第07讲 有理数的乘方与混合运算、近似数（知识点+题型+强化训练）2025-2026学年浙教版七年级数学上册同步讲义与测试（

本讲义聚焦有理数的乘方与混合运算、近似数等核心知识点，构建从幂的意义到符号规律、科学记数法再到实际应用的完整知识链，前后衔接紧密，层层递进，形成清晰的学习支架。 资料设计亮点突出，体现数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养。例如通过“古印度国王赏麦”情境引导学生抽象出乘方概念，培养数感与创新意识；用程序流程图和算“24点”训练逻辑推理与运算能力，强化数学思维；借助真实数据如神舟十三号高度、人口普查等，让学生体会数学语言在表达现实问题中的简洁与精确。课中便于教师开展探究式教学，课后可作为学生查漏补缺的高效工具，助力精准巩固薄弱环节。

第07讲 有理数的乘方与混合运算、近似数（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的乘方的意义 2.有理数的乘方运算 3.乘除和乘方的混合运算 4.科学记数法 5.有理数混合运算的法则 6.准确数与近似数的概念 7.近似数的精确度 8.计算器的使用 题型巩固 一、有理数幂的概念理解 二、有理数的乘方运算 三、有理数乘方逆运算 四、乘方运算的符号规律 五、乘方的应用 六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 七、将用科学记数法表示的数变回原数 八、程序流程图与有理数计算 九、算“24”点 十、含乘方的有理数混合运算 十一、求一个数的近似数 十二、求近似数的精确度 十三、近似数推断取值范围 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.有理数的乘方的意义 概念 示例 乘方 求几个相同因数的积的运算，叫作乘方。 （乘方是一种运算，幂是乘方的结果） n个相乘的积记作： 幂 乘方的结果叫作幂。 指数（相同的因数的个数） 底数（相同的因数） 底数 在中， 叫作底数。 指数 在中，n 叫作指数。 说明：底数可以是任意有理数，指数n是正整数。 知识点2.有理数的乘方运算 1. 幂的符号法则： 说明：任何有理数的偶次幂都是非负数，即无论 取何值，都有≥0(为有理数，n为正整数) 。 2.有理数的乘方运算： 在计算有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，然后根据幂的符号法则确定结果的符号，再确定结果的绝对值。 示例1 有理数的乘方运算 知识点3.乘除和乘方的混合运算 对于乘除和乘方的混合运算，应先算乘方，后算乘除；如果遇到括号，就先进行括号里的运算。乘除和乘方的混合运算 乘除的混合运算 乘法运算 知识点4.科学记数法 1.科学记数法的概念：把一个较大的数表示成(1≤||<10) 与10的幂相乘的积的形式，叫作科学记数法。 2.科学记数法中的和n ： （1）的确定方法： 将原数的小数点移动到左起第一个不为0的数字的后面即可得到 的值。 （2）n的确定方法： ①原数的整数位数减去1即为n 的值；②小数点向左移动几位，n 就为几。 3.把用科学记数法表示的数还原： （1）×中的指数n 加上1就得到原数的整数位数，从而确定原数。 （2）把×中的小数点向右移动n 位即可，若向右移动的位数不够，则用“0”补足。 知识点5.有理数混合运算的法则 一般地，有理数混合运算的法则是： 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。 注意： 若属于同级运算，则按照从左往右的顺序进行计算。 说明： 进行混合运算时，可以灵活运用运算律，但应注意符号的确定以及运算顺序和方法的选择.例如，可以根据算式的结构特征，巧用整体思想、拆分消除等技巧，从而使运算准确、快捷。 示例4 有理数的混合运算 知识点6.准确数与近似数的概念 1.准确数与近似数： 概念 示例 准确数 与实际完全符合的数。 某班的学生人数为45人，某校一共有60个班级。 近似数 与实际接近的数。 某同学的身高约为156 cm ，体重约为53 kg 。 2.判断准确数与近似数的方法：一般地，用计数的方法得到的数是准确数；用测量工具得到的数是近似数。 注意：有时不容易获得准确数或不可能得到准确数时，就只能取近似数。例如，人口普查。 知识点7.近似数的精确度 1.近似数的精确度：是指与准确数的接近程度。 2.近似数的精确度的表述方法： （1）用数位表述：如精确到个位或十分位等； （2）用小数表述：如精确到0.1或0.01等。 注意：一个近似数末尾的0不可随意省略,它表示的是这个数的精确度。例如，近似数0.50表示精确到百分位，近似数0.5表示精确到十分位。 3.近似数的精确度的确定方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一位。 示例5 确定近似数的精确度 说明： 对于用“百、千、万等或科学记数法”表示的数，确定它的精确度时，需先写回原数，再指出它精确到哪一位。 4.用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍。例如，2.55 精确到十分位为2.6。 知识点8.计算器的使用 计算近似数时，我们一般可用计算器作为辅助计算工具。常用的计算器有简易计算器、科学计算器和图形计算器等。用科学计算器进行混合运算的按键顺序与书写顺序基本相同。按精确度要求，将用计算器算得的结果取近似值，即可得到近似数。 注意： 不同型号计算器的按键顺序不一定相同，具体使用方法可参照计算器的说明书。 题型巩固 题型一、有理数幂的概念理解 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列表示的含义的是（    ） A．9个8相乘 B．9个8相加 C．8个9相乘 D．8个9相加 【答案】A 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查乘方的定义，解题的关键是掌握有理数乘方的定义． 【详解】解：表示的是9个8相乘， 故选：A． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）的底数是 ，值为 ；的底数是 ，值为 ． 【答案】 1 1 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义以及运算法则是解题的关键． 在中，叫做底数，叫做指数，由此判断计算即可． 【详解】解：的底数是，值为； 的底数是，值为； 故答案为：，；，． 3．相传，古印度有位国王很喜欢下国际象棋．有一天，他想要重赏国际象棋的发明者．发明者说∶“陛下，我不要您的重赏，只要您在我的棋盘上赏一些麦子就可以．在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2倍，直到放满第64个格子就行了．”国王觉得这个要求很容易满足，就欣然答应了．然而，当人们开始在棋盘上放麦粒时，国王才发现问题的严重性． 提问∶你知道是为什么吗？ 【思考1】 (1)边长为a的正方形的面积为___________ (2)棱长为a的正方体的体积为___________ (3)这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法） (4)这种写法读作什么呢？ 【答案】(1) (2) (3)； (4)读作a的二次方；读作a的三次方． 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要查了有理数的乘方： （1）根据正方形的面积公式解答即可； （2）根据正方形的体积公式解答即可； （3）利用乘方的形式书写即可； （4）根据乘方读法解答即可． 【详解】（1）解：边长为a的正方形的面积为； 故答案为： （2）解：棱长为a的正方体的体积为； 故答案为： （3）解：这两个过程的简单的写法分别为；； （4）解：读作a的二次方；读作a的三次方． 题型二、有理数的乘方运算 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各组数中，计算结果不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C． 和 D．和 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键； 根据有理数的乘方运算，计算求解即可； 【详解】A、，， 故，该选项不满足题意； B、，， 故，该选项不满足题意； C、，， 故，该选项满足题意； D、，该选项不满足题意； 故选：C 5．（24-25七年级·浙江嘉兴·期中）定义运算，例如，，若，则m的值为 ． 【答案】1/ 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了新定义下有理数的乘方运算，理解题意，分情况分析是解题关键． 根据题意分两种情况分别计算讨论即可． 【详解】解：当且时，即且， ∴， ∴，或 解得：或； 当时，即， ∴， ∴， 解得：；（不符合题意）， 综上可得：或， 故答案为：1或． 6．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）在一个探究活动中，老师请大家完成下列几个问题． (1)补全下面的表格： (2)用简洁的语言描述你发现的规律； (3)已知当时，代数式的值为5，求当时，代数式的值． 【答案】(1)补全表格见解析 (2)与互为相反数；与互为相反数 (3) 【知识点】有理数的乘方运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据表格数据即可得解； （3）根据（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：补全下面的表格： （2）解：与互为相反数； 与互为相反数； （3）解：由（2）知，与互为相反数． ∵当时，， ∴当时，． 题型三、有理数乘方逆运算 7．计算的值是（        ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】有理数乘方逆运算、有理数乘法运算律 【分析】乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，运用乘法的分配律简便计算． 【详解】解：原式= = =． 故选：A． 【点睛】本题考查了乘法分配律的逆用．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．本题运用乘法的分配律计算． 8．（24-25七年级·浙江宁波·期中）已知，则x＝ ． 【答案】3 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题考查有理数乘方运算，根据有理数乘方运算计算即可． 【详解】∵， ∴ 故答案为：3． 9．（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【知识点】有理数的乘方运算、有理数乘方逆运算 【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 题型四、乘方运算的符号规律 10．a，b互为相反数，，n为自然数，则下列叙述正确的有（    ）个 ①互为相反数                ②互为相反数 ③互为相反数               ④互为相反数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】乘方运算的符号规律、相反数的定义 【分析】根据有理数乘方的定义，负数的偶次方为正，奇次方为负，正数的任意次方都为正，再根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，a≠0，n为自然数， ∴-a，-b互为相反数，故①说法正确； 当n是奇数时，an与bn互为相反数，当n为偶数时，an与bn相等，故②说法错误； a2n与b2n相等，故③说法错误； a2n+1，b2n+1互为相反数，故④说法正确； 所以叙述正确的有2个． 故选：B． 【点睛】此题考查了相反数以及有理数的乘方，用到的知识点是正数的任何次是正数，负数的偶次幂是正数，奇数次幂是负数． 11．【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 【答案】 444444888889 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25即可； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． 【详解】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25， 如：，即； ：，即； ：，即； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． ∴． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查有理数乘方规律应用，找到题中数字规律是解题的关键． 12．判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）正；（2）负；（3）负；（4）负 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】解：（1）的指数是12，为偶数，根据负数的偶次幂是正数，可知的结果为正； （2）的指数是9，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负； （3）表示的是的相反数，根据正数的任何次幂都是正数，可知的结果为正，所以的结果为负； （4）的指数是11，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 题型五、乘方的应用 13．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）一张纸厚度为，假设可以无限对折，那么对折10次后，纸的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】乘方的应用 【分析】此题考查了有理数的乘方，根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：. 故选：B． 14．（23-24七年级上·浙江温州·期中）观察下列算式：……通过观察，用所发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】4 【知识点】乘方的应用 【分析】此题主要考查数字的规律探索，根据已知幂的结果找出个位数的周期性规律，进而分析判断即可．根据已知确定数字的周期规律是解题的关键． 【详解】观察可得规律：的个位数字每4次一循环， ∵余2，， ∴的个位数字是4． 故答案为：4． 15．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2) 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键． （1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （2）满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：101110转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解：由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为， 孩子已经出生了42天． 题型六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 16．年月日，中国神舟十三号载人飞船成功发射升空，将在距地面高度为米的空间站展开为期六个月的驻留任务，再一次实现浩瀚星空，飞天逐梦．数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法，掌握方法是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 17．数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，表现形式为的形式，其中，为正整数，据此即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 18．（2024七年级上·浙江·专题练习）海王星是太阳系中离太阳最远的行星，太阳光到达海王星需要的时间大约是秒，光在真空中的速度约为米/秒．海王星距离太阳大约有多远？（结果用科学记数法表示） 【答案】米 【知识点】有理数的乘方运算、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：（米）， 即海王星距离太阳大约有米． 题型七、将用科学记数法表示的数变回原数 19．用科学记数法表示的数为，这个数原来是（　　） A．4315 B．431.5 C．43.15 D．4.315 【答案】A 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】将小数点向右移动3位即可得出原数． 【详解】解：用科学记数法表示的数为，这个数原来是4315， 故选A． 【点睛】本题主要考查科学记数法—原数，科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． 20．是人工智能研究实验室推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数．用科学记数法表示为时的原数的1后面有 个零． 【答案】 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法把数据还原，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴原数的后面有个， 故答案为： 21．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2000000 (2)603000 (3) 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法，正确确定a，n的值是解题的关键．科学记数法的表示形式为，n的值为整数，当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，当原数的绝对值小于1时，n为负整数． （1）利用科学记数法的法则解答即可； （2）利用科学记数法的法则解答即可； （3）利用科学记数法的法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的原数为2000000； （2）解：∵， ∴的原数为603000； （3）解：∵， ∴的原数为． 题型八、程序流程图与有理数计算 22．（24-25七年级·浙江衢州·期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类，找出变化规律是解题的关键．计算出第次，第次的输出结果，发现输出结果以、、为一个循环组依次循环，然后计算即可． 【详解】解：∵第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴输出结果以、、为一个循环组依次循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为1， 故选：A． 23．如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为3，y的值为，则输出结果为 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． 先进行有理数的乘方，再进行加法，最后进行除法运算． 【详解】解：根据程序得，， 故答案为：． 24．以下是一个简单的数值运算程序：    小明认为当输入的为正数时，输出的值为负数；当输入的为负数时，输出的值仍为负数．你同意小明的观点吗？请你分别选择一个正数和一个负数输入该程序，看输出的结果分别是多少． 【答案】同意，代入结果见解析 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】根据程序框图列出关系式，将和代入求解，即可作出判断． 【详解】解：同意他的观点． 例如：当时，； 当时，． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解题的关键． 题型九、算“24”点 25．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 26．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）“24点”的游戏规则是∶任抽四个数，用加、减、乘、除四则运算列一个算式，使得计算结果为24．小李抽到的四个数是3，，5，6，请列出符合要求的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，根据题意列出算式即可，掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：（答案不唯一）． 27．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13（J，Q，K分别代表11，12，13；A表示1）之间的自然数，将这四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除四则运算，使其结果等于24；例如对1，2，3，4可作运算：．(注意上述运算与4×(1＋2＋3)应视为相同的运算) (1)小明抽到了3，4，5，2；小聪抽到了J，2，10，5．这两组牌都能算出“24”点吗？为什么？ (2)如果算式中允许包含乘方运算，两组牌中你能列出含乘方运算的算式吗？ 【答案】(1)这两组牌都能算出“24”点，理由见解析 (2)； 【知识点】有理数四则混合运算、算“24”点、含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了“二十四点”运算，有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的四则混合运算法则求解即可； （2）根据含乘方的有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴这两组牌都能算出“24”点； （2），． 题型十、含乘方的有理数混合运算 28．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列算式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，根据含乘方的有理数混合运算法则以及运算顺序逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 29．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）规定是一种新的运算法则，满足，例如：，则 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则． 按照新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ； 故答案为：． 30．（2025七年级上·浙江·阶段练习）计算下列各题： (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)30 (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）先算乘方和括号里的运算，再算乘除，最后算加减； （3）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减； （4）先算乘方，再算除法，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十一、求一个数的近似数 31．（24-25七年级上·浙江金华·期中）小亮的体重为，若将体重精确到，则小亮的体重约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数，利用四舍五入得到近似数即可，掌握近似数的概念，四舍五入的方法是解题的关键． 【详解】解：小亮的体重为， 故选：． 32．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习） ．（精确到十分位） 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题主要考查“近似数和有效数字”中的“四舍五入法取近似值”；要将精确到十分位，首先明确十分位是小数点后第一位(数字所在的数位)，然后看十分位的下一位，也就是百分位上的数字(数字)，根据四舍五入的规则，当要舍去的数字大于或等于时，需要向前一位进，百分位数字，所以要将十分位上的加变为，最终得到． 【详解】解：，精确到十分位，即保留小数点后面的第一位， 需要看小数点后第二位数字，即百分位上的数字， ∵， ∴把尾数舍去并且在小数点后第一位数字的基础上进“”， 即， ∴． 故答案为：． 33．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列各数，哪些是准确数，哪些是近似数？ (1)小敏同学的身高是． (2)小明家里有4口人． (3)检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌80万个． (4)我国的人口有14亿． 【答案】(1)是近似数； (2)4口人是准确数； (3)80万个是近似数； (4)14亿近似数 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题主要考查了近似数准确数的定义，解题的关键是正确理解近似数准确数的定义． （1）根据近似数的定义求解即可； （2）根据准确数的定义求解即可； （3）根据近似数的定义求解即可； （4）根据近似数的定义求解即可； 【详解】（1）解：是近似数； （2）解：4口人是准确数； （3）解：80万个是近似数； （4）解：14亿是近似数． 题型十二、求近似数的精确度 34．（2025七年级上·浙江·专题练习）下列各数精确到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度 【分析】此题主要考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数． 精确到，即保留小数点后面第二位，然后利用“四舍五入”法解答，所以只要看选项中保留的小数是不是二位数即可． 【详解】解：A、，保留到小数点后面第三位，即精确到千分位，不符合题意； B、，保留到小数点后面第一位，即精确到十分位，不符合题意； C、，保留到小数点后面第二位，即精确到百分位，符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 35．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）由四舍五入得到的近似数是精确到 位． 【答案】百分 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数精确到哪一位，由精确到小数点后面两位，即百分位，由此即可求解，解题的关键是正确理解近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】解：由题意可知：精确到小数点后面两位，即百分位， 故答案为：百分． 36．（2022七年级上·浙江·专题练习）下列问题中，哪些是近似数？哪些是精确数？ (1)地球半径是6371米； (2)一星期有7天； (3)光的速度是每秒30万千米； (4)我国古代的4大发明； (5)某学校有36个班级； (6)小明的体重是46.3公斤． 【答案】(1)近似数 (2)精确数 (3)近似数 (4)精确数 (5)精确数 (6)近似数 【知识点】求近似数的精确度 【分析】根据近似数和准确数的定义，逐项进行判断即可． 【详解】（1）解：地球半径是6371米，其中6371是近似数． （2）解：一星期有7天，其中7是准确数． （3）解：光的速度是每秒30万千米，其中30万是近似数． （4）解：我国古代的4大发明，其中4是准确数． （5）解：某学校有36个班级，其中36是准确数． （6）解：小明的体重是46.3公斤，其中46.3是近似数． 【点睛】本题主要考查对近似数和精确数的概念的理解，注意它们的区别，在生活中有一些事物的数量，有时用比较准确的数表示，我们称之为精确数，有时不用准确的数表示，而用一个与它比较接近的数来表示，这样的数就是近似数． 题型十三、近似数推断取值范围 37．（2024七年级上·浙江·专题练习）近似数的准确数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题考查近似数和准确数，掌握近似数和准确数的定义是解题关键．近似数可能是由原数“四舍”得到的，也可能是“五入”得到的，若是“四舍”得到的，则原数的十分位上是0，百分位上的数小于5，据此进行解答即可． 【详解】解：结合四舍五入法取近似值的方法可知：只有大于等于小于的数，经过四舍五入才能得，所以a的范围是：． 故选：C． 38．（22-23七年级上·浙江金华·期中）近似数23.40所表示的准确数a的范围是 ． 【答案】 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】根据近似数的精确度和四舍五入求解即可． 【详解】解：由题意知，近似数23.40所表示的准确数a的范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 强化训练 一、单选题 1．关于的说法正确的是（       ） A．底数是−9 B．表示4个−9相乘 C．表示9个−4相乘 D．底数是9，指数是4 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】根据乘方的定义解决此题即可． 【详解】解：A．根据乘方的定义，中的底数是9，故A错误； BC．根据乘方的定义，表示4个9相乘的积的相反数，故BC错误； D．根据乘方的定义，的底数是9，指数是4，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查乘方的定义，熟练掌握乘方的定义是解决本题的关键． 2．根据第三次国土调查，大连市耕地面积为公顷，精确到十分位约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到十分位，只需要对百分位上的数字9进行四舍五入即可得到答案． 【详解】解：精确到十分位约为， 故选B． 3．中华民族的母亲河黄河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，流域面积约为750000千米2．将750000用科学记数法表示为(   ) A．75×104 B．7.5×104 C．75×105 D．7.5×105 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将750000用科学记数法表示为：7.5×105． 故选：D． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．1米长的小棒，第一次截去，第二次截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】乘方的应用 【分析】根据题意可以得到第五次后剩下的小棒的长度，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 第五次后剩下的小棒的长度是： 故选A． 【点睛】本题考查有理数的乘方，解答本题的关键是明确题意，求出第五次后剩下的小棒的长度． 5．中国扶贫事业在国际上被誉为“人类历史上最伟大的事件之一”，经过8年持续奋斗，如期完成了新时代脱贫攻坚目标任务，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽．通过实施易地扶贫搬迁，960多万建档立卡贫困群众从以前居住的土坯房，茅草房，危旧房搬进了宽敞明亮、安全牢固的新房，他们的“两不愁三保障”问题也得到了解决．960万用科学记数法可表示为（　　） A．96×105 B．9.6×105 C．9.6×106 D．0.96×106 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：960万=． 故选C． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 6．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了乘方的意义，熟练掌握乘方的意义是解题的关键，根据乘方和加法分别表示出分子分母即可． 【详解】解：， 故选：B． 7．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可． 【详解】解：， = =， =， =， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算． 8．某品牌加碘食盐的标准质量是每袋，现抽取6袋样品进行检测，结果如下： 标号 1 2 3 4 5 6 与标准质量差 则这6袋加碘食盐的平均质量为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】根据正数和负数的意义列式计算即可． 【详解】解： ， 即这6袋加碘食盐的平均质量为， 故选：C． 【点睛】本题考查正数与负数的实际应用，有理数的混合运算，根据题意正确列出算式并正确计算是解题的关键． 9．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进一”就是几进制．各进制表示的数也可以转化，如：十进制数5用二进制可以表示为101，即，则二进制数110010表示的十进制数为（   ） A．3 B．50 C．100 D．25 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意将二进制化为十进制即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 10．在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（    ） A．132天 B．72天 C．60天 D．42天 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据“满七进一”可知最左边的每个结表示，中间的每个结表示7，最右边每个结表示1，由此可解． 【详解】解：孩子已经出生天数为：（天）， 故选B． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．2024年渝东南片区接待游客总人数为7380000人次，将数据7380000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是正确确定a的值以及n的值． 明确科学记数法的形式(为整数)；把的小数点向左移动6位得到因小数点移动了6位，故从而得出结果． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中为整数． 将转变为这种形式，可得． 故答案为： 13．计算机使用的“二进制记数法”具有划时代的意义．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．例如，就是二进制数的简单写法，将它转换成十进制数为：．那么将转换成十进制数，这个十进制数是 ． 【答案】14 【知识点】乘方的应用、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确二进制数转化为十进制数的方法． 根据题意，可知转换成十进制数为：，然后计算即可． 【详解】解：转换成十进制数为： ． 故答案为：14． 14．定义运算a*b＝，若(m－1) * (m－3)＝1，则m的值为 ． 【答案】1或4 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】判断m﹣1与m﹣3的大小，利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值． 【详解】解：根据题中的新定义得： ∵m﹣3＜m﹣1， ∴已知等式化简得：（m﹣3）m﹣1＝1， 当m﹣3≠0，即m≠3时，m﹣1＝0， 解得：m＝1； 当m﹣3＝1，即m＝4时，满足题意； 当m﹣3＝﹣1，即m＝2时，不符合题意， 综上所示，m＝1或4． 故答案为：1或4． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 15．若一个三棱锥的顶点个数为m、它的棱数为n，则（m＋n－9）2021的值为 ． 【答案】1 【知识点】有理数的乘方运算、几何体中的点、棱、面 【分析】根据三棱锥的性质，得m、n，再根据有理数加减和乘方运算的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵一个三棱锥的顶点个数为m、它的棱数为n， ∴， ∴ ∴（m＋n－9）2021 故答案为：1． 【点睛】本题考查了有理数运算、立体图形的知识；解题的关键是熟练掌握立体图形点、线，和有理数乘方运算的性质，从而完成求解． 16．大肠杆菌每过30分钟由1个分裂成2个，若现在有1个这种大肠杆菌，则经过3小时后大肠杆菌的个数是 ． 【答案】64 【知识点】乘方的应用 【分析】3小时=180分钟，则需要分裂6次，即26=64． 【详解】解：由题意，得3小时=180分钟，大肠杆菌需要分裂6次， ∴26=64． 故答案为：64． 【点睛】本题考查了乘方的实际应用，读懂题意，找到代数式的表示形式是解决问题的关键． 三、解答题 17．下列是由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)132.4． (2)0.0572． (3)2.40万． (4)3000． 【答案】(1)132.4精确到十分位 (2)0.0572精确到万分位 (3)2.40万精确到百位 (4)3000精确到个位 【知识点】求近似数的精确度 【分析】根据近似数分别求解（1）（2）（3）（4） 【详解】（1）132.4精确到十分位 （2）0.0572精确到万分位 （3），则2.40万精确到百位 （4）3000精确到个位 【点睛】本题主要考查近似数，熟练掌握近似数是解题的关键． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)625 (3) (4) (5)8 (6)36 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算、积的乘方的逆用等知识点，掌握乘方的定义成为解题的关键． （1）直接根据乘方的定义计算即可； （2）直接根据乘方的定义计算即可； （3）直接根据乘方的定义计算即可； （4）直接根据乘方的定义计算即可； （5）先根据乘方的定义计算，然后去括号即可； （6）先计算乘方，再计算乘法即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 19．阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1，1 (2)，， (3)， (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的乘方运算、乘方的应用 【分析】本题考查了乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）分别计算和即可验证； （2）根据上面的验证计算即可； （3）根据上面的验证计算即可； （4）根据上面的验证计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1，1； （2）解：猜想：，，， 理由：； ； ； 故答案为：，，； （3）解：依题意得：，； 验证：； ； 故答案为：，； （4）解：原式 ． 20．用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 【答案】(1) (2)①；；②乘法交换 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查新定义运算，读懂题意，理解新定义运算法则，代值求解是解决问题的关键． （1）理解新定义运算，按照当时，都有，代值计算即可得到答案； （2）①理解新定义，根据新定义当时，都有；当时，都有分别计算和即可得到答案；②由①中的计算结果即可得到这个运算满足乘法交换律． 【详解】（1）解：当时，都有， 当时，， ； （2）解：①当时，都有， 当时，， ； 当时，都有， 当时，， ； ②由上述计算结果可知，， 这个计算结果说明了这个运算满足乘法交换律， 故答案为：②乘法交换． 21．观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】乘方的应用 【分析】（）观察已知等式即可求解； （）由等式规律写出即可； （）利用规律计算即可； 本题考查了有理数乘方的变形运算，根据已知等式找出有理数乘方运算的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：按上述规律，第六个等式为， 故答案为：； （2）解：由规律可得，第个等式为， 故答案为：； （3）解：原式 ． 22．某校的课后延时服务开设了“趣味数学”的课程．某次课以“翻牌游戏中的数学道理”为主题开展活动，如图，老师在桌面上摆放了张反面（没有花色的一面）向上的扑克牌，每次翻动其中的若干张牌（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上．探究如何翻动扑克牌，使得所有扑克牌都正面向上．小颖和小楠分在同一组，她们决定按照以下思路展开研究．请根据她们的研究思路，回答相应问题． 活动一：动手操作 ①每次只翻动1张扑克牌，至少翻动几次可以使得所有扑克牌都正面向上？ ②每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得所有扑克牌都正面向上； ③每次同时翻动3张扑克牌，翻动3次就可以使得所有扑克牌都正面向上，请你写出她们的翻牌方式．（翻动的牌用序号表示） 活动二：解释原理 她们想到可以用有理数的运算来解释活动一的现象：扑克牌正面向上的牌面状态记作，反面向上的牌面状态记作，则7张牌反面都向上的牌面状态记作，7张牌正面都向上的牌面状态记作．按这个规定，翻动一张牌会改变其中一个因数的符号．根据她们的做法，请你解释为什么每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得7张扑克牌都正面向上． 活动三：拓展延伸 若桌面上有a张反面向上的扑克牌，每次同时翻动b张，其中，翻动n次后，所有扑克牌都正面向上，请探究a，b，n需满足的条件． 【答案】活动一：第一次翻动①②③，第二次翻动③④⑤，第三次翻动③⑥⑦ 活动二：理由见解析 活动三：与奇偶性相同，且． 【知识点】有理数乘法的实际应用、乘方的应用 【分析】本题考查有理数乘法及乘方运算的实际应用； （1）每次同时翻动3张扑克牌，翻动3次共翻动次，说明有一张牌翻了三次，据此写出翻牌方式即可； （2）向下翻一次相当于乘以，利用有理数的乘法说明即可； （3）根据前面的数据找到规律，再探究a，b，n需满足的条件即可． 【详解】解：活动一：第一次翻动①②③，此时①②③正面朝上； 第二次翻动③④⑤，此时①②④⑤正面朝上； 第三次翻动③⑥⑦，此时全部张都正面朝上； 活动二：翻一次相当于乘以，则每次同时翻动2张扑克牌，翻动次，共翻动次，相当于乘以， 而，， ∴， 即每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得7张扑克牌都正面向上． 活动三：根据前面的活动规律，当为奇数时，必须也是奇数，且； 当为偶数时，必须也是偶数，且； 综上所述，与奇偶性相同，且． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 有理数的乘方与混合运算、近似数（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的乘方的意义 2.有理数的乘方运算 3.乘除和乘方的混合运算 4.科学记数法 5.有理数混合运算的法则 6.准确数与近似数的概念 7.近似数的精确度 8.计算器的使用 题型巩固 一、有理数幂的概念理解 二、有理数的乘方运算 三、有理数乘方逆运算 四、乘方运算的符号规律 五、乘方的应用 六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 七、将用科学记数法表示的数变回原数 八、程序流程图与有理数计算 九、算“24”点 十、含乘方的有理数混合运算 十一、求一个数的近似数 十二、求近似数的精确度 十三、近似数推断取值范围 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.有理数的乘方的意义 概念 示例 乘方 求几个相同因数的积的运算，叫作乘方。 （乘方是一种运算，幂是乘方的结果） n个相乘的积记作： 幂 乘方的结果叫作幂。 指数（相同的因数的个数） 底数（相同的因数） 底数 在中， 叫作底数。 指数 在中，n 叫作指数。 说明：底数可以是任意有理数，指数n是正整数。 知识点2.有理数的乘方运算 1. 幂的符号法则： 说明：任何有理数的偶次幂都是非负数，即无论 取何值，都有≥0(为有理数，n为正整数) 。 2.有理数的乘方运算： 在计算有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，然后根据幂的符号法则确定结果的符号，再确定结果的绝对值。 示例1 有理数的乘方运算 知识点3.乘除和乘方的混合运算 对于乘除和乘方的混合运算，应先算乘方，后算乘除；如果遇到括号，就先进行括号里的运算。乘除和乘方的混合运算 乘除的混合运算 乘法运算 知识点4.科学记数法 1.科学记数法的概念：把一个较大的数表示成(1≤||<10) 与10的幂相乘的积的形式，叫作科学记数法。 2.科学记数法中的和n ： （1）的确定方法： 将原数的小数点移动到左起第一个不为0的数字的后面即可得到 的值。 （2）n的确定方法： ①原数的整数位数减去1即为n 的值；②小数点向左移动几位，n 就为几。 3.把用科学记数法表示的数还原： （1）×中的指数n 加上1就得到原数的整数位数，从而确定原数。 （2）把×中的小数点向右移动n 位即可，若向右移动的位数不够，则用“0”补足。 知识点5.有理数混合运算的法则 一般地，有理数混合运算的法则是： 先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。 注意： 若属于同级运算，则按照从左往右的顺序进行计算。 说明： 进行混合运算时，可以灵活运用运算律，但应注意符号的确定以及运算顺序和方法的选择.例如，可以根据算式的结构特征，巧用整体思想、拆分消除等技巧，从而使运算准确、快捷。 示例4 有理数的混合运算 知识点6.准确数与近似数的概念 1.准确数与近似数： 概念 示例 准确数 与实际完全符合的数。 某班的学生人数为45人，某校一共有60个班级。 近似数 与实际接近的数。 某同学的身高约为156 cm ，体重约为53 kg 。 2.判断准确数与近似数的方法：一般地，用计数的方法得到的数是准确数；用测量工具得到的数是近似数。 注意：有时不容易获得准确数或不可能得到准确数时，就只能取近似数。例如，人口普查。 知识点7.近似数的精确度 1.近似数的精确度：是指与准确数的接近程度。 2.近似数的精确度的表述方法： （1）用数位表述：如精确到个位或十分位等； （2）用小数表述：如精确到0.1或0.01等。 注意：一个近似数末尾的0不可随意省略,它表示的是这个数的精确度。例如，近似数0.50表示精确到百分位，近似数0.5表示精确到十分位。 3.近似数的精确度的确定方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一位。 示例5 确定近似数的精确度 说明： 对于用“百、千、万等或科学记数法”表示的数，确定它的精确度时，需先写回原数，再指出它精确到哪一位。 4.用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍。例如，2.55 精确到十分位为2.6。 知识点8.计算器的使用 计算近似数时，我们一般可用计算器作为辅助计算工具。常用的计算器有简易计算器、科学计算器和图形计算器等。用科学计算器进行混合运算的按键顺序与书写顺序基本相同。按精确度要求，将用计算器算得的结果取近似值，即可得到近似数。 注意： 不同型号计算器的按键顺序不一定相同，具体使用方法可参照计算器的说明书。 题型巩固 题型一、有理数幂的概念理解 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列表示的含义的是（    ） A．9个8相乘 B．9个8相加 C．8个9相乘 D．8个9相加 2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）的底数是 ，值为 ；的底数是 ，值为 ． 3．相传，古印度有位国王很喜欢下国际象棋．有一天，他想要重赏国际象棋的发明者．发明者说∶“陛下，我不要您的重赏，只要您在我的棋盘上赏一些麦子就可以．在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2倍，直到放满第64个格子就行了．”国王觉得这个要求很容易满足，就欣然答应了．然而，当人们开始在棋盘上放麦粒时，国王才发现问题的严重性． 提问∶你知道是为什么吗？ 【思考1】 (1)边长为a的正方形的面积为___________ (2)棱长为a的正方体的体积为___________ (3)这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法） (4)这种写法读作什么呢？ 题型二、有理数的乘方运算 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各组数中，计算结果不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C． 和 D．和 5．（24-25七年级·浙江嘉兴·期中）定义运算，例如，，若，则m的值为 ． 6．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）在一个探究活动中，老师请大家完成下列几个问题． (1)补全下面的表格： (2)用简洁的语言描述你发现的规律； (3)已知当时，代数式的值为5，求当时，代数式的值． 题型三、有理数乘方逆运算 7．计算的值是（        ） A． B． C．0 D． 8．（24-25七年级·浙江宁波·期中）已知，则x＝ ． 9．（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 题型四、乘方运算的符号规律 10．a，b互为相反数，，n为自然数，则下列叙述正确的有（    ）个 ①互为相反数                ②互为相反数 ③互为相反数               ④互为相反数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 12．判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型五、乘方的应用 13．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）一张纸厚度为，假设可以无限对折，那么对折10次后，纸的高度为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级上·浙江温州·期中）观察下列算式：……通过观察，用所发现的规律确定的个位数字是 ． 15．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 题型六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 16．年月日，中国神舟十三号载人飞船成功发射升空，将在距地面高度为米的空间站展开为期六个月的驻留任务，再一次实现浩瀚星空，飞天逐梦．数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 17．数据用科学记数法表示为 ． 18．（2024七年级上·浙江·专题练习）海王星是太阳系中离太阳最远的行星，太阳光到达海王星需要的时间大约是秒，光在真空中的速度约为米/秒．海王星距离太阳大约有多远？（结果用科学记数法表示） 题型七、将用科学记数法表示的数变回原数 19．用科学记数法表示的数为，这个数原来是（　　） A．4315 B．431.5 C．43.15 D．4.315 20．是人工智能研究实验室推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数．用科学记数法表示为时的原数的1后面有 个零． 21．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)； (2)； (3)． 题型八、程序流程图与有理数计算 22．（24-25七年级·浙江衢州·期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 23．如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为3，y的值为，则输出结果为 ． 24．以下是一个简单的数值运算程序：    小明认为当输入的为正数时，输出的值为负数；当输入的为负数时，输出的值仍为负数．你同意小明的观点吗？请你分别选择一个正数和一个负数输入该程序，看输出的结果分别是多少． 题型九、算“24”点 25．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 26．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）“24点”的游戏规则是∶任抽四个数，用加、减、乘、除四则运算列一个算式，使得计算结果为24．小李抽到的四个数是3，，5，6，请列出符合要求的算式： ． 27．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13（J，Q，K分别代表11，12，13；A表示1）之间的自然数，将这四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除四则运算，使其结果等于24；例如对1，2，3，4可作运算：．(注意上述运算与4×(1＋2＋3)应视为相同的运算) (1)小明抽到了3，4，5，2；小聪抽到了J，2，10，5．这两组牌都能算出“24”点吗？为什么？ (2)如果算式中允许包含乘方运算，两组牌中你能列出含乘方运算的算式吗？ 题型十、含乘方的有理数混合运算 28．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列算式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）规定是一种新的运算法则，满足，例如：，则 ． 30．（2025七年级上·浙江·阶段练习）计算下列各题： (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 题型十一、求一个数的近似数 31．（24-25七年级上·浙江金华·期中）小亮的体重为，若将体重精确到，则小亮的体重约为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习） ．（精确到十分位） 33．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列各数，哪些是准确数，哪些是近似数？ (1)小敏同学的身高是． (2)小明家里有4口人． (3)检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌80万个． (4)我国的人口有14亿． 题型十二、求近似数的精确度 34．（2025七年级上·浙江·专题练习）下列各数精确到的是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）由四舍五入得到的近似数是精确到 位． 36．（2022七年级上·浙江·专题练习）下列问题中，哪些是近似数？哪些是精确数？ (1)地球半径是6371米； (2)一星期有7天； (3)光的速度是每秒30万千米； (4)我国古代的4大发明； (5)某学校有36个班级； (6)小明的体重是46.3公斤． 题型十三、近似数推断取值范围 37．（2024七年级上·浙江·专题练习）近似数的准确数的范围是（　　） A． B． C． D． 38．（22-23七年级上·浙江金华·期中）近似数23.40所表示的准确数a的范围是 ． 强化训练 一、单选题 1．关于的说法正确的是（       ） A．底数是−9 B．表示4个−9相乘 C．表示9个−4相乘 D．底数是9，指数是4 2．根据第三次国土调查，大连市耕地面积为公顷，精确到十分位约为（    ） A． B． C． D． 3．中华民族的母亲河黄河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，流域面积约为750000千米2．将750000用科学记数法表示为(   ) A．75×104 B．7.5×104 C．75×105 D．7.5×105 4．1米长的小棒，第一次截去，第二次截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（      ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．中国扶贫事业在国际上被誉为“人类历史上最伟大的事件之一”，经过8年持续奋斗，如期完成了新时代脱贫攻坚目标任务，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽．通过实施易地扶贫搬迁，960多万建档立卡贫困群众从以前居住的土坯房，茅草房，危旧房搬进了宽敞明亮、安全牢固的新房，他们的“两不愁三保障”问题也得到了解决．960万用科学记数法可表示为（　　） A．96×105 B．9.6×105 C．9.6×106 D．0.96×106 6．（   ） A． B． C． D． 7．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 8．某品牌加碘食盐的标准质量是每袋，现抽取6袋样品进行检测，结果如下： 标号 1 2 3 4 5 6 与标准质量差 则这6袋加碘食盐的平均质量为(    ) A． B． C． D． 9．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进一”就是几进制．各进制表示的数也可以转化，如：十进制数5用二进制可以表示为101，即，则二进制数110010表示的十进制数为（   ） A．3 B．50 C．100 D．25 10．在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（    ） A．132天 B．72天 C．60天 D．42天 二、填空题 11．计算： ． 12．2024年渝东南片区接待游客总人数为7380000人次，将数据7380000用科学记数法表示为 ． 13．计算机使用的“二进制记数法”具有划时代的意义．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．例如，就是二进制数的简单写法，将它转换成十进制数为：．那么将转换成十进制数，这个十进制数是 ． 14．定义运算a*b＝，若(m－1) * (m－3)＝1，则m的值为 ． 15．若一个三棱锥的顶点个数为m、它的棱数为n，则（m＋n－9）2021的值为 ． 16．大肠杆菌每过30分钟由1个分裂成2个，若现在有1个这种大肠杆菌，则经过3小时后大肠杆菌的个数是 ． 三、解答题 17．下列是由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)132.4． (2)0.0572． (3)2.40万． (4)3000． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 19．阅读并解决下列问题： (1)验证：_______，_______． (2)猜想_______，_______，_______……（用“>”或“<”或“=”填空） (3)通过验证，归纳得出：_______，_______． (4)请应用上述性质计算：． 20．用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 21．观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． 22．某校的课后延时服务开设了“趣味数学”的课程．某次课以“翻牌游戏中的数学道理”为主题开展活动，如图，老师在桌面上摆放了张反面（没有花色的一面）向上的扑克牌，每次翻动其中的若干张牌（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上．探究如何翻动扑克牌，使得所有扑克牌都正面向上．小颖和小楠分在同一组，她们决定按照以下思路展开研究．请根据她们的研究思路，回答相应问题． 活动一：动手操作 ①每次只翻动1张扑克牌，至少翻动几次可以使得所有扑克牌都正面向上？ ②每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得所有扑克牌都正面向上； ③每次同时翻动3张扑克牌，翻动3次就可以使得所有扑克牌都正面向上，请你写出她们的翻牌方式．（翻动的牌用序号表示） 活动二：解释原理 她们想到可以用有理数的运算来解释活动一的现象：扑克牌正面向上的牌面状态记作，反面向上的牌面状态记作，则7张牌反面都向上的牌面状态记作，7张牌正面都向上的牌面状态记作．按这个规定，翻动一张牌会改变其中一个因数的符号．根据她们的做法，请你解释为什么每次同时翻动2张扑克牌，无论翻动多少次，都无法使得7张扑克牌都正面向上． 活动三：拓展延伸 若桌面上有a张反面向上的扑克牌，每次同时翻动b张，其中，翻动n次后，所有扑克牌都正面向上，请探究a，b，n需满足的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $