2.6有理数的混合运算（讲义，3个知识点5大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦有理数混合运算核心知识点，基于有理数的加、减、乘、除、乘方运算基础，系统梳理运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，括号优先）、简便运算方法（凑零法、同号分组等）及实际应用，构建从基础运算到综合应用的学习支架。 该资料通过分层题型设计（基础到创新），结合易错提醒和实际案例（如圆柱注水、水库水位），以算“24”点培养创新意识，程序框图题发展推理能力，助力教师高效授课，也便于学生课后查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

第二章 有理数的运算 2.6 有理数的混合运算 课标要点 1.掌握有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的内容，同级运算从左至右依次进行。 2.能熟练结合符号法则、乘除转化、约分技巧，规范完成含整数、分数、小数、负数、乘方的综合运算。 3.会灵活运用运算律简化混合运算，减少计算步骤，提高运算准确率。 4.能规范书写混合运算解题步骤，纠正符号错误、运算顺序错误、括号漏写等常见问题。 5.能利用有理数混合运算解决生活实际问题、图表数据计算问题，形成规范、严谨的有理数运算思维。 学习重难点 重点 1.牢记并严格执行有理数混合运算的先后顺序。 2.熟练完成含乘方、乘除、加减的综合计算题，步骤规范、结果准确。 难点 1.多重括号、多层符号、乘方与乘除叠加的复杂运算，容易顺序混乱、符号出错。 2.分数、小数、负数混合的综合运算，约分与变号容易失误。 3.合理选用运算律简化计算，避免机械硬算，解决复杂综合题型与实际应用题。 知识点 有理数混合运算的运算顺序（重点、难点） 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2.同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次计算； 3.有括号时，先算小括号里的，再算中括号，最后算大括号。 易错提醒 1.不可随意调换同级运算顺序，乘除混合不能先算右侧再算左侧； 2.乘方优先级最高，很多做题时会先算乘除忽略乘方，造成结果错误。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的运算法则是解题的关键，先计算乘方运算，再根据有理数减法法则将减法转化为加法，最后根据有理数加法法则进行计算即可． 【详解】解：原式，故答案为：． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期末）计算题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先算乘方，绝对值，乘法，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点 混合运算简便运算常用方法（重点） 1.凑零法：互为相反数的项优先相加，和为 0 简化式子； 2.同号分组：所有正数、负数分别结合再相加； 3.分配律简算：正向、逆向使用乘法分配律消去分母； 4.化除为乘：除法全部转化乘法后统一约分。 特别提醒 简便运算不是必须步骤，优先保证运算顺序正确；只有能大幅简化计算时，再使用运算律分组。 随学随练 1．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）原式根据有理数减法法则变形后再运用加法交换律和结合律进行计算即可； （2）原式运用乘法分配律进行计算即可； （3）原式先计算乘方，再计算乘除法，最后进行加减运算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律的应用，灵活运用运算律是解题关键． （1）先将减法转化为加法，再按顺序计算有理数的加减，得到结果； （2）去括号、去绝对值号后，将带分数化为假分数，通分后进行计算； （3）先算乘方，再将除法转化为乘法，最后按顺序计算乘除，得出结果； （4）运用乘法分配律将括号内的每一项与相乘，再计算加减． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 3．（2025七年级上·浙江·专题练习）计算题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键： （1）根据乘除混合运算法则进行计算即可； （2）先乘方，再乘除，最后算加减； （3）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ． 知识点 有理数混合运算实际应用 1.结合正负数、乘方解决水位变化、利润增减等实际问题； 2.解题思路：先根据题意列出有理数算式，再按混合运算法则计算结果。 特别提醒 有理数混合运算整章计算综合题型，是期中、期末必考大题；常结合绝对值、乘方、分数小数综合考查，容易多处丢分，计算后建议验算符号与数值。 随学随练 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）底面半径为，高为的圆柱形水桶中装满了水，小明先用桶中的水倒满2个底面半径为，高为的圆柱形杯子．再把剩下的水倒入长、宽、高分别为，和的长方体容器内．长方体容器内的水的高度大约是多少厘米（取3，容器的厚度不计）． 【答案】长方体容器内水的高度 【分析】先求出圆柱形水桶中的水的容积和2个杯子的容积，用水桶的容积减去2个水杯的容积除以长方体容器的底面积就可以求出结论， 【详解】解：水的体积为， 2个杯子的容积， 剩下的水的体积为， 长方体的底面积为：， ∴长方体容器内水的高度， 【点睛】本题主要考查了认识立体图形，长方体的体积和圆柱体的体积，有理数的乘方运算、乘除运算和加减运算的运用等知识点，熟练掌握有理数的运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）某水库通过蓄水调节抗旱，原水位为汛限水位的（汛限水位记作0米）．第一周每日蓄水使水位上升，第二周每日干旱使水位下降原高度的．问： (1)两周后水位是汛限水位的百分之几？ (2)若需恢复汛限水位，还需蓄水多少天？（每日蓄水效果同第一周） 【答案】(1)是汛限水位的 (2)至少需要2天 【分析】本题考查百分数的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意是解答的关键． （1）设汛限水位为米，原水位，根据题意得到第一周后水位为，第二周后水位为，进而可得答案； （2）设需天，由求解n值即可． 【详解】（1）解：设汛限水位为米，原水位， 第一周后水位为 第二周每日下降当前的，即每天变为前一天的 则第二周后： 答：两周后水位是汛限水位的； （2）解：当前水位，目标为 每日蓄水使水位变为前一天的 设需天，则 即 解得（因） 答：至少需要2天． 题型 含乘方的有理数混合运算 ▌例1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）利用有理数的乘法分配律求解即可； （2）先计算乘方和绝对值，然后计算乘法，最后计算加减． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 解题贴士 · 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；括号优先； · 分清(-a)n与-an，先定符号再计算； · 同级运算从左到右，能简算用运算律约分。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)7 (2)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算括号内的，再计算乘法，最后计算加法即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ▌对点练1-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （4）先计算乘方，再利用乘法结合律计算即可； （5）先计算乘方并把除法变为乘法，再计算乘法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： =． （4）解： =． （5）解： ． 题型 程序框图与有理数的计算 ▌例2 （25-26七年级上·浙江·阶段检测）在如图所示的运算程序中，把从“输入的值”到“把得数当成”作为一次运行．若输入的值为，则经过次运行，输出的结果是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的运算与周期规律的探索，发现运算结果的循环周期是解题的关键． 按题中程序运算前次输出结果，即可发现运算进入了一个周期为的循环，再计算余，说明第次运行的结果与第次运行的结果相同，即可得出答案． 【详解】解：由题意， 第次运行：输入，是偶数，，输出结果为； 第次运行：输入，是奇数，，输出结果为； 第次运行：输入，是偶数，，输出结果为； 第次运行：输入，是奇数，，输出结果为； 第次运行：输入，是偶数，，输出结果为； 第次运行：输入，是偶数，，输出结果为； 到第次运行后，结果又回到了初始值，说明运算进入了一个周期为的循环， 计算次运行在周期中的位置： 余， 余数为，说明第次运行的结果与第次运行的结果相同， 第次运行的结果是，所以经过次运行，输出的结果是． 故选：B． 解题贴士 · 分步算前几次输出：按奇偶规则依次计算，列出每次运行结果 · 找循环周期：观察结果重复出现的一组数字，确定周期长度 · 求余数定位：总次数÷周期长度，看余数判断对应输出 · 余0：取周期最后一个数；余几：取周期第几个数 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江丽水·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为48，我们发现第一次得到的结果是24，第二次得到的结果是12，…请你探索第2016次得到的结果是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据数据找出规律是解题的关键． 按照程序将每次得到的结果重复输入，寻找结果之间的规律，从而找出2016次时的结果． 【详解】解：∵开始输入的x的值为48， ∴第1次输出的结果为24， 第2次输出的结果为12， 第3次输出的结果为6， 第4次输出的结果为3， 第5次输出的结果为8， 第6次输出的结果为4， 第7次输出的结果为2， 第8次输出的结果为1， 第9次输出的结果为6， …， 由此可见，从第3次输出的结果开始按6，3，8，4，2，1循环． 则余4， ∴第2016次输出的结果为 故选：B． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江温州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是4，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是，依次继续下去…，第2025次输出的结果是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了程序和循环规律的有理数的运算，解题的关键是找出循环规律 列出前几次输出的结果，找出规律，然后根据循环规律求解即可． 【详解】解：第1次输出的结果是； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是； 第8次输出的结果是； 从第5个结果开始，输出结果为循环规律，循环部分为，，2，循环周期为3， ， 第2025次输出的结果是， 故选：C 题型 算“24”点 ▌例3 （25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 解题贴士 核心凑数：凑 3×8、4×6、2×12。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；因此此题可根据“24点”进行求解． 【详解】解：由题意得：，； 故答案为（答案不唯一）． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出张卡片，使这张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为 ； (2)从中取出张卡片，使这张卡片上数字相除的商最小，商的最小值为 ； (3)从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，写出运算式子（写出一种即可）．算的式子为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据有理数的乘法运算法则解答即可； （）根据有理数的除法运算法则解答即可； （）根据有理数的运算法则解答即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：抽取的张卡片是，乘积的最大值为， 故答案为：； （2）解：抽取的张卡片是，商的最小值为， 故答案为：； （3）解：抽取的张卡片是，算式为， 故答案为：(答案不唯一)． 题型 含乘方的有理数混合运算的应用 ▌例4 （25-26七年级上·浙江温州·期中）远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文字记数系统，对于大于59的数，采用六十进制的算法，例如：．左边的表示，中间的表示，右边的表示1个单位，用十进制写出来是．若楔形文字记数，表示十进制的数为（    ） A．7266 B．7206 C．7860 D．7806 【答案】D 【分析】本题考查了数的进制的转换，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法以及六十进制的位值记法． 仿照示例，列出算式，计算求解即可． 【详解】解：由题意可得，楔形文字记数表示十进制的数为： ， 故选：D． 解题贴士 规律：百位数字×602+十位数字×60+个位数字×1。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）进位制是一种记数方式，我国于公元前1600年左右采用了十进制计数法．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．随着电子技术和计算机科学的发展，二进制成了现代技术的基础，八进制、十六进制在计算机编程和数据存储领域也有深入的应用．其中，十六进制就是逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如下表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 例如：十进制数，它对应的十六进制数是，则十进制数368对应的十六进制数是_____． 【答案】170 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，将十进制数368转换为十六进制数，需通过连续除以16并取余数的方式得到各位系数，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：余0，余7，余1， 将余数从下往上排列为170， 故答案为：170． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江温州·期中）如图所示为“活塞式灌装机”，它是利用移动活塞将直径为的圆柱体水管内的水挤压出下阀口，从而对下方的矿泉水瓶进行注水．现需通过一次注水将一瓶容量为的矿泉水注满，则需要移动活塞几厘米？（，结果保留π） 【答案】需要移动活塞 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算的实际应用，用矿泉水瓶的容积除以圆柱的底面积即可得到答案． 【详解】解： ， 答：需要移动活塞． 题型 新定义运算 ▌例5 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如果规定☆为一种运算符号，且，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键． 根据新运算定义，先计算括号内的，再计算． 【详解】解：根据题意得： ， ∴． 故答案为：3． 解题贴士 读懂公式：看清 a☆b中前后数字对应公式里的底数、指数。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）对于有理数，，定义一种新运算，规定※，则※_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据新运算的定义，将，代入公式进行计算． 【详解】由定义，※， 所以※， 故答案为． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江温州·期中）定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）下列4个式子中，计算结果最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．计算每个选项的值并比较大小，即可作出判断． 【详解】解：A．， B．， C．， D．， ∵． ∴计算结果最大的是． 故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方运算及四则混合运算，需按照先乘方、再乘除、后加减的运算顺序逐一计算各选项，判断结果是否正确． 【详解】解：∵，∴A选项错误． ∵，∴B选项错误． ∵，∴C选项正确． ∵，∴D选项错误． 故选：C． 3．（25-26七年级上·浙江温州·期中）金老师设计了接力游戏：每位同学只能看到前一位的算式，并继续进行计算，将结果传递给后一位，最终计算出结果，过程如图所示： 上述求解过程中，错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，求一个数的算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算乘方和算术平方根，再运算乘除，最后运算加减，再结合题干的解题过程，即可作答． 【详解】解： ， 观察题干解题过程，上述求解过程中，丙不应将简化为 ， ∴错误的是丙， 故选：C 4．（25-26七年级上·浙江温州·期中）根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出的结果是（   ） A．4 B．20 C．36 D．100 【答案】D 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据流程图，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：当输入x的值为，则，， 输入x的值为4，则，， ∴输出的结果是100． 故选：D． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）某空调室外机形状是一个长方体，其长、宽、高尺寸分别为，在朝外一面上有一个圆形的孔，孔的直径为，除这个孔外外壳均用铁皮包裹．则外壳铁皮的面积（π取3）为___________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，长方体的表面积等知识点，正确计算是解题的关键． 利用长方体的表面积减去圆形的孔的面积求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）用三个正整数的平方和的形式表示：______．（只需写出一种） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先估算出小于的最大正整数平方，计算剩余数值，再将剩余数值拆分为两个正整数的平方和，即可得到结果． 【详解】解：估算得，， 计算剩余值：， 拆分剩余值：， 因此可得． 7．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）定义一种新运算符号“※”，满足：，则的值为______． 【答案】9 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是按照新运算的规则，先算括号内的运算，再算括号外的运算． 先根据新运算规则计算的值，再将其结果代入计算的值． 【详解】解：根据新运算： ， ． 故答案为：9 8．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）根据乘方的意义，可将转化为底数为的幂，如，从而可得到：．按此规律，计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法法则，熟练掌握计算法则是解题的关键； 将 转化为底数为 的幂，利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵ ， ∴ ， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)6 (4)4 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方 ① ② ③ ④ 圆圆 ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错是第___________步，圆圆开始出错的是第___________步； (2)写出你的计算过程． 【答案】(1)②，① (2)见详解 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算乘方，再计算除法，最后计算乘法，由此即可得； （2）按照先计算乘方，再计算除法，最后计算乘法的顺序计算即可得． 【详解】（1）解：正确的计算顺序是：先计算乘方，再计算除法，最后计算乘法，所以以上计算过程中，方方开始出错的是第②步，圆圆开始出错的是第①步， 故答案为：②，①． （2）解： ． 11．（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）我们定义一种新运算：． 例如： (1)求 的值． (2)求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据新运算的规则把新运算转化为有理数的混合运算． 根据新运算的规则把新运算转化为有理数的混合运算，再根据有理数的运算法则进行计算即可； 根据新运算的规则把新运算转化为有理数的混合运算，再按照运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得 ， ． 素养提升 13．（25-26七年级上·浙江·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去，……，第2027次输出的结果是________． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式的运算以及周期规律的探究，解题的关键是找出运算结果的周期规律． 按照运算程序依次计算输出结果，找出周期规律，再根据周期计算第2027次输出的结果． 【详解】解：根据运算程序，依次计算输出结果： 第1次输入（非负数），输出， 第2次输入（非负数），输出， 第3次输入（负数），输出， 第4次输入（非负数），输出， 第5次输入（负数），输出， 第6次输入（非负数），输出， 第7次输入（非负数），输出， 第8次输入（负数），输出， 从第3次开始，输出结果以为一个周期循环， 除去前2次的次数：， 一个周期有3个结果，，刚好整除， 说明第2027次输出的结果是周期的最后一个数4． 故答案为：4． 14．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）观察下列算式：，，，，，，，，则的末位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】此题考查数字的变化规律；得到底数为2的幂的个位数字的循环规律是解决本题的关键． 观察数字的变化可得底数为的幂的个位数字依次是2，，，循环，根据，即可得结果． 【详解】解：由已知得的末位数字为2，，，四个一循环，， ∵， ∴各项末位数字之和 ， ∵的末位数字是0，所以该和的末位数字是2， ∴的末位数字是， 故选：D． 15．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）阅读材料：求 首先设① 则② 得 即 以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法” __________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方，读懂材料，运用题目中的解题方法，掌握类比思想求解是解题的关键． 设，根据材料中的解法求解即可． 【详解】解：设①， 则②， ，得， ∴， 即． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·浙江·期中）如图，第十四届国际数学教育大会ICME-14会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是由四个二进制数组成，将它们转换成八进制数为3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是（注：）表示ICME-14的举办年份．则十进制数5050换算成八进制数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了十进制数转换为八进制数．八进制数转换为十进制数使用按权展开法，即将每位数字乘以8的相应幂次后求和；十进制数转换为八进制数使用除8取余法，即将十进制数连续除以8，记录余数，直到商为0，然后将余数逆序排列． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴十进制数5050换算成八进制数是． 故答案为：． 17．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知，对于任意的x都成立．求： (1)a0的值． (2)的值． (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求代数式的值，整式的加减，观察式子的特点，选择合适的x的值是解答本题的关键． （1）把代入代数式计算即可； （2）把代入代数式计算结果即可； （3）把代入代数式结合（1）、（2）中的结果即可求出值． 【详解】（1）解：令，则 （2）令，则 ． （3）令，则 1①， 由(2)可得 由①+②可得 ∵ ． 18．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．意思是：一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．如下图，求可用以下两种方法： 方法一（正向思考）： 方法二（逆向思考）： 请用适当的方法求解下列问题： （1）______． （2）______．（注：） 【答案】 【分析】本题考查图形及数字的变化规律， （1）根据方法二进行计算，即可得出答案． （2）先将等式拆项为整数与分数的和，再根据（1）的方法进行计算即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2） ． 故答案为：． 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江金华·期中）某些特定的整数，在设定的运算规则下，经过有限次重复计算后，最终会被锁定在一个固定的数值中，这个数值叫“数字黑洞”．对于数字7，先计算其各数位上数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各数位上数字的平方和，…，重复运算下去，将得到一个“数字黑洞”______． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的乘方运算． 通过重复计算数字各数位上数字的平方和，数字7经过有限次运算后最终收敛到固定数值1． 【详解】解：从数字7开始，依次计算各数位上数字的平方和： 数字7：， 数字49：， 数字97：， 数字130：， 数字10：， 数字1：， 此后运算结果始终为1，因此数字黑洞为1． 故答案为：1． 20．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）【阅读】求值． 解：设①， 将等式①的两边同时乘以2得：②， 由②－①得：． 即：． (1)【运用】仿照此法计算：； (2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2022次，依次得到小正方形、、、、、，完成下列问题： ①小正方形的面积等于_____； ②求正方形、、、、的面积和． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查图形类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是： （1）令，则：，两式相减进行求解即可； （2）①，，，……，可得答案； ②仿照题干给定的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ，得：， ，得：， 则，即； （2）解：①由图形可知， ， ， ， ……， ∴ 故答案为：； ②设① 得：② 得： ∴ 即． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 2.6 有理数的混合运算 课标要点 1.掌握有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的内容，同级运算从左至右依次进行。 2.能熟练结合符号法则、乘除转化、约分技巧，规范完成含整数、分数、小数、负数、乘方的综合运算。 3.会灵活运用运算律简化混合运算，减少计算步骤，提高运算准确率。 4.能规范书写混合运算解题步骤，纠正符号错误、运算顺序错误、括号漏写等常见问题。 5.能利用有理数混合运算解决生活实际问题、图表数据计算问题，形成规范、严谨的有理数运算思维。 学习重难点 重点 1.牢记并严格执行有理数混合运算的先后顺序。 2.熟练完成含乘方、乘除、加减的综合计算题，步骤规范、结果准确。 难点 1.多重括号、多层符号、乘方与乘除叠加的复杂运算，容易顺序混乱、符号出错。 2.分数、小数、负数混合的综合运算，约分与变号容易失误。 3.合理选用运算律简化计算，避免机械硬算，解决复杂综合题型与实际应用题。 知识点 有理数混合运算的运算顺序（重点、难点） 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2.同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次计算； 3.有括号时，先算小括号里的，再算中括号，最后算大括号。 易错提醒 1.不可随意调换同级运算顺序，乘除混合不能先算右侧再算左侧； 2.乘方优先级最高，很多做题时会先算乘除忽略乘方，造成结果错误。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算：______． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期末）计算题 (1)； (2)． 知识点 混合运算简便运算常用方法（重点） 1.凑零法：互为相反数的项优先相加，和为 0 简化式子； 2.同号分组：所有正数、负数分别结合再相加； 3.分配律简算：正向、逆向使用乘法分配律消去分母； 4.化除为乘：除法全部转化乘法后统一约分。 特别提醒 简便运算不是必须步骤，优先保证运算顺序正确；只有能大幅简化计算时，再使用运算律分组。 随学随练 1．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（2025七年级上·浙江·专题练习）计算题： (1)； (2)； (3)． 知识点 有理数混合运算实际应用 1.结合正负数、乘方解决水位变化、利润增减等实际问题； 2.解题思路：先根据题意列出有理数算式，再按混合运算法则计算结果。 特别提醒 有理数混合运算整章计算综合题型，是期中、期末必考大题；常结合绝对值、乘方、分数小数综合考查，容易多处丢分，计算后建议验算符号与数值。 随学随练 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）底面半径为，高为的圆柱形水桶中装满了水，小明先用桶中的水倒满2个底面半径为，高为的圆柱形杯子．再把剩下的水倒入长、宽、高分别为，和的长方体容器内．长方体容器内的水的高度大约是多少厘米（取3，容器的厚度不计）． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）某水库通过蓄水调节抗旱，原水位为汛限水位的（汛限水位记作0米）．第一周每日蓄水使水位上升，第二周每日干旱使水位下降原高度的．问： (1)两周后水位是汛限水位的百分之几？ (2)若需恢复汛限水位，还需蓄水多少天？（每日蓄水效果同第一周） 题型 含乘方的有理数混合运算 ▌例1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算 (1)； (2)． 解题贴士 · 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；括号优先； · 分清(-a)n与-an，先定符号再计算； · 同级运算从左到右，能简算用运算律约分。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1) (2) ▌对点练1-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型 程序框图与有理数的计算 ▌例2 （25-26七年级上·浙江·阶段检测）在如图所示的运算程序中，把从“输入的值”到“把得数当成”作为一次运行．若输入的值为，则经过次运行，输出的结果是（） A． B． C． D． 解题贴士 · 分步算前几次输出：按奇偶规则依次计算，列出每次运行结果 · 找循环周期：观察结果重复出现的一组数字，确定周期长度 · 求余数定位：总次数÷周期长度，看余数判断对应输出 · 余0：取周期最后一个数；余几：取周期第几个数 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江丽水·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为48，我们发现第一次得到的结果是24，第二次得到的结果是12，…请你探索第2016次得到的结果是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江温州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是4，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是，依次继续下去…，第2025次输出的结果是（   ） A． B． C． D．2 题型 算“24”点 ▌例3 （25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 解题贴士 核心凑数：凑 3×8、4×6、2×12。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出张卡片，使这张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为 ； (2)从中取出张卡片，使这张卡片上数字相除的商最小，商的最小值为 ； (3)从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，写出运算式子（写出一种即可）．算的式子为 ． 题型 含乘方的有理数混合运算的应用 ▌例4 （25-26七年级上·浙江温州·期中）远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文字记数系统，对于大于59的数，采用六十进制的算法，例如：．左边的表示，中间的表示，右边的表示1个单位，用十进制写出来是．若楔形文字记数，表示十进制的数为（    ） A．7266 B．7206 C．7860 D．7806 解题贴士 规律：百位数字×602+十位数字×60+个位数字×1。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）进位制是一种记数方式，我国于公元前1600年左右采用了十进制计数法．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．随着电子技术和计算机科学的发展，二进制成了现代技术的基础，八进制、十六进制在计算机编程和数据存储领域也有深入的应用．其中，十六进制就是逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如下表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 例如：十进制数，它对应的十六进制数是，则十进制数368对应的十六进制数是_____． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江温州·期中）如图所示为“活塞式灌装机”，它是利用移动活塞将直径为的圆柱体水管内的水挤压出下阀口，从而对下方的矿泉水瓶进行注水．现需通过一次注水将一瓶容量为的矿泉水注满，则需要移动活塞几厘米？（，结果保留π） 题型 新定义运算 ▌例5 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如果规定☆为一种运算符号，且，则的值为______． 解题贴士 读懂公式：看清 a☆b中前后数字对应公式里的底数、指数。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）对于有理数，，定义一种新运算，规定※，则※_____． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江温州·期中）定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则______． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）下列4个式子中，计算结果最大的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江温州·期中）金老师设计了接力游戏：每位同学只能看到前一位的算式，并继续进行计算，将结果传递给后一位，最终计算出结果，过程如图所示： 上述求解过程中，错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（25-26七年级上·浙江温州·期中）根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出的结果是（   ） A．4 B．20 C．36 D．100 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）某空调室外机形状是一个长方体，其长、宽、高尺寸分别为，在朝外一面上有一个圆形的孔，孔的直径为，除这个孔外外壳均用铁皮包裹．则外壳铁皮的面积（π取3）为___________． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）用三个正整数的平方和的形式表示：______．（只需写出一种） 7．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）定义一种新运算符号“※”，满足：，则的值为______． 8．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）根据乘方的意义，可将转化为底数为的幂，如，从而可得到：．按此规律，计算：______． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 10．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方 ① ② ③ ④ 圆圆 ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错是第___________步，圆圆开始出错的是第___________步； (2)写出你的计算过程． 11．（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 12．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）我们定义一种新运算：． 例如： (1)求 的值． (2)求 的值． 素养提升 13．（25-26七年级上·浙江·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去，……，第2027次输出的结果是________． 14．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）观察下列算式：，，，，，，，，则的末位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 15．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）阅读材料：求 首先设① 则② 得 即 以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法” __________． 16．（25-26七年级上·浙江·期中）如图，第十四届国际数学教育大会ICME-14会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是由四个二进制数组成，将它们转换成八进制数为3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是（注：）表示ICME-14的举办年份．则十进制数5050换算成八进制数是_______． 17．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知，对于任意的x都成立．求： (1)a0的值． (2)的值． (3)的值． 18．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．意思是：一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．如下图，求可用以下两种方法： 方法一（正向思考）： 方法二（逆向思考）： 请用适当的方法求解下列问题： （1）______． （2）______．（注：） 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江金华·期中）某些特定的整数，在设定的运算规则下，经过有限次重复计算后，最终会被锁定在一个固定的数值中，这个数值叫“数字黑洞”．对于数字7，先计算其各数位上数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各数位上数字的平方和，…，重复运算下去，将得到一个“数字黑洞”______． 20．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）【阅读】求值． 解：设①， 将等式①的两边同时乘以2得：②， 由②－①得：． 即：． (1)【运用】仿照此法计算：； (2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2022次，依次得到小正方形、、、、、，完成下列问题： ①小正方形的面积等于_____； ②求正方形、、、、的面积和． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $