第06讲 锥体（10大题型归纳）（暑假预习讲义）新高二数学沪教版

第06讲 锥体 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 棱锥的结构特征和分类 题型6 正棱锥的有关计算 题型2 圆锥的结构特征及辨析 题型7 棱锥的表面积 题型3 棱锥的展开图中的最短路径问题 题型8 棱锥的体积 题型4 圆锥的展开图的最短路径问题 题型9 圆锥的表面积 题型5 圆锥中的截面有关计算 题型10 圆锥的体积 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 棱锥结构特征、棱锥分类 1.掌握棱锥核心特征：1个多边形底面，其余侧面为共顶点三角形 2.区分普通棱锥、正棱锥，明确正棱锥底面、顶点投影要求 棱锥判定、几何体辨析 1.能逐条核对定义，判断几何体是否满足棱锥全部结构条件 2.识别伪棱锥：侧面三角形无公共顶点、底面残缺的图形直接排除 正棱锥、斜高、棱长计算 1.熟记正棱锥顶点在底面投影为底面中心，侧面全为全等等腰三角形 2.利用底面边、高、斜高构造直角三角形，求解棱长、侧面积 棱锥侧面展开图 1.理解展开图由底面多边形+多个共顶点等腰三角形组成 2.能通过展开图还原棱锥棱长、斜高对应关系 棱锥平行截面、相似比例 1.掌握平行底面截棱锥得到小棱锥，上下两棱锥相似 2.相似比=高之比，面积比=相似比平方，体积比=相似比立方 圆锥结构、旋转特征辨析 1.明确圆锥由直角三角形绕直角边旋转生成，底面为圆形、侧面曲面 2.分清圆锥的高、底面半径、母线三者的直角三角形勾股关系 圆锥几何体判定 1.依据旋转定义与结构特征判断标准圆锥 2.区分圆锥、圆柱、圆台旋转生成的不同，排除不规则旋转体 圆锥平行截面、相似计算 1.平行底面截圆锥得小圆锥，上下锥体相似，比例规律同棱锥 2.利用相似比例反求截面半径、截面高度 圆锥侧面展开图、最短路径 1.圆锥侧面展开为扇形，扇形半径=母线，弧长=底面周长 2.平铺扇形转化平面，用两点线段最短求表面最短距离 锥体通用体积、体积计算 1.牢记锥体统一体积公式，棱锥、圆锥通用 2.已知体积反向推导底面积、垂直高，处理组合锥体拆分运算 棱锥表面积、侧面三角形面积 1.棱锥全面积=底面积+所有侧面三角形面积之和 2.正棱锥侧面积可直接用斜高快速计算 圆锥表面积、扇形侧面积计算 1.圆锥全面积，侧面积 2.结合展开扇形圆心角公式联动求解半径、母线 学习重点： 1.棱锥、圆锥的结构特征与判定标准，正棱锥核心性质 2.锥体体积统一公式，平行截面相似比例关系 3.棱锥、圆锥表面积公式，圆锥侧面展开扇形相关计算 4.圆锥展开图表面最短路径求解方法 学习难点： 1.正棱锥高、底面边心距、斜高构成的直角三角形综合运算 2.平行截面相似比、面积比、体积比的次方关系易混淆 3.圆锥侧面展开扇形圆心角公式推导与综合求值 4.立体最短路径需要平铺曲面转化平面几何，空间思维转换难度大 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 棱锥的结构特征 定义 一个面是_多边形__，其余各面都是有一个_公共顶点___的三角形，由这些面所围成的几何体称为棱锥 图示及相关概念 如图可记作：棱锥或棱锥 底面(底)：多边形___； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两个侧面的_公共边__； 顶点：各侧面的_公共点__； 高：_顶点到底面______的距离 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥也叫做___．底面是___，且它的顶点在过底面中心且与底面___的直线上，那么这个棱锥称为正棱锥. 正棱锥各侧面都是全等的_____，这些等腰三角形的高称为_____. 【易错提醒】 1.判定棱锥核心条件遗漏：只看侧面是三角形，忽略所有侧面三角形必须共用同一个顶点 2.混淆普通棱锥与正棱锥：正棱锥要求底面是正多边形，且顶点在底面的投影为底面中心，缺一不可 3.误把侧棱当作斜高：斜高是侧面等腰三角形底边上的高，不是顶点到底面顶点的侧棱 4.截面相似比例记错：平行底面截棱锥，体积比是相似比的立方，容易错记为平方 即时即练 1.（2025高二上·上海·专题练习）如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？_______（找出可能的结果，并将序号填在横线上） ①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体. 2.下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧棱长一定相等 B．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 C．圆柱的母线长与高相等 D．底面是正三角形的棱锥是正棱锥 知识点02 圆锥的结构特征 圆锥及相关概念 图形及表示 定义 以__直角三角形的一条直角边_____所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图中的圆锥记作:__圆锥_____ 相关概念 轴:_旋转轴____做圆锥的轴； 底面:__旋转轴_____边旋转而成的圆面； 侧面:__垂直于轴的____旋转而成的曲面; 母线:无论旋转到什么位置，_斜边_____叫做圆锥侧面的母线； 锥体:__棱锥和圆锥_____称为锥体 【易错提醒】 1.混淆母线与高：高是顶点垂直底面的线段，母线是侧面斜边，二者满足，不可混用 2.旋转判定出错：只有直角三角形绕直角边旋转才是圆锥，绕斜边旋转不是圆锥 3.轴截面概念误区：轴截面三角形底边是（直径），错用半径代入计算 4.侧面是曲面，不能当作平面三角形直接计算表面积 即时即练 1.（24-25高二上·上海·期中）以下四个命题中，所有真命题的序号为__________.①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形. 2.图①②中的图形折叠后的图形分别是（    ）    A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥 C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱 知识点03 正棱锥的表面积 正棱锥的每个侧面都是__全等的等腰三角形______，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高，记为．如果棱锥底面多边形的周长是c，底面面积是，那么棱锥的侧面积________，表面积________． 【易错提醒】 1.侧面积公式误用：中是斜高，错代入几何体垂直高 2.全面积漏加底面：只算侧面三角形面积，忘记加上底面正多边形面积 3.斜高计算出错，不会利用底面边心距、锥体高构造直角三角形求解斜高 4.斜棱锥不能套用正棱锥侧面积公式，需逐个计算侧面三角形再求和 即时即练 1.（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知正三棱锥的底面边长为4，高为，则该三棱锥的侧棱长为______ 2.（25-26高二上·上海·期中）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 知识点04 圆锥的表面积 将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面内．圆锥侧面的平面展开图是一个以___圆锥母线l_____为半径的扇形，扇形的弧长就等于圆锥底面的圆周长________，如图，设圆锥的底面圆半径为r，则扇形的中心角________（弧度）．由扇形的面积公式，可得圆锥的侧面积________，表面积________．    【易错提醒】 1.侧面积公式记混：，容易错写成、 2.无盖/空心圆锥仍套完整全面积公式，多算一个底面圆面积 3.扇形圆心角公式混淆：，颠倒母线与底面半径位置 4.已知直径不换算半径，直接代入公式造成计算错误 即时即练 1.（25-26高二下·上海·期中）已知圆锥的高为，底面半径为，则该圆锥的侧面积为_______． 2.（25-26高二上·上海·期末）已知一个圆锥的侧面积为，体积为，则该圆锥的母线长可能为（    ） A． B． C． D． 知识点05 锥体的体积 （1）棱锥的体积 设棱锥的底面积为底，高为h，得到棱锥的体积公式：棱锥＝______. （2）圆锥的体积 设圆锥的底面积为底，底面半径为r，高为h，得到圆锥的体积公式：圆锥＝______=______. 【易错提醒】 1.遗漏系数，直接套用柱体公式，忘记锥体体积是同底同高柱体的三分之一 2.公式中是垂直底面的高，不可将斜高、母线当作高代入计算 3.组合锥体拆分时重复或遗漏部分几何体，体积加减出错 4.逆向计算时变形错误，已知体积求高不会换算 即时即练 1.（2026·上海·三模）若一圆锥底面半径为3，母线长为5，则其体积为________．（结果保留） 2.在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 题型1 棱锥的结构特征和分类 【例1】（25-26高二上·上海普陀·期中）下列命题中，是真命题的是_____.（请填上所有正确命题的序号） ①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②正四面体的高为其棱长的倍 ③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 【例2】（25-26高二上·上海·开学考试）给定等边三角形，在空间任取2个不同的点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则可以得到______个不同的正四棱锥. 【技巧归纳】 公式结论 1.棱锥定义：1个多边形底面，其余各面是有公共顶点的三角形 2.正棱锥：底面为正多边形，顶点在底面投影为底面中心，侧面是全等等腰三角形 3.分类：按底面边数分三棱锥、四棱锥…；分普通棱锥、正棱锥 方法技巧 1.判定关键：所有侧面三角形必须共顶点，缺此条件不是棱锥 2.正棱锥三组直角三角形：高、底面边心距、斜高；高、底面外接圆半径、侧棱；斜高、底面半边长、侧棱 3.辨析命题举长方体、四棱台反例快速排除错误表述 【变式1-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）有两个棱长均为1的正四棱锥，底面中心分别为、，另有一个棱长为1的正四面体，现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全贴合，拼接成一个新的几何体．对于所有的拼接方式，线段的长度所组成的集合中，共有（　　）个元素 A．1 B．3 C．5 D．7 【变式1-2】关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 题型2 圆锥的结构特征及辨析 【例1】（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【例2】（23-24高二上·上海静安·期中）以下命题中，所有真命题的序号为______ ①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②垂直于三角形两边的直线必垂直第三边； ③有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形的多面体是棱柱； ④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面都是全等的等腰三角形； 【技巧归纳】 公式结论 1.形成：直角三角形绕一条直角边旋转一周得到圆锥 2.三边关系：母线、底面半径、高满足勾股定理 3.轴截面为等腰三角形，底边长，腰长，高为圆锥的 方法技巧 1.区分三个量：高垂直底面，母线是侧面斜边，底面半径是底面圆半径 2.旋转判断题：绕斜边旋转不是圆锥，可直接排除 3.区分圆锥、圆柱、圆台旋转生成方式，避免概念混淆 【变式2-1】有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式2-2】下列结论不正确的是________（填序号）. ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥； ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥； ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线. 题型3 棱锥的展开图中的最短路径问题 【例1】已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 【例2】如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【技巧归纳】 公式结论 1.棱锥侧面展开为共顶点多个等腰三角形 2.平面两点之间，线段最短 方法技巧 1.将侧面平铺展开为平面图形 2.连接两点构造三角形，用勾股/余弦定理计算线段长度 3.多侧面路径分段平铺，统一转化平面求解 【变式3-1】在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 题型4 圆锥的展开图的最短路径问题 【例1】（25-26高三上·上海杨浦·期末）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为______千米.（精确到0.1千米） 【例2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是_____.    【技巧归纳】 公式结论 1.侧面展开为扇形：扇形半径=母线，扇形弧长=底面周长 2.扇形圆心角： 3.平面两点线段最短 方法技巧 1.沿母线剪开侧面平铺扇形 2.标出起点终点，连线得到最短路径，解三角形求长度 3.先算圆心角判断两点扇形内夹角，再用余弦定理计算 【变式4-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为______________公里. 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为______．    题型5 圆锥中的截面有关计算 【例1】（25-26高二上·上海金山·期末）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，用经过圆锥的轴的平面截此圆锥，则截面三角形的顶角大小为______． 【例2】（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为__________. 【技巧归纳】 公式结论 1.平行底面截圆锥，上下两圆锥相似，相似比 2.面积比，体积比 方法技巧 1.相似比等于高度比、底面半径比 2.已知截面高度/半径，按比例反求另一锥体尺寸 3.过轴线截面为等腰三角形，直接利用r、h、l三边关系计算 【变式5-1】（24-25高二上·上海闵行·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于__________. 【变式5-2】（2023高二上·上海·专题练习）已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为______；母线的长为______. 题型6 正棱锥的有关计算 【例1】（25-26高二上·上海·期末）已知正四面体的棱长为3，则它的高为______． 【例2】在正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 公式结论 1.斜高、锥高、底面边心距： 2.侧面积： 方法技巧 1.优先找三组直角三角形，勾股定理互求棱长、斜高、高 2.已知底面边长先求周长、边心距，再代入侧面积公式 3.结合截面相似比例综合求解尺寸 【变式6-1】若一个正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，则侧棱长为_______． 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）若三棱锥每个面都是边长为2的等边三角形，为的中点．则到的距离为________． 题型7 棱锥的表面积 【例1】如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设M、N分别为PD、AD的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的侧面积． 【例2】（25-26高二上·上海·期中）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为______. 【技巧归纳】 公式结论 1.全面积： 2.正棱锥侧面积：；普通棱锥侧面积=各侧面三角形面积相加 方法技巧 1.分开计算底面、侧面再求和 2.无盖棱锥只保留侧面，不加底面积 3.斜棱锥不能用周长乘斜高，逐个算侧面三角形 【变式7-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）正三棱锥的斜高，体积为，侧面积为，则的最大值为______. 【变式7-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为______． 题型8 棱锥的体积 【例1】（25-26高二下·上海奉贤·期末）如图，已知面面且相交于，面面且相交于，面与面相交于.    (1)若，证明； (2)若，，，，求三棱锥的体积. 【例2】（25-26高三下·上海·阶段检测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面， ，，，点为的中点． (1)求异面直线与直线所成角． (2)点是线段上一个动点，求三棱锥的体积； 【技巧归纳】 公式结论 通用锥体体积：，为垂直底面的高 方法技巧 1.先求底面多边形面积，再乘高除以3 2.逆向变形： 3.组合棱锥拆分多个锥体分别算体积再加减 【变式8-1】（25-26高二下·上海·阶段检测）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，，E、F、G分别是AB、PD、CD的中点. (1)求直线EF与平面PAD所成的角的大小； (2)求证：平面CEP，并求三棱锥的体积. 【变式8-2】（2026·上海崇明·二模）如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 题型9 圆锥的表面积 【例1】（2026·上海·三模）若圆锥的侧面积与底面积之比为2，则其母线与轴的夹角大小为________． 【例2】（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知圆锥的母线与底面所成角为，高为，则该圆锥的侧面积为__________. 【技巧归纳】 公式结论 1.侧面积： 2.全面积： 方法技巧 1.已知直径先换算再代入公式 2.空心/无底圆锥舍去这一项 3.结合扇形圆心角公式联立求解r、l 【变式9-1】（2026·上海长宁·二模）如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 【变式9-2】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知某圆锥的高为2，底面积为，则该圆锥的侧面积为___________． 题型10 圆锥的体积 【例1】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知某圆锥的侧面展开图为周长为，圆心角为的扇形是面积最大的扇形，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高三下·上海黄浦·开学考试）如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥.已知圆锥 的底面半径为，圆锥的侧面积 ．设是底面圆周上的两点，线段不经过点 O ． (1)求圆锥的体积； (2)二面角 的大小为 ，求直线与平面所成角的大小． 【技巧归纳】 公式结论 方法技巧 1.区分母线和高，不可用母线代替高计算体积 2.结合轴截面、相似截面比例建立r、h方程 3.已知体积反推底面半径或垂直高度 【变式10-1】（25-26高二上·上海·期末）已知圆锥的底面半径为3，母线长为9，则该圆锥的体积为______. 【变式10-2】（25-26高二上·上海松江·期末）若圆锥的高为3，底面圆的半径为1，则这个圆锥的体积为________． 一、单选题 1．（2025·上海金山·一模）已知某正四棱锥的高为2，体积为24，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D． 2．（25-26高二上·上海·阶段检测）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．则在一个长方体中，鳖臑的个数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 3．（24-25高三上·上海·阶段检测）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，，则该四棱锥的高是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知正三棱锥的六条棱长均为是及其内部的点构成的集合．设集合，则表示的区域的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为________ 6．（2025·上海金山·三模）已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） 7．（24-25高二下·上海·期末）已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为______. 8．（25-26高二上·上海·期末）若圆锥的底面半径为1，侧面的平面展开图的面积为，则该圆锥的体积为__________. 9．（2026·上海黄浦·二模）底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______． 10．（24-25高二上·上海静安·期中）在棱长为2的正四面体中，顶点到底面的距离为____. 11．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为________． 12．（25-26高二上·上海·期中）已知高为1且底面半径为的圆锥，顶点为，底面上有两个不同的动点和，则的面积的最大值为__________． 13．（24-25高二上·上海·阶段检测）已知圆锥的母线长为4，底面直径，则一蚂蚁从点沿着侧面爬到点，爬行距离的最小值是______. 14．（25-26高二上·上海嘉定·期中）有一个圆锥形漏斗，其底面直径是10，母线长为20，在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，则此时绳子的长度______. 15．（25-26高二上·上海·期中）一个圆锥的母线与其轴所成的角为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为____________． 16．（25-26高二上·上海普陀·期中）已知圆锥的母线与底面所成角为，高为则该圆锥的侧面积为_____. 17．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知正三棱锥中，底面边长为1，侧棱长为2，点、分别为侧棱、上的点，当三角形的周长最小时，三棱锥的体积为______. 18．（25-26高二上·上海嘉定·期中）如图，水平放置的正四棱锥形工艺品的高为，底面对角线长为，在工艺品内部注入了部分液体，液体深度为12.现有一根长度为的玻璃棒放在工艺品内部，的一端置于点处，另一端置于侧棱上的点，则没入液体中部分的长度为__________(精确到)（工艺品外壁厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）    三、解答题 19．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 20．（25-26高二上·上海·阶段检测）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 21．（25-26高二上·上海长宁·期末）如图，等腰直角三角形中，，． (1)点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，设二面角的大小为； ①若点是边的中点，，求四棱锥的体积； ②是否存在点和，使得，若存在，请指出点的位置和的大小，若不存在，请说明理由； (2)四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，空间中取一点，使得、、、四点可组成“鳖臑”，且该四面体的体积为，求的长（直接写出答案即可）． 22．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，已知四面体中，平面，． (1)求证：； (2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值； (3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度． 23．（2026·上海·三模）在三棱锥中，平面平面，，，是棱的中点，在棱上，且 平面． (1)证明：是棱的中点； (2)证明：平面，并求三棱锥的体积． 24．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知四面体的6条棱中，有条棱长为，有条棱长为1． (1)若，证明：； (2)若，求二面角的大小（用含的式子表示）； (3)若，求的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 锥体 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 棱锥的结构特征和分类 题型6 正棱锥的有关计算 题型2 圆锥的结构特征及辨析 题型7 棱锥的表面积 题型3 棱锥的展开图中的最短路径问题 题型8 棱锥的体积 题型4 圆锥的展开图的最短路径问题 题型9 圆锥的表面积 题型5 圆锥中的截面有关计算 题型10 圆锥的体积 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 棱锥结构特征、棱锥分类 1.掌握棱锥核心特征：1个多边形底面，其余侧面为共顶点三角形 2.区分普通棱锥、正棱锥，明确正棱锥底面、顶点投影要求 棱锥判定、几何体辨析 1.能逐条核对定义，判断几何体是否满足棱锥全部结构条件 2.识别伪棱锥：侧面三角形无公共顶点、底面残缺的图形直接排除 正棱锥、斜高、棱长计算 1.熟记正棱锥顶点在底面投影为底面中心，侧面全为全等等腰三角形 2.利用底面边、高、斜高构造直角三角形，求解棱长、侧面积 棱锥侧面展开图 1.理解展开图由底面多边形+多个共顶点等腰三角形组成 2.能通过展开图还原棱锥棱长、斜高对应关系 棱锥平行截面、相似比例 1.掌握平行底面截棱锥得到小棱锥，上下两棱锥相似 2.相似比=高之比，面积比=相似比平方，体积比=相似比立方 圆锥结构、旋转特征辨析 1.明确圆锥由直角三角形绕直角边旋转生成，底面为圆形、侧面曲面 2.分清圆锥的高、底面半径、母线三者的直角三角形勾股关系 圆锥几何体判定 1.依据旋转定义与结构特征判断标准圆锥 2.区分圆锥、圆柱、圆台旋转生成的不同，排除不规则旋转体 圆锥平行截面、相似计算 1.平行底面截圆锥得小圆锥，上下锥体相似，比例规律同棱锥 2.利用相似比例反求截面半径、截面高度 圆锥侧面展开图、最短路径 1.圆锥侧面展开为扇形，扇形半径=母线，弧长=底面周长 2.平铺扇形转化平面，用两点线段最短求表面最短距离 锥体通用体积、体积计算 1.牢记锥体统一体积公式，棱锥、圆锥通用 2.已知体积反向推导底面积、垂直高，处理组合锥体拆分运算 棱锥表面积、侧面三角形面积 1.棱锥全面积=底面积+所有侧面三角形面积之和 2.正棱锥侧面积可直接用斜高快速计算 圆锥表面积、扇形侧面积计算 1.圆锥全面积，侧面积 2.结合展开扇形圆心角公式联动求解半径、母线 学习重点： 1.棱锥、圆锥的结构特征与判定标准，正棱锥核心性质 2.锥体体积统一公式，平行截面相似比例关系 3.棱锥、圆锥表面积公式，圆锥侧面展开扇形相关计算 4.圆锥展开图表面最短路径求解方法 学习难点： 1.正棱锥高、底面边心距、斜高构成的直角三角形综合运算 2.平行截面相似比、面积比、体积比的次方关系易混淆 3.圆锥侧面展开扇形圆心角公式推导与综合求值 4.立体最短路径需要平铺曲面转化平面几何，空间思维转换难度大 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 棱锥的结构特征 定义 一个面是_多边形__，其余各面都是有一个_公共顶点___的三角形，由这些面所围成的几何体称为棱锥 图示及相关概念 如图可记作：棱锥或棱锥 底面(底)：多边形___； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两个侧面的_公共边__； 顶点：各侧面的_公共点__； 高：_顶点到底面______的距离 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥也叫做___．底面是___，且它的顶点在过底面中心且与底面___的直线上，那么这个棱锥称为正棱锥. 正棱锥各侧面都是全等的_____，这些等腰三角形的高称为_____. 【易错提醒】 1.判定棱锥核心条件遗漏：只看侧面是三角形，忽略所有侧面三角形必须共用同一个顶点 2.混淆普通棱锥与正棱锥：正棱锥要求底面是正多边形，且顶点在底面的投影为底面中心，缺一不可 3.误把侧棱当作斜高：斜高是侧面等腰三角形底边上的高，不是顶点到底面顶点的侧棱 4.截面相似比例记错：平行底面截棱锥，体积比是相似比的立方，容易错记为平方 即时即练 1.（2025高二上·上海·专题练习）如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？_______（找出可能的结果，并将序号填在横线上） ①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体. 【答案】①③⑤⑦ 【分析】结合正方体的性质逐一作图，可能出现①③⑤⑦这四种情况. 【详解】 如图，平面截正方体，可得到四面体； 如图，平面截正方体，可得到四棱柱； 如图，平面截正方体，可得到五棱柱，也是七面体. 故答案为：①③⑤⑦. 2.下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧棱长一定相等 B．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 C．圆柱的母线长与高相等 D．底面是正三角形的棱锥是正棱锥 【答案】D 【分析】根据棱柱、直棱柱、圆柱及圆锥的定义逐项判断即可. 【详解】选项A:由棱柱的定义知，棱柱的侧棱长一定相等，故选项A说法正确； 选项B:由直棱柱的定义知，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故选项B说法正确； 选项C:由圆柱的定义知，圆柱的母线长与高相等，故选项C说法正确； 选项D:若一个棱锥的底面为正三角形，但其顶点在底面的投影不在正三角形的中心处，则该棱锥不是正棱锥，故选项D说法错误. 故选：D. 知识点02 圆锥的结构特征 圆锥及相关概念 图形及表示 定义 以__直角三角形的一条直角边_____所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图中的圆锥记作:__圆锥_____ 相关概念 轴:_旋转轴____做圆锥的轴； 底面:__旋转轴_____边旋转而成的圆面； 侧面:__垂直于轴的____旋转而成的曲面; 母线:无论旋转到什么位置，_斜边_____叫做圆锥侧面的母线； 锥体:__棱锥和圆锥_____称为锥体 【易错提醒】 1.混淆母线与高：高是顶点垂直底面的线段，母线是侧面斜边，二者满足，不可混用 2.旋转判定出错：只有直角三角形绕直角边旋转才是圆锥，绕斜边旋转不是圆锥 3.轴截面概念误区：轴截面三角形底边是（直径），错用半径代入计算 4.侧面是曲面，不能当作平面三角形直接计算表面积 即时即练 1.（24-25高二上·上海·期中）以下四个命题中，所有真命题的序号为__________.①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形. 【答案】②④ 【分析】根据几何体的结构特征及性质判断各个命题的真假即可. 【详解】①以直角三角形的一条直角边为轴，将三角形旋转一周所得几何体为圆锥，而其它三角形所得为组合体，故①错误； ②底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱，故侧棱垂直于底面，故②正确； ③正棱锥的各侧棱与底面所成角相等，而不是所有棱锥各侧棱和底面所成的角相等，故③错误； ④圆锥轴截面有两条边对应圆锥的母线，第三条边为底面直径，故一定为等腰三角形，故④正确. 所以真命题有②④. 故答案为：②④. 2.图①②中的图形折叠后的图形分别是（    ）    A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥 C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱 【答案】B 【分析】根据图形中的形状和大小组成即可判断. 【详解】图①的底面为圆，侧面为扇形，所以①折叠后的图形是圆锥； 图②的底面为三角形，侧面均为三角形，所以②折叠后的图形是棱锥． 故选：B. 知识点03 正棱锥的表面积 正棱锥的每个侧面都是__全等的等腰三角形______，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高，记为．如果棱锥底面多边形的周长是c，底面面积是，那么棱锥的侧面积________，表面积________． 【易错提醒】 1.侧面积公式误用：中是斜高，错代入几何体垂直高 2.全面积漏加底面：只算侧面三角形面积，忘记加上底面正多边形面积 3.斜高计算出错，不会利用底面边心距、锥体高构造直角三角形求解斜高 4.斜棱锥不能套用正棱锥侧面积公式，需逐个计算侧面三角形再求和 即时即练 1.（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知正三棱锥的底面边长为4，高为，则该三棱锥的侧棱长为______ 【答案】/ 【分析】作出几何体的直观图，作出三棱锥的高，求得相关线段的长，即可求得答案. 【详解】如图，正三棱锥中，底面是边长为4的等边三角形， 设侧棱长为， 设O为的中心， 取中点D，连接，则O在上，为三棱锥的高， 则，， 故， ∴正三棱锥的侧棱长为， 故答案为： 2.（25-26高二上·上海·期中）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 【答案】 【分析】正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出三角形的面积即可求出三棱锥的侧面积. 【详解】已知正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3， 则正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高， 侧面积. 故答案为： 知识点04 圆锥的表面积 将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面内．圆锥侧面的平面展开图是一个以___圆锥母线l_____为半径的扇形，扇形的弧长就等于圆锥底面的圆周长________，如图，设圆锥的底面圆半径为r，则扇形的中心角________（弧度）．由扇形的面积公式，可得圆锥的侧面积________，表面积________．    【易错提醒】 1.侧面积公式记混：，容易错写成、 2.无盖/空心圆锥仍套完整全面积公式，多算一个底面圆面积 3.扇形圆心角公式混淆：，颠倒母线与底面半径位置 4.已知直径不换算半径，直接代入公式造成计算错误 即时即练 1.（25-26高二下·上海·期中）已知圆锥的高为，底面半径为，则该圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【详解】 如图，母线长，所以圆锥的侧面积． 2.（25-26高二上·上海·期末）已知一个圆锥的侧面积为，体积为，则该圆锥的母线长可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆锥的侧面积公式，体积公式，列方程代入验证即可. 【详解】设圆锥母线为，底面半径为，高为， 则， 消去整理得， 代入选项验证，仅有符合题意， 故选：C. 知识点05 锥体的体积 （1）棱锥的体积 设棱锥的底面积为底，高为h，得到棱锥的体积公式：棱锥＝______. （2）圆锥的体积 设圆锥的底面积为底，底面半径为r，高为h，得到圆锥的体积公式：圆锥＝______=______. 【易错提醒】 1.遗漏系数，直接套用柱体公式，忘记锥体体积是同底同高柱体的三分之一 2.公式中是垂直底面的高，不可将斜高、母线当作高代入计算 3.组合锥体拆分时重复或遗漏部分几何体，体积加减出错 4.逆向计算时变形错误，已知体积求高不会换算 即时即练 1.（2026·上海·三模）若一圆锥底面半径为3，母线长为5，则其体积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】先根据圆锥母线、底面半径和高的勾股关系求出高，再代入圆锥体积公式计算即可 【详解】设圆锥的高为，因为圆锥母线、底面半径，则 . 所以圆锥的体积为 2.在通用技术课上，某同学制作了一个正四棱锥模型.他测量出正四棱锥的侧面是边长为2 dm的正三角形，则该正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱锥的结构特征，先求出底面面积，然后根据勾股定理求出高，进而根据棱锥的体积公式求出结果. 【详解】因为正四棱锥的侧面是边长为的正三角形，正四棱锥的底面是正方形， 所以， 因为，所以. 根据勾股定理得. 所以该正四棱锥的体积为. 故选：D. 题型1 棱锥的结构特征和分类 【例1】（25-26高二上·上海普陀·期中）下列命题中，是真命题的是_____.（请填上所有正确命题的序号） ①底面是矩形的平行六面体是长方体 ②正四面体的高为其棱长的倍 ③用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形 ④过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 【答案】②③ 【分析】根据长方体、正四面体、正方体、圆锥的性质逐一判断即可. 【详解】①平行六面体的底面是矩形，但侧棱可能与底面不垂直，此时侧面仍为平行四边形，因此不一定是长方体.长方体要求所有面均为矩形，故①错误. ②设正四面体棱长为，底面正三角形的高为，重心到顶点的距离为.由勾股定理，正四面体的高为：，故②正确； ③用平面切割正方体时，若平面依次经过五个面（如从一个顶点出发，切割相邻五个面），截面为五边形.如图所示，为五边形截面，故③正确. ④过圆锥顶点的截面为等腰三角形且两腰长为母线长，设圆锥的母线长为l，等腰三角形的顶角为，则过圆锥顶点的截面面积为，所以当，即时，截面面积最大.当轴截面的顶角大于时，轴截面面积不是最大截面面积，故④错误. 故答案为：②③ 【例2】（25-26高二上·上海·开学考试）给定等边三角形，在空间任取2个不同的点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则可以得到______个不同的正四棱锥. 【答案】9 【分析】根据题意，可分为两种情况：当为正四棱锥的侧面时和当为正四棱锥的对角面时，分别求得满足条件的正四棱锥的个数，即可求解. 【详解】空间内存在三点，满足， 在空间内取不同两点，使得这两点与可以组成正四棱锥的五个顶点， 可分为两种情况： 第一种：当为正四棱锥的侧面时，如图（1）所示， 此时可分别充当底面正方形的一边，对应的情况显然相同， 不妨以为底面正方形的一边，符合要求的另两个点， 如图（1）所示，此时有两种情形； 考虑到三边的对称性，共有6种情况； 第二种：当为正四棱锥的对角面时，如图（2）所示， 此时分别充当底面正方形的一条对角线时，对应的情况显然也相同， 不妨以为底面正方形对角线，符合要求的另两个点， 如图（2）所示，显然只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，共有3种情况， 综上所述，共有9种情况. 故答案为：9 【技巧归纳】 公式结论 1.棱锥定义：1个多边形底面，其余各面是有公共顶点的三角形 2.正棱锥：底面为正多边形，顶点在底面投影为底面中心，侧面是全等等腰三角形 3.分类：按底面边数分三棱锥、四棱锥…；分普通棱锥、正棱锥 方法技巧 1.判定关键：所有侧面三角形必须共顶点，缺此条件不是棱锥 2.正棱锥三组直角三角形：高、底面边心距、斜高；高、底面外接圆半径、侧棱；斜高、底面半边长、侧棱 3.辨析命题举长方体、四棱台反例快速排除错误表述 【变式1-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）有两个棱长均为1的正四棱锥，底面中心分别为、，另有一个棱长为1的正四面体，现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全贴合，拼接成一个新的几何体．对于所有的拼接方式，线段的长度所组成的集合中，共有（　　）个元素 A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】根据正四棱锥的结构特征分析可知，利用补形法，将四面体补成正方体，分析点的可能位置，即可得结果. 【详解】如图所示： 在正四棱锥中，， 则， ， 即全等，则， 将四面体补成正方体，如图所示： 可知点的可能位置为，且， 所以线段长度的集合有1个元素. 故选：A. 【变式1-2】关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 【答案】C 【分析】根据正棱锥的性质，即可判断选项. 【详解】正九棱锥有18条棱、10个面，正九棱锥的侧棱都相等，正九棱锥的底面是正九边形． 故选：C 题型2 圆锥的结构特征及辨析 【例1】（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【答案】A 【分析】根据圆锥、圆柱、圆台的特点判断各选项即可. 【详解】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确； 对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误； 对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误. 故选：A. 【例2】（23-24高二上·上海静安·期中）以下命题中，所有真命题的序号为______ ①如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②垂直于三角形两边的直线必垂直第三边； ③有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形的多面体是棱柱； ④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面都是全等的等腰三角形； 【答案】②④ 【分析】对于①，根据公理可得①错误；对于②，由线面垂直的判定和性质得到结论；对于③，可举出反例；对于④，由于圆锥的性质可得④正确. 【详解】对于①，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，①错误； 对于②，直线垂直于三角形两边，因为三角形两边必相交，则此直线垂直于三角形所在的平面，由线面垂直的性质可得直线必垂直第三边，②正确； 对于③，如图所示，满足有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形，    但此多面体不是棱柱，③错误； 对于④，用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面为三角形，且有两条边为圆锥的母线， 由于圆锥母线相等，故所得截面都是全等的等腰三角形，④正确. 故答案为：②④ 【技巧归纳】 公式结论 1.形成：直角三角形绕一条直角边旋转一周得到圆锥 2.三边关系：母线、底面半径、高满足勾股定理 3.轴截面为等腰三角形，底边长，腰长，高为圆锥的 方法技巧 1.区分三个量：高垂直底面，母线是侧面斜边，底面半径是底面圆半径 2.旋转判断题：绕斜边旋转不是圆锥，可直接排除 3.区分圆锥、圆柱、圆台旋转生成方式，避免概念混淆 【变式2-1】有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据圆柱，圆锥几何体的特征依次判断即可得答案. 【详解】解：对于①，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点所得直线与旋转轴不一定平行，故错误； 对于②，圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长，故正确； 对于③，圆柱的母线均与旋转轴平行，故圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行，正确. 所以，正确的命题是②③ 故选：B 【变式2-2】下列结论不正确的是________（填序号）. ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥； ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥； ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线. 【答案】①②③ 【分析】根据空间几何体知识对结论逐一判断 【详解】①错误，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥. ②错误，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体不是圆锥. ③错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则，故，侧棱长要大于底边长 ④正确，符合圆锥母线的定义 故答案为：①②③ 题型3 棱锥的展开图中的最短路径问题 【例1】已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将三棱锥的侧面展开，则所求最短距离可转化为求的长度，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】 将三棱锥三个侧面沿着剪开展开置于同一平面内如图所示，则，所求最短距离为线段的长度， 而，由勾股定理得， 所以虫子爬行的最短距离. 故选：D 【例2】如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开，利用，根据勾股定理求出即可得出结论. 【详解】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开， 所以的周长为， 在正三棱锥中，，侧棱长为4， 所以， ， ， 故选：C. 【技巧归纳】 公式结论 1.棱锥侧面展开为共顶点多个等腰三角形 2.平面两点之间，线段最短 方法技巧 1.将侧面平铺展开为平面图形 2.连接两点构造三角形，用勾股/余弦定理计算线段长度 3.多侧面路径分段平铺，统一转化平面求解 【变式3-1】在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将展开到与共面，根据三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时等号成立.根据题干条件，在中由余弦定理即可求解. 【详解】如图，在三棱锥中，设点为线段的中点，连接. 由题易知：，，平面. 在中，，故， 所以是边长为2的等边三角形. 将展开到与共面，如图所示， 则，当且仅当三点共线时等号成立，即取得最小值. 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以， 即的最小值为. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 【答案】 【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 题型4 圆锥的展开图的最短路径问题 【例1】（25-26高三上·上海杨浦·期末）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为______千米.（精确到0.1千米） 【答案】1.1 【分析】根据圆锥的侧面展开图，求出圆锥底面半径及展开图的圆心角，由余弦定理求出，过作的垂线，垂足为，则为点到环山观光公路的最短距离，得为公路的上坡路段，由面积相等法求，由勾股定理求出. 【详解】设母线与圆锥底面所成角，圆锥底面半径为， 则，解得， 故圆锥底面周长，展开图扇形的圆心角为. 如图所示，将圆锥侧面沿展开成扇形， 由条件得 ，， ，则最短路径为在展开图中的线段， 在中，由余弦定理得 , 故， 在中，过作的垂线，垂足为，则为点到环山观光公路的最短距离，故为公路的上坡路段， 在中， , 故， 得. 故答案为：1.1 【例2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是_____.    【答案】 【分析】根据条件，求出各个长度，以及和的长，即可求出所需圆心角，将圆锥的侧面展开，分析可得线段AB即为所求，根据余弦定理，即可求得答案. 【详解】连接OA，OB，因为，，则，    所以劣弧即缺少的圆弧的长为，占底面圆周的，    圆O的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图，即扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的长为，则， 所以 ， 所以，则从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是. 故答案为： 【技巧归纳】 公式结论 1.侧面展开为扇形：扇形半径=母线，扇形弧长=底面周长 2.扇形圆心角： 3.平面两点线段最短 方法技巧 1.沿母线剪开侧面平铺扇形 2.标出起点终点，连线得到最短路径，解三角形求长度 3.先算圆心角判断两点扇形内夹角，再用余弦定理计算 【变式4-1】（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为______________公里. 【答案】32 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段， 而，则， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， 因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得. 故答案为：32 【点睛】关键点点睛：作出圆锥侧面展开图，确定铁路对应线段是解决问题的关键. 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为______．    【答案】 【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、勾股定理可求出最短距离. 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    题型5 圆锥中的截面有关计算 【例1】（25-26高二上·上海金山·期末）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，用经过圆锥的轴的平面截此圆锥，则截面三角形的顶角大小为______． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是一个半圆，半圆的弧长就是圆锥底面圆的周长，设出母线，求出圆锥底面圆的直径，即可求出截面三角形的顶角. 【详解】根据题意，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面圆的周长为， 所以，所以，所以圆锥底面圆的直径为， 所以用经过圆锥的轴的平面截此圆锥得到的三角形为等边三角形， 所以截面三角形的顶角大小为； 故答案为： 【例2】（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，显然， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为． 故答案为：. 【技巧归纳】 公式结论 1.平行底面截圆锥，上下两圆锥相似，相似比 2.面积比，体积比 方法技巧 1.相似比等于高度比、底面半径比 2.已知截面高度/半径，按比例反求另一锥体尺寸 3.过轴线截面为等腰三角形，直接利用r、h、l三边关系计算 【变式5-1】（24-25高二上·上海闵行·期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径及高，再判断轴截面三角形形状并求出最大面积. 【详解】依题意，圆锥底面圆周长为，该圆锥底面圆半径，而圆锥母线， 该圆锥轴的高，其轴截面顶角为，， ，，因此该圆锥轴截面是锐角三角形，是经过顶点的截面中的最大截面， 所以最大截面面积等于. 故答案为： 【变式5-2】（2023高二上·上海·专题练习）已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，则圆锥的高为______；母线的长为______. 【答案】 2 【分析】设正三角形的边长为，根据题意，列出方程求得轴截面正三角形的边长，进而求得圆锥的高和母线长. 【详解】设正三角形的边长为，因为轴截面的面积为，可得a2＝，解得， 由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为， 圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为. 故答案为：；； 题型6 正棱锥的有关计算 【例1】（25-26高二上·上海·期末）已知正四面体的棱长为3，则它的高为______． 【答案】 【分析】根据题意，由正四面体的棱长为3，可求出其底面正三角形的高和底面正三角形的外接圆的半径，即可求出正四面体的高. 【详解】一个正四面体的棱长为3， ∴正四面体的底面正三角形的高为：， ∴底面正三角形的外接圆的半径为：， 所以正四面体的高：. 故答案为：. 【例2】在正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若为中点，连接，直线和夹角即是直线和夹角，为或其补角，若正四面体的棱长为4，求出相关线段长，应用余弦定理求夹角余弦值. 【详解】若为中点，如下图，连接，则且， 所以直线和夹角，即直线和夹角，为或其补角， 若正四面体的棱长为4，则，，，， 所以， 综上，直线和夹角的余弦值为. 故选：D 【技巧归纳】 公式结论 1.斜高、锥高、底面边心距： 2.侧面积： 方法技巧 1.优先找三组直角三角形，勾股定理互求棱长、斜高、高 2.已知底面边长先求周长、边心距，再代入侧面积公式 3.结合截面相似比例综合求解尺寸 【变式6-1】若一个正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，则侧棱长为_______． 【答案】2 【分析】根据题意，求出对角线的长度，构造直角三角形，求出侧棱长. 【详解】如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，则 高 所以侧棱长． 故答案为： 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）若三棱锥每个面都是边长为2的等边三角形，为的中点．则到的距离为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，取的中点，证明并求出即可. 【详解】依题意，三棱锥是棱长为2的正四面体，取的中点，连接， 由为的中点，得，因此，， 所以到的距离为. 故答案为：    题型7 棱锥的表面积 【例1】如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设M、N分别为PD、AD的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的侧面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明面面平行，需根据判定定理证明平面内的两条相交直线与另一个平面平行，根据平行关系，证明平面，平面； （2）根据边长和三角形面积公式，分别求三棱锥的三个侧面的面积. 【详解】（1）∵、分别为、的中点，∴， 又平面，平面，∴平面， 在中，，， 又，∴， ∵平面，平面，∴平面， 又∵，平面CMN，平面CMN， ∴平面平面PAB． （2）∵平面，平面，平面， 由（1）可知，∴、， ∵，，，， ∴，，， 由（1）可知， 在中，， ∴， 又， 在中，，∴边上的高， ∴， ∴三棱锥的侧面积. 【例2】（25-26高二上·上海·期中）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为______. 【答案】 【分析】设底面边长为，根据侧棱长和高求出，进而求出棱锥的斜高，最后求出侧面积即可． 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故答案为： 【技巧归纳】 公式结论 1.全面积： 2.正棱锥侧面积：；普通棱锥侧面积=各侧面三角形面积相加 方法技巧 1.分开计算底面、侧面再求和 2.无盖棱锥只保留侧面，不加底面积 3.斜棱锥不能用周长乘斜高，逐个算侧面三角形 【变式7-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）正三棱锥的斜高，体积为，侧面积为，则的最大值为______. 【答案】 【分析】设底面正三角形的边长为，求出高为，利用三棱锥体积公式和侧面积公式求得 ，然后利用基本不等式求得最大值即可. 【详解】如图，对于正三棱锥： 取的中点，连接，由题意，设底面正三角形的边长为， 则，由，得， 所以正三棱锥的高为， 所以正三棱锥的体积为， 正三棱锥的侧面积为， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为______． 【答案】18 【分析】作出辅助线，得到三棱锥的侧高，进而求出侧面积. 【详解】如图，正三棱锥中，， 过点作⊥平面，垂足为，则，为等边的中心， 为的一条中线，则，， 故，由勾股定理得， 故，同理可知， 则此三棱锥的侧面积为.    故答案为：18 题型8 棱锥的体积 【例1】（25-26高二下·上海奉贤·期末）如图，已知面面且相交于，面面且相交于，面与面相交于.    (1)若，证明； (2)若，，，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)因为，面，面， 所以面， 又因为面，面面，所以. (2) 【分析】（1）利用线线平行推出线面平行，再借助线面平行的性质定理即可证明； （2）先由两个平面同时垂直底面推出面，然后计算底面三角形的面积，利用等体积法即可计算三棱锥体积. 【详解】（1）略 （2）因为面面，面面，且面面， 所以面. 因为，，， 所以， 所以三棱锥的体积为：. 【例2】（25-26高三下·上海·阶段检测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面， ，，，点为的中点． (1)求异面直线与直线所成角． (2)点是线段上一个动点，求三棱锥的体积； 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）因为平面，且平面，所以． 又因为四边形为矩形，所以． 因为，且，平面，所以平面． 因为平面，所以． 故异面直线与所成的角为． （2）连接交于点，在中，为中点，为中点，所以 ． 因为平面，平面，所以 平面． 因为点在线段上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离（或者视为定值）． 即． 在中，． 点到平面（即底面）的距离，所以． 所以． 故三棱锥的体积为． 【技巧归纳】 公式结论 通用锥体体积：，为垂直底面的高 方法技巧 1.先求底面多边形面积，再乘高除以3 2.逆向变形： 3.组合棱锥拆分多个锥体分别算体积再加减 【变式8-1】（25-26高二下·上海·阶段检测）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，，E、F、G分别是AB、PD、CD的中点. (1)求直线EF与平面PAD所成的角的大小； (2)求证：平面CEP，并求三棱锥的体积. 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦公式进行求解； （2）由线线平行得到线面平行，并利用等体积法求体积. 【详解】（1）因为PA垂直于矩形ABCD所在的平面，平面， 所以⊥，⊥，又⊥， 故以为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立空间直角坐标系， 易知平面PAD的一个法向量为， 又，， 设直线EF与平面PAD所成的角的大小为， 则， 故直线EF与平面PAD所成的角的大小为 （2）和分别为DP和DC中点， ， 平面CEP，平面CEP， 平面CEP， ∵，∴， ∵到平面的距离， . 【变式8-2】（2026·上海崇明·二模）如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)由直三棱柱性质可得， ， 由D，E分别是，的中点，则，， 则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； (2) 【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，则可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）由为的中点，可得，再利用等体积法计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）由，，则， 故为等腰直角三角形，则点到的距离为， 则点到的距离为， 由为的中点，则点与点到平面的距离相等， 故. 题型9 圆锥的表面积 【例1】（2026·上海·三模）若圆锥的侧面积与底面积之比为2，则其母线与轴的夹角大小为________． 【答案】 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，底面积为，侧面积为， 所以，可得， 设其母线与轴的夹角为，则，所以. 【例2】（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知圆锥的母线与底面所成角为，高为，则该圆锥的侧面积为__________. 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由圆锥的母线与底面所成角为， 故该圆锥的侧面积为：. 【技巧归纳】 公式结论 1.侧面积： 2.全面积： 方法技巧 1.已知直径先换算再代入公式 2.空心/无底圆锥舍去这一项 3.结合扇形圆心角公式联立求解r、l 【变式9-1】（2026·上海长宁·二模）如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求圆锥的高，再求体积； （2）首先根据线面角求，再根据垂直关系，构造二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，母线为，， 圆锥的侧面积，所以， 则圆锥的高， 则圆锥的体积； （2）因为平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，则与平面所成角为，所以， 又因为，所以，取的中点，连结，， 因为，， 所以，，为二面角的平面角, 因为，， 所以，， 所以二面角的平面角的正切值为. 【变式9-2】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知某圆锥的高为2，底面积为，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【分析】先求得圆锥的底面半径和母线长，进而求得该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，母线长为， 则，得，所以， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 题型10 圆锥的体积 【例1】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知某圆锥的侧面展开图为周长为，圆心角为的扇形是面积最大的扇形，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出扇形的半径和圆心角，当扇形面积最大的时候求出圆心角，然后求出圆锥的底面半径和高，最后利用体积公式计算体积即可. 【详解】设扇形半径（即圆锥母线长）为，扇形的圆心角为. 由题意，，. 扇形的面积. ，当且仅当，即时取等号. 故扇形面积最大时，，. 由，可得圆锥的底面半径. 所以圆锥的高. 圆锥的体积. 【例2】（25-26高三下·上海黄浦·开学考试）如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥.已知圆锥 的底面半径为，圆锥的侧面积 ．设是底面圆周上的两点，线段不经过点 O ． (1)求圆锥的体积； (2)二面角 的大小为 ，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由侧面积公式求得母线长，进而得到圆锥高，结合体积公式即可求解； （2）过点作于，连接，确定为直线与平面所成角，进而可求解． 【详解】（1）设圆锥的母线长为，底面半径为， 由题意可得：， 所以， 所以圆锥的体积； （2）因为二面角的大小为， 由圆锥的结构可知：， 所以即为二面角的平面角， 所以，又， 所以， 过点作于，连接， 因为，为平面两条相交直线， 所以平面 所以即为直线与平面所成角， 又， 又平面，在平面内， 所以， 所以， 所以， 即直线与平面所成角大小为． 【技巧归纳】 公式结论 方法技巧 1.区分母线和高，不可用母线代替高计算体积 2.结合轴截面、相似截面比例建立r、h方程 3.已知体积反推底面半径或垂直高度 【变式10-1】（25-26高二上·上海·期末）已知圆锥的底面半径为3，母线长为9，则该圆锥的体积为______. 【答案】 【分析】利用勾股定理求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式即可求得. 【详解】 设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则； 又，所以圆锥的体积为. 故答案为：. 【变式10-2】（25-26高二上·上海松江·期末）若圆锥的高为3，底面圆的半径为1，则这个圆锥的体积为________． 【答案】 【分析】利用圆锥的体积公式计算即可. 【详解】圆锥的高为3，底面圆的半径为1， 圆锥的体积 故答案为： 一、单选题 1．（2025·上海金山·一模）已知某正四棱锥的高为2，体积为24，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D． 【答案】C 【分析】设底面边长为a，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设底面边长为a，则正四棱锥的体积，解得. 故选：C 2．（25-26高二上·上海·阶段检测）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．则在一个长方体中，鳖臑的个数为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】每个顶点对应个鳖臑，所以个顶点对应个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除以，即可得解. 【详解】在长方体中， 当顶点为时，三棱锥、、、、、均为鳖臑． 所以个顶点为个．但每个鳖臑都重复一次， 所以，鳖臑的个数为个. 故选：B． 3．（24-25高三上·上海·阶段检测）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，，则该四棱锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据四棱锥的几何性质，利用勾股定理，建立方程，可得答案. 【详解】由题意，作平面，垂足为，在平面内，作， 垂足为，取的中点为，连接，如下图所示：    设， 在中，，则，， 在中，， 在中，， 在正方形中，易知，，则， 在中，，在中，， 则，解得. 故选：B. 4．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知正三棱锥的六条棱长均为是及其内部的点构成的集合．设集合，则表示的区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设顶点P在底面上的投影为O，连接，求得的长，结合，求出，从而确定Q的轨迹，即可求解表示的区域的面积. 【详解】设顶点P在底面上的投影为O，连接，则O为三角形的中心， 且，故. 因为，故， 故Q在以O为圆心，2为半径的圆及其内部， 而三角形内切圆的圆心为O，半径为，而， 故表示的区域为以O为圆心，2为半径的圆在内（包含边界）的部分， 设该圆与交于两点，则, 即为正三角形，则弧所在的弓形的面积为， 故表示的区域的面积为， 故选：B 二、填空题 5．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为________ 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的知识求得正确答案. 【详解】设圆锥的母线长为，则. 故答案为： 6．（2025·上海金山·三模）已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为__________．（结果保留） 【答案】 【分析】由圆锥的底面直径得出圆锥的底面半径，再利用母线长和底面半径结合侧面积公式求解． 【详解】圆锥的底面直径， 圆锥的底面半径， 又母线长， ． 故答案为：． 7．（24-25高二下·上海·期末）已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为______. 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为r，根据轴截面为等腰直角三角形，求出，由圆锥侧面积公式得解． 【详解】依题意，设圆锥的底面半径为r， 已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形， 所以，即， 又因为圆锥的母线长为， 所以该圆锥的侧面积为 ． 故答案为：． 8．（25-26高二上·上海·期末）若圆锥的底面半径为1，侧面的平面展开图的面积为，则该圆锥的体积为__________. 【答案】 【分析】由已知得到该圆锥的母线长，利用勾股定理可得圆锥的高，再由体积公式可得答案． 【详解】如图底面半径为的圆锥中， 侧面积为， 所以，由勾股定理得， 所以该圆锥的体积． 故答案为：． 9．（2026·上海黄浦·二模）底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面展开图结合扇形的弧长公式运算求解. 【详解】设侧面展开图中扇形的中心角为， 由题意可得：，解得， 所以侧面展开图中扇形的中心角为. 10．（24-25高二上·上海静安·期中）在棱长为2的正四面体中，顶点到底面的距离为____. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用正四面体的结构特征计算即得. 【详解】依题意，正的外接圆半径，则， 所以顶点到底面的距离. 故答案为： 11．（24-25高二下·上海宝山·阶段检测）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为________． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面展开图可得，结合轴截面分析线面夹角. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为 由题意可得：，即， 可知圆锥的轴截面为等边三角形，所以该圆锥的母线与底面所成角的大小为. 故答案为：. 12．（25-26高二上·上海·期中）已知高为1且底面半径为的圆锥，顶点为，底面上有两个不同的动点和，则的面积的最大值为__________． 【答案】2 【分析】由题意求出圆锥的母线，如图，易知，结合计算即可求解. 【详解】圆锥底面圆半径为，高为1，得圆锥的母线长为， 设圆锥的母线与高的夹角为（），则， 得，所以圆锥的两条母线之间的夹角为，    即等腰的顶角满足：， 所以. 故答案为：2 13．（24-25高二上·上海·阶段检测）已知圆锥的母线长为4，底面直径，则一蚂蚁从点沿着侧面爬到点，爬行距离的最小值是______. 【答案】 【分析】将其侧面展开，连接，则线段即为最短爬行距离，求出扇形半径和圆心角，由余弦定理求出答案. 【详解】考虑圆锥前侧面的展开图，假设展开后对应的点为，如图， 连接，则线段即为最短爬行距离， 由题意可知圆锥的母线长，底面直径为，则， 设，则，即，则， 在中，． 故答案为：. 14．（25-26高二上·上海嘉定·期中）有一个圆锥形漏斗，其底面直径是10，母线长为20，在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，则此时绳子的长度______. 【答案】 【分析】由圆锥的侧面展开图可知，绳子是线段时，绳子长度最短，根据扇形弧长公式可求圆心角，从而可求弦的长度. 【详解】底面直径是10，则底面圆周长 ， 即圆锥的侧面展开图（如下图所示）中，弧的长度为，    母线 ，故圆心角， 当绳子是线段时，绳子长度最短， 在Rt中，. 故绳子的最短长度为 . 故答案为：. 15．（25-26高二上·上海·期中）一个圆锥的母线与其轴所成的角为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为____________． 【答案】 【分析】根据题意求得圆锥的母线长与底面圆半径为的关系为，再根据侧面展开的弧长建立关系求解即可. 【详解】解：设圆锥的母线长为，底面圆半径为，圆锥的侧面展开图的圆心角为， 因为圆锥的母线与其轴所成的角为， 所以，即， 所以，圆锥的侧面展开图的弧长为 由于圆锥的侧面展开图扇形，故扇形的弧长为， 所以，即， 所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为 故答案为： 16．（25-26高二上·上海普陀·期中）已知圆锥的母线与底面所成角为，高为则该圆锥的侧面积为_____. 【答案】 【分析】由题意可得该圆锥的轴截面是等腰直角三角形，从而求得底面半径，进而求得该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h. 由题可知，该圆锥的轴截面是等腰直角三角形， 因为，所以，所以. . 故答案为：. 17．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知正三棱锥中，底面边长为1，侧棱长为2，点、分别为侧棱、上的点，当三角形的周长最小时，三棱锥的体积为______. 【答案】/ 【分析】将正三棱锥展开，根据两点之间线段最短和相似三角形的性质可判断周长最小时的位置，再利用余弦定理和等体积法即可求解. 【详解】如图，将正三棱锥展开，当共线时，的周长最小； 由正三棱锥知，均为全等的等腰三角形， 且，所以， 所以，所以； 又，，所以； 于是与相似，所以，即， 所以，； 在中，由余弦定理得，所以， 所以的面积为， 的面积为； 如图，作的中点，连接， 则平面， 在中，， 所以， 所以的面积为 ； 所以三棱锥的体积为 ， 设到平面为，由，得， 所以； 所以三棱锥的体积为 . 故答案为：. 18．（25-26高二上·上海嘉定·期中）如图，水平放置的正四棱锥形工艺品的高为，底面对角线长为，在工艺品内部注入了部分液体，液体深度为12.现有一根长度为的玻璃棒放在工艺品内部，的一端置于点处，另一端置于侧棱上的点，则没入液体中部分的长度为__________(精确到)（工艺品外壁厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）    【答案】 【分析】记与水面的交点为，过作为垂足，则平面，将空间问题转化为平面问题，利用正弦定理结合两角和的正弦公式求解三角即可. 【详解】过正四棱锥的顶点作平面垂足为O，则O是正四棱锥的底面中心. 所以O是的中点，平面，, 因为，所以，，记， 在中，由正弦定理可得，解得， 因为，所以. 于是， 记与水面的交点为，过作为垂足，则平面， 故，从而cm. 故答案为：    三、解答题 19．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接DE，推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到，再得到，从而平面BFG，平面BFG，进而得到平面平面BFG，因此得证平面； （2）根据平行线的性质，利用等积法进行求解即可. 【详解】（1）连接， ∵是正方形，，分别是棱，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵是的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面，平面， ∵，直线平面， ∴平面平面，∵平面， ∴平面．    （2）设点到平面的距离为， 因为分别是的中点， 所以， 因为底面， 所以底面，因为底面， 所以， 因为底面为正方形，，分别是的中点 所以，，     因为， 所以， . 20．（25-26高二上·上海·阶段检测）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)元 (3)时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是 【分析】（1）根据条件，可得，根据体积公式，分别求得正四棱锥的体积和正四棱柱的体积，相加即可得答案. （2）根据条件，求得各个长度，进而可得正四棱锥的侧面积和正四棱柱的侧面积，根据单价，即可得答案. （3）设，可表示出各个长度，进而可得下部分的侧面积为的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）由知. 因为， 所以正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积. 所以仓库的容积. （2）如图，连接，取的中点，连接. 在正四棱锥中，， 所以. 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以正四棱锥的侧面积为：. 正四棱柱的侧面积为： 则粉刷总费用为： 元. （3）设，下部分的侧面积为，连接， 则， 则， 设， 当，即时，， 故当时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是. 21．（25-26高二上·上海长宁·期末）如图，等腰直角三角形中，，． (1)点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，设二面角的大小为； ①若点是边的中点，，求四棱锥的体积； ②是否存在点和，使得，若存在，请指出点的位置和的大小，若不存在，请说明理由； (2)四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，空间中取一点，使得、、、四点可组成“鳖臑”，且该四面体的体积为，求的长（直接写出答案即可）． 【答案】(1)；不存在，理由见解析； (2)可能取值. 【分析】（1）①利用锥体的体积公式计算即可；②利用线面垂直的判定定理与性质定理结合三角形的边长关系判定即可； （2）利用定义结合棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）①若点是边的中点，， 易知，四边形为直角梯形，且底面， ，则四边形的面积， 四棱锥的体积为； ②假设存在点和，使得， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在直角中是斜边，但，显然不成立， 所以不存在点和，使得； （2）易知， 由“鳖臑”的定义可知都是直角三角形， 则该四面体必有一条棱垂直于一面， ①若底面，此时，符合定义， ， ；②若底面，此时，符合定义， ， ；③若底面，此时， 所以，要符合定义需直角以为斜边， 显然，故假设不成立， ； ④若底面，此时，符合定义， ，设， 解得， ； ⑤若底面，此时，符合定义， 同④可知要符合题意需， ； 综上所述：可能取值. 22．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，已知四面体中，平面，． (1)求证：； (2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值； (3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)10； (3). 【分析】（1）由线面垂直得到，结合得到线面垂直，进而证明出线线垂直. （2）根据线线垂直、线面垂直以及面面垂直分析求解即可. （3）将平面与平面沿展开成平面图形，则BD即为所求，从而利用余弦定理求出答案即可. 【详解】（1）由平面，平面BCD，得， 又，，平面ABC，因此平面， 而平面ABC，所以. （2）由（1）知：，， 且平面，平面ABC，则，且其余各棱均不垂直，得； 由平面，且平面，平面， 得平面平面，平面平面， 同理由平面得：平面平面，且其余各面均不垂直，得； 由平面，平面，且其余各线面均不垂直，得， 所以. （3）将平面与平面沿展开成如图2所示的平面图形，连接BD， 所以彩带的最小长度为图2平面图中的长， . 由（1）知， 在图1中，由平面，平面BCD，得， 又，则，因此在图2中，， 由余弦定理得， 所以彩带的最小长度为. 23．（2026·上海·三模）在三棱锥中，平面平面，，，是棱的中点，在棱上，且 平面． (1)证明：是棱的中点； (2)证明：平面，并求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析， 【分析】（1）根据三棱锥的性质，利用线面平行证明线线平行，进而根据中线的性质证明结论； （2）根据三棱锥的性质及三角形的性质，利用线面垂直定理证明线面垂直，结合已知条件利用几何法求出相关线段长度，进而求出，再利用三棱锥的体积公式计算求解． 【详解】（1）平面，平面，平面平面， ， 又 是棱的中点， 是棱的中点． （2）连接，，是棱的中点， ， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， ， ，，， ， 又，由勾股定理得， 又平面， 三棱锥的体积． 24．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知四面体的6条棱中，有条棱长为，有条棱长为1． (1)若，证明：； (2)若，求二面角的大小（用含的式子表示）； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)时，时； (3)条对边的棱长为时；条邻边的棱长为时. 【分析】（1）由题设四面体为正四面体，为的中点，得，再应用线面垂直的判定和性质证明结论； （2）由题意四面体中有条棱，其它条棱长为1，首先找到二面角对应的平面角，求出相关线段长，再应用余弦定理求其大小； （3）根据对称性，讨论条对边的棱长为、条邻边的棱长为两种情况，根据三角形边的关系列不等式求参数范围. 【详解】（1）当，则条棱长均为1，故四面体为正四面体， 若为的中点，而为等边三角形，则， 由，平面，则平面， 由平面，则； （2）当，则四面体中有条棱，其它条棱长为1， 如图为的中点，均为等边三角形，则， 故为二面角的平面角，， 此时， 当时， 当时； （3）当，根据对称性有如下两种情况， 若条对边的棱长为，不妨设为，则， 如下图为的中点，其中为全等的等腰三角形且， 所以，则，得， 综上，； 若条邻边的棱长为，不妨设为，则， 如下图为的中点，其中均为等腰三角形且，则， 所以，则，得， 综上，； 所以，条对边的棱长为时；条邻边的棱长为时. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $