， ，所以为中点， 于是， 所以. （2） 存在，当为线段上靠近点的四等分点时，面， 取中点，中点，连接，则，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以面. 5．(24-25高一下·河北承德县第一中学·月考)已知，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点．     (1)在棱上是否存在点，使？若存在，求的长；若不存在，说明理由． (2)已知点同时满足下列条件： ①平面；②平面. 请再写出与点M有关的两个结论：一个为“线面平行”，一个为“线面垂直”：________，________．（结论不要求证明） 【答案】(1)存在，2 (2)答案见解析 【分析】（1）利用全等的性质得到，利用线面垂直的性质得到，再利用线面垂直的判定定理得到面，进而证明结论，求解长度即可. （2）利用线面垂直的性质得到，结合线面平行的判定定理得到平面，利用正方形性质结合线面垂直的性质得到，，再利用线面垂直的判定定理证明平面即可. 【详解】（1）存在，当点为棱的中点时，可使. 理由如下：如图，过点作，交于点，连接，设，    因为为的中点，所以为的中点，所以， 因为，，所以，则， 因为，所以，即， 因为底面，所以底面， 因为面，所以. 又因为，面，所以面， 因为面，所以， 故当点为棱的中点时，可使，此时. （2）如图，作于，而平面，    因为面，所以， 因为面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为面，面，所以平面， 因为平面，面，所以， 由正方形性质得，，则， 因为面，，所以平面. 题型三 点面距问题 1．(24-25高一下·江苏如皋中学·)如图，长方体中，，，点为的中点．   (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小； (3)求点与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）设与交于点，证明，然后由线面平行判定定理得证线面平行； （2）证明是异面直线与所成的角或其补角，再在中求出此角即得； （3）证明平面，得的长等于到平面的距离，求出此线段长即可． 【详解】（1）设与交于点，则是中点，如图，连接，又是中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为，所以是异面直线与所成的角或其补角， 由已知，，所以， 所以异面直线与所成的角是； （3）是正方形，所以， 又是长方体，因此平面， 而平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以的长等于到平面的距离， 正方形的边长为1，则． 2．(22-23高一下·江苏常州联盟学校·期末)如图，在长方体中，，点是的中点.   (1)证明：； (2)在棱上是否存在一点，使得，若存在，求，若不存在，说明理由； (3)求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在一点满足时，使得平面 (3) 【分析】（1）通过证明平面，证明； （2）点满足即为的中点，然后证明，从而使得平面； （3）等体积转化，然后求解到平面的距离； 【详解】（1）如图所示：连接交于点O，则O为的中点，    由题意可知，四边形是正方形，∴.      ∵平面，平面，∴. 又∵平面，平面，， ∴平面，又平面， ∴，即. （2）存在一点满足时，使得平面 ，    当点满足，即为的中点，取的中点，连接， 在中，为中点，∴， ∵在长方体中，是的中点， ∴且， ∴ 且，∴四边形 为，∴， 又平面，平面，∴平面. （3）连接，设到平面所成的距离为， ∵在长方体中，平面， ∵矩形ABCD，点E是的中点， ∴， ∴ ，    在中，， 在中，， 平面 平面，∴， 在中，， 在中，， ∴，∴， ∴  ， 又 ，∴ ，， ∴到平面所成的距离为. 3．(24-25高一下·甘肃武威凉州区·期末)如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小的正切值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由∥易知即为异面直线与所成角，解△即可； (2)连接交于O，证明面即可知OC即为所求． 【详解】（1）连接，易知BC⊥， ∵∥， ∴即为异面直线与所成角， ∵，则， 故． （2）连接交于O，则， ∵AB⊥平面，平面， ∴， 又∵，平面， ∴面， ∴线段OC为所求距离，∴点到平面的距离为． 4．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直性质以及线面垂直判定定理证明即可； （2）易知点到平面的距离等于点到平面的距离，即为. 【详解】（1）证明：因平面，平面，则， 又，故， 又三棱柱是直三棱柱，所以， 又易知与相交，且平面， 所以平面. （2）因为矩形，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 由已知条件平面，即点到平面的距离等于. 在中，, 故 5．(24-25高一下·安徽宣城·期末)如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）过点作交于点，交于点，说明点A到平面的距离为的长度，结合几何性质求出的长度即可； （2）根据给定条件，证明平面平面，过点作交于点，利用面面垂直的性质推理作答. 【详解】（1）如图所示，过点作交于点，交于点， 因为与互余，与互余， 所以， 又因为， 所以，所以， 因为在正三棱柱中，，，点M为的中点， 所以即为，解得， 所以， 由等面积法有，即，解得， 所以， 由正棱柱性质可知，平面，而平面， 从而， 因为三角形是正三角形且点为的中点， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以点A到平面的距离为； （2）在正三棱柱中，因为点为的中点，则， 又平面， 平面，则有， 而平面，于是平面， 平面，则平面平面，在平面内过点作交于点， 平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点， 显然，因此，即有，于是，， 所以. 6．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)如图，在五面体中，平面 ，分别为的中点，连接. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)线段上是否存在点，使得 平面？若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）先证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）由平面，可得直线与平面所成角为，进而可得的正弦值，从而可得答案； （3）连接，取其中点O，连接并延长与相交，交点即为再利用等体积法可求点到平面的距离 【详解】（1） ， 又分别为的中点， ，A四点共面， 平面面， 平面，平面， 又平面， 又为，且， 又平面平面， 平面 （2）因为平面，所以直线与平面所成角为， 直角三角形中，， . 即直线与平面所成角的大小为 （3）存在点P，使得 平面 如图，连接，取其中点O，连接并延长与相交，交点即为 证明：因为分别为的中点， ， 面，在平面外， 平面， 由M是中点，M到面的距离为2， 根据条件，的面积为， 中， ， 得的面积为 设点到平面的距离为，则， 即，解得， 所以点到平面的距离为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.2.3直线与平面的位置关系 基础达标题 题型一线面关系的判断 题型一线面平行的判定定理 题型二线面平行的性质定理 能力提升题 题型三线面垂直的判定定理 直线与平面的位置关系 题型四线面垂直的性质定理 题型一直线与平面所成的角 拓展培优题 题型二动点问题 题型三点面距问题 基础达标题 题型一线面关系的判断 1.(23-24高一下·吉林四平实验中学期末)（多选）己知m,n为异面直线，m/平面a,n/平面B, a∩阝=l,则下列结论错误的是() A.1与m,n都相交 B.1与m,n中至少一条相交 C.1与m,n都不相交 D.与m,n中只有一条相交 2.(24-25高一下山东聊城期末)（多选）己知空间中三条不同的直线a,b,c和平面a,且a/元b,则下列 结论正确的是() A.若a/ic,则b/元c B.若a/ia,则b儿a C.若a与c相交，则b与c相交 D.若a与a相交，则b与α相交 3.(24-25高一下河南郑州第一中学.期中)（多选）设a是空间中的一个平面，1，m,n是三条不同的直线， 则不正确的是() A.若mCa,nCa,lLm,l⊥n,则l⊥aB.若l/im,m/n,l⊥a,则n⊥a C.若l/元m,m⊥a,n⊥a,则1⊥nD.若mCa,n⊥a,l⊥n,则/im 4.(24-25高一下江苏南京金陵中学等校期末)（多选）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q 为PA的中点，O为AC与BD的交点，下列说法正确的是() 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.OQ∥平面PCD B.PC∥平面BDQ C.AQ/平面PCD D.CD∥平面PAB 5.(23-24高一下江苏无锡堰桥高级中学.期中)（多选）己知a,b表示直线，a,B,y表示平面，则下列 推理不正确的是() A.anβ=a,bCa=a/ib B.anB=a,a/ib→b/ia,且b/B c.a⊥a,a/iβ，→a⊥B D.a/iβ，any=a,βny=b=a/ib B 能力提升题 题型一线面平行的判定定理 1.(24-25高一下江苏南京第一中学.期末)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平 面ABCD,E,F分别是棱CD,AP的中点. (1)证明：PC⊥BD: (2)证明：EF∥平面PBC. 2.(24-25高一下江苏南京六校联合体·期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，已知AC⊥BC, BC=CC1,设AB的中点为D,BC1的中点为E求证： (1)DE/U平面AAC,C: (2)BC1⊥AB· 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D E C B 3.(24-25高一下江苏徐州侯集高级中学.月考)在正三棱柱ABC-A,BC1中，D为BC的中点. (1)证明：A1B/i平面ADC1: (2)求证：AD⊥C1D B D 4.(24-25高一下江苏准安涟水县第一中学·月考)如图，在三棱柱ABC-A1B,C1中，CC1⊥平面ABC, 各棱长均为4，D为AB的中点. (1)求证：BC,/元平面A,CD: (2)求异面直线BC,与A,C所成角的正弦值： D C B B 5.(24-25高一下江苏苏州工业园区南京航空航天大学苏州附属中学·月考)如图，在正四棱锥P-ABCD中， 已知侧棱和底面边长都等于2，E是AB的中点. (1)求证：AB/∥平面PCD. (2)求异面直线PE与BC所成角的余弦值. 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二线面平行的性质定理 1.(23-24高一下·云南昆明云南师范大学附属中学·月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形， PD⊥平面ABCD,E为PD的中点. (1)设平面ABE与直线PC相交于点F,求证：EF‖CD: (2)若AB=1,∠DAB=60°，PD=22,求直线BE与平面PAD所成角的大小. D 2.(23-24高一下，江苏无锡辅仁高级中学·月考)如图，已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形， E为侧棱SC的中点， (1)求证：SA/U平面EDB: (2)若F为侧棱AB的中点，求证：EF/亿平面SAD: (3)设平面SABn平面SCD=L,求证：AB/元l: B 3.(23-24高一下·江苏无锡第一中学.期中)我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三 棱锥为“鳖臑”.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,BC⊥CD (1)证明：三棱锥A-BCD为鳖膈： (2)若E为AD上一点，点P,Q分别为BC,BE的中点.平面DPQ与平面ACD的交线为l. ①证明：直线PQ/元平面ACD: 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②判断PQ与l的位置关系，并证明你的结论. 4.(23-24高一下·浙江三锋教研联盟·期中)如图，在几何体ABCDFE中，四边形ABCD为直角梯形，己知 AB/CD,DC=2AB,GC=2FG,平面ABEF∩平面CDEF=EF (1)证明：AFC/元平面BDG (2)证明：AB/元EF 5.(23-24高一下辽宁沈阳东北育才学校科学高中部月考)如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点， E是PD的中点 (1)求证：PB/元平面EAC. (2)若M是CD上异于C,D的点，连接PM交CE于点G,连接BM交AC于点H,求证：GH/iPB. B 题型三线面垂直的判定定理 1.如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,点O,M分别为线段 AC,AB的中点. (1)若平面POMn平面PBC=l,证明：l/元BC: (2)证明：OP⊥平面ABC: 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)求PM与AC所成角的余弦值. M B 2.(24-25高一下江苏通州高级中学)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面 ABCD,E、F分别是AB、PC的中点. (1)求证：CD⊥PA; (2)求证：EF/平面PAD: (3)若PA=AD,求证：EF⊥平面PCD: E 3.(24-25高一下·江苏苏州高新区苏州实验中学（本部）·月考)如图，正四棱锥A一BCDE和正四面体A CDF的所有棱长均相等，G为BE的中点. (1)证明：FG⊥CD: (2)证明：点A,B,C,F共面： (3)判断FG是否垂直于平面ACD,若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由. A D G B C 4.(24-25高一下江苏)如图，在长方体ABCD-A1B,C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，O为 AC与BD的交点，BB1=2V2,M是线段BD1的中点. 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：BM/元平面D1AC: (2)求证：D1O⊥平面ABC. D C M B B 5.(23-24高一下·江苏苏州调研)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA⊥底面 ABCD,PA=AB,E,F,G分别为线段AD,BC,PB的中点. (1)求证：AG⊥平面PBC: (2)求证：PE/∥平面AFG. E D 题型四线面垂直的性质定理 1.(24-25高一下·江苏丹阳马相伯高级中学期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形， AD/LBC,∠ADC=90°，AD=2BC,△PAD为等边三角形.E为PA中点. (1)求证：BE/元平面PDC: (2)求证：PB⊥BC D B 2.24,25高-下江苏海安实验中学月考如图，直三棱柱ABC-AB,C中，∠ACB=受E、F分别为 AB、B,C1的中点 (1)求证：C1B/平面ACE: 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：EF⊥BC. B 3.(23-24高一下江苏南京河西外国语学校月考)已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， AB/元DC,∠ABC=60°，DC=1,AD=3.已知PB=PC.若N为PA的中点，M为BC的中点， (1)DN/i平面PBC; (2)MN⊥BC. B D C 4.(23-24高一下江苏扬州高邮临泽中学.调研)如图所示，己知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD, △ACD为等边三角形，DE=2AB,F为CD的中点. 求证： (1)AF/元平面BCE: (2)AF⊥CE B E C D 5.(23-24高一下江苏如皋调研)如图，正方体ABCD-A1B,C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱 BB上一点 (1)证明：D1O1元平面A1BC1: (2)若D1O⊥平面MAC,求证：M为棱BB的中点. 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D 拓展培优题 题型一直线与平面所成的角 1.(24-25高一下江苏无锡江阴第二中学.月考)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PD⊥DA,PD⊥DC,点M,N分别为棱AD,PD的中点，PD=2AB=2. (1)求证：PA/元平面MNC: (2)求证：PD⊥平面ABCD: (3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值. D D M B 2.(24-25高一下江苏常州高级中学期末)如图，直四棱柱ABCD-A,B,C,D,的底面是边长为2的菱形， ∠ABC=60°，AA=V6: (1)求证：BD1⊥平面A1C1D: (2)求直线AC1与平面ABB1A,所成角的正切值 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 3.(23-24高一下·江苏常州北郊高级中学，调研)如图，四边形ABCD是矩形，AD=2,DC=1,AB⊥平 面BCE,BE⊥EC,EC=1.点F为线段BE的中点. (1)求证：DE∥平面ACF; (2)求AC和平面ABE所成角的正弦值. D 4.(23-24高一下·湖北武汉常青联合体·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面 ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点. (1)证明：BE/∥平面PAD: (2)求直线AP与平面ABE所成角的大小. D 夕 5.(23-24高一下江苏南京外国语学校期末)如图，棱长为a的正方体ABCD-A1B,C1D1中，M、N分 别是AB、A,C上的点，BM=号AB,CN=A (1)求B点到平面A1CD的距离； (2)求MN与平面A,CD所成角的余弦值.（请不用空间向量法，用空间向量法不得分） 10/15