衔接点01 数与式（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

衔接点01 数与式 初中视角 高中展望 在初中阶段，绝对值要求学生具备分类讨论的初步意识，理解 |a| 在不同取值范围下的代数表达。代数式需要从具体的数字运算过渡到用字母表示数，理解代数式的实际意义。因式分解要求学生具备逆向思维和恒等变形的能力。 高中阶段，“数与式”将作为工具，服务于更复杂的函数、不等式及解析几何等领域。 高中对运算能力的要求从“准确”提升至“灵活与优化”。面对含有参数的高次多项式、分式及根式，学生需要具备更强的整体代换能力、构造能力及逻辑推理论证能力。“数与式”的变形将成为解决解析几何、数列及导数等综合问题的底层支撑。 衔接引导 1.强化代数恒等变形的熟练度 因式分解、乘法公式及分式运算是高中数学的“基本功”。建议在衔接阶段进行专项强化训练，特别是十字相乘法、分组分解法及复杂的分式化简。 2.培养分类讨论与数形结合意识 将代数式的性质与数轴、坐标系中的几何直观建立联系。这种数形结合的思维习惯，是高中解决不等式、函数最值及解析几何问题的关键钥匙。 3.提升数学表达的规范性 高中数学对逻辑推理的书写规范要求极高。在衔接阶段，应逐步纠正初中阶段重结果、轻过程的计算习惯。要求学生在解答含参代数式化简、绝对值方程等问题时，做到步步有据、逻辑闭环，为高中严谨的数学论证打下坚实的文字与符号表达基础。 考点阐释 绝对值、分式、乘法公式 1.绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离. 2.分式的意义 形如的式子，若中含有字母，且，则称为分式. 分式具有下列性质：当时， 3.乘法公式 【平方差公式】 证明：. 【完全平方公式】 证明：先证“+”号： 再证“−”号： 故两式均成立. 【立方和公式】 证明： 合并同类项（与抵消，与抵消）： 故等式成立. 【立方差公式】 证明： . 【三数和平方公式】 证明： 【两数和立方公式】 证明： 【两数差立方公式】. 证明： 在实际运用中，经常会用到公式的变形： 4. 因式分解 初中阶段：提取公因式、公式法、十字相乘、分组分解 拓展： ； ； ； . 5. 长除法 多项式竖式除法是仿照整数竖式除法的运算逻辑，对多项式进行除法运算的方法. 运算规则：将被除式、除式按同一字母降幂排列，用被除式最高次项除以除式最高次项得到商式项，用该项乘除式后与当前被除式作差得到余式，重复操作，直至余式次数低于除式次数. 题型1 乘法公式的运用 【解题技巧】 熟记平方差、完全平方、立方系列、三数和平方公式.多用凑整、整体代换、配方法解题.已知，用变形代值.多平方和为0时配方，利用非负性求参. 易错点：完全平方漏2ab项.立方和差符号混淆.多项式结果未按字母升降幂整理. 计算： 解：原式 说明：多项式乘法的结果一般按某个字母的降幂或升幂排列. (1)已知，，求的值. (2)已知，求的值. 解：(1) (2)因为，且，所以. 若，，，求的值. 解：根据三数和平方公式， 若x,y为实数，且，求x,y的值. 解： 解得且，所以. 若，求的值. 解：根据三次方乘法公式得， 即，所以 的值为. 题型2 因式分解的运用 【解题技巧】 遵循一提二套三十字四分组流程.遇未知因式搭配多项式长除法分解.拆添项构造公式结构简化运算. 易错点：分解不彻底.十字相乘系数匹配出错.提公因式漏常数项.符号未同步变号. 把下列关于的二次多项式分解因式： (1)； (2)； (3). 解： (1)令，解得， (2)令，解得， (3). 分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) . 分解因式： (1)； (2)； (3). 解： (1)方法一 方法二 (2)方法一 方法二 (3) 分解因式： (1)； (2)； (3)； (4). 解： (1)将拆成， (2)将拆成， (3)方法一将常数项拆成， 方法二将一次项拆成， 方法三将三次项拆成， 方法四增加两项， (4)通过添项构造我们熟悉的乘法公式，进而实现分解， 题型3 长除法 【解题技巧】 被除、除式降幂排列，缺项补.逐次用最高次项相除求商，作差得余式，余式次数低于除式停止.整除可用代入求值求参. 易错点：降幂漏写缺项.作差时符号出错.余式次数高于除式仍继续运算. 在学习整式除法后，小明想到可以类比整数除法的竖式计算，进行某类多项式除法的化简： 即 （1）请你完成下面的竖式计算． 即 ． （2）已知多项式，能被多项式整除，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）类比整数除法竖式，用被除式的最高次项除以除式的最高次项得商的第一项，将与除式相乘后从被除式中减去，得到新的多项式；再用新多项式的最高次项除以除式最高次项，重复上述步骤，直至余式为0，最终商为； （2）若多项式能被整除，则当时，多项式的值为0．将代入多项式，解方程即可求出的值． 【解答】解：（1） 所以； 故答案为：； （2）因为多项式能被多项式整除， 所以当时，多项式的值为0， 将代入多项式：， 即， ． 【点评】本题考查整式除法的竖式计算及多项式整除的应用，解决本题的关键是通过类比整数除法竖式，逐步计算多项式除法，并利用整除性质求参数值． 我们学过单（多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按照某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：如图①，计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．故． （1）计算的商式是 ，余式是　　 ； （2）如图②．已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新的长方形，此时长方形的周长是周长的2倍．另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长． 【答案】（1）；5； （2）长方形的另一边长为． 【分析】（1）仿照示例，通过列竖式求整式的除法，可得结果； （2）根据题意，先求出，再分别求出长方形，的面积，利用长方形的一边，可求得另一边． 【解答】解：（1）， 的商式是，余式是5， 故答案为：；5； （2）长方形的长为，宽为， 长方形的周长为， 将长方形的长增加6，宽增加就得到一个新的长方形， 长方形的长为，宽为， 长方形的周长为， 长方形的周长是周长的2倍， ， ， 长方形的面积为：， 长方形的面积比的面积大76， 长方形的面积为， 长方形的一边长为，长方形的另一边长为：， 答：长方形的另一边长为． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练读懂题意，会用列竖式的方式解题是关键． 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． （1）的商是 ． （2）已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加8，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的3倍（如图），用含的代数式表示． （3）在（2）的条件下，另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积小55，求长方形的另一边长． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据题中竖式求解； （2）根据长方形周长计算公式结合已知条件列出关于、的等式即可得到答案； （3）先求出长方形的面积，进而求出长方形的面积，再利用短除法求出长方形的另一边长即可． 【解答】解：（1）， ， ， 故答案为：； （2）长方形的周长为：， 长方形的周长为：， 长方形的周长是周长的3倍， ， ； （3）长方形的面积为， 长方形的面积比的面积小55， 长方形的面积为， 长方形的一边长为， 长方形的另一边长为． 【点评】本题主要考查了多项式除以多项式，多项式乘以多项式，熟知多项式与多项式的乘除法计算法则是解题的关键． 多项式有一个因式是x+2，请将多项式因式分解． 【解答】解：， ； ． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是按照示例计算多项式除法． 题型4 绝对值问题 【解题技巧】 零点分段法解绝对值方程.几何意义为数轴两点距离.多字母绝对值按正负分类讨论. 易错点：分段解未检验区间.去绝对值符号判断失误.忽略非负隐含条件. [绝对值分类讨论]若，则的所有可能值之和为__________． 【答案】4． 【分析】因为，所以分类讨论，即全是正数或者两个正数，一个负数，分别化简计算，即可作答． 【解答】解： 当，，， 则 当，，， 则 当，，， 则 当，，， 则 则 故答案为：4． 【点评】本题考查了化简绝对值以及有理数的加法运算，掌握此类知识是解题的关键． [绝对值方程]解方程：. 【答案】或 【分析】利用零点分段或几何意义：数轴上到2和5的距离之和为7. 【解析】 当：，符合； 当：，无解； 当：，符合. 故解为或. 如果，那么　 　． 【分析】由，则、异号，，即可求解． 【解答】解：， 、异号， ； 故答案为． 【点评】本题考查有理数；熟练掌握有理绝对值的性质是解题的关键． 已知实数满足．则的值是　 　． 【分析】分三种情况：；；；去绝对值后解方程即可求解． 【解答】解：时，，解得； 时，，方程无解； 时，，解得． 故答案为：或5． 【点评】考查了绝对值，注意分类思想的运用，是中档题型． 解为3个时，求　 　． 【答案】1． 【分析】利用或根的情况即可或者利用图象解答即可． 【解答】解：法一：由题意知大于0；则或，有一个方程有2个相等的根，另一个方程有2个不相等的根； 若第1个方程有2个相等的根，则，求得（舍去）； 第2个方程有2个相等的根，则，求得； 代入第1个方程，有2个不相等的根，成立，所以； 法二：与图象有三个交点，此时． 故答案为：1． 【点评】此题考查了二次函数图象与一元二次方程解的情况，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程及其应用． 题型5 分式化简求值问题 【解题技巧】分式运算先因式分解再约分.已知平方变形整体代值.分式裂项通分对比系数求参数.作差比较分式大小. 易错点：忽略分母不为0限制.分式为0只看分子不顾分母.通分漏乘常数项. [分式求值]计算：若，求的值是　 　． 【分析】直接利用已知将原式变形，进而得出，再代入原式求出答案． 【解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确将已知变形是解题关键． 若分式，则分式的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据已知条件，将分式整理为，再代入则分式中求值即可． 【解答】解：整理已知条件得； 将整体代入分式得 ． 故选：． 【点评】由题干条件找出之间的关系，然后将其整体代入求出答案即可． 已知，则 　 　 ． 【答案】18． 【分析】先把已知等式两边除以得到，再两边平方得到，接着把两边平方得到，从而得到，展开后可计算出的值． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：18． 【点评】本题考查了分式的化简求值，灵活运用完全平方公式是解决问题的关键． 先化简，再求值：，其中满足． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：原式 ， ， ， 原式． 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． （1）将分式分解的结果为 ； （2）若可以分式分解为（其中，，是常数），则　　 ，　　 ； （3）当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 【答案】（1）； （2）1，3． （3），证明过程如下： 证明： ， 当时，，，， ． 【分析】（1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得及关于，的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）原式 ， ， ， 解得， 故答案为：1，3； （3） 证明： ， 当时，，，， ． 【点评】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． 题型6 二元二次方程 【解题技巧】 代入消元降次.二次式可分解则拆为两组一次方程组.重复整体结构采用换元法简化计算. 易错点：代换回代计算出错.因式分解漏一组方程组.解完未检验原式. 方程组的解是 　 　． 【答案】或． 【分析】根据代入消元法可以解答此方程组． 【解答】解：， 由①，得：③， 将③代入②，得：， 解得或， 当时，，当时，， 原方程组的解是或， 故答案为：或． 【点评】本题考查解二元二次方程组，解答本题的关键是明确解二元二次方程的方法． 方程组的解是　 　 ． 【答案】或． 【分析】由第一个方程可得：，代入第二个方程可得：，整理得关于的一元二次方程：，解一元二次方程求出的值，然后代入，进而得出的值． 【解答】解：， 由①，得③， 把③代入①，得，即， 解得：，， 把，分别代入③，得，， 方程组的解为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了解二元二次方程组，掌握解二元二次方程组的方法是解题的关键． 解方程组：． 【答案】或． 【分析】根据题意利用因式分解，将原方程组化为或，然后分类讨论即可求解． 【解答】解：由得：或， 联立得：或， 解得：或． 【点评】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 解方程组：． 【答案】或4或9，或4或9． 【分析】将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组解答． 【解答】解：， 由②可知：， 由①可知：， ， ， ， ， ， 设， 原式变形为：， 解得：或6， 当时，把代入①②可得：， 解得：， 当时，把代入①②可得：， 解得：， 综上所述，或4或9，或4或9． 1．无论取什么数，总有意义的分式是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】按照分式有意义，分母不为零即可求解． 【解答】解：．，无论为何值，故此分式总有意义， ．，当时分式有意义，则时，分式无意义； ．，可能为零，故分式有可能无意义； ．，，时，分式有意义； 故选：． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，按照分式有意义，分母不为零即可求解． 2．关于，的多项式是一个完全平方式，则常数的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】 【分析】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答． 【解答】解：多项式是一个完全平方式， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了完全平方式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．若 ，则 （ ）． A． 128 B． 464 C． 496 D．512 【解析】已知 ，将其两边平方可得 ，又因为 ，所以 ，把 代入可得 .接着根据立方和公式求 的值，已知 ， ，则 ，所以 ，答案选 B . 4．若 ，则 （ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题涉及完全平方公式 的应用.我们可以先将 展开，然后把已知条件代入，从而求出 的值. 5. 若分式的值是0，则的值为　 　． 【分析】直接利用分式的值为零的条件分析得出答案． 【解答】解：分式的值是0， ，， 解得：． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 6．若正数，满足，　 ． 【分析】已知等式变形求出的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：正数，满足， ，即， 解得：（负值舍去）， 则原式， 故答案为：9 方法二：原式． 【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．已知：，求证：． 【答案】证明： ， 由条件可知，， ， ， 即， ． 【分析】计算，根据得出，即可得出． 【解答】证明： ， 由条件可知，， ， ， ． 【点评】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是关键． 8．已知． 【分析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，根据两式分子系数相等，得到，满足的关系式，最后解方程组即可． 【解答】解：因为， 可得：，解得，， 所以． 【点评】正确运用分式的加减运算，找到，满足的关系式是解决本题的关键． 9．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． （1）的商是 ． （2）已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加8，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的3倍（如图），用含的代数式表示． （3）在（2）的条件下，另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积小55，求长方形的另一边长． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据题中竖式求解； （2）根据长方形周长计算公式结合已知条件列出关于、的等式即可得到答案； （3）先求出长方形的面积，进而求出长方形的面积，再利用短除法求出长方形的另一边长即可． 【解答】解：（1）， ， ， 故答案为：； （2）长方形的周长为：， 长方形的周长为：， 长方形的周长是周长的3倍， ， ； （3）长方形的面积为， 长方形的面积比的面积小55， 长方形的面积为， 长方形的一边长为， 长方形的另一边长为． 【点评】本题主要考查了多项式除以多项式，多项式乘以多项式，熟知多项式与多项式的乘除法计算法则是解题的关键． 10．在数学实践课上，老师给同学们展示了一种“根式裂项法”：对形如为正整数）的式子我们可以利用平方差公式进行分母有理化： ，请根据以上方法解决下列问题： （1）① ； ②　　 ； （2）求出的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；； （2）； （3）1． 【分析】（1）利用分母有理化的方法，给分式的分子分母同乘分母的有理化因式，将分母中的根号去掉，进而化简二次根式； （2）先根据分母有理化的结论，将每一项裂项为两个根式相减的形式，再通过裂项相消法，让中间项相互抵消，最后得到首尾两项的差，完成计算； （3）先对进行分母有理化，再通过移项、两边平方的操作，构造出含和的代数式的值，最后整体代入所求的代数式，计算出结果． 【解答】解：（1）①； 故答案为：； ②； 故答案为：； （2）根据题干结论，每一项可裂项为：， 原式 ； （3）， 移项得：， 两边平方：， ， ， 两边同乘2得：， 代入所求代数式：． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点01 数与式 初中视角 高中展望 在初中阶段，绝对值要求学生具备分类讨论的初步意识，理解 |a| 在不同取值范围下的代数表达。代数式需要从具体的数字运算过渡到用字母表示数，理解代数式的实际意义。因式分解要求学生具备逆向思维和恒等变形的能力。 高中阶段，“数与式”将作为工具，服务于更复杂的函数、不等式及解析几何等领域。 高中对运算能力的要求从“准确”提升至“灵活与优化”。面对含有参数的高次多项式、分式及根式，学生需要具备更强的整体代换能力、构造能力及逻辑推理论证能力。“数与式”的变形将成为解决解析几何、数列及导数等综合问题的底层支撑。 衔接引导 1.强化代数恒等变形的熟练度 因式分解、乘法公式及分式运算是高中数学的“基本功”。建议在衔接阶段进行专项强化训练，特别是十字相乘法、分组分解法及复杂的分式化简。 2.培养分类讨论与数形结合意识 将代数式的性质与数轴、坐标系中的几何直观建立联系。这种数形结合的思维习惯，是高中解决不等式、函数最值及解析几何问题的关键钥匙。 3.提升数学表达的规范性 高中数学对逻辑推理的书写规范要求极高。在衔接阶段，应逐步纠正初中阶段重结果、轻过程的计算习惯。要求学生在解答含参代数式化简、绝对值方程等问题时，做到步步有据、逻辑闭环，为高中严谨的数学论证打下坚实的文字与符号表达基础。 考点阐释 绝对值、分式、乘法公式 1.绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离. 2.分式的意义 形如的式子，若中含有字母，且，则称为分式. 分式具有下列性质：当时， 3.乘法公式 【平方差公式】 证明：. 【完全平方公式】 证明：先证“+”号： 再证“−”号： 故两式均成立. 【立方和公式】 证明： 合并同类项（与抵消，与抵消）： 故等式成立. 【立方差公式】 证明： . 【三数和平方公式】 证明： 【两数和立方公式】 证明： 【两数差立方公式】. 证明： 在实际运用中，经常会用到公式的变形： 4. 因式分解 初中阶段：提取公因式、公式法、十字相乘、分组分解 拓展： ； ； ； . 5. 长除法 多项式竖式除法是仿照整数竖式除法的运算逻辑，对多项式进行除法运算的方法. 运算规则：将被除式、除式按同一字母降幂排列，用被除式最高次项除以除式最高次项得到商式项，用该项乘除式后与当前被除式作差得到余式，重复操作，直至余式次数低于除式次数. 题型1 乘法公式的运用 【解题技巧】 熟记平方差、完全平方、立方系列、三数和平方公式.多用凑整、整体代换、配方法解题.已知，用变形代值.多平方和为0时配方，利用非负性求参. 易错点：完全平方漏2ab项.立方和差符号混淆.多项式结果未按字母升降幂整理. 计算： (1)已知，，求的值. (2)已知，求的值. 若，，，求的值. 若x,y为实数，且，求x,y的值. 若，求的值. 题型2 因式分解的运用 【解题技巧】 遵循一提二套三十字四分组流程.遇未知因式搭配多项式长除法分解.拆添项构造公式结构简化运算. 易错点：分解不彻底.十字相乘系数匹配出错.提公因式漏常数项.符号未同步变号. 把下列关于的二次多项式分解因式： (1)； (2)； (3). 分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 分解因式： (1)； (2)； (3). 分解因式： (1)； (2)； (3)； (4). 题型3 长除法 【解题技巧】 被除、除式降幂排列，缺项补.逐次用最高次项相除求商，作差得余式，余式次数低于除式停止.整除可用代入求值求参. 易错点：降幂漏写缺项.作差时符号出错.余式次数高于除式仍继续运算. 在学习整式除法后，小明想到可以类比整数除法的竖式计算，进行某类多项式除法的化简： 即 （1）请你完成下面的竖式计算． 即 ． （2）已知多项式，能被多项式整除，求的值． 我们学过单（多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按照某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：如图①，计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．故． （1）计算的商式是 ，余式是　　 ； （2）如图②．已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新的长方形，此时长方形的周长是周长的2倍．另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长． 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． （1）的商是 ． （2）已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加8，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的3倍（如图），用含的代数式表示． （3）在（2）的条件下，另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积小55，求长方形的另一边长． 多项式有一个因式是x+2，请将多项式因式分解． 题型4 绝对值问题 【解题技巧】 零点分段法解绝对值方程.几何意义为数轴两点距离.多字母绝对值按正负分类讨论. 易错点：分段解未检验区间.去绝对值符号判断失误.忽略非负隐含条件. [绝对值分类讨论]若，则的所有可能值之和为__________． [绝对值方程]解方程：. 如果，那么　 　． 已知实数满足．则的值是　 　． 解为3个时，求　 　． 题型5 分式化简求值问题 【解题技巧】分式运算先因式分解再约分.已知平方变形整体代值.分式裂项通分对比系数求参数.作差比较分式大小. 易错点：忽略分母不为0限制.分式为0只看分子不顾分母.通分漏乘常数项. [分式求值]计算：若，求的值是　 　． 若分式，则分式的值等于（　　） A． B． C． D． 已知，则 　 　 ． 先化简，再求值：，其中满足． 我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． （1）将分式分解的结果为 ； （2）若可以分式分解为（其中，，是常数），则　　 ，　　 ； （3）当时，判断与的大小关系，并写出你的证明过程． 题型6 二元二次方程 【解题技巧】 代入消元降次.二次式可分解则拆为两组一次方程组.重复整体结构采用换元法简化计算. 易错点：代换回代计算出错.因式分解漏一组方程组.解完未检验原式. 方程组的解是 　 　． 方程组的解是　 　 ． 解方程组：． 解方程组：． 1．无论取什么数，总有意义的分式是（　　） A． B． C． D． 2．关于，的多项式是一个完全平方式，则常数的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 3．若 ，则 （ ）． A． 128 B． 464 C． 496 D．512 4．若 ，则 （ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 5. 若分式的值是0，则的值为　 　． 6．若正数，满足，　 ． 7．已知：，求证：． 8．已知． 9．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． （1）的商是 ． （2）已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加8，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的3倍（如图），用含的代数式表示． （3）在（2）的条件下，另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积小55，求长方形的另一边长． 10．在数学实践课上，老师给同学们展示了一种“根式裂项法”：对形如为正整数）的式子我们可以利用平方差公式进行分母有理化： ，请根据以上方法解决下列问题： （1）① ； ②　　 ； （2）求出的值； （3）已知，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $