阶段性练习卷(八)-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 直径，点F在⊙O上，AF⊥BF又：CB∩BF=B,AF⊥ 平面CBF (2)解：由(1)，知CB⊥平面ABEF,即CB⊥平面 OEF,∴.三棱锥COEF的高是CB,CB=AD=1.连接OE,OF, 可知OE=OF=EF=1..△OEF为正三角形，.正△OEF的高是 Y.wem=gca-samegxx2xyx=Y肾 12· 14.C【解析】如图，连接AQ,BC边上有且只有一个 点Q,使得PQ⊥QD,BC边上有且只有一个点Q,使得 AQ⊥QD,则在平面ABCD中，以AD为直径的圆与直线 BC相切且Q为切点，设AD的中点为O,则QO⊥AD,可 得OO⊥平面PAD,作OH⊥PD交PD于点H,连接QH, 则∠OHQ是二面角A-PD-Q的平面角，设AB=PA=a,则 AD=2a,在Rt△00H中，OH=Y5a,QH=V30a 5 5 :cos∠0h0=0L=V5,÷二面角A-PD-Q的余弦值为 0H6 V6,故选C 6 第14题答图 第15题答图 15.YDa【解析】如图，取BC的中点N,连接AN 4 交EF于点M,连接A'M,BM,则A'M⊥EF平面A'EF⊥ 平面BEFC,A'M⊥平面BEFC,A'M⊥BM.AM=MN= 号AN=Y4a.4M-Y年a在R△nNB中，NB=M+ 4 NB=Gc在R△A'MB中，A'B=V+MB=YDa 4 >"阶段性练习卷（八) 1.B【解析】如图，连接AD D DB,由正方形ADDA,得AD⊥ A AD1,又由正方体AC,得AB,⊥ AD1,又AD∩AB=A1,ADC平面 ADB,AB1C平面ADB AD1⊥平面ADB.故选B 第1题答图 2.C【解析】由平面的垂线的定义，可知在平面α内 肯定不存在与直线L,平行的直线.故选C 3.C【解析】若棱柱的相邻两个侧面是矩形，则两侧 面的交线必定垂直于底面，·.该棱柱为直棱柱，满足充分 96 性；若棱柱为直棱柱，则棱柱的相邻两个侧面是矩形，满 足必要性.故“棱柱的相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为 直棱柱”的充要条件.故选C 4.C【解析】如图所示，取 BD的中点H,连接CH,BH,则 由正方体的性质知CH⊥DB. BB1⊥平面AB,CD1,且CHC平 面A1BCD,.CH⊥BB.BB1∩ DB=B1,.CH⊥平面BDDB, 第4题答图 .CH⊥BH,.∠HBC即为BC与平面BBDD所成的角. 设BC=1,则BC=V2,CH=Y?,M=,则在 Rt△BHC,中，cos∠HBC=V3.故选C 2 5.C【解析】BC∥B,C1,直线AC与BC所成的角 就是异面直线AC与B,C1所成的角.连接BA1,在三棱柱 ABC-ABC中，·侧棱AA1⊥平面ABC,AB=AC=AA1=1, BC=V2...BA=VAA+AB2=V2,CA=VAA+AC2= V2,.△BCA1是正三角形，故异面直线AC与BC所成 的角为60. 6.D【解析】如图，取CC1的中 点G,连接DG,MG,AM,则MG∥ A BC.设BN交AM于点E..BC⊥平面 ABBA1,NBC平面ABB1A1,∴.NB⊥ BC,NB⊥MG.正方体的棱长为 B 1,M,N分别是BB,AB1的中点， 第6题答图 ..由平面几何知识，易知BW⊥AM.又MG∩AM=M, .NB⊥平面ADGM,.满足NB⊥MP的点P所构成的图形 为矩形ADGM(不包括M点).正方体的棱长为1，.矩 形ADGM的周长为2+V5.故选D. 7.AD【解析】如图所示，P, D Q分别为棱BC和棱CC,的中点，A1 ∴.PQ∥BC,PQC平面APQ,BCt平 面APQ,BC1∥平面APQ,故A正 确；连接AD,DQ,易知AD1∥PQ, B DQ=AP,·平面APQ截正方体 第7题答图 ABCD-ABCD1所得截面为等腰梯形 APQD,故D正确；AD⊥平面ABCD1,平面ABCD,和 平面APQD1为相交平面，.AD不可能与平面APQ垂直， 故B错误；连接AB,PQ∥BC,异面直线AC与PQ 所成的角为∠ACB..△ABC为等边三角形，.∠ACB= 60°，即异面直线PQ与AC1所成的角为60°，故C错误. 故选AD, 8.BCD【解析】在题图2中，由题意，可知PD⊥AD, 又·平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, .PD⊥平面ABCD,则PD⊥AC,故C中结论正确；由 PD⊥平面ABCD,PDC平面PDC,得平面PDC⊥平面 ABCD,而平面PDC∩平面ABCD=CD,BCC平面ABCD, BC⊥CD,BC⊥平面PDC,故B中结论正确；AB⊥AD, 平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, .AB⊥平面PAD,则AB⊥PA,即△PAB是以PB为斜边的 直角三角形，而N为PB的中点，则PB=2AW,故D中结 论正确.故选BCD. 9.号【解析】如图所示，设正四面 体ABCD的棱长为1，顶点A在底面 BCD上的射影为O,连接DO并延长， 交BC于点E,连接AE,则E为BC的 中点，故AE⊥BC,DE⊥BC,∠AEO 为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平 第9题答图 面角.在Rt△AE0中，AE=Y5,E0=号ED=xY3= 2 3 3 2 Y8,cas∠40=0写 AE 3 10.7【解析】如图，取AB的 中点E,连接PE,CE.PA=PB, PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC 平面PAB∩平面ABC=AB,PE⊥ 第10题答图 平面ABC,.PE⊥CE.:∠ABC= 90°，AC=8,BC=6,.·AB=2V7,PE=VPA2-AE=V6, CE=VBE+BC=V43,..PC=VPEP+CE=7. 11.BCE垂直【解析】AE=BE=2,AB=2V2, AE+BE=AB2,AE⊥BE.AD⊥平面ABE,AEC平面 ABE,.AD⊥AE.结合四边形ABCD为矩形可得AD∥BC, .AE⊥BC.又.BC∩BE=B,.AE⊥平面BCE,结合CEC平 面BCE,可得AE⊥CE. 12.1【解析】方法一：分别取BC,BC的中点D, D,则A3V3,AD=V3,可知5a=分×66xY 2 9V了，S6=2×2xV3=V了，设正三棱台ABC-A,BG 的商为h,则Vcsc=号(9V了+V3+V9V3×V3)》 h-号，解得h=4至，如图1，分别过4，D,作底面垂 3 线，垂足为M,N,设AM=x,则AA1=VAMP+A证= V5,DN=AD-AM-MN-2V了-，可得D=V40 参考答案。 =V2V3-)+号，结合等接梯形BCCB,可得BB= (6号+00，即2+9=(2V万-P+54,解得 4,44,与平面4BC所成角的正切值为am∠A= AM=1. AM B 图1 方法二：如图2，将正三棱台ABC-AB,C补成正三棱 锥PABC,则AA与平面ABC所成角即为PA与平面ABC 所成角，：卧品分则疗可知 治=号，则=I8,设正三棱维PABC的高为d, 则号？x6x6xV=8,解得d=2V了，取底面 ABC的中心为O,则PO⊥底面ABC,且AO=2V3,.PA 与平面ABC所成角的正切值mLPA0=沿-1.故选B. B 图2 第12题答图 13.(1)证明：.PA⊥平面ABCD,DEC平面ABCD .PA⊥DE.在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E为BC的中 点，AE=2V2,DE=2V2,AE+DE2=ADP,AE⊥DE 又AE,PAC平面PAE,AE∩PA=A,.DE⊥平面PAE. (2)解：DE⊥平面PAE,∠DPE为DP与平面PAE 所成的角.在Rt△DEP中，∠DEP=90°，DE=2V2,PE= Vi68=2V6.m∠DE=9-Y,∠0E=0, .直线DP与平面PAE所成的角为30°. 97 N 高中数学必修第四册人教B版 14.(1)证明：PA⊥平面ABCD,而ADC平面 ABCD,.PA⊥AD.又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PAC平 面PAB,AD⊥平面PAB,而ABC平面PAB,∴AD⊥AB. BC2+AB=AC2,BC⊥AB,根据平面知识，可知AD∥ BC,又AD￠平面PBC,BCC平面PBC,.∴AD∥平面PBC (2)解：如图所示，过点D作DE⊥AC于E,再过点 E作EF⊥CP于F,连接DF,.PA⊥平面ABCD,·.平面 PAC⊥平面ABCD,而平面PAC∩平面ABCD=AC,.∴.DE⊥ 平面PAC.又EF⊥CP,∴.CP⊥平面DEF,根据二面角的 定义，可知∠DFE即为二面角A-CPD的平面角，即sin 98 ∠DFE=V至，即tanLDFE=V6.AD LDC,设AD=, 7 则CD=V4,由等面积法，可得DE=V4=x,又 2 :CE=√4-x2-44与，而△EC为等腰直角三角 4 2 xV4-2 形，·EF,4号，故tan∠DE=口 4=V6,解得 2 2V2 x=V3,即AD=V3.阶段性练 一、单选题 1.如图，在正方体ABCD- ABCD1中，与AD1垂直的 A 平面是( A.平面DDCC B.平面ADB1 第1题图 C.平面ABCD D.平面ADB 2.已知直线1⊥平面，直线2C平面 α，则下列结论一定不正确的是() A.l1,l2相交 B.4,2异面 C.l∥l2 D.l⊥l2 3.“棱柱的相邻两个侧面是矩形”是 “该棱柱为直棱柱”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.在正方体ABCD-ABCD1中，直线 BC1与平面BBDD所成角的余弦值是() A.V2 2 B C.V3 D.V3 3 5.如图，在三棱柱ABC ABC中，侧棱AA,⊥平 面ABC.若AB=AC=AA1=1, BC=V2,则异面直线AC B 与BC所成的角为() 第5题图 A.309 B.45° 第十一章立体几何初步 习卷（八) C.60° D.90° 6.如图所示，在棱长为1的正方体 ABCD-ABCD1中，M,N分 D C 别是BB1,AB的中点，点 P在正方体的表面上运动， 则满足MP⊥BN的点P所构 成的图形的周长是( 第6题图 A.4 B.2+V3 C.3+V5 D.2+V5 二、多选题 7.在正方体ABCD-ABCD1中，P,Q 分别为棱BC和CC,的中点，则下列说法正 确的是() A.BC∥平面AQP B.AD⊥平面AQP C.异面直线A1C与PO所成的角为90° D.平面APQ截正方体所得截面为等腰 梯形 8.如图1，已知四边形PABC是直角梯 形，AB∥PC,AB⊥BC,D在PC上，AD⊥PC 将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面 ABCD,连接PB,PC,设PB的中点为N, 如图2.对于图2，下列结论正确的是 图1 图2 第8题图 练 75 N 高中数学必修第四册人教B版 A.平面PAB⊥平面PBC B.BC⊥平面PDC C.PD⊥AC D.PB=2AN 三、填空题 9.正四面体的侧面与底面所成的二面角 的余弦值是 10.如图，在四面体PABC中，PA=PB= V13,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°， AC=8,BC=6,则PC= 、B --≥C 第10题图 11.如图，四边形ABCD为矩形，ADL 平面ABE,AE=BE=2,AB=2V2,则AE 垂直于平面 AE 于CE (填“垂直”或“不垂直”) 第11题图 12.已知正三棱台ABC-ABC,的体积为 号，AB=6,AB-2,则AA与平面ABC所 成角的正切值为 四、解答题 13.如图，已知四边形ABCD是矩形， PA⊥平面ABCD,AB=2,PA=AD=4,E为 BC的中点. 76)练 (1)求证：DE⊥平面PAE. (2)求直线DP与平面PAE所成的角. 第13题图 14.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底 ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=V3. (1)若AD⊥PB,证明：AD∥平面PBC (2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的 正弦值为Y孕，求AD 、D B 第14题图