期末复习培优提升限时小卷（六）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦数列与导数综合应用，以限时训练整合两章核心考点，通过阶梯题型构建知识逻辑链，提升数学思维与问题解决能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|5题（单选1-2/多选5/填空7/解答9）|等差等比基本量计算、前n项和性质、最值问题、错位相减求和|从定义推导到性质应用，构建“概念-运算-综合”逻辑链| |导数|5题（单选3-4/多选6/填空8/解答10）|函数单调性、极值、切线方程、不等式恒成立|从导数计算到应用，形成“工具-性质-优化”推理路径|

2025-2026学年高二数学下学期培优提升限时小卷（六） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章+第五章。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.记为数列的前项和若，则(     ) A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项 C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项 【答案】A  【解析】【分析】 根据题意，结合二次函数的性质分析的最大项，再分析的符号，据此分析可得的最大项，即可得答案． 本题考查数列的函数特性，涉及数列前项和分析，属于基础题． 【解答】 解：根据题意，数列，， 对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，即当时，取得最大值， 对于，时，最大； 且当时，，当时，，当时，， 故当或时，最大， 故有最大项，有最大项； 故选：． 2.已知等差数列的前项和为，若，，则等差数列的公差(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式与前项和公式，属于基础题． 由题意可得 ，可得，由等差数列的通项公式可得公差． 【解答】 解：已知等差数列的前项和为，若， ， ， ， ， 故选A． 3.已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为      A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，解不等式，属于中档题． 构造函数，利用导数研究的单调性，将，等价转化为，即可求解． 【解答】 解：令， 求导得， 因为， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减， 又因为， 所以， 即， 所以， 所以不等式的解集为． 故选：． 4.已知函数，则(    ) A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查对数的运算以及对数函数的性质，属于中档题． 逐项判断即可． 【解答】 解：由题意得函数的定义域为， ， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故选项A，错； 由于函数，的图像关于直线对称， 所以函数的图像关于直线对称； 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.记为数列的前项和，已知，则(    ) A. B. C. 数列为等比数列 D. 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查数列的递推关系，等比数列的判定及通项公式，以及等比数列的前项和公式，属于中档题． 由可得，两式相减结合可得数列是以为首项，为公比的等比数列，进而可得，可判断选项ABC，再等比数列的前项和公式可判断选项D． 【解答】 解：对于，因为，所以， 两式相减可得，即， 可得， 又当时，由可得， 可得，故A正确； 对于，数列是以为首项，为公比的等比数列，故C正确； 对于，可得，，显然数列单调递减，故B错误； 对于，， 而， 故可得，故D正确． 故选：． 6.已知函数，则下列说法正确的有(    ) A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值以及最值，属于较难题． 由判断；利用导数判断函数的单调性与极值可判断；利用导数判断函数的单调性，结合可判断；利用导数求得函数的最小值，再构造函数证明最小值大于即可判断． 【解答】 解：对于，令，可得，则， 即曲线恒过定点，故A正确； 对于，若，则，， 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极大值，无极小值，故B错误； 对于，若，则， 可知函数在上单调递增， 又，即， 则，故C正确； 对于，若，则， 令，可得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 可知函数的最大值为， 令， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 可得当时，， 则当时，， 即的最大值大于，故D正确． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若等比数列的公比满足且，，，成等差数列，则           ． 【答案】  【解析】由，，成等差数列，得，即，，整理得，解得或由题意知，且，，． 8.已知函数，则          ． 【答案】  【解析】令，因为，所以，所以． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知数列是公差不为的等差数列，，是和的等比中项． 求数列的通项公式 设数列满足，求数列的前项和． 【答案】解：，，， ， ，舍去， 由得， ， ， ， ，   【解析】本题考查等差数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和，属于中档题． 根据条件是和的等比中项列关于公差的方程，利用等差数列的通项公式解得结果； 根据分组求和法，将原数列的和分为等差与等比数列的和． 10.本小题分 已知函数． Ⅰ求曲线在点处的切线方程； Ⅱ求的单调区间； Ⅲ若对于任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】解：Ⅰ因为函数， 所以， ，又因为， 则所求切线斜率为，切点坐标为， 所以在点处的切线方程为； Ⅱ函数的定义域为， 由Ⅰ可知，， 由，解得， 由，解得， 所以的单调递增区间是， 的单调递减区间是； Ⅲ当时，恒成立， 等价于恒成立， 令，， ，． 当时，， 所以在区间单调递减； 当时，， 所以在区间单调递增． 而， ． 所以在区间上的最大值为， 所以当时，对于任意，都有． 实数的取值范围为．  【解析】本题考查了利用导数求曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性及利用导数研究恒成立问题，考查转化思想，属于中档题． Ⅰ求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可； Ⅱ求出函数的导数，根据导数和函数单调性的关系，求出函数的单调区间即可； Ⅲ问题等价于“”构造函数，利用导数求出函数的最值，从而求出的范围即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期培优提升限时小卷（六） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章+第五章。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.记为数列的前项和若，则(     ) A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项 C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项 2.已知等差数列的前项和为，若，，则等差数列的公差(     ) A. B. C. D. 3.已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为       A. B. C. D. 4.已知函数，则(     ) A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.记为数列的前项和，已知，则(     ) A. B. C. 数列为等比数列 D. 6.已知函数，则下列说法正确的有(     ) A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若等比数列的公比满足且，，，成等差数列，则            ． 8.已知函数，则           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知数列是公差不为的等差数列，，是和的等比中项． 求数列的通项公式 设数列满足，求数列的前项和． 10.本小题分 已知函数． Ⅰ求曲线在点处的切线方程； Ⅱ求的单调区间； Ⅲ若对于任意，都有，求实数的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期培优提升限时小卷（六） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章+第五章。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.记为数列的前项和若，则(     ) A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项 C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项 2.已知等差数列的前项和为，若，，则等差数列的公差(     ) A. B. C. D. 3.已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为       A. B. C. D. 4.已知函数，则(     ) A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.记为数列的前项和，已知，则(     ) A. B. C. 数列为等比数列 D. 6.已知函数，则下列说法正确的有(     ) A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.若等比数列的公比满足且，，，成等差数列，则            ． 8.已知函数，则           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分已知数列是公差不为的等差数列，，是和的等比中项． 求数列的通项公式 设数列满足，求数列的前项和． 10.本小题分已知函数． Ⅰ求曲线在点处的切线方程； Ⅱ求的单调区间； Ⅲ若对于任意，都有，求实数的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $